易錯突圍：第十八章 平行四邊形（解析版）-人教八下期中綜合復(fù)習(xí)

八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）第十八章平行四邊形易錯導(dǎo)航平平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)與判定易錯點1平行四邊形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)與判定易錯點2矩形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定易錯點3菱形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)與判定易錯點4正方形的性質(zhì)與判定特殊平行四邊形中的折疊問題易錯點5特殊平行四邊形中的折疊問題特殊平行四邊形中的動點與最值問題易錯點6特殊平行四邊形中的動點與最值問題易錯訓(xùn)練【易錯點1平行四邊形的性質(zhì)與判定】（2020·深圳市龍崗區(qū)深圳中學(xué)龍崗初級中學(xué)八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，BE⊥AC交AD于點G，DF⊥AC于點F，已知AF=CE，AB=CD．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的長．【答案】解：（1）∵AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，∴AE=CF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF，∴∠BAE=∠DCF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD，∴∠AGB=∠GBC，∵∠GBC=∠BCD，∴∠AGB=∠BAG，∴AB=GB，設(shè)AB=GB=x，則BE=x-2，∵BG⊥AC，∴，∴，解得x=9，∴AB=9．【點睛】本題考查了平行四邊的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形判定等知識，綜合性較強(qiáng)，熟知相關(guān)定理并根據(jù)已知條件合理選擇定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2021·上海九年級專題練習(xí)）下列條件中不能判定一定是平行四邊形的有（）A．一組對角相等，一組鄰角互補(bǔ)B．一組對邊平行，另一組對邊相等C．兩組對邊相等D．一組對邊平行，且另一組對邊也平行【答案】B2．（2021·山東煙臺市·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC交BC邊于點E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，則AD的長度是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】D3．（2020·浙江杭州市·八年級其他模擬）如圖，在中，，，的平分線交于E，交的延長線于點F，則（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B4．（2020·福建省泉州實驗中學(xué)八年級月考）如圖，在中，D，F(xiàn)分別是，上的點，且．點E是射線上一點，若再添加下列其中一個條件后，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A． B． C． D．【答案】D二、填空題5．（2021·山東東營市·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點C的直線CE⊥AB，垂足為E，若∠BAD=127°，則∠BCE=____．【答案】37°6．（2021·山東東營市·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點M為邊AD上一點，AM＝2MD，點E，點F分別是BM，CM中點，若EF＝6，則AM的長為_____．【答案】87．（2020·山東東營市·李鵲鎮(zhèn)初級中學(xué)八年級月考）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，，交BC于點，若，BC=，則_______cm．【答案】12cm8．（2021·全國九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，平分，，連接，是的中點，連接，若，則_____．【答案】2三、解答題9．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，平行四邊形中，分別平分和，交于邊上點P，．（1）求線段的長．（2）若，求的面積．【答案】解：（1）∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，在△APB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°；在Rt△APB中，AB=5，BP=3，∴AP==4，∴△APB的面積=4×3÷2=6．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理等知識點的綜合運用．10．（2021·廣東廣州市·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，連接AC，DF．（1）求證：AEF≌DEC；（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．【答案】（1）∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵點E是邊AD的中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四邊形ACDF是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對邊互相平行；有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理是解題關(guān)鍵．11．（2020·浙江杭州市·八年級期中）如圖，在四邊形中，，，是的中點，是邊上的一動點（與，不重合），連接并延長交的延長線于．（1）試說明不管點在何位置，四邊形始終是平行四邊形．（2）當(dāng)點在點，之間運動到什么位置時，四邊形是平行四邊形？并說明理由．【答案】解：（1）∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M(jìn)是CD的中點，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，DM=CM，∠QDM=∠PCM，∴△PCM≌△QDM（ASA）．∴DQ=PC，∵AD∥BC，∴四邊形PCQD是平行四邊形，∴不管點P在何位置，四邊形PCQD始終是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形ABPQ是平行四邊形時，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴9-CP=5+CP，∴CP=（9-5）÷2=2．∴當(dāng)PC=2時，四邊形ABPQ是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定方法是解題的關(guān)鍵．12．（2021·黑龍江哈爾濱市·九年級期末）在中，，分別為對角線上兩點，連接，，，，并且．（1）如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；（2）如圖2，若，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于面積的．【答案】（1）證明：如圖1，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）由（1）可得，BE=DF，∵，∴，根據(jù)△ABD和△ABE、△ADF是等高，可得：△ABE、△ADF的面積是△ABD面積的，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴△ABD和△BCD的面積相等，同理可得△BEC和△DFC的面積是△BCD面積的，∴，，，的面積都等于面積的．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【易錯點2矩形的性質(zhì)與判定】（2020·浙江杭州市·八年級其他模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，對角線AC，BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；（3）在（2）的條件下，若AB=2，求△BOE的面積．【答案】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四邊形ABCD是矩形．