新高考數(shù)學一輪復習知識總結 立體幾何初步（含解析）

第八章立體幾何初步要點一：空間幾何體的結構與特征1．棱柱的有關概念、性質和分類（1）概念：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫做棱柱．（2）準確理解棱柱的概念要注意它的兩大特征：①有兩個面互相平行（底面）；②其余各面每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行．（3）棱柱的性質：①側棱都相等，側面都是平行四邊形；②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；③過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形，（4）棱柱的分類：①按底面多邊形的邊數(shù)分為：三棱柱、四棱柱……②按側棱與底面的位置關系分：（5）特殊的四棱柱：①SKIPIF1<0；②長方體對角線定理：長方體一條體對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．熟練掌握棱柱的概念，才能準確地應對概念題，也能準確地判斷棱柱中的線面關系．2．棱錐的概念和性質（1）概念：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐．（2）正確理解棱錐的概念要注意它的兩大特征：①有一個面是多邊形；②其余各面是有一個公共頂點的三角形．（3）一般棱錐的截面性質：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高與已知棱錐的高的平方比．（4）正棱錐：如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面上的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐．（5）正棱錐的性質：①各側棱相等，各側面都是個等的等腰三角形；②棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形；③棱錐的高、側棱和側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形．掌握正棱錐的概念和性質，特別是其中的幾個直角三角形，可求高、斜高、側棱長等．另外，還要熟悉一條側棱垂直于底面的棱錐，高考中棱錐多半是這兩種．3．棱臺的概念及性質（1）概念：底面水平放置的棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺．（2）棱臺的有關概念：①原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面、上底面；其他各面叫做棱臺的側面；②相鄰兩側面的公共邊叫做棱臺的側棱；③當棱臺的底面水平放置時，鉛垂線與兩底面交點間的線段的長或距離叫做棱臺的高；④正棱臺各側面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺的斜高．（3）正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．（4）正棱臺的性質：①各側棱相等，側面是全等的等腰梯形；②兩底面以及平行于底面的截面是相似多邊形；③兩底面中心連線、相應的邊心距和斜高組成一個直角梯形；④兩底面中心連線、側棱和兩底面相應外接圓的半徑也組成一個直角梯形；⑤正棱臺的上下底面中心的連線是棱臺的一條高；⑥正四棱臺的對角面是等腰梯形．4．圓柱、圓錐、圓臺的概念與性質（1）概念：分別以矩形的一邊、直角三角形的一條直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺．（2）性質：①平行于底面的截面都是圓；②它們的軸截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．（3）圓臺的中截面而積：SKIPIF1<0．（4）圓心角：①圓錐側面展開圖的扇形圓心角：SKIPIF1<0（其中l(wèi)、r分別為圓錐的母線長、底面半徑）；②圓臺側面展開圖的扇環(huán)圓心角：SKIPIF1<0（其中l(wèi)為圓臺的母線長，SKIPIF1<0分別為圓臺上、下底面半徑）．（5）圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別是它們側面展開圖的面積，因此弄清側面展開圖的形狀及側面展開圖中各線段與原旋轉體的關系，是掌握它們的側面積公式及解有關問題的關鍵．（6）計算柱體、錐體和臺體的體積，關鍵是根據(jù)條件找出相應的底面面積和高，要充分運用多面體的有關截面及旋轉體的軸截而將空間問題轉化為平面問題．5．球的概念與性質（1）概念：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，將半圓面旋轉一周所形成的幾何體叫球（2）球的性質：①同一個球的半徑都相等，直徑也相等；②用任意平面截球的截面都是一個圓，過球心的截面所得到的圓的直徑最大．（3）與球有關的組合體問題：一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖．