考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共159題）

考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共6套）（共159題）考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)函數(shù)u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+∫x—yx+yψ(t)dt，其中函數(shù)φ具有二階導(dǎo)數(shù)，ψ具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、考慮二元函數(shù)f(x，y)的下面4條性質(zhì)：①f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)；②f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；③f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微；④f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在。若用“P→Q”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()A、②→③→①。B、③→②→①。C、③→④→①。D、③→①→④。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在與全微分之間的關(guān)系圖5—2，應(yīng)選A。3、設(shè)f(x．y)=則在原點(diǎn)(0，0)處f(x，y)()A、偏導(dǎo)數(shù)不存在。B、不可微。C、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。D、可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有f’x(0，0)==0，同理f’y(0，0)=0．又因?yàn)椴淮嬖?前項(xiàng)極限為0，后項(xiàng)極限不存在)，所以排除(A)，(C)兩項(xiàng)。因?yàn)椤鱶=f’x(0，0)△x+f’y(0，0)△y+α=α，所以α=△z=f(0+△x，0+△y)—f(0，0)=△x．△y．sin。進(jìn)而因此f(x，y)在(0，0)處可微，故選D。4、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，則必有()A、存在常數(shù)k，f(x，y)=k。B、f(x，y)=f(x0，y0)。C、f(x，y0)=f(x0，y0)與(x0，y)=f(x0，y0)。D、當(dāng)(△x)2+(△y)2→0時(shí)，f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)一[f’x(x0，y0)△x+f’y(x0+y0)△y]=。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A表示f(x，y)當(dāng)(x，y)→(x0，y0)時(shí)極限存在；選項(xiàng)(B)表示f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)；選項(xiàng)(D)表示f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微。以上3項(xiàng)在題設(shè)條件下都不一定成立。選項(xiàng)(C)表示一元函數(shù)f(x0，y)與f(x，y0)分別在點(diǎn)y=y0，x=x0處連續(xù)。由于f’x(x0，y0)=。根據(jù)一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)的性質(zhì)知(C)項(xiàng)正確。5、極限xyln(x2+y2)()A、不存在。B、等于1。C、等于0。D、等于2。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于當(dāng)0＜x2+y2＜1時(shí)，ln(x2+y2)＜0，所以0≤｜xyln(x2+y2)｜≤一(x2+y2)ln(x2+y2)。令x2+y2=r，則由夾逼準(zhǔn)則，xyln(x2+y2)=0，故應(yīng)選C。6、設(shè)u=f(x+y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=()A、f’2+xf"11+(x+z)f"12+xzf"22。B、xf"12+xzf"22。C、f’2+xf"12+xzf"22。D、xzf"22。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，=xf"12+f’2+xzf"22，故選C。二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)7、設(shè)f(x，y)=在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則a=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛蓨A逼準(zhǔn)則知，=0．又知f(0，0)=a，則a=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)滿(mǎn)足=0，則dz｜(0，1)=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2dx一dy知識(shí)點(diǎn)解析：由于函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則有f(0，1)一2×0+1—2=0，即f(0，1)=1。由題意可知分子應(yīng)為分母的高階無(wú)窮小，即f(x，y)=2x—y+2+，變形得f(x，y)一f(0，1)=2x一(y一1)+，于是可知f(x，y)在(0，1)點(diǎn)是可微的，并且有=一1，故出dz｜(0，1)=2dx一dy。三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：原式==0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、證明二重極限不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：取直線y=kx，則這說(shuō)明沿任何一條過(guò)原點(diǎn)的直線y=kx(不包括x軸)趨于(0，0)點(diǎn)時(shí)，極限存在且都為零，并且若沿y軸趨于(0，0)點(diǎn)極限也為零。但若沿過(guò)原點(diǎn)的拋物線x=y2趨于(0，0)點(diǎn)時(shí)，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)z=xy，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：由二元函數(shù)z=f(x，y)的求導(dǎo)法則，得=xylnx，因此有=e2lne=e2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)z=xy+。標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=，則z=xy+xF(u)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)z=f(x，y)=等于()標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x=0時(shí)，z=f(0，y)=r，于是故選A。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)u=。標(biāo)準(zhǔn)答案：由全微分的基本公式及全微分的四則運(yùn)算法則，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)z=x3f。