全國版2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章圓錐曲線與方程第2講雙曲線試題2理含解析

第第頁第十章圓錐曲線與方程其次講雙曲線1.[2024浙江,8,4分]已知點(diǎn)O(0,0),A(-2,0),B(2,0).設(shè)點(diǎn)P滿意|PA|-|PB|=2,且P為函數(shù)y=34-x2圖象上的點(diǎn),則|OPA.222 B.4105 C.2.[2024大同市調(diào)研測試]已知雙曲線C與拋物線x2=8y有共同的焦點(diǎn)F,且點(diǎn)F到雙曲線C的漸近線的距離等于1,則雙曲線C的方程為()A.y23-x2=1 B.x23C.y25-x2=1 D.y2-3.[2024鄭州名校聯(lián)考第一次調(diào)研]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x-1)2+y2=sinA.1sin50° B.14.[2024四省八校聯(lián)考]若P是雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn),以線段PO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于不同于原點(diǎn)的A,B兩點(diǎn),則四邊形PAOB的面積為()A.13 B.125.[2024天津,7,5分]設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線為l.若C的一條漸近線與A.x24-y24=1C.x24-y2=1 D.x2-y6.[2024陜西省部分學(xué)校摸底檢測]設(shè)雙曲線x24-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線l交雙曲線左支于A,B兩點(diǎn),則|AF2|+A.13 B.12 C.11 D.107.[2024南昌市測試]圓C:x2+y2-10y+16=0上有且僅有兩點(diǎn)到雙曲線x2a2-y2bA.(2,5) B.(53,52) C.(54,52) D.(58.[2024江西紅色七校第一次聯(lián)考]雙曲線C:x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在C上且tan∠F1PF2=43,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OP|=9.[2024安徽省示范中學(xué)聯(lián)考]已知點(diǎn)F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),直線y=kx,k∈[33,3]與雙曲線C交于AA.[2,3+1] B.[2,2+6]C.[2,3+1] D.[2,2+6]10.[2024江西九江三校聯(lián)考]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),M(-a,0),N(0,b),點(diǎn)P為線段MN上的動點(diǎn),當(dāng)PF1·PF2取得最小值和最大值時,△PF1FA.4 B.8 C.23 D.4311.[2024河南省名校第一次聯(lián)考]已知F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過F1(-c,0)作x軸的垂線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),若∠F1AF2A.2 B.2 C.3 D.312.[2024福州適應(yīng)性測試]已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,A,B是C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),M是C上異于A,B的動點(diǎn),直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,若1≤A.[18,14] B.[14C.[-14,-18] D.[-1213.[2024洛陽市第一次聯(lián)考]已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圓(x+c)2+y2=4c2與雙曲線C位于x軸上方的兩個交點(diǎn),且F1A∥A.2+73 B.4+7314.[2024惠州市二調(diào)][新定義題]我們把焦點(diǎn)相同、離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”.已知F1,F2是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn),P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn),當(dāng)∠F1PF2=60°時,這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是()A.3 B.2 C.2315.[遞進(jìn)型]在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線的漸近線方程為2x±y=0,且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(54,32),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為答案其次講雙曲線1.D由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支,點(diǎn)P的軌跡方程為x2-y23=1(x≥1),又y=34-x2,所以x2=134,y2=272.A拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為F(0,2),因?yàn)殡p曲線C與拋物線x2=8y有共同的焦點(diǎn),所以雙曲線的半焦距c=2,設(shè)雙曲線方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),則其漸近線方程為y=±abx,即ax±by=0,點(diǎn)F(0,2)到漸近線的距離為2ba2+b2=2b3.B依據(jù)對稱性,取雙曲線的一條漸近線bx-ay=0.圓(x-1)2+y2=sin2130°的圓心為(1,0),半徑r=sin130°=sin50°.因?yàn)闈u近線與圓(x-1)2+y2=sin2130°相切,所以ba2+b2所以e=ca=4.B解法一由題意,知該雙曲線的漸近線方程為y=±x,所以該雙曲線的兩條漸近線相互垂直.因?yàn)镺P為圓的直徑,點(diǎn)A,B在圓上,所以∠OAP=∠OBP=90°,所以四邊形PAOB為矩形.設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為|x1-y1|2,|x1+y1|2,所以四邊形PAOB的面積為|x12-y12|2.又點(diǎn)解法二如圖D10-2-1,由題意,點(diǎn)P為雙曲線上隨意一點(diǎn),不妨設(shè)點(diǎn)P為雙曲線的右頂點(diǎn),即P(1,0).