如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線的長等于球的直徑．球與旋轉體的組合，通常作它們的軸截面解題；球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖．6．三視圖和直觀圖三視圖和直觀圖是空間幾何體的不同表現(xiàn)形式，空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質，由空間幾何體可以畫出它的節(jié)視圖，同樣，由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間可以相互轉化．（1）畫三視圖時，可以把垂直投影面的視像想象成平行光線從不同方向射向幾何體所成的像，可見的輪廓線（包括被遮擋但是可以經過想象透視的輪廓線）的投影就是所要畫出的視圖．（2）檢驗所畫視圖是否符合“長對正，寬相等，高平齊”的基本特征．（3）旋轉體的三視圖中，一般有兩個視圖是相同的，并且這兩個相同的視圖中包含有這個旋轉體的軸截面．（4）斜二測畫法的畫圖規(guī)則可以簡要說成：“豎直或水平放置的線段畫出時，長度、方向都不變；前后方向放置的線段畫出時，與水平方向成SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）角，長度畫成原長度的一半（仍表示原長度）．”在畫出直觀圖時，首先應該畫出圖形中決定其形狀、位置和大小的一些關鍵點．7．柱、錐、臺、球的表面積和體積（1）直棱柱的側面積計算公式：SKIPIF1<0．（其中h、c分別為直棱柱的高與底面多邊形的周長）即直棱柱的側面積等于它的底面周長與高的乘積．（2）正棱錐的側面積計算公式：SKIPIF1<0．（其中SKIPIF1<0分別為正棱錐的斜高與底面正多邊形的周長）即正棱錐的側面積等于它的底面的周長和斜高乘積的一半．（3）正棱臺的側面積計算公式：SKIPIF1<0．（其中SKIPIF1<0分別為正棱臺的斜高及上、下底面正多邊形的周長）即正棱臺的側面積等于它的上、下底邊的周長之和與斜高積的一半．（4）棱柱、棱錐、棱臺的表面積或全面積等于側面積與底面積的和．（5）圓柱、圓錐、圓臺的表面積：①由圓柱側面展開圖為一矩形，設圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．②由圓錐側面展開圖為一扇形，設圓錐底面半徑為r，母線長為l，則SKIPIF1<0．（6）柱體、錐體、臺體的體積：①設柱體的底面積為S，高為h，則SKIPIF1<0．②設錐體的底面積為S，高為h，則SKIPIF1<0．③設臺體的上、下底面積分別為S、SKIPIF1<0，高為h，則SKIPIF1<0．（7）球的表面積和體積計算公式：①球的表面積計算公式：SKIPIF1<0（其中R為球的半徑）即球面面積等于它的大圓面積的四倍．②球的體積公式：SKIPIF1<0．③球的表面積、體積及基本性質是解決有關問題的重要依據(jù)，球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構成的直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的關鍵．（8）球與其他幾何體形成的組合體問題：①球與其他幾何體組成的幾何體通常在試題中以相切或相接的形式出現(xiàn)，解決此問題常常利用截面來表現(xiàn)這兩個幾何體之間的關系，從而將空間問題轉化成平面問題．②作適當?shù)慕孛妫ㄈ巛S截面等）．對于球內接長方體、正方體，則截面一要過球心，二要過長方體或正方體的兩條對角線，才有利于解題．要點二：平面基本性質1.平面(1)平面的概念①平面和點、直線一樣是構成空間圖形的基本要素之一，是一個只描述而不定義的原始概念.②平面具有無限延展性.數(shù)學里所說的“平面”將空間分成了兩部分，如果想從平面的一側到另一側，必須穿過這個平面.平面無邊沿.③數(shù)學中的平面是點的集合，因此，在空間中，平面無大小，無厚薄，無所謂面積.(2)平面的畫法:平面是無限延展的，只能用一個有限圖形表示平面（類似于畫線段表示直線）.可用平行四邊形、三角形、圓或梯形等平面圖形來表示某個平面，而表示平面的這些平面圖形可根據(jù)需要擴展或縮小，因此，只要看到表示平面的圖形、符號或文字，應當立即聯(lián)想到平面是無限延展的.（3）平面的表示方法平面通常用一個小寫的希臘字母表示，如平面、平面、平面等，根據(jù)問題的實際需要有時也用表示平行四邊形的相對頂點的兩個大寫字母來表示，如平面，平面；或者用表示多邊形頂點的字母來表示，如平面.2.平面的基本性質及應用(1)平面的基本性質公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內.（即，，，，如圖2-1所示.）公理2經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.（即、、三點不共線有且只有一個平面，，，，如圖2-2所示.)公理3如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線.(即且，如圖2-3所示.)