安徽省皖南八校2025屆高三數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試題理含解析

PAGE22-安徽省皖南八校2025屆高三數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試題理（含解析）―、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，結(jié)合，用列舉法表示集合，從而可求交集.【詳解】，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易錯(cuò)點(diǎn)是忽視集合中這一條件.2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意，則()A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可求出，進(jìn)而可求，則可求出的值.【詳解】，，，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念.本題的關(guān)鍵是通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求出復(fù)數(shù).3.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公差等于()A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由，可求出，進(jìn)而可知，結(jié)合，可求出公差.【詳解】解：，，，.又由，得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差、等比數(shù)列問(wèn)題，一般都可用基本量法，列方程組求解，但是計(jì)算量略大.有時(shí)結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，削減運(yùn)算量.4.新高考方案規(guī)定，一般中學(xué)學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成果將計(jì)入高考總成果，即“選擇考”成果依據(jù)學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分?jǐn)?shù)，由高到低進(jìn)行排序，評(píng)定為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí).某試點(diǎn)中學(xué)2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)是2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平狀況，統(tǒng)計(jì)了該校2024年和2024年“選擇考”成果等級(jí)結(jié)果，得到如圖表：針對(duì)該?！斑x擇考”狀況，2024年與2024年比較，下列說(shuō)法正確是()A.獲得A等級(jí)的人數(shù)不變 B.獲得B等級(jí)的人數(shù)增加了1倍C.獲得C等級(jí)的人數(shù)削減了 D.獲得E等級(jí)的人數(shù)不變【答案】D【解析】【分析】設(shè)2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)為，分別求出2024,2024年獲得A，B，C，E等級(jí)的人數(shù)，進(jìn)而可選出正確選項(xiàng).【詳解】解：設(shè)2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)為，則2024年參與“選擇考”總?cè)藬?shù)為；則2024年獲得A等級(jí)有人，2024年獲得A等級(jí)有，解除A；2024年獲得B等級(jí)有人，2024年獲得B等級(jí)有，解除B；2024年獲得C等級(jí)有人，2024年獲得C等級(jí)有，解除C；2024年獲得E等級(jí)有人，2024年獲得E等級(jí)有，人數(shù)不變，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，考查了由統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù).5.函數(shù)的部分圖象大致是()A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性可解除A,C.代入特別值，如，通過(guò)推斷函數(shù)值的符號(hào)，可選出正確答案.【詳解】解：由，可知函數(shù)為奇函數(shù)，由此解除A，C，又時(shí)，，因?yàn)椋瑒t，即此時(shí)，解除D.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的選擇.選擇函數(shù)的圖像時(shí)，常結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、定義域解除選項(xiàng)，再代入特別值，推斷函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行選擇.6.已知雙曲線的一條漸近線與圓相切，則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)、半徑以及雙曲線的漸近線，由漸近線和圓相切，可求出圓心到漸近線的距離為半徑，即，結(jié)合雙曲線中，進(jìn)而可求出離心率的大小.【詳解】解：由題意知，圓心為在軸上，則圓與雙曲線的兩條漸近線都相切，則圓心到漸近線的距離為半徑，即，即，又，則，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線，考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了直線和圓相切問(wèn)題，考查了雙曲線離心率的求解.本題的關(guān)鍵是由相切得到.一般求圓錐曲線的離心率時(shí)，常依據(jù)題意列出的關(guān)系式進(jìn)行變形求的值.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是混淆了橢圓和雙曲線中的關(guān)系.7.在中，，是直線上一點(diǎn)，且，若則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)向量的線性運(yùn)算，以為基底，表示出，進(jìn)而求出的值.【詳解】解：，.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加法運(yùn)算，考查了向量的減法運(yùn)算.本題的難點(diǎn)是由題目條件求出的詳細(xì)值.8.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)在區(qū)間上()A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)C.可以取得最大值2 D.可以取得最小值【答案】C【解析】【分析】由協(xié)助角公式可求得，，由題意可知，不妨取，令，結(jié)合的圖像，可選出正確選項(xiàng).【詳解】解：，，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，且，，則，即，不妨取，設(shè)，則，則圖像為所以，在先增后減，可取到最大值為2.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了協(xié)助角公式，考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了三角函數(shù)的最值，考查了數(shù)形結(jié)合.本題的關(guān)鍵是由單調(diào)性和最值，確定的值.9.若曲線的一條切線為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中為正實(shí)數(shù)，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，由題意知，從而可得，依據(jù)“1”的代換，可求出，由基本不等式可求出取值范圍.【詳解】解：，，設(shè)切點(diǎn)為，則，，.原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了基本不等式.切線問(wèn)題，一般設(shè)出切點(diǎn)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率以及切點(diǎn)既在切線上又在函數(shù)圖像上，可列出方程組.