（2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OD=OC，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=45°，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC=45°，CD=CE，∵∠BDE=15°，∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°，∴∠BDC=60°，又OD=OC，∴△OCD是等邊三角形，∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°，∴∠OCE=30°，∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°；（3）作OF⊥BC于F．∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=CD=1，∵EC=CD=AB=2，∴AC=BD=4，∴BC==，∴BE=BC-CE=-2，∴△BOE的面積===．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考常考題型．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2021·江西贛州市·八年級期末）如圖，把一張長方形紙片沿對角線折疊，若△EDF是等腰三角形，則∠BDC（）A．45o B．60o C．67.5o D．75o【答案】C2．（2020·遼寧渾南區(qū)·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點O是坐標(biāo)原點，點A、C的坐標(biāo)分別是，，點B在第一象限，則點B的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B3．（2021·山東煙臺市·八年級期末）如圖，點是矩形的對角線上一點，過點作，分別交于，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（）A．B．C．D．【答案】A4．（2021·廣東深圳市·九年級期末）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點M是邊AB上一點（不與點A，B重合），作ME⊥AC于點E，MF⊥BC于點F，若點P是EF的中點，則CP的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5【答案】A二、填空題5．（2021·廣東揭陽市·九年級期末）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，∠AOB＝60°，AC＝6，則矩形ABCD的周長為______．【答案】【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．（2021·山東濟(jì)南市·八年級期末）如圖，矩形紙片ABCD的長AD＝6cm，寬AB＝2cm，將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長______cm．【答案】【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理等知識；熟練掌握矩形和翻折變換的性質(zhì)，運用勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·四川成都市·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M為AD的中點，點N為AB上一點，連接MN，CN，將△AMN沿直線MN折疊后，點A恰好落在CN上的點P處，則CN的長為_____．【答案】【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理．作出常用的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．8．（2021·河南鄭州市·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形OABC的邊OA在x軸上，OC在y軸上，OA=1，OC=2，對角線AC的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D．若y軸上有一點P（不與點C重合），能使△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，則點P的坐標(biāo)為____．【答案】，或【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義，勾股定理，矩形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握勾股定理，列出方程，是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2021·廣東廣州市·八年級期末）如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC與BD相交于點O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的長度．【答案】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，AD＝2，∴△AOD是等邊三角形，∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4，即AC的長度為4．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出△AOB是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2021·上海九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在四邊形中，點在邊的延長線上，平分、平分，交于點．（1）求證：；（2）若點為的中點，求證：四邊形是矩形．【答案】證明：（1）∵平分、平分∴，∵∥，∴，∴，∴，，∴．（2）∵點為的中點，∴，又，∴四邊形是平行四邊形∵平分、平分，∴，∴∵，∴∵四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是矩形．【點睛】本題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定以及平行線的性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵．11．（2021·山東東營市·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC的外角∠BAM的平分線，BE⊥AN，垂足為點E．（1）求證：四邊形ADBE是矩形．（2）連接DE，試判斷四邊形ACDE的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠BAM，∴∠BAD=∠BAC，∠BAN=∠BAM，∴∠DAE=∠BAD+∠BAN=（∠BAC+∠BAM）=×180°=90°，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，又∵BE⊥AN，∴∠BEA=90°，∴四邊形ADBE是矩形．（2）四邊形ACDE是平行四邊形．證明：∵四邊形ADBE是矩形，∴AE∥BD，AE=BD．∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，∴AE∥CD，AE=CD，∴四邊形ACDE是平行四邊形．【點睛】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一、角平分線的定義以及平行四邊形的判定．解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一以及平行四邊形的判定．12．（2020·浙江杭州市·八年級期末）已知：如圖，在中，延長至點，使得，連接，交邊于點．連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若，求證：四邊形是矩形．【答案】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，即，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵四邊形是平行四邊形，又∵，∴當(dāng)時，則有，∴，，∴四邊形是矩形．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，熟練掌握基本的性質(zhì)定理以及判定方法是解題關(guān)鍵．【易錯點3菱形的性質(zhì)與判定】（2021·廣東佛山市·九年級期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，過點作DEBC交AB于點E，DFAB交BC于點F．