推論1:經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.推論2:經過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3:經過兩條平行直線，有且只有一個平面.(2)平面基本性質的應用.①公理1反映了平面與曲面的本質區(qū)別，通過直線的“直”和“無限延伸”的特性，揭示了平面的“平”和“無限延展”的特性.它是判斷直線在平面內的依據(jù).②以“直線在平面內”的意義為依據(jù)，可如下判定“點在平面內”：，.③公理3說明了若兩平面相交，必交于一條直線，這是由平面的無限延展性決定的.它是確定兩平面交線的依據(jù)，即先找兩平面的兩個公共點，再作連線.公理3也是判定兩平面相交的依據(jù).即若兩平面有兩個公共點，則必相交于這兩點確定的直線.以“兩平面相交”定義為依據(jù)，可判定“點在線上”：.(從而可證“點共線”“線共點”）④“確定一個平面”即“有且只有一個平面“有且只有一個”包含兩層意思：“有”說明圖形是存在的；“只有一個”說明圖形是唯一的.⑤公理2及3推論，是確定平面及判斷兩個平面重合的依據(jù)，是證點、線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助面的依據(jù).3.異面直線和共面直線（1）把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.在同一平面內有且只有一個交點的兩條直線叫相交直線.在同一平面內沒有公共點的兩條直線叫平行直線.相交直線和平行直線都為共面直線.（2）兩條異面直線垂直的定義.如果兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條異面直線互相垂直.（3）對異面直線概念理解須注意的問題.①異面直線所成的角的范圍是.②為了求異面直線、所成的角，可以在空間中任取一點，過點分別作直線，再通過解三角形，求出、所成的角.但是，為了簡便，點常常取在兩條異面直線中的一條上，特別是這一直線的某些特殊點，例如“端點”或“中點”處.③將兩條異面直線所成的角轉化為平面上的相交直線的夾角，實現(xiàn)了空間問題向平面問題的轉化，使平面幾何與立體幾何建立了聯(lián)系，促進了數(shù)學學科內的知識滲透.（4）異面直線的判定方法.①依定義用反證法.②異面直線的判定定理.應用異面直線的判定定理時要注意定理中的四要素.要點三：空間的平行與垂直關系1.平行線的傳遞性公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.如果兩條異面直線所成的角為直角，那么我們就說這兩條直線垂直.2.直線與平面平行的判定與性質定理（1）判定定理：.（2）性質定理：.3.平面與平面平行的判定定理和性質定理(1)判定定理：①，②.(2)性質定理：①，②.4.關于“線線平行”“線面平行”和“面面平行”相互轉化的題型5.直線與平面垂直的判定與性質定理(1)判定定理：①， ②，③， ④.（2）性質定理：.(3)掌握線面垂直的判定方法?特別是線面垂直的判定定理，在無條件的情況下，要創(chuàng)造條件（即作垂線）把線面關系轉化為線線關系.同一法、反證法也是證明線面垂直的一種方法.6.平面與平面垂直的判定定理和性質定理（1）判定定理：①，②依定義，二面角的平面角.（2）性質定理：①，②.7.關于“面面垂直”“線面垂直”及“線線垂直”之間的相互轉化理解和熟練應用空間中線面平行、垂直的有關性質與判定定理，是解決有關計算和證明的金鑰匙．歸納出以下判定定理：總之，解決一切立體幾何問題的核心任務是將空間問題轉化為平面問題，這一點必須時時牢記.類型一：柱體、錐體、臺體及球的表面積和體積例1.如圖所示，半徑為SKIPIF1<0的半圓SKIPIF1<0的直徑為直角梯形垂直于兩底的腰，且分別切SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,將半圓SKIPIF1<0與直角梯形SKIPIF1<0分別繞SKIPIF1<0所在直線旋轉一周，得到一個球和一個圓臺，且球的表面積與圓臺的側面積之比為SKIPIF1<0，求圓臺的體積.分析：要求圓臺的體積，只需求出上、下底面半徑和高.由題設條件可知，圓臺的高為SKIPIF1<0，其上、下底面半徑之和等于母線長，再根據(jù)球的表面積與圓臺的側面積之比為SKIPIF1<0，可求出圓臺的上、下底面半徑.解：設圓臺的上、下底面半徑分別為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，則根據(jù)題意，得圓臺的高SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故圓臺的體積為SKIPIF1<0.解后反思：在本題計算過程中，采用了整體代入的方法避免了煩瑣的計算，要注意此方法的應用.類型二球與其他幾何體的簡單組合體問題例2.已知軸截面為等邊三角形的圓錐內有一個內切球，若圓錐的底面半徑為1cm，求球的體積.分析：作出軸截面，利用三角形及其內切圓之間的關系，求得球的半徑.