標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則=x4f’1+x2f’2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)u=f(x，y，z，t)關(guān)于各變量均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而其中由方程組(1)確定z，t為y的函數(shù)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：注意z=z(y)，t=t(y)，于是因此，需要求，將方程組(1)兩邊對(duì)y求導(dǎo)得記系數(shù)行列式為W=(y—t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)z=f(x，y)由方程z—y一x+xez—y—x=0確定，求dz。標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)已知方程兩邊求微分，得dz一dy一dx+ez—y—xdx+xez—y—x(dz一dy—dx)=0，解得dz=+dy。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)u=f(x，y，z)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，z=x(x，y)由方程xex一yey=gez所確定，求du。標(biāo)準(zhǔn)答案：由u=f(x，y，z)知，du=。對(duì)等式xex一yey=zez兩端求微分得(ex+xex)dx一(ey+yey)dy=(ez+zez)dz，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)u=f(x，y，z)，其中f(x，y，z)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=z(x，y)由方程x2+y2+z2一4z=0所確定，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知，。在方程x2+y2+z2一4z=0兩端對(duì)x求偏導(dǎo)，得上式兩端再對(duì)x求偏導(dǎo)并結(jié)合，得其中因f(x，y，z)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，故f"13=f"31。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)z=f(u，x，y)，u=xey，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，+f’x=f’u．ey+f’x，所以+f"xy=f"uuxe2y+f"uyey+f’uey+f"xuxey+f"xy。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：在方程x2—6xy+10y2一2yz—z2+18=0兩端分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)，有將上式代入原方程中，解得可能取得極值的點(diǎn)為(9，3)和(一9，一3)。在(1)兩端再次對(duì)x求導(dǎo)得，在(1)兩端對(duì)y求導(dǎo)得，在(2)兩端再次對(duì)y求導(dǎo)得，所以可計(jì)算得。故AC一B2=＞0，從而點(diǎn)(9，3)是z=z(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9，3)=3。類(lèi)似地，由可知AC—B2=＜0，從而點(diǎn)(一9，一3)是z=z(x，y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(一9，一3)=一3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求函數(shù)u=xy+2yz在約束條件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：作拉格朗日函數(shù)L(x，y，z，λ)=xy+2yz+λ(x2+y2+z2—10)。令由(1)，(3)得z=2x，代入(2)中，并結(jié)合(1)得到y(tǒng)2=5x2，全部代入(4)得所有可能極值點(diǎn)為A(1，，一2)。而且當(dāng)λ=0時(shí)也有一組解y=0，x=一2z，z2=2，即，比較各點(diǎn)處的函數(shù)值得u(A)=u(D)=，u(E)=u(F)=0。故函數(shù)的最大值為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求函數(shù)z=x2y(4一x一y)在由直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的區(qū)域D上的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖5—3所示，它是有界閉區(qū)域，z(x，y)在D上連續(xù)，所以在D上一定有最大值與最小值，其最值或在D內(nèi)的駐點(diǎn)處取得，或在D的邊界上取得。為求D內(nèi)駐點(diǎn)，先求=2xy(4一x一y)一x2y=xy(8—3x一2y)，=x2(4一x一y)一x2y=x2(4一x一2y)。令解得z(x，y)在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4。在D的邊界y=0，0≤x≤6或z=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在邊界x+y=6(0≤x≤6)上，將y=6一x代入z(x，y)，有z(x，y)=x2(6一x)(一2)=2(x3一6x2)(0≤x≤6)。令h(x)=2(x3一6x2)，則h’(x)=6(x2一4x)，得h’(4)=0，h’(0)=0。且h(4)=一64，h(0)=0，即z(x，y)在邊界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值為0，最小值為一64。綜上，{z(x，y)}=一64。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、在旋轉(zhuǎn)橢球面x2+y2+=1(c＞0)上內(nèi)接一個(gè)頂點(diǎn)在橢球面上，且表面平行于坐標(biāo)面的長(zhǎng)方體，問(wèn)怎樣選取長(zhǎng)、寬、高才能使內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積最大。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方體在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)為A(x，y，z)，則長(zhǎng)方體的體積為V=8xyz，其中A(x，y，z)的坐標(biāo)滿(mǎn)足x2+y2+=1。由方程x2+y2+，從而把三元函數(shù)V=8xyz求最大值的問(wèn)題化為求下述二元函數(shù)求最大值的問(wèn)題：V(x，y)=8cxy，0＜x＜1，0＜y＜1。等式兩邊分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)，得方程組解得x=是函數(shù)V(x，y)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且由實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)知，體積最大的內(nèi)接長(zhǎng)方體一定存在，所以就是V(x，y)的最大值點(diǎn)。因此當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別取時(shí)，內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積最大。