（1）求證：四邊形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的邊長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由題意可證BE＝DE，四邊形BEDF是平行四邊形，即可證四邊形BEDF為菱形；（2）過點D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】證明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四邊形BEDF為平行四邊形，∴四邊形BEDF是菱形；（2）如圖，過點D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的邊長為2．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定定理是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)九年級開學(xué)考試）下列命題中，是真命題的是（）A．對角線相等的平行四邊形是菱形 B．一組鄰邊相等的四邊形是菱形C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．四個角相等的四邊形是菱形【答案】C【分析】根據(jù)菱形的定義和判定進(jìn)行解答．【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，A錯誤；B、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，B錯誤；C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，C正確；D、四個角相等的四邊形是矩形，D錯誤；故選C．【點睛】本題考查菱形的應(yīng)用，熟練掌握菱形的定義和判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2021·河南鄭州市·九年級期中）如圖，菱形的邊長為，對角線，交于點，，則菱形的面積為（）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直且互相平分，可得出對角線AC的長度，依據(jù)勾股定理即可得到另一條對角線的的長度，進(jìn)而根據(jù)公式可得出菱形的面積．【詳解】解：∵對角線AC，BD交于點O，OA＝1，∴AC＝2OA＝2，∵菱形的邊長為，∴AB＝，∴，∴BD＝2BO＝4，∴S菱形ABCD＝BD?AC＝×4×2＝4．故選：D．【點睛】本題考查了菱形面積的計算，掌握菱形的面積等于兩條對角線長乘積的一半是解題的關(guān)鍵．3．（2020·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)八年級期末）菱形中，．點、分別在邊、上，且．若，則的面積為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵AC是菱形的對角線，∴∠ACF∠DCB＝60°，∴∠B=∠ACF，∵AB=AC，BE=CF，∴△ABE≌△ACF，∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠EAF＝∠BAC=60°，∴△AEF是等邊三角形，∵EF＝2，∴S△AEF×22，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明全等三角形得到△AEF是等邊三角形，牢記等邊三角形面積公式是解題關(guān)鍵．二、填空題4．（2021·黑龍江齊齊哈爾市·九年級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一個條件_____，則四邊形ABCD為菱形．【答案】OA＝OC【分析】添加條件OA＝OC，先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由AC⊥BD，即可得出平行四邊形ABCD是菱形．【詳解】.解：添加一個條件OA＝OC，則四邊形ABCD為菱形，理由如下：∵AC平分BD，OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故答案為：OA＝OC．【點睛】此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·長春吉大附中力旺實驗中學(xué)九年級月考）菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點A在x軸上，點B、C均在第一象限，若∠AOC＝45°，OC＝，則點B的橫坐標(biāo)為_____．【答案】+1【分析】過點C作CD⊥OA于點D，過點B作BE⊥OA于點E，先證四邊形CDEB是平行四邊形，得CD＝BE，再證Rt△OCD≌Rt△ABE（HL），得OD＝AE，然后證△OCD是等腰直角三角形，得OD＝CD＝OC＝1，則BE＝CD＝1，AE＝OD＝1，求出OE即可．【詳解】過點C作CD⊥OA于點D，過點B作BE⊥OA于點E，如圖所示：則CD∥BE，∵四邊形OABC是菱形，∴OA＝BC＝OC＝AB＝，OA∥BC，∴四邊形CDEB是平行四邊形，∴CD＝BE，在Rt△OCD和Rt△ABE中，∴Rt△OCD≌Rt△ABE（HL），∴OD＝AE，∵∠AOC＝45°，OC＝，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OD＝CD＝OC＝1，∴BE＝CD＝1，AE＝OD＝1，∴OE＝OA+AE＝+1，∴點B的橫坐標(biāo)為：+1，故答案為：+1．【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．6．（2021·四川成都市·成都實外九年級開學(xué)考試）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AB、AD上，則的值為________________．【答案】【分析】連接BE，BD，證明△BCD是等邊三角形，證得∠ABE=∠CEB=90°，由折疊可得AF=EF，由EF2=BE2+BF2可求出答案．【詳解】解：如圖，連接BE，BD，

∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，∴AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，∴△BCD是等邊三角形，∵E是CD中點，∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠CEB=90°，由折疊可得AF=EF，∵EF2=BE2+BF2，∴EF2=12+（4-EF）2，解得，，∴∴．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求線段長度．三、解答題7．（2020·山東濟(jì)南市·九年級期中）如圖所示，在菱形ABCD中，E、F分別為AB、AD上兩點，AE＝AF．（1）求證：CE＝CF；（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，試問BC＝CE嗎？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）BC＝CE，見解析【分析】因為菱形的邊都相等，對角也相等，很容易證得三角形△BCE與△DCF全等，從而得到結(jié)論；ABCD是菱形，又因為∠B＝80°所以∠A＝100°，從而能求出∠AEF的度數(shù)，根據(jù)條件很容易證明△CEF是等邊三角形，從而能求出∠CEB的度數(shù)，從而得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC＝CD，∠B＝∠D，∵AE＝AF，∴AB﹣AE＝AD﹣AF，∴BE＝DF，在△BCE與△DCF中，∵，∴△BCE≌△DCF，∴CE＝CF；（2）結(jié)論是：BC＝CE．理由如下：∵ABCD是菱形，∠B＝80°，∴∠A＝100°，∵AE＝AF，∴由（1）知CE＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠CEF＝60°，∴∠CEB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B＝∠CEB，∴BC＝CE．【點睛】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)及判定是解答本題的關(guān)鍵．8．（2020·深圳市高級中學(xué)八年級期末）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），O是對角線AC的中點，過點O的直線EF⊥AC交AD邊于E，交BC邊于F．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE＝10cm，△ABF的面積為24，求△ABF的周長．【答案】（1）見解析；（2）24cm．【分析】（1）利用菱形的判定定理證明即可；（2）利用構(gòu)造完全平方公式法，運用勾股定理，面積公式，完全平方公式的變形整體計算AB+BF的長即可．