運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)留意一正二定三相等.10.在三棱錐中，已知，，，，且平面平面，三棱錐的體積為，若點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，設(shè)球半徑為，由題意可知，，由，可列出關(guān)于的方程，進(jìn)而可求出球的半徑，則可求球的表面積.【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，設(shè)球半徑為，因?yàn)?，，，所以，，，，因?yàn)?，，所以，則,因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，即，所以，，球的表面積為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了椎體的體積，考查了面面垂直的性質(zhì)，考查了球的表面積的求解.求球的體積或表面積時(shí)，關(guān)鍵是求出球的半徑，通常設(shè)半徑，結(jié)合勾股定理列方程求解.本題的關(guān)鍵是面面垂直這一條件的應(yīng)用.11.已知函數(shù)，，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)性，由，可得其零點(diǎn)及函數(shù)的簡(jiǎn)圖，通過(guò)分析可知，有6個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于和都分別有3個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖像可得關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求出的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞減；又，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，.則函數(shù)的簡(jiǎn)圖為函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，與的根共有6個(gè)，和都分別有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則且，即.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的應(yīng)用，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合.本題的難點(diǎn)是對(duì)有6個(gè)零點(diǎn)這一條件的理解.一般地，若，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就等于的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù).12.已知拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)（其中在軸上方），兩點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的投影分別為，若，，則()A. B.2 C.3 D.4.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，由，可求出，由可求出，由可知，從而可知，，進(jìn)而可求的值.【詳解】解：由題意知，，，則,由軸，可知，則，，，，，則，，，為等邊三角形，直線AB的傾斜角，且,又因?yàn)?，則..故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系.本題的關(guān)鍵是的求解.對(duì)于拋物線的問(wèn)題，一般結(jié)合拋物線的定義，可削減運(yùn)算量.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.綻開式中常數(shù)項(xiàng)為________.【答案】240【解析】【分析】先求出二項(xiàng)式的綻開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得綻開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】綻開式的通項(xiàng)公式令,所以的綻開式的常數(shù)項(xiàng)為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)綻開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)潔題.二項(xiàng)綻開式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)綻開式定理的應(yīng)用.14.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的始邊是軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則________.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)出的坐標(biāo)，從而可求出，依據(jù)誘導(dǎo)公式可求出的值.【詳解】解：由題意知，，則到原點(diǎn)的距離為1，，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，考查了三角函數(shù)值的求解.由點(diǎn)坐標(biāo)求出角的余弦值是本題的關(guān)鍵.15.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，都有，當(dāng)時(shí)，，則________.【答案】5【解析】【分析】由題意可知周期為2，從而可求出，，進(jìn)而可求出的值.【詳解】解：由可知，關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以周期為2，則，.故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性的應(yīng)用.由奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)的周期是求解本題的關(guān)鍵.16.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿意，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的最小的的值為________.【答案】3【解析】【分析】由，得，兩式相減可得，結(jié)合，可求出，又，從而可求出的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法可求出，進(jìn)而可求使得成立的最小的的值.【詳解】解：由，得，兩式相減得，整理得，，，兩式相減得.數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，即，解得或（舍）或（舍），又，解得：或（舍），則，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，，，，則，相減得，，滿意不等式的的最小正整數(shù)為3.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查了通項(xiàng)公式的求解，考查了錯(cuò)位相減法求和.本題的難點(diǎn)是由已知遞推關(guān)系式的整理.一般地，已知遞推關(guān)系時(shí)，常結(jié)合進(jìn)行求解.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是由錯(cuò)位相減法求時(shí)，計(jì)算量大，簡(jiǎn)潔算錯(cuò).三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿意.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理對(duì)已知式子進(jìn)行邊角互化，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，化簡(jiǎn)后可得，進(jìn)而可求出；（2）由，可知，結(jié)合余弦定理可求出，從而可求周長(zhǎng).【詳解】解：（1）由知，，.，，則.（2），.由余弦定理知，，即，，解得，的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式.