2024-2025學(xué)年廣東廣州越秀區(qū)執(zhí)信中學(xué)高三下5月初檢測試題數(shù)學(xué)試題含解析

2024-2025學(xué)年廣東廣州越秀區(qū)執(zhí)信中學(xué)高三下5月初檢測試題數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)，均為非零的平面向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．等差數(shù)列中，，，則數(shù)列前6項和為（）A．18 B．24 C．36 D．724．設(shè)集合（為實數(shù)集），，，則（）A． B． C． D．5．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．6．已知，且，則（）A． B． C． D．7．下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位8．已知函數(shù)，若，則的值等于（）A． B． C． D．9．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，則M∩N＝（）A．[﹣3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．11．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．12．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則______，______.14．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_______________.15．已知拋物線的焦點為，斜率為的直線過且與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，若在第一象限，那么_______________．16．已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，，則球O的體積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點．（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若點的極坐標(biāo)為，，求的值．18．（12分）購買一輛某品牌新能源汽車，在行駛?cè)旰?，政府將給予適當(dāng)金額的購車補貼.某調(diào)研機構(gòu)對擬購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其樣本頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計擬購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）將頻率視為概率，從擬購買該品牌汽車的消費群體中隨機抽取人，記對購車補貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）統(tǒng)計最近個月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數(shù)分布表如下：月份銷售量（萬輛）試預(yù)計該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛？附：對于一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.19．（12分）已知離心率為的橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)薦橢圓的右焦點為，過點的直線與橢圓分別交于，若直線、、的斜率成等差數(shù)列，請問的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的零點個數(shù)；（2）證明：當(dāng)時，.21．（12分）為增強學(xué)生的法治觀念，營造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動，并組織全校學(xué)生進(jìn)行法律知識競賽．現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計他們的競賽成績，已知這50名學(xué)生的競賽成績均在[50，100]內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)51515123（1）將競賽成績在內(nèi)定義為“合格”，競賽成績在內(nèi)定義為“不合格”．請將下面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)？合格不合格合計高一新生12非高一新生6合計（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進(jìn)行分層抽樣，從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競賽成績都合格的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．22．（10分）設(shè)函數(shù)，直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對的邊分別是，若點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，且，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，該點位于第四象限.故選：D.本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.2．B【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論．【詳解】因為，均為非零的平面向量，存在負(fù)數(shù)，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確．3．C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式可得結(jié)果.【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即，∴，故選C.本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

根據(jù)集合交集與補集運算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A本題考查了集合交集與補集的混合運算,屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項.【詳解】因為，由單調(diào)遞增，則（），解得（），當(dāng)時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識.6．B【解析】分析：首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題中所給的角的范圍，求得的值，之后借助于倍角公式，將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題中的條件，可得為銳角，根據(jù)，可求得，而，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要對已知真切求余弦的方法要明確，可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.7．D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為，再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像：，，故，即，，，取，得到，函數(shù)向右平移個單位得到.故選：.本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.8．B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選：B函數(shù)奇偶性的運用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點對稱時有：①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)9．C【解析】

先化簡N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根據(jù)M＝{x|﹣1＜x＜2}，求兩集合的交集.【詳解】因為N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因為M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故選：C本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論．【詳解】執(zhí)行該程序可得．故選：D．本題考查程序框圖．解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解．11．B【解析】

因為時針經(jīng)過2小時相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時，轉(zhuǎn)過的角度為，按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，所以經(jīng)過2小時，時針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選：B本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，

則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式結(jié)合弦化切思想求出和的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】，，，.故答案為：；.本題主要考查三角函數(shù)值的計算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，難度不大．14．【解析】

畫出函數(shù)的圖象，再畫的圖象，求出一個交點時的的值，然后平行移動可得有兩個交點時的的范圍．【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：因為方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，所以圖象與直線有且只有兩個交點即可，當(dāng)過點時兩個函數(shù)有一個交點，即時，與函數(shù)有一個交點，由圖象可知，直線向下平移后有兩個交點，可得，故答案為：．本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．15．2【解析】

如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因為.所以,過點A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，過點B作于點E,設(shè)|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因為,所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案為：2本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.16．【解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計算可得.【詳解】解：，，，因為為的中點，所以為的外心，因為，所以點在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為即，直線的普通方程為；（2）.【解析】

（1）利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，可得直線的普通方程，極坐標(biāo)方程兩邊同乘以利用即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，直線的普通方程為.(2)將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理，得.因為直線與曲線交于，兩點．所以，解得.由根與系數(shù)的關(guān)系，得，.因為點的直角坐標(biāo)為，在直線上.所以，解得，此時滿足.且，故.．參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題．18．（1）1.7；（2），見解析；（2）2.【解析】

（1）平均數(shù)的估計值為每個小矩形組中值乘以小矩形面積的和；（2）易得，由二項分布列的期望公式計算；（3）利用所給公式計算出回歸直線即可解決.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)的估計值為，所以方差的估計值為；（2）由頻率分布直方圖可知，消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值高于3萬元的頻率為，則，所以的分布列為，數(shù)學(xué)期望；（3）將2018年11月至2019年3月的月份數(shù)依次編號為1，2，3，4，5，記，，，，，，由散點圖可知，5組樣本數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，因為，，，，則，，所以回歸直線方程為，當(dāng)時，，預(yù)計該品牌汽車在年月份的銷售量約為2萬輛.本題考查平均數(shù)、方差的估計值、二項分布列及其期望、線性回歸直線方程及其應(yīng)用，是一個概率與統(tǒng)計的綜合題，本題是一道中檔題.19．(1)；(2)是，【解析】

(1)根據(jù)及可得，再將點代入橢圓的方程與聯(lián)立解出，即可求出橢圓的方程；(2)可設(shè)所在直線的方程為，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，用根與系數(shù)的關(guān)系求出，然后將直線、、的斜率、、分別用表示，利用可求出，從而可確定點恒在一條直線上，結(jié)合圖形即可求出的面積．【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以，即，又，所以，①因為點在橢圓上，所以，②由①②解得，所以橢圓C的方程為．(1)可知，，可設(shè)所在直線的方程為，由，得，設(shè)，，，則，，設(shè)直線、、的斜率分別為、、，因為三點共線，所以，即，所以，又，因為直線、、的斜率成等差數(shù)列，所以，即，化簡得，即點恒在一條直線上，又因為直線方程為，且，所以是定值.本題主要考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題，屬于中檔題．20．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）求出，分別以當(dāng)，，時，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點的個數(shù).（2）令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出；同理可求出滿足，從而可得，進(jìn)而證明.【詳解】解析：（1），，當(dāng)時，，單