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求曲線在點(diǎn)(1，一2，1)處的切線及法平面方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)則F’x=2x，F(xiàn)’y=2y，F(xiàn)’z=2z，G’x=G’y=G’z=1。在點(diǎn)(1，一2，1)處法平面方程為一(x一1)+(x一1)=0，即x一z=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)直線l：在平面∏上，而平面∏與曲面：z=x2+y2相切于點(diǎn)(1，一2．5)．求a，b的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面z=x2+y2在點(diǎn)(1，一2，5)處的法向量為n=(2x，2y，一1)｜(1，—2，5)=(2，—4，一1)，于是切平面方程為2(x一1)一4(y+2)一(z一5)=0，即2x一4y一z一5=0。(1)由得y=一x一b，z=x一3+a(一x一b)，代入(1)式得2x+4x+4b一x+3+ax+ab—5=0，即(5+a)x+46+ab一2=0，于是有5+a=0，4b+ab一2=0。因此解得a=一5，b=一2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求函數(shù)u=ln(x+)在點(diǎn)A(1，0，1)沿點(diǎn)A指向B(3，一2，2)方向的方向?qū)?shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函數(shù)為h(x，y)=75一x2一y2+xy。(Ⅰ)設(shè)M(x，y)為區(qū)域D上的一個(gè)點(diǎn)，問(wèn)h(x，y)，在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大。若記此方向?qū)?shù)的最大值為g(x0，y0)，試寫(xiě)出g(x0，y0)的表達(dá)式；(Ⅱ)現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)，也就是說(shuō)，要在D的邊界曲線x2+y2一xy=75上找出使(Ⅰ)中的g(x，y)達(dá)到最大值的點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)函數(shù)h(x，y)在點(diǎn)M處沿該點(diǎn)的梯度方向={一2x0+y0，一2y0+x0}。方向?qū)?shù)的最大值是gradh(x，y)的模，即g(x0，y0)=。(Ⅱ)求g(x，y)在條件x2+y2一xy一75=0下的最大值點(diǎn)與求g2(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2=5x2+5y2一8xy在條件x2+y2一xy一75=0下的最大值點(diǎn)等價(jià)。這是求解條件最值問(wèn)題，用拉格朗日乘數(shù)法。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=5x2+5y2一8xy+λ(x2+y2一xy一75)，則有聯(lián)立(1)，(2)解得y=一x，λ=一6或y=x，λ=一2。若y=一x，則由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=5。若y=x，則由(3)式得x2=75，即x=±。于是得可能的條件極值點(diǎn)M1(5，一5)，M2(一5，5)，M。現(xiàn)比較f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2—8xy在這些點(diǎn)的函數(shù)值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得邊界線D上的最大值，即M1，M2可作為攀登的起點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微分，且對(duì)任意的x，y都有＜0，則使不等式f(x1，y1)＞f(x2，y2)成立的一個(gè)充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1＞x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因＞0，若x1＞x2，則f(x1，y1)＞f(x2，y1)；同理＜0，若y1＜y2，則f(x2，x1)＞f(x2，y2)。故正確答案為(A)。2、已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，則()A、a=2，b=一2。B、a=3，b=2。C、a=2，b=2。D、a=一2，b=2。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知，=3x2y2+bcos(x+2y)，以上兩式分別對(duì)y，x求偏導(dǎo)，得=6xy2—bsin(x+2y)，由于，即3axy2一2sin(x+2y)=6xy2一bsin(x+2y)。比較兩端系數(shù)得a=2，b=2。3、曲面z=r(x，y，z)的一個(gè)法向量為()A、(F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z一1)。B、(F’x—1，F(xiàn)’y—1，F(xiàn)’z一1)。C、(F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z)。D、(一F’x，—F’y，一1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：曲面方程z=F(x，y，z)可以寫(xiě)成F(x，y，z)一z=0，由曲面的法向量計(jì)算公式，其法向量為(F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z—1)。4、設(shè)u(x，y，z)=zarctan，則gradu(1，1，1)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由梯度計(jì)算公式，有5、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿(mǎn)足，=一3，則函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、取極大值。B、取極小值。C、不取極值。D、無(wú)法確定是否取極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：已知=一3，根據(jù)極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜＜0成立，而x2+1一xsiny＞x2一x+1=＞0，所以當(dāng)0＜＜δ時(shí)，有f(x，y)一f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處取極大值，故選A。6、設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，△z是f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的全增量，則在點(diǎn)(x0，y0)處()A、△z=dz。B、△z=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y。C、△z=f’x(x0，y0)dx+f’y(x0，y0)dy。D、△z=dz+ο(ρ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閦=f(x0，y0)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，所以△z=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y+ο(ρ)=dz+ο(ρ)，故應(yīng)選D。