【詳解】（1）證明：∵O是對角線AC的中點，∴AO＝CO，∵矩形ABCD的邊AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∵EF⊥AC，∴∠AOE＝∠COF＝90°，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形；（2）解：∵AE＝10cm，四邊形AFCE是菱形，∴AF＝AE＝10cm，設(shè)AB＝x，BF=y,∵△ABF的面積為24，∴xy=48，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理，，∴，∴，∴x+y=14或x+y=-14，不符合題意，舍去，∴△ABF的周長＝x+y+AF=14＋10＝24cm．【點睛】本題考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式的變形，熟練掌握判定定理，靈活運用勾股定理，完全平方公式，利用整體思想計算是解題的關(guān)鍵．9．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在菱形ABCD中，E為對角線BD上一點，且AE⊥AB，連結(jié)CE．（1）求證：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1時，求菱形的邊長．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，由“SAS”可證△ABE≌△CBE，可得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可得AB＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵AE⊥BA，∴∠BAE＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BAE＝∠BCE＝90°；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，∵∠BAE＝90°，∴BE＝2AE＝2，在Rt△ABE中，,∴菱形的邊長為．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2021·全國九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點M、N．（1）求證：四邊形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周長．【答案】（1）見解析；（2）52【分析】（1）證△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，由OB＝OD，證出四邊形BNDM是平行四邊形，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得出BM＝BN＝DM＝DN，OBBD＝12，OMMN＝5，由勾股定理得BM＝13，即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵M(jìn)N是對角線BD的垂直平分線，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四邊形BNDM是平行四邊形，∵M(jìn)N⊥BD，∴四邊形BNDM是菱形；（2）∵四邊形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OBBD＝12，OMMN＝5，在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM13，∴菱形BNDM的周長＝4BM＝4×13＝52【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【易錯點4正方形的性質(zhì)與判定】（2021·山東淄博市·八年級期末）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．（1）求證：△ABM≌△DCM；（2）當(dāng)AB：AD的值為多少時，四邊形MENF是正方形？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，理由見解析【分析】（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可；（2）求出∠EMF=90°，根據(jù)正方形的判定推出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵M(jìn)為AD中點，∴AM=DM，在△ABM和△DCM，，∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）解：當(dāng)AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，理由：當(dāng)四邊形MENF是正方形時，則∠EMF=90°，∵△ABM≌△DCM，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴△ABM、△DCM為等腰直角三角形，∴AM=DM=AB，∴AD=2AB，即當(dāng)AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形．【點睛】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2021·山西運城市·九年級期末）下列說法正確的是（）A．有一個角是直角的平行四邊形是正方形 B．對角線互相垂直的矩形是正方形C．有一組鄰邊相等的菱形是正方形 D．各邊都相等的四邊形是正方形【答案】B【分析】根據(jù)正方形的判定：①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A.有一個角是直角的平行四邊形是正方形，說法錯誤，應(yīng)是矩形，不符合題意；B.對角線互相垂直的矩形是正方形，說法正確，符合題意；C.一組鄰邊相等的矩形是正方形，說法錯誤，不合題意；D.各邊都相等的四邊形是菱形，不是正方形，不合題意．故選B．【點睛】本題主要考查了正方形的判定，關(guān)鍵是掌握正方形的判定方法．2．（2021·武漢市第一中學(xué)九年級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若線段AE＝4，則四邊形ABCD的面積為（）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【分析】延長CD，作的延長線于點F，構(gòu)造出全等三角形，，即可得到四邊形ABCD的面積就等于正方形AECF的面積．【詳解】解：如圖，延長CD，作的延長線于點F，∵，∴，∵，∴，∵，∴四邊形AECF是矩形，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴四邊形AECF是正方形，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．3．（2020·浙江杭州市·八年級月考）我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形的邊在x軸上，的中點是坐標(biāo)原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點處，則點C的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件得到，，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，故選：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．4．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，先將正方形紙片對折，折痕為MN，再把B點折疊在折痕MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應(yīng)點為H，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由翻折的性質(zhì)得到AH=AB，MN垂直平分AD，證明△ADH是等邊三角形，得到∠DAH，可得∠HAB，結(jié)合AB=AH計算出∠ABH，從而可得∠HBC．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：AH=AB，MN垂直平分AD，∴DH=AH，∴AH=AD=DH=AB，∴△ADH是等邊三角形，∴∠DAH=60°．∴∠HAB=30°．∵AB=AH，∴∠ABH=×（180°-30°）=75°．∴∠HBC=15°．故選C．【點睛】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，證得三角形ADH是一個等邊三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2021·福建漳州市·九年級期末）若正方形的對角線的長為4，則該正方形的面積為_________．【答案】8【分析】根據(jù)正方形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．【詳解】解：∵正方形的一條對角線的長為4，

