【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【沖刺985拔高系列講義】【專題04】平面向量

第第頁沖刺“985”優(yōu)等生拔高講義——專治學(xué)霸各種不服【專題04】平面向量專題目錄【問題一】平面向量基本定理的應(yīng)用問題【問題二】平面向量中的范圍、最值問題【問題三】平面向量在解析幾何中的應(yīng)用【問題四】高考題中向量數(shù)量積的若干種求法平面向量問題一直在高中數(shù)學(xué)中以數(shù)學(xué)工具的形式出現(xiàn)，它很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與遷移，具體到平面向量基本定理，又在向量這部分知識(shí)中占有重要地位，是向量坐標(biāo)法的基礎(chǔ)，是聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁，本文從不同角度介紹定理的應(yīng)用．平面向量基本定理的內(nèi)容：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、使，平面內(nèi)選定兩個(gè)不共線向量為基底，可以表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量．【例1】如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與的夾角為，與的夾角為，且，，，若（、），則（）A．，B．，C．，D．，【練習(xí)1】在中，若點(diǎn)滿足，則（）A．B．C．D．平面向量基本定理是向量坐標(biāo)的理論基礎(chǔ)，通過建立平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)用坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)相等列方程，尋找變量的等量關(guān)系，進(jìn)而表示目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．【例2】已知向量、滿足，，（、），若為的中點(diǎn)，并且，則的最大值是（）A．B．C．D．【練習(xí)2】如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，為以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量，則的最小值為______________．設(shè)、、是共線三點(diǎn)，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則，其特征是“起點(diǎn)一致，終點(diǎn)共線，系數(shù)和為1”，利用向量式，可以求交點(diǎn)位置向量或者兩條線段長度的比值．【例3】如圖，已知點(diǎn)是的重心，過作直線與、兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，，則的值為___________．【練習(xí)3】若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．（1）求與的面積之比．（2）若為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，求、的值．【例4】設(shè)雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)與軸垂直的直線交兩漸近線于、兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，若（、），且，則該雙曲線的漸近線為（）A．B．C．D．【練習(xí)4】已知是雙曲線（，）的左頂點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，是的重心，若，則雙曲線的離心率為（）A．2B．3C．4D．與的取值有關(guān)1、如圖，在平行四邊形中，，，，則（）A．B．C．D．2、已知向量，，若（），則的最小值為（）A．B．1C．D．3、直線過拋物線（）的焦點(diǎn)，且交拋物線于、兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，已知，，則（）A．2B．C．D．44、已知、是兩個(gè)單位向量，且，若點(diǎn)在內(nèi)，且，則（、），則（）A．B．3C．D．5、在中，為邊上任意一點(diǎn)，為中點(diǎn)，，則的值為（）A．B．C．D．16、已知，，，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則的面積是（）A．B．2C．D．47、過坐標(biāo)原點(diǎn)作單位圓的兩條互相垂直的半徑、，若在該圓上存在一點(diǎn)，使得（、），則以下說法正確的是（）A．點(diǎn)一定在單位圓內(nèi)B．點(diǎn)一定在單位圓上C．點(diǎn)一定在單位圓外D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在單位圓上8、在平面上，，，，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．9、在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，，若點(diǎn)在圓上，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．0D．110、如圖，在扇形中，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若，則的取值范圍是______________．11、如圖，四邊形是邊長為1的正方形，，點(diǎn)為內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)（、），則的最大值等于______________．12、在中，點(diǎn)、滿足，．若，則______________；______________．平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合．已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為，把數(shù)量叫做和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作．即，規(guī)定，數(shù)量積的表示一般有三種方法：①當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即；②當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若，，則；③運(yùn)用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個(gè)向量用基底表示后，再運(yùn)算．【例1】在邊長為2的等邊中，是的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為______________．【練習(xí)1】已知，，，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21設(shè)，則，向量的模可以利用坐標(biāo)表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向線段的長度，過可結(jié)合平面幾何知識(shí)求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以將向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量、、滿足，，與的夾角為，，則的最大值為（）A．B．C．D．【練習(xí)2】已知、是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量，且，與的夾角為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．設(shè)，，且、的夾角為，則．【例3】已知向量與的夾角為，，，，，在時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)，夾角的取值范圍為（）A．B．C．D．【練習(xí)3】非零向量、滿足，，則與的夾角的最小值是______________．平面向量中涉及系數(shù)的范圍問題時(shí)，要注意利用向量的模、數(shù)量積、夾角之間的關(guān)系，通過列不等式或等式得系數(shù)的不等式，從而求系數(shù)的取值范圍．【例4】已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是______________．【練習(xí)4】設(shè)向量、滿足：，，、的夾角是，若與的夾角為鈍角，則的范圍是（）A．B．C．D．1、已知，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．2、在中，為中線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是（）A．2B．C．D．3、已知的面積為1，為直角頂點(diǎn)，設(shè)向量，，，則的最大值為（）A．1B．2C．3D．44、若、、均為單位向量，，（、），則的最大值是（）A．1B．C．D．25、已知向量、滿足：，，，則在上的投影長度的取值范圍是（）A．B．C．D．6、已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（）A．1B．2C．D．7、已知向量，，則的最大值和最小值分別是（）A．和0B．4和C．16和0D．4和08、已知、是單位向量，．若向量滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．9、設(shè)、為單位向量，非零向量（、），若、的夾角為，則的最大值等于______________．10、如圖，邊長為1的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸正半軸上移動(dòng)，則的最大值是______________．11、平面上四點(diǎn)、、、滿足，，，，則面積的最大值為______________．12、已知非零向量、、滿足，，，則的最小值是______________，最大值是______________．13、設(shè)是的三邊中垂線的交點(diǎn)，、、分別為角、、對(duì)應(yīng)的邊，已知，則的范圍是______________．