易知雙曲線的漸近線方程為y=±x,所以該雙曲線的兩條漸近線相互垂直.因?yàn)镺P為圓的直徑,點(diǎn)A,B在圓上,所以∠OAP=∠OBP=90°.又點(diǎn)P(1,0)到兩條漸近線的距離均為22,所以四邊形PAOB為正方形,所以S四邊形PAOB=(22)2=1圖D10-2-15.D解法一由題知y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則過焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線方程為x+yb=1,而x2a2-y2b2=1的漸近線方程為xa解法二由題知雙曲線C的兩條漸近線相互垂直,則a=b,即漸近線方程為x±y=0,解除B,C.又知y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),l過點(diǎn)(1,0),(0,b),所以b-00-6.C由題意得雙曲線的實(shí)半軸長a=2,虛半軸長b=3.依據(jù)雙曲線的定義得|AF2|-|AF1|=2a=4①,|BF2|-|BF1|=2a=4②,①+②得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min=2b2a=3,所以|AF2|+|BF7.C不妨設(shè)該漸近線經(jīng)過其次、四象限,則該漸近線的方程為bx+ay=0.因?yàn)閳AC:x2+(y-5)2=9,所以圓C的圓心為(0,5),半徑為3,所以2<|5a|a2+b2<4,結(jié)合a2+b2=c2,得54<ca8.5因?yàn)閠an∠F1PF2=43,所以sin∠F1PF2=437,cos∠F1PF2=由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|所以|F1F2|2=又||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|·|PF2|=7,則△F1PF2的面積為12·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=23設(shè)P(x0,y0),因?yàn)椤鱂1PF2的面積為12·2c·|y0|=23,所以|y0|=3,代入x2-y23=1得x029.A解法一設(shè)直線y=kx的傾斜角為α,則k=tanα∈[33,3],所以α∈[π6,π3].設(shè)點(diǎn)A在第一象限,雙曲線的左焦點(diǎn)為F',O為坐標(biāo)原點(diǎn),則∠AOF=α,連接F'A,F'B,由AF⊥BF,依據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形F'BFA為矩形,所以|FF'|=|AB|=2c,所以|OA|=c,則A(ccosα,csinα),代入雙曲線方程可得,c2cos2αa2-c2sin2αb2=1,即c2cos2αa2-c2sin2αc2-a2=1,所以e2cos2α-e2sin2αe2-1=1,所以e4cos2α-2e2解法二設(shè)直線y=kx的傾斜角為α,則k=tanα∈[33,3],所以α∈[π6,π3].設(shè)點(diǎn)A在第一象限,雙曲線的左焦點(diǎn)為F',O為坐標(biāo)原點(diǎn),則∠AOF=α,連接F'A,F'B,由AF⊥BF,依據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形F'BFA為矩形,所以|FF'|=|AB|=2c,則∠ABF=α2,在直角三角形ABF中,|AF|=2csinα2,|BF|=2ccosα2,由對稱性可得|AF'|=|BF|=2ccosα2,由雙曲線的定義可得,2a=|AF'|-|AF|=2c(cosα2-sinα2),所以e=1cosα2-sinα2=12cos(α2+π4)解法三設(shè)直線y=kx的傾斜角為α,則k=tanα∈[33,3],所以α∈[π6,π3].設(shè)點(diǎn)A在第一象限,雙曲線的左焦點(diǎn)為F',O為坐標(biāo)原點(diǎn),則∠AOF=α,連接F'A,F'B,由AF⊥BF,依據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形F'BFA為矩形,所以|FF'|=|AB|=2c,所以|OA|=c.當(dāng)α=π6時,|AF|=c2+c2-2c2cosπ6=2-3c=3-12c,∠AOF'=5π6,|AF'|=c2+c2-2c2cos5π6=2+3c=3+12c,依據(jù)雙曲線的定義可得,2a=|AF'|-|AF|=2c,所以e=2.當(dāng)α=π310.A由雙曲線的離心率為2,可知c=2a,b=3a,則N(0,3a),F1(-2a,0),F2(2a,0),線段MN的方程為y=3x+3a(-a≤x≤0).設(shè)P(x0,3x0+3a),-a≤x0≤0,則PF1=(-2a-x0,-3x0-3a),PF2=(2a-x0,-3x0-3a),所以PF1·PF2=(-2a-x0)(2a-x0)+(-3x0-3a)2=4x02+6ax0-a2(-a≤x0≤0).當(dāng)x0=-34a時,PF1·PF2取得最小值,此時P(-34a,34a),則S1=2a×34a=32a2;當(dāng)x0=0時,PF1·PF2取得最大值,此時11.D由題知,|MF1|=23c,|MF2|=43c,|AF1|=b2a,又|AF2|-|AF1|=2a,則|AF2|=2a+b2a,由角平分線性質(zhì)得|MF1||MF212.A由雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,可得ba=設(shè)A(x1,y1),M(x0,y0),則B(-x1,-y1),因?yàn)锳,B,M在雙曲線上,所以x124所以14=(y1+y0)(因?yàn)?≤k1≤2,所以k2=14k1∈[18,113.C如圖D10-2-2,連接BF1,AF2,由雙曲線的定義知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由|BF1|=|AF1|=2c,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c-2a,在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠AF1F2=4c2+4c2-(2a+2c)22·2c·2c=c2-2ac-a22c2,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=4c2+(2c-2a)2-4c22·2c·(2c-2a)圖D10-2-214.A設(shè)橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2,橢圓的長半軸長為a1,橢圓的半焦距為c,雙曲線的實(shí)半軸長為a2,|PF1|=x,|PF2|=y,x>y.由橢圓、雙曲線的定義得x+y=2a1,x-y=2a2,∴x=a1+a2,y=a1-a2.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=x2+y2-(2c)22xy=cos60°,