∴這個正方形的面積=×42=8．

故答案為：8．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的面積的兩種求法是解題的關(guān)鍵．6．（2021·四川成都市·九年級期末）如圖，四邊形ABCD是一個正方形，E是BC延長線上一點，且AC＝EC，則∠DAE的度數(shù)為_________．【答案】22.5°【分析】由四邊形ABCD是一個正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根據(jù)等邊對等角，可得∠E=∠CAE，繼而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和求得∠EAC的度數(shù)，進(jìn)一步即可求得∠DAE的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，則．故答案為：22.5°【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·九年級一模）在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為BC和AB的中點，DE和FC交于點M，連接AM．若BC=5，則AM的長度為___．【答案】5【分析】延長CF和DA,相交于G點，通過證明△FBC≌△ECD證得∠EMC=90°，再通過證明△AFG≌△BFC可得點A為GD的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】分別延長CF和DA,相交于G點,∵正方形ABCD中,點E,F分別為BC和AB的中點,∴FB=EC,∠FBC=∠ECD=90°,BC=CD,∴△FBC≌△ECD(SAS).∴∠BFC=∠CED.∵∠BFC+∠BCF=90°,∴∠CED+∠BCF=90°,∴∠EMC=90°,∴ED⊥CF.∵∠GAF=∠CBF,AF=BF,∠AFG=∠BFC,∴△AFG≌△BFC(ASA),∴AG=BC=AD,∴點A為GD的中點.∴在Rt△GMD中,AM=AD=BC=5.【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2021·江西吉安市·九年級期末）在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點P在正方形的邊上，若∠AEB=105°，AE=EP，則∠AEP的度數(shù)為_________．【答案】60°或90°或150°【分析】首先根據(jù)題意作出正方形以及∠AEB，再以E為圓心，EA為半徑作圓，與正方形的交點即為滿足條件的P點，分類討論即可．【詳解】如圖所示，在正方形ABCD中，∠AEB=105°，∵點P在正方形的邊上，且AE=EP，∴可以E為圓心，EA為半徑作圓，與正方形的交點即為滿足條件的P點，①當(dāng)P在AD上時，如圖，AE=EP1，∵∠EBA=45°，∴∠EAB=180°-45°-105°=30°，∠EAP1=60°，△EAP1為等邊三角形，∴此時∠AEP1=60°；②當(dāng)P在CD上時，如圖，AE=EP2，AE=EP3，由①可知∠DEP1=180°-105°-60°=15°，∴此時∠DEP1=∠DEP2=15°，∠CEP2=∠AEP1=60°，∴此時∠AEP2=60°+15°+15°=90°；∠AEP3=2∠AED=2×(180°-105°)=150°，故答案為：60°或90°或150°．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，熟練運用尺規(guī)作圖的方式進(jìn)行等腰三角形的確定是解題關(guān)鍵．三、解答題9．（2021·浙江臺州市·九年級期中）如圖，點M，N分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE．（1）求證：△AEM≌△ANM．（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的邊長．【答案】（1）見解析；（2）正方形ABCD的邊長為6．【分析】(1)想辦法證明∠MAE=∠MAN=45°，根據(jù)SAS證明三角形全等即可.

(2)設(shè)CD=BC=x，則CM=x-3，CN=x-2，在Rt△MCN中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABC+∠ABE＝90°，∴點E，點B，點C三點共線，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵M(jìn)A＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：設(shè)CD＝BC＝x，則CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM+DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2+CN2，∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得，x＝6或﹣1（舍棄），∴正方形ABCD的邊長為6．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識只，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.10．（2021·上海九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在梯形中，，，，，垂足為點，且是的中點，聯(lián)結(jié)，交邊于點．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如果，求證：四邊形是正方形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接AC和BE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∥和即可得到四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得，即可證明結(jié)論；（2）先由（1）的結(jié)論證明四邊形是平行四邊形，再由得到四邊形是菱形，再根據(jù)勾股定理的逆定理得，即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，連接AC和BE，∵，是的中點，∴，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得，∵∥，，∴，∴，∴∥，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵∥，∴四邊形是平行四邊形；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴∥，，∵∥，，∴∥，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，由，即得，∴，∴，∴四邊形是正方形．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)定理．11．（2021·棗莊市第二十九中學(xué)九年級期末）如圖，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．（1）求證：∠HEA＝∠CGF；（2）當(dāng)AH＝DG時，求證：菱形EFGH為正方形．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）連接GE，根據(jù)正方形對邊平行，得∠AEG=∠CGE，根據(jù)菱形的對邊平行，得∠HEG=∠FGE，利用兩個角的差求解即可；（2）根據(jù)正方形的判定定理，證明∠GHE=90°即可．【詳解】證明：（1）連接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠CGF；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，，∴Rt△HAE≌Rt△GDH，∴∠AHE=∠DGH，∵∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH為正方形.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.12．（2020·彌勒市朋普中學(xué)八年級月考）（1）如圖1，正方形ABCD中，E為邊CD上一點，連接AE，過點A作AF⊥AE交CB的延長線于F，猜想AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接AC，過點A作AM⊥AC交CB的延長線于M，觀察并猜想CE與MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王師傅想切一刀后把它拼成正方形．請你幫王師傅在圖3中畫出剪拼的示意圖．【答案】（1）AE=AF，理由見解析；（2）CE=MF，理由見解析；（3）如圖所示，見解析．