14、在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上，且，，則的最小值為______________．15、如圖，在等腰直角中，，，是的重心，是內(nèi)的一點(diǎn)（含邊界），則的最大值為______________．16、已知的面積滿足，且，與的夾角為，則的取值范圍______________．17、在矩形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是______________．向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，平面向量與解析幾何的交匯是新課程高考命題改革的發(fā)展方向和必然趨勢，平面向量在解析幾何的應(yīng)用非常廣泛，通常涉及長度、角度、垂直、平行、共線、三點(diǎn)共線等問題的處理，其目標(biāo)就是將幾何問題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，本文從以下幾個(gè)方面加以闡述．兩向量相等當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的長度相等、方向相同，由于向量坐標(biāo)的唯一性，故兩個(gè)向量相等的充要條件是坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等．【例1】橢圓（），作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，且滿足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求橢圓的方程．【練習(xí)1】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，，求證：為定值．兩個(gè)非零向量、垂直的充要條件是，如，，則．【例2】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A．1B．C．D．【練習(xí)2】已知橢圓（）的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；（2）若橢圓上存在點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓過原點(diǎn)，求的取值范圍．向量與非零向量平行的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使得，若，，則：．【例3】如圖，已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為、，其上頂點(diǎn)為，已知是邊長為2的正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，使得，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在，請(qǐng)求出該定直線；若不在，請(qǐng)說明理由．【練習(xí)3】設(shè)橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上的一點(diǎn)，，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，為定點(diǎn)，連接的直線交軸于點(diǎn)，若，求直線的斜率．兩個(gè)非零向量、夾角范圍為，由數(shù)量積定義可以推出，當(dāng)（）時(shí)，、夾角為銳角；當(dāng)（）時(shí)，、夾角為鈍角，所以當(dāng)排除和的情況，的范圍與三角形內(nèi)角范圍一致，利用向量夾角可以靈活處理解析幾何中的角的問題．【例4】已知拋物線（），為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)的連線恰好過點(diǎn)，且，求拋物線方程；（2）設(shè)點(diǎn)在軸上，若要使總為銳角，求的取值范圍．【練習(xí)4】已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線相切．（1）求直線被圓所截得的弦的長；（2）過點(diǎn)作兩條與圓相切的直線，切點(diǎn)分別為、，求直線的方程；（3）若與直線垂直的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)、，若為鈍角，求直線縱截距的取值范圍．1、已知兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、和一個(gè)定點(diǎn)均在拋物線（）上（、與不重合）．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若，且、、成等差數(shù)列．（1）求的坐標(biāo)（可用、和表示）；（2）若，，、兩點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為、，求四邊形面積的取值范圍．2、如圖，已知橢圓的方程為（），雙曲線的兩條漸近線為、，過橢圓的右焦點(diǎn)作直線，使，與交于點(diǎn)，設(shè)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)由上至下依次為、．（1）若與的夾角為，且雙曲線的焦距為4，求橢圓的方程；（2）若，求橢圓的離心率．3、如圖，過橢圓（）內(nèi)一點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸和垂直于軸時(shí)，被橢圓所截得的線段長均為．（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得對(duì)任意過點(diǎn)的動(dòng)直線都滿足？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4、橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是、，過斜率為1的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)點(diǎn)，，求橢圓的方程．5、已知、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，其左準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，并且滿足，．設(shè)、是上半橢圓上滿足的兩點(diǎn)，其中．（1）求此橢圓的方程；（2）求直線的斜率的取值范圍．6、已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．7、已知點(diǎn)是橢圓（）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若點(diǎn)滿足．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．8、已知、是橢圓上的兩點(diǎn)，且，其中為橢圓的右焦點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，求證：當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，恒為定值．9、平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、連線的斜率之積等于，若點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)直線交曲線于、兩點(diǎn)．（1）求曲線的方程，并證明：是一定值；（2）若四邊形的面積為，求的最大值．10、如圖，橢圓（）的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的短軸長，與軸的交點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)、，直線、分別與相交于點(diǎn)、．（1）求、的方程；（2）求證：；（3）記、的面積分別為、，若，求的取值范圍．11、已知橢圓（）的離心率為，過頂點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)、．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上且滿足，求直線的斜率的值．12、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）若是橢圓在第一象限上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍．13、已知點(diǎn)、和拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于、，直線交拋物線于另一點(diǎn)，如圖：（1）證明：為定值；（2）若的面積為，求向量與的夾角；（3）證明：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)．平面向量的數(shù)量積是向量知識(shí)中的重要內(nèi)容，考題中往往會(huì)涉及到求值或者取值范圍的小題或大題，是高考題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，那么如何求平面向量數(shù)量積呢？本文從三個(gè)方面予以闡述，以期給同學(xué)們啟發(fā)．，根據(jù)幾何或代數(shù)關(guān)系求非零向量的模和夾角是前提．【例1】如圖，正六邊形的邊長為1，則（）A．B．C．3D．【練習(xí)1】若等腰底邊上的中線長為1，底角，則的取值范圍是______________．設(shè)，，則，用此法求平面向量數(shù)量積時(shí)，必須先建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把向量坐標(biāo)化，特別注意，當(dāng)遇到特殊三角形或四邊形時(shí)可以多考慮建系，以達(dá)到事半功倍的效果．【例2】在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A．0B．6C．9D．12【練習(xí)2】已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．利用平面向量基本定理將所求向量用基底表示，在不含坐標(biāo)系或者不宜建系的情況下，通過向量運(yùn)算得到解題結(jié)果，