高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 拋物線學(xué)案（含解析）-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

拋物線

考向一：拋物線定義

拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，注意在解題中利用兩者之間相互轉(zhuǎn)化。

1、(2016?浙江高考)若拋物線y=4x上的點(diǎn)〃到焦點(diǎn)尸的距離為10,則〃到y(tǒng)軸的距離

是?

解析設(shè)〃(劉，％),由拋物線的方程知焦點(diǎn)尸(1,0).根據(jù)拋物線的定義得|版|=劉+1

=10,Ao—9,即點(diǎn)〃到y(tǒng)軸的距禺為9.

條件探究：將條件變?yōu)椤霸趻佄锞€上找一點(diǎn)〃，使I盟|+1步1最小，其中水3,2)”.求

點(diǎn)〃的坐標(biāo)及此時(shí)的最小值.

解如圖，點(diǎn)/在拋物線/=4x的內(nèi)部，由拋物線的定義可知，|揚(yáng)1+|姐=|財(cái)+

\MH\,

其中I期為點(diǎn)〃到拋物線的準(zhǔn)線的距離.

過/作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于助，垂足為8,

貝-掰|+|詼|=|例|+|附》|力2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)〃在掰的位置時(shí)等號(hào)成立.

此時(shí)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(1,2).

2、［2015?全國I,10］已知拋物線G/=8x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為戶是，上一點(diǎn)，Q

是直線所與。的一個(gè)交點(diǎn).若94殉則|函=()

75

A.—B.—C.3D.2

解析過點(diǎn)。作畫，/交，于點(diǎn)0',因?yàn)殄?而，所以|圖：|陽=3：4,又焦

點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離為4,所以|弧=|畫|=3

3、［2017?全國II,16］己知尸是拋物線C：/=8x的焦點(diǎn)，〃是。上一點(diǎn)，河的延長

線交y軸于點(diǎn)兒若〃為四的中點(diǎn)，則|剛=.

解析：不妨設(shè)點(diǎn)〃位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)4過點(diǎn)〃作準(zhǔn)線的垂

線，垂足為點(diǎn)瓦交y軸于點(diǎn)戶，

：.PM//OF.

由題意知，尸(2,0),\FO\=\AO\=2.

?.?點(diǎn)〃為的中點(diǎn)，PM//OF,

：.|MP\4m=1.

又團(tuán)―=2,：.\MB\=\MP\+\BP\=?>.

由拋物線的定義知I姐=I煙=3,故|剛=2|陰=6.

考向二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

頂點(diǎn)0(0,0)

對稼

.y=0畫工=0

軸

(恭)廿。）回尸（）

焦點(diǎn)F畫F（0,一￡）

性離心

e=1

質(zhì)率

準(zhǔn)線

L—2工=包國產(chǎn)彳回廠鄉(xiāng)

方程22乙乙

范圍RRRR

開口

向右向左向上向下

方向

1、［2016?全國I,101以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于48兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線

于〃￡兩點(diǎn).已知|初=4也，|龐|=2/，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.2B.4C.6D.8

答案B

2、歷24

解析不妨設(shè)。：爐=2px（0>0）,2（xi,2噌），則荀=---得----=-，由題意可知|如|=

1乙PP

\OD\,得8）+8=抹）+5,解得°=4.故選B.

22

2、【2019年高考全國n卷理數(shù)】若拋物線/=2加（90）的焦點(diǎn)是橢圓土+乙=1的一個(gè)焦

3PP

點(diǎn)，則P=

A.2B.3C.4D.8

【解析】因?yàn)閽佄锞€y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)（匕0）是橢圓工+乙=1的一個(gè)焦點(diǎn)，所

23Pp

以3p-p=（與,解得p=8,故選D.

考向三：直線與拋物線的綜合問題

9

1、［2018?全國I,8］設(shè)拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)(一2,0)且斜率為］的直線

與C交于"兩點(diǎn)，則應(yīng)?麻=()

A.5B.6C.7D.8

99

解析根據(jù)題意，過點(diǎn)(一2,0)且斜率為鼻的直線方程為尸鼻(x+2),與拋物線方程聯(lián)

O0

'2

y=-x+(2,

立，3消去X并整理，得96y+8=0,解得

y=4x,

”(1,2),M4,4),又尸(1,0),所以屈(0,2),方六(3,4),從

而可以求得沏?就=0X3+2X4=8,故選D.