【分析】（1）根據(jù)兩角互余的關(guān)系先求出∠BAF=∠DAE，再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE，由全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)△ABF≌△ADE及三角形外角的性質(zhì)可求出∠AFM=∠AEC，根據(jù)兩角互余的關(guān)系∠MAF=∠EAC，再由ASA定理求出△AMF≌△ACE，可得CE=MF；（3）畫出示意圖，只要求出C、D、F共線，即可求出四邊形AECF是正方形；【詳解】（1）AE=AF．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABF=∠ADE=90°，AB=AD．∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE．在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE（ASA）∴AE=AF；（2）CE=MF．理由：∵△ABF≌△ADE，∴∠BAF=∠DAE，∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，即∠AFM=∠AEC．∵∠MAF+∠FAC=90°，∠EAC+∠FAC=90°，∴∠MAF=∠EAC，在△AMF和△ACE中，∴△AMF≌△ACE（ASA），∴CE=MF．(3)如圖所示．過A作AE⊥BC交BC于E，由于AB=AD，所以可以把△ABE切下，拼到△ADF的位置，∵∠C=∠BAD=90°，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠ADF+∠ADC=180°，∴C、D、F共線，∵AE=AF，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，∴四邊形AECF是正方形．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、余角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識．解題的關(guān)鍵是利用全等三角形進(jìn)行割補(bǔ)．【易錯點5特殊平行四邊形中的折疊問題】（2020·江蘇省無錫市僑誼教育集團(tuán)）如圖所示，長方形紙片ABCD的長AD=8cm，寬AB=4cm，將其折疊，使點D與點B重合.（1）求證：BE=BF；（2）求折疊后DE的長；（2）求以折痕EF為邊的正方形面積.【答案】（1）證明見解析；（2）5cm；（3）20cm2.【詳解】（1）在長方形ABCD中，AD//BC，，，，∴BE=BF，設(shè)DE=cm，則BE=cm，AE=，在中，由勾股定理，∴，即DE的長為5cm．（2）過E作于點H，則EH=AB=4，BH=AE=3，∴HF=BF-BH=5-3=2，∴，∴以EF為邊長的正方形的面積為．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2021·山東棗莊市·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處．若AB＝3，BC＝5，則DE的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算出BF＝4，則CF＝BC﹣BF＝1，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝3﹣x＝，故選：B．【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，屬于?？碱}型，靈活運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理與計算是解題的關(guān)鍵．2．（2021·陜西九年級專題練習(xí)）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF．若AB＝3，則BC的長為（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)菱形及矩形的性質(zhì)可得到∠BAC的度數(shù)，從而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得BC的長．【詳解】解：∵四邊形AECF為菱形，∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，由折疊的性質(zhì)可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又∵EC=AE，AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴Rt△BCE中，，故選：D．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊以及菱形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)特殊角，根據(jù)30°的直角三角形中各邊之間的關(guān)系求得BC的長．3．（2021·廣東九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，∠EFD＝60°．若將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，則BE的長度為（）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由正方形的性質(zhì)得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折疊的性質(zhì)得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，設(shè)BE＝x，則B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性質(zhì)可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠EFD＝∠BEF＝60°，∵將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，∴B'E＝2AE，設(shè)BE＝x，則B'E＝x，AE＝3﹣x，∴2（3﹣x）＝x，解得x＝2．故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解題關(guān)鍵．4．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，將△ACD沿對角線AC折疊得到△ACE，AE與BC交于點F，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)∠B＝90°時，則EF＝2B．當(dāng)F恰好為BC的中點時，則?ABCD的面積為12C．在折疊的過程中，△ABF的周長有可能是△CEF的2倍D．當(dāng)AE⊥BC時，連結(jié)BE，四邊形ABEC是菱形【答案】B【分析】A、設(shè)AF＝CF＝x，構(gòu)建方程求出x即可判斷．B、證明∠BAC＝90°，利用勾股定理求出AC，求出平行四邊形ABCD的面積即可判斷．C、在折疊過程中，△ABF與△EFC的周長相等，選項C不符合題意．D、當(dāng)AE⊥BC時，四邊形ABEC是等腰梯形，不符合題意．【詳解】解：A、如圖1中，∵∠B＝90°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF，設(shè)AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，則有x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，∴EF＝8﹣＝，故選項A不符合題意．B、如圖2中，當(dāng)BF＝CF時，∵AF＝CF＝BF，∴∠BAC＝90°，∴AC＝，∴S平行四邊形ABCD＝AB?AC＝6×2＝12，故選項B符合題意．C、在折疊過程中，△ABF與△EFC的周長相等，選項C不符合題意．D、如圖3中，當(dāng)AE⊥BC時，四邊形ABEC是等腰梯形，選項D不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題5．（2021·浙江九年級專題練習(xí)）如圖a是長方形紙帶，∠DEF＝16°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是__．【答案】132°【分析】先由矩形的性質(zhì)得出∠BFE＝∠DEF＝16°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠CFG＝180°﹣2∠BFE，由∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝16°，∴∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG＝180°﹣2∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣3×16°＝132°，故答案為：132°．