浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20名校聯(lián)盟）2024屆高三第三次聯(lián)考（三模）數(shù)學(xué)試題（含解析）

Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷注意事項：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名，考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.請保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B．1 C． D．3．已知單位向量滿足，則（

）A．0 B． C． D．14．設(shè)為等比數(shù)列的前項和，已知，則公比（

）A．2 B．-2 C． D．5．已知，點在圓上運動，則的最大值為（

）A． B． C． D．326．若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的取值可以為（

）A．1 B． C． D．7．已知表示不超過的最大整數(shù)，若為函數(shù)的極值點，則（

）A． B． C． D．8．設(shè)為原點，為雙曲線的兩個焦點，點在上且滿足，，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．數(shù)據(jù)7，5，3，10，2的第40百分位數(shù)是3B．已知隨機變量服從正態(tài)分布越小，表示隨機變量分布越集中C．已知一組數(shù)據(jù)的方差為3，則的方差為3D．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖判斷出兩個變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若其中一個散點為，則10．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．當時，為直角三角形D．若為銳角三角形，則的取值范圍是11．在棱長為1的正方體中，已知分別為線段的中點，點滿足，則（

）A．當時，三棱錐的體積為定值B．當，四棱錐的外接球的表面積是C．周長的最小值為D．若，則點的軌跡長為第II卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則圓臺的高為.13．甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人且甲、乙不站同一個臺階，同一臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是種.(用數(shù)字作答)14．已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.15．已知等差數(shù)列的公差不為零，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求.16．已知四面體.(1)證明：;(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.17．為了增強身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅持在“跑步20分鐘”和“跳繩20分鐘”中選擇一項進行鍛煉.在不下雪的時候，他跑步的概率為，跳繩的概率為，在下雪天他跑步的概率為，跳繩的概率為.若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為.已知寒假第一天不下雪，跑步分鐘大約消耗能量卡路里，跳繩20分鐘大約消耗能量200卡路里.

記寒假第天不下雪的概率為.(1)求的值，并求;(2)設(shè)小王寒假第天通過運動消耗的能量為，求的數(shù)學(xué)期望.18．已知橢圓的左、右焦點分別為，焦距為，離心率為，直線與橢圓交于兩點（其中點在軸上方，點在軸下方）.(1)求橢圓的標準方程;(2)如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面(平面)垂直.

①若折疊后，求的值;②是否存在，使折疊后兩點間的距離與折疊前兩點間的距離之比為?19．在平面直角坐標系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值；(3)若函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的取值范圍.1．C【分析】先解集合中的不等式，解出的范圍，再求得即可.【詳解】由，解得，即，，.故選：C.2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再判斷其虛部.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的虛部是.故選：D3．B【分析】計算出，，，利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】，，故，，故，所以.故選：B4．A【分析】根據(jù)數(shù)列的前項和與的關(guān)系，兩式相減，即可求解.【詳解】由已知，，兩式相減得，，即，即.故選：A5．C【分析】設(shè)，根據(jù)兩點間的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)，則，當時，取得最大值.故選：C.6．D【分析】首先分別分析函數(shù)和的最大值，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的最大值為1，的最大值為1，由題意可知，取得最大值1時，也取得最大值1，即當時，，，得，，，當時，，其他值不滿足等式.故選：D7．B【分析】求導(dǎo)后，構(gòu)造，分別求出，由零點存在定理得到零點范圍，再結(jié)合題意求出結(jié)果即可.【詳解】由題意可得，令，則，，所以存在，使得，即，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極值點，所以，所以，故選：B.8．B【分析】設(shè)，由題意列出含的方程組，解出的關(guān)系式，進而求出雙曲線的漸近線即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義知，在中，由余弦定理得：，所以，再由，為的中點，延長至，使，所以四邊形為平行四邊形，且，在中，由余弦定理知：，在中，由余弦定理知：，因為，則，可知，所以③，由得，