條件探究：將條件變?yōu)檫^點(diǎn)(一2,0)的直線與C交于弘"兩

點(diǎn)，求而?詼的范圍？

根據(jù)題意，直線的斜率存在且不為零，設(shè)M(Xi，yD，N(x2,y2),

設(shè)直線方程為=1+2),與拋物線方程聯(lián)立得ky2—4y+8k=0,yi+y2=：,

丫1丫2=8

FM?FN=(x、_3Yi),(x2-丫2)

=xxx

i2一(i+x2)+1+丫也=7'7-(7+7)+l+丫涇

號(hào)+l+y^

=17-4

k2

因?yàn)椤?16-32k2>0,0<k2<i,

FM-而的范圍為(—8,9)

2、［2017?全國I,10］已知尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，過廠作兩條互相垂直的直

線，，12,直線，與。交于46兩點(diǎn)，直線入與C交于〃￡兩點(diǎn)，則|陰+|陽的最小

值為()

A.16B.14C.12D.10

解析因?yàn)槭瑸閥=4x的焦點(diǎn)，所以6(1,0).

由題意直線九入的斜率均存在,且不為0,設(shè)4的斜率為A,貝U心的斜率為一%故

直線71,人的方程分別為y=A（x—1）,

1.、

y=-7{x—l)?

\y=kx-l，

由《2得A?3—（2始+4）X+?2=0.

LK=4X,

、2^+4

設(shè)4（矛i,ji）,B1X2,外），則不+至=~J2-，矛1至=1,

匕廠I??4］+如

所以|/劇=xi+x2+2=------1------.

同理可得|朗=4（1+芯）.

所以+p+4（1+尸）=4（下+1+1+后）

=8+4（如++）28+4X2=16,

當(dāng)且僅當(dāng)好=",即4=±1時(shí)，取得等號(hào).故選A.

3、［2018?全國III,16］已知點(diǎn)〃（一1,1）和拋物線C：/=4x,過。的焦點(diǎn)且斜率為A

的直線與。交于48兩點(diǎn).若/匈e=90°,則#=.

答案2

解析設(shè)/（X1,%）,B（X2,㈤，

龍=4矛,1

則

4=4孫

所以五一應(yīng)=4不一4%

刀一先4

所以A=

X1一用yi+y2

取"的中點(diǎn)〃（苞，㈤，分別過點(diǎn)46作準(zhǔn)線x=一1的垂線，垂足分別為/,B'.

因?yàn)?9=90°,所以|朋/|=3明=支|"1+|即)=*|附'\+\BB'|).

因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn)，所以超平行于x軸.

因?yàn)椤ǎㄒ?,1）,所以為=1,則為+獨(dú)=2,所以A=2.

4、［2019年高考全國I卷理數(shù)】已知拋物線G/=3x的焦點(diǎn)為F,

3

斜率為二的直線/與C的交點(diǎn)為4B,與x軸的交點(diǎn)為上

2

(1)^\AF\+\BF\=4,求，的方程;

(2)若AP=3PB,求恒劇.

3

【解析】設(shè)直線/:y=5%+/,4(石,%),8(%2，%)?

嗚，。［3

(1)由題設(shè)得14故|山口+|3/|=石+%+萬，由題設(shè)可得

5

.3

,y-—x+t,>,12Q—1)

由12,可得9爐+12?—l)x+4產(chǎn)9=0,則玉+々=——-~--

J2=3X)

從而-四a57

得”一

928

37

所以/的方程為y=.

28

(2)由AP=3方可得%=—3%.

［3

,y=—x+t,,

由＜-2，可得y~—2_y+2/=0.

y2=3x

所以%+乂=2.從而一3y2+為=2，故%=T,%=3.

代入C的方程得Xi=3,%2=g.

故|A3|=^y^.

5、［2017?北京卷，18］已知拋物線C：/=2px過點(diǎn)戶(1,1).過點(diǎn)(0,作直線/與

拋物線。交于不同的兩點(diǎn)弘N,過點(diǎn)〃作x軸的垂線分別與直線如交于點(diǎn)4B,其中

。為原點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

（2）求證：/為線段創(chuàng)的中點(diǎn).

解（1）由拋物線C：/=2°x過點(diǎn)?（1,1）,得

所以拋物線。的方程為/=X.

1

拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為6，0）,準(zhǔn)線方程為X：

4-

設(shè)直線的方程為？=AX+B（AW0），與拋物線。的交點(diǎn)為加不,

⑵證明;由題意,11

%),Nix?,刃).

尸Ax+；,

由＜得4A2/+