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，弄清各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．6．（2021·山西運城市·八年級期末）如圖，將一個長方形紙片沿折疊，使C點與A點重合，若，則線段的長是_________．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可求得．【詳解】解：∵長方形紙片，∴，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，設(shè)，，根據(jù)勾股定理，即，解得，故答案為：．【點睛】本題考查折疊與勾股定理．能正確表示直角三角形的三邊是解題關(guān)鍵．7．（2020·浙江七年級期末）如圖，將正方形紙片折疊，使點D落在邊點E處，點A落在點F處，折痕為，若_____．【答案】119【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=∠C=∠D=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠F=∠A=90°，∠FEN=∠C=90°，∠DNM=∠ENM，根據(jù)平角的定義得到∠ENM=（180°-∠ENC）=（180°-58°）=61°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=∠D=90°，∵將正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊點E處，點A落在點F處，∴∠F=∠A=90°，∠FEN=∠D=90°，∠DNM=∠ENM，∵∠NEC=32°，∴∠ENC=58°，∴∠ENM=（180°-∠ENC）=（180°-58°）=61°，∴∠FMN=360°-90°-90°-61°=119°，故答案為：119．【點睛】本題考查了角的計算，翻折變換的問題，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，找到相等的角是解決本題的關(guān)鍵．8．（2021·四川成都市·成都實外九年級開學(xué)考試）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AB、AD上，則的值為________________．【答案】【分析】連接BE，BD，證明△BCD是等邊三角形，證得∠ABE=∠CEB=90°，由折疊可得AF=EF，由EF2=BE2+BF2可求出答案．【詳解】解：如圖，連接BE，BD，

∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，∴AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，∴△BCD是等邊三角形，∵E是CD中點，∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠CEB=90°，由折疊可得AF=EF，∵EF2=BE2+BF2，∴EF2=12+（4-EF）2，解得，，∴∴．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求線段長度．三、解答題9．（2020·江西南昌市·八年級競賽）在矩形ABCD中，，，點E是AB邊上一點，連接CE，把沿CE折疊，使點B落在點處．（1）當(dāng)在邊CD上時，如圖所示，求證：四邊形是正方形；（2）當(dāng)在對角線AC上時，如圖所示，求BE的長．【答案】（1）見解析；（2）BE=3.【分析】由折疊可得BE=B’E，BC=B’C，∠BCE=∠B’CE，由可證四邊形是正方形由折疊可得BC=B’C=6，則可求AB’=4，根據(jù)勾股定理可求B’E的長，即可得BE的長．【詳解】證明：（1）沿CE折疊，∴，四邊形ABCD是矩形且∵，∴四邊形是菱形又四邊形是正方形；，根據(jù)勾股定理得：沿CE折疊∴=6，∴，AE=AB-BE=8-在Rt△AE中，∴解得：BE’=3.∴=3.故答案為（1）見解析；（2）BE=3.【點睛】本題考查折疊問題，正方形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．10．（2019·福州三牧中學(xué)八年級期中）如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將AB，AD分別沿AE，AF折疊，點B，D恰好都和點G重合，∠EAF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若EC＝FC＝1，求AB的長度．【答案】（1）見解析；（2）AB=．【分析】(1)由題意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四邊形ABCD是矩形，根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)EC=FC=1，得到BE=DF，根據(jù)勾股定理得到EF的長，即可求解．【詳解】(1)由折疊性質(zhì)知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，∵∠EAF=45°,∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，又∵∠B=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，由折疊性質(zhì)知：AB=AG，AD=AG，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形；(2)∵EC=FC=1，∴BE=DF，EF=，∵EF=EG+GF=BE+DF，∴BE=DF=EF=，∴AB=BC=BE+EC=．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正方形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)：翻折前后對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等．11．（2020·全國七年級單元測試）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點D與點B重合，點C落在點C′的位置上．（1）折疊后，DC的對應(yīng)線段是，CF的對應(yīng)線段是；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度數(shù)；（3）若AB=8，DE=10，求CF的長度．【答案】（1）BC′，C′F；（2）50°，80°；（3）6【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得出；（2）由折疊的性質(zhì)可得，∠2=∠BEF，由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，從而得∠3=80°；（3）根據(jù)勾股定理先求得AE的長度，也可求出AD，BC的長度，然后根據(jù)∠1=∠BEF=50°，可得BF=BE=10，繼而可求得CF=BC﹣BF．【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可得：折疊后，DC的對應(yīng)線段是BC′，CF的對應(yīng)線段是C′F；故答案為：BC′，C′F．（2）由折疊的性質(zhì)可得：∠2=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF=50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°；故答案為：50°，80°（3）∵AB=8，DE=10，∴BE=10，∴AE==6，∴AD=BC=6+10=16，∵∠1=∠BEF=50°，∴BF=BE=10，∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6．故答案為：6【點睛】本題考查了矩形折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)定理，勾股定理解直角三角形，等腰三角形判定相關(guān)知識．【易錯點6特殊平行四邊形中的動點與最值問題】（2021·甘肅白銀市·九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D在AB邊上一點．過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．（1）求證：CE＝AD；（2）當(dāng)點D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由．【答案】（1）見解析；（2）四邊形BECD是菱形，見解析【分析】（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD＝BD，根據(jù)菱形的判定推出即可．【詳解】（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE＝AD；（2）解：四邊形BECD是菱形，理由是：∵D為AB中點，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB中點，∴CD＝BD，∴四邊形BECD是菱形．