把代入得，化簡得，所以漸近線方程為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由四點共圓的四邊形四個邊的平方和等于兩條對角線的平方和是解決本題的關(guān)鍵.9．BC【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)觀測值與預(yù)測值的區(qū)別即可判斷D.【詳解】對于A，數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，因為，所以數(shù)據(jù)7，5，3，10，2的第40百分位數(shù)是，故A錯誤；對于B，越小，即方差越小，隨機變量分布越集中，故B正確；對于C，已知一組數(shù)據(jù)的方差為3，則的方差為，故C正確；對于D，散點不一定在回歸直線為上，所以由散點無法求出的值，故D錯誤.故選：BC.10．ACD【分析】通過正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過余弦定理即可判斷B；通過余弦定理及可得或，即可判斷C；通過求的取值范圍，并將即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以由及正弦定理得，，由誘導(dǎo)公式得，，因為，故，所以，化解得，即，所以或，即（舍）或，故A正確；對于B，由余弦定理得，即，得，由，所以(負值舍)，即有一解，故B錯誤；對于C，因為，兩邊平方得，由余弦定理得，由兩式消得，，解得或，由解得，由解得;故為直角三角形，故C正確；對于D，因為為銳角三角形，且，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ACD.11．ABD【分析】A選項，先得到，故點在線段上，證明出，所以三棱錐為定值；B選項，點為線段的中點，作出輔助線，找到外接球球心，從而得到外接球半徑和外接球面積；C選項，取線段的中點，由對稱性知，，數(shù)形結(jié)合得到，從而得到周長的最小值；D選項，由得到點的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓的一部分，求出圓的半徑，得到軌跡長度.【詳解】A選項，當時，，故，即，故點在線段上，連接，與相交于點，則為的中點，連接，因為為的中點，所以，故三棱錐的體積為定值，A正確；B選項，當時，由A選項可知，，點為線段的中點，連接相交于點，則⊥平面，設(shè)正四棱錐的外接球的球心為，則三點共線，其中，設(shè)，則，由勾股定理得，即，解得，則表面積是，B正確；C選項，點在矩形及其內(nèi)部，取線段的中點，由對稱性知，，，此時三點共線，又，，C錯誤；D選項，因為，又點在矩形及其內(nèi)部，點的軌跡為點為球心，半徑長為的球面被平面截且在矩形及其內(nèi)部的圖形，又⊥平面，且，故，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓的一部分，如圖，其中，，故，則，則，則軌跡長為，D正確.故選：ABD【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑12．3【分析】根據(jù)圓臺的側(cè)面積求圓臺的母線，再根據(jù)圓臺軸截面求出高即可.【詳解】因為圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，設(shè)母線長為，高為.則，解得.如圖所示圓臺的軸截面，在中，，由勾股定理得：圓臺的高.故答案為：3.13．180【分析】采用分步乘法計數(shù)原理計算即可.【詳解】易知甲有6種站法，則乙有5種站法，丙有6種站法，總共有種.故答案為：18014．【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，畫出函數(shù)與的圖像，求出過原點且與函數(shù)，分別相切時直線的斜率，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】不等式可化為，令，因為，令，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，令，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以當時，即當時，所以，所以設(shè)為過原點且與相切的直線的斜率，設(shè)切點，則，所以，又，所以，所以，設(shè)為過原點且與相切的直線的斜率，設(shè)切點，則，且，解得或（舍去），所以，畫出函數(shù)與的圖像，如圖：數(shù)形結(jié)合可得，，所以，故答案為：..【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為過原點且與函數(shù)，分別相切時直線的斜率，從而得結(jié)果.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解，（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）由題意(1)由(1)(2)可得所以（2），，，故為等差數(shù)列，.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可知，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）方法1：根據(jù)題意可知：平面平面，作輔助線，可知平面，利用等體積法求點到平面的距離為，結(jié)合線面夾角的定義分析求解；方法2：根據(jù)題意可知：平面平面，作輔助線，可知平面，建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）取的中點，連，由，可得，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）方法1：因為，所以，又因為，所以，由（1）可得平面，所以平面平面，作交延長線于點，則平面且，設(shè)點到平面的距離為，因為，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面取成線面角的正弦值為；方法2：因為，所以，又因為，可知，由（1）可得平面，且平面，所以平面平面，作交延長線于點，則平面且，如圖，以為軸，為軸，軸建立空間直角坐標系，則，可得，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面取成線面角的正弦值為.17．(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，且得到，利用構(gòu)造法得到為等比數(shù)列，從而求出通項公式；（2）求出，及對應(yīng)的概率，得到的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意得，第3天不下雪，分為兩種情況，第2天不下雪且第三天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪，故，依題意，整理得，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，所以；（2），由（1）得，則他第天通過運動鍛煉消耗的能量的期望為.18．(1)(2)①；②不存在【分析】（1）由焦距為，可得出c的值，再由離心率為和可得出a與b的值，從而求得橢圓的標準方程；（2）①聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由直線和橢圓有兩個交點且兩個交點在x軸兩側(cè)，利用韋達定理求出m范圍，然后建立空間直角坐標系，根據(jù)條件，得出，即可得出m的值；②分別表示出折疊前間的距離和折疊后間的距離，根據(jù)題目中距離的比值列方程求解m，再判斷其是否滿足條件即可.【詳解】（1）由題意，解得：，所以橢圓的標準方程為（2）折疊前設(shè)，聯(lián)立可得由直線與橢圓交于不同兩點，所以，解得，由韋達定理得：，因為位于軸兩側(cè)，所以，化簡得，從而，以為坐標原點，折疊后，分別以原軸負半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為軸建立空間直角坐標系，則折疊后①折疊后，則，即，所以②折疊前，折疊后所以，解得，此時直線與橢圓無交點，故不存在，使折疊后的與折疊前的長度之比為.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是找到折疊前后的聯(lián)系，建立空間直角坐標系，設(shè)出點的坐標，利用空間向量的知識求解.19．(1)不是，理由見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義直接判斷即可.（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線最多一個交點，利用兩個函數(shù)圖象的交點與對應(yīng)方程根的關(guān)系，分離，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)在上單調(diào)，進而求解.（3）同問題（2）根據(jù)已知條件構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)在上單調(diào)，求導(dǎo)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求最值即可.【詳解】（1）函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，理由如下：逆時針旋轉(zhuǎn)后與軸重合，當時，有無數(shù)個與之對應(yīng)，與函數(shù)的概念矛盾，因此函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.（2）由題意可得函數(shù)與