解：如圖作出軸截面，因為SKIPIF1<0是等邊三角形，所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0cm,所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以球的體積為SKIPIF1<0.解后反思：圓錐的底面半徑為1cm，其軸截面是邊長為2cm的等邊三角形，則問題為轉化為求此等邊三角形內切球的半徑問題.類型三幾何體的截面問題例3.一個圓錐的底面半徑為2，高為6，該圓錐有一個高為SKIPIF1<0的內接圓柱.(1)用SKIPIF1<0表示圓柱的軸截面面積SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0為何值是，SKIPIF1<0最大？分析：此題是圓柱與圓錐的一個組合體的計算應用問題，解題的關鍵是借助于它們的軸截面求解.解：畫出圓柱和圓錐的軸截面，如圖所示.設圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，則由三角形相似，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.(1)圓柱的軸截面面積SKIPIF1<0(2)因為SKIPIF1<0所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，最大值為6解后反思：旋轉體的軸截面可以使旋轉體中的某些元素集中在同一個平面內，因此充分利用軸截面將有助于我們研究旋轉體各元素間的關系及計算.類型四割補法和等積法在求體積中的應用例4.如圖所示，已知三棱柱SKIPIF1<0,側面SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到側面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，求證:三棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.分析：本題有兩種證法，即利用“分割法”或“補全法”來解決.證明：方法1(分割法)：如圖1-9所示，連接SKIPIF1<0SKIPIF1<0,這樣就把三棱柱分割成了兩個棱錐.三棱柱體積為SKIPIF1<0，顯然三棱錐SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0，而四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.方法2(補全法)：如圖1-10所示，將三棱柱SKIPIF1<0補成一個四棱柱SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.即四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形.顯然三棱柱SKIPIF1<0的體積與原三棱柱SKIPIF1<0的體積相等.以SKIPIF1<0為底面，點SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離為高，顯然補形后的四棱柱的體積為SKIPIF1<0.故原三棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.解后反思：(1)幾何體的“分割”幾何體的分割即將已給的幾何體，按照結論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進而求之.(2)幾何體的“補形”與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等.(3)補臺成錐是常用的解決臺體側面積與體積的方法.由臺體的定義，我們在某種情況下，可以將臺體補充成錐體研究體積.例5.如圖所示，在棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求此棱臺的體積.解：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,棱臺的高為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又三棱錐SKIPIF1<0與三棱錐等SKIPIF1<0高，而SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0解后反思：等積法也稱等積變形或等積轉換法，它是通過選擇合適的底面來求體積的一種方法.類型五共點、共線、共面問題例6如圖，在空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求證：（1）SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面；（2）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點在直線SKIPIF1<0上.分析：（1）由比例關系及中位線證SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.證明：（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1