【點睛】本題主要考查平行四邊形及菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形及菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2019·浙江杭州市·中考模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是（）A．一直增大 B．一直減小 C．先減小后增大 D．先增大后減少【答案】C【解析】【分析】連接AP，先判斷出四邊形AFPE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得EF=AP，再根據(jù)垂線段最短可得AP⊥AB時，線段EF的值最小，即可判斷出動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，線段EF的值大小變化情況．【詳解】如圖，連接AP．∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四邊形AFPE是矩形，∴EF=AP，由垂線段最短可得AP⊥BC時，AP最短，則線段EF的值最小，∴動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是先減小后增大．故選C．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CP⊥AB時，線段EF的值最小是解題的關(guān)鍵．2．（2021·全國八年級專題練習(xí)）如圖，點是矩形的對角線上一點，過點作，分別交于，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)證得，然后求解即可．【詳解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N，∴四邊形AEPM、四邊形DFPM、四邊形CFPN和四邊形BEPN都是矩形，∵，，，，，∴S矩形DFPM=S矩形BEPN，∵PM=AE=1，PF=NC=3，∴，∴S陰=，故選：A．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，證得是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021·西安市浐灞第一中學(xué)九年級期末）如圖，菱形ABCD的兩條對角線長分別為AC＝6，BD＝8，點P是BC邊上的一動點，則AP的最小值為（）A．4 B．4.8 C．5 D．5.5【答案】B【分析】由垂線段最短，可得AP⊥BC時，AP有最小值，由菱形的性質(zhì)和勾股定理可求BC的長，由菱形的面積公式可求解．【詳解】如圖，設(shè)AC與BD的交點為O，∵點P是BC邊上的一動點，∴AP⊥BC時，AP有最小值，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝＝4.8，故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，確定當(dāng)AP⊥BC時，AP有最小值是本題關(guān)鍵．4．（2021·浙江九年級專題練習(xí)）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的動點．且BE＝CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AE，利用△ABE≌△BCF轉(zhuǎn)化線段BF得到BF+DE＝AE+DE，則通過作A點關(guān)于BC對稱點H，連接DH交BC于E點，利用勾股定理求出DH長即可．【詳解】解：連接AE，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作點A關(guān)于BC的對稱點H點，如圖2，連接BH，則A、B、H三點共線，連接DH，DH與BC的交點即為所求的E點．根據(jù)對稱性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝∴BF+DE最小值為4．故選：C．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，能夠作出輔助線將線段轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2021·全國九年級專題練習(xí)）在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，點F是對角線AC上（不與點A，C重合）一動點，當(dāng)是等腰三角形時，則∠AFD的度數(shù)為_____．【答案】108°或72°【分析】利用菱形的性質(zhì)求解再分兩種情況：①DF＝AF；②AD＝AF，③計算出每種情況下的的度數(shù)即可．【詳解】解：∵是等腰三角形，①當(dāng)DF＝AF時，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，∴∠DAC＝36°，∴∠ADF＝∠DAF＝36°，∴∠AFD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，②當(dāng)時，如圖記為，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，∴∠DAC＝36°，∴∴③當(dāng)時，與重合，故舍去；綜上所述，∠AFD的度數(shù)為108°或72°；故答案為：108°或72°．【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，數(shù)學(xué)分類討論思想，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2021·陜西九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點E．若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ＋PQ的最小值是________．【答案】2【分析】過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過D′作D′P′⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可得出D′是D關(guān)于AE的對稱點，進(jìn)而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值．【詳解】解：如圖，過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過D′作D′P⊥AD于P，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵D′與D關(guān)于AE對稱，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P即為DQ＋PQ的最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP＝PD′，∴在Rt△APD′中，PD′2＋AP2＝AD′2，即2D'P2＝16，∴PD′＝2，即DQ＋PQ的最小值為2．故答案為：2【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．7．（2021·河南平頂山市·九年級期末）如圖，AC是菱形ABCD的對角線，P是AC上的一個動點，過點P分別作AB和BC的垂線，垂足分別是點F和E，若菱形的周長是12cm，面積是6cm2，則PE+PF的值是_____cm．【答案】2【分析】連接BP，根據(jù)菱形的面積公式和三角形的面積公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝，S△ABP＋S△BPC＝AB?PE＋BC?PE把相應(yīng)的值代入即可．【詳解】解：連接BP，∵四邊形ABCD是菱形，且周長是12cm，面積是6cm2∴AB＝BC＝×12＝3（cm），∵AC是菱形ABCD的對角線，∴S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝＝3（cm2），∴S△ABP＋S△BPC＝AB?PE＋BC?PE＝3（cm2），

∴×3×PE＋×3×PF＝3，

∴PE＋PF＝3×＝2（cm），

故答案為：2．【點睛】此題考查菱形的性質(zhì)，S△ABP＋S△BPC＝S△ABC＝是解題的關(guān)鍵．注意掌握輔助線的作法和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．（2021·河南駐馬店市·九年級期末）已知，如圖，在矩形ABCD中，，，點E為線段AB上一動點不與點A、點B重合，先將矩形ABCD沿CE折疊，使點B落在點F處，CF交AD于點H，若折疊后，點B的對應(yīng)點F落在矩形ABCD的對稱軸上，則AE的長是______．【答案】或【分析】依據(jù)點B的對應(yīng)點F落在矩形ABCD的對稱軸上，分兩種情況討論：F在橫對稱軸上與F在豎對稱軸上，