一般地，若題目已知式子中既有邊又有角，常結(jié)合正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化；若式子中三個(gè)角都存在，則常結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行消角化簡(jiǎn).18.如圖，在四棱錐中，底面為長(zhǎng)方形，底面，，，為的中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過(guò)，可證明平面，進(jìn)而可得，結(jié)合證明線面垂直.（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求出平面的法向量，平面的法向量，則可求出兩向量夾角的余弦值，從而可求二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：，為線段中點(diǎn)，.平面，平面，.又底面是長(zhǎng)方形，.又，平面.平面，.又，平面.（2）解：由題意，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.所以,，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，，，同理可求平面的法向量，，，即平面與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定，考查了二面角正弦值的求解，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.證明線線垂直時(shí)，可結(jié)合等腰三角形三線合一、勾股定理、矩形的鄰邊、菱形的對(duì)邊、線面垂直的性質(zhì)證明.19.2024新型冠狀病毒（2024―nCoV）于2024年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名.冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)峻急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)峻疾病.某醫(yī)院對(duì)病患及家屬是否帶口罩進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)人數(shù)得到如下列聯(lián)表：戴口罩未戴口罩總計(jì)未感染301040感染4610總計(jì)341650（1）依據(jù)上表，推斷是否有95%的把握認(rèn)為未感染與戴口罩有關(guān)；（2）從上述感染者中隨機(jī)抽取3人，記未戴口罩的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有把握；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）由表求出，即可推斷；（2）由題意知的取值可能為0，1，2，3，求出每種狀況的概率，從而可得分布列，進(jìn)而可求數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由列聯(lián)表可知，.所以有95%的把握認(rèn)為未感染與戴口罩有關(guān).（2）由題知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，則的取值可能為0，1，2，3.；；；，則的分布列為X0123P.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，考查了數(shù)學(xué)期望的求解.在第一問(wèn)求時(shí)，由于數(shù)據(jù)較大，應(yīng)留意計(jì)算.一般對(duì)于求分布列的問(wèn)題，寫出分布列后，可結(jié)合概率之和為1這一性質(zhì)，進(jìn)行檢驗(yàn).20.已知點(diǎn)，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿意軸，，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓面積最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由軸，結(jié)合勾股定理可得，從而可求出，，則可知，結(jié)合，可求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，，從而可用表示出，用內(nèi)切圓半徑表示出，即可知，結(jié)合基本不等式，可求出當(dāng)半徑取最大時(shí)，的值，從而可求出直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)檩S，所以，則，由，，解得，，，由橢圓的定義知，，即，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）要使的內(nèi)切圓的面積最大，需且僅需其的內(nèi)切圓的半徑最大.因?yàn)?，，設(shè)，，易知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，故，；所以，又，故，即，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)內(nèi)切圓半徑取最大值為，直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓內(nèi)三角形周長(zhǎng)的求解，考查了三角形的面積公式，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系.本題的關(guān)鍵是用內(nèi)切圓半徑表示出三角形的面積.本題的難點(diǎn)是計(jì)算化簡(jiǎn).21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，的最大值為1；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為，，三種狀況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而求出最大值.（2）由函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)可知在上存在兩不等的實(shí)根，令，從而可知，可求出的取值范圍，結(jié)合韋達(dá)定理可求出，結(jié)合令，在上的單調(diào)性，可證明.【詳解】解：（1）由題意知，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，解得，此時(shí)對(duì)成立，則在上是增函數(shù)，此時(shí)最大值為，當(dāng)時(shí)，由得，由，取，則時(shí)，；時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又則當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，在上的最大值為；當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在的最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在的最大值為1.（2）要使存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上存在兩不等的實(shí)根，令，則對(duì)稱軸為，則，解得，由韋達(dá)定理知，.令，，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)根的分布，考查了韋達(dá)定理，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值，考查了已知極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù).本題的難點(diǎn)在于第一問(wèn)中，參數(shù)范圍的確定；其次問(wèn)中，如何將極值點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為參數(shù)的取值范圍.一般地，含參函數(shù)求最值時(shí)，首先求出定義域，然后求得導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，探討導(dǎo)數(shù)為零有無(wú)根；當(dāng)有根時(shí)，再探討根是否屬于定義域，結(jié)合單調(diào)性，即可求最值.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22