7、曲線在點(diǎn)(1，一1，0)處的切線方程為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由法向量計(jì)算公式n=(F’x(x0，y0，z0)，F(xiàn)’y(x0，y0，z0)，F(xiàn)’z(x0，y0，z0))得，曲面x2+y2+z2=2在點(diǎn)(1，一1，0)處的法向量為n1=(2，一2，0)，平面x+y+z=0在點(diǎn)(1，一1，0)處的法線向量為n2=(1，1，1)。則曲線在點(diǎn)(1，一1，0)處的切向量為τ=n1×n2=(一2，一2，4)，則所求切線方程為故應(yīng)選D。8、在曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z一4=0平行的切線()A、只有一條。B、只有兩條。C、至少有三條。D、不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：曲線的切向量為T(mén)=(1，一2t，3t2)，平面的法向量為n=(1，2，1)，于是由T．n=l一4t+3t2=0．解得t1=1，t2=，故曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z一4=0平行的切線有兩條，故選B。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)9、=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)z=esinxy，則dz=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知識(shí)點(diǎn)解析：=esinxycosxy．x。所以有dz=esinxycosxy(ydx+xdy)。11、設(shè)函數(shù)F(x，y)==___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，12、由方程xyz+確定的隱函數(shù)z=z(x，y)在點(diǎn)(1，0，一1)處的全微分為dz=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：等式xyz+兩邊求微分得yzdx+xzdy+xydz+(xdx+ydy+zdz)=0，把(1，0，一1)代入上式得dz=dx一dy。13、設(shè)z=f(x2+y2，)，且f(u，v)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有，再將等式兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得14、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=a，f’y(1，1)=b。又記φ(x)=f{x，f[x，f(x，x)]}，則φ’(1)=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a(1+b+b2)+b3知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)f(x，y)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=a，f’y(1，1)=b。又φ’(x)=f’x{x，f[x，f(x，x)]}+f’y{x，f(x，x)]}．{f’x[x，f(x，x)]+f’y[x，f(x，x)][f’x(x，x)+f’y(x，x)]}，所以φ’(1)=f’x(1，1)+f’y(1，1){f’x(1，1)+f’y(1，1)[f’x(1，1)+f’y(1，1)]}=a+b[a+b(a+6)]=a(1+b+b2)+b3。15、已知z=+φ(xy)，其中φ(u)可微，則x2+y2=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則16、曲面(a＞0)上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和為_(kāi)__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)曲面上任意一點(diǎn)M(0，y0，z0)，則曲面在M點(diǎn)的法向量為又因?yàn)?，所以M點(diǎn)的切平面方程滿(mǎn)足等式令x=y=0，得切平面在z軸上的截距z=；x=z=0，得切平面在y軸上的截距y=；y=z=0，得切平面在x軸上的截距x=。故截距之和為17、函數(shù)f(x，y，z)=x2+y3+z4在點(diǎn)(1，一1，0)處方向?qū)?shù)的最大值與最小值的平方和為_(kāi)__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：26知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)f(x，y，z)=x2+y3+z4在點(diǎn)(1，一1，0)處方向?qū)?shù)的最大值與最小值分別為函數(shù)f(x，y，z)在該點(diǎn)處梯度的模(長(zhǎng)度)及梯度模(長(zhǎng)度)的相反數(shù)。由梯度計(jì)算公式，有g(shù)radf(1，一1，0)=(f’x，f’y，f’z)｜(1，—1，0)=(2x，3y2，4z2)｜(1，—1，0)=(2，3，0)，則該點(diǎn)處梯度的模長(zhǎng)｜gradf(1，一1，0)｜=，故所求平方和為=26。18、函數(shù)z=1一(x2+2y2)在點(diǎn)M0處沿曲線C：x2+2y2=1在該點(diǎn)的內(nèi)法線方向n的方向?qū)?shù)為_(kāi)__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令F(x，y)=x2+2y2一1，則曲線C在點(diǎn)M0()的法向量是(2x，4y)，因此曲線C在點(diǎn)M0，一2)。19、曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在點(diǎn)(0，1，一1)處的切平面方程為_(kāi)__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x一y+z=一2知識(shí)點(diǎn)解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，則曲面的法向量n={F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z}={2x一ysin(xy)+1，一xsin(xy)+z，y}，則曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在點(diǎn)(0，1，一1)處的法向量為n={1，一1，1}，故切平面方程為(x一0)一(y一1)+(z+1)=0，即x一y+z=一2。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)20、已知z=f(u，v)，用變換=0，求a值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=f(u，v)，且u，v分別是x與y的函數(shù)，則，那么將以上結(jié)果代入原方程，整理得由題意可知a應(yīng)滿(mǎn)足6+a—a2=0，且10+5a≠0故得a=3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)y=f(x，t)，且方程F(x，y，t)=0確定了函數(shù)t(x，y)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：等式y(tǒng)=f(x，t(x，y))兩端對(duì)x求導(dǎo)得而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所確定，則由隱函數(shù)存在定理有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)曲面z=f(x，y)二次可微，且≠0，證明：對(duì)任給的常數(shù)C，f(x，y)=C為一條直線的充要條件是標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性：若f(x，y)=C表示一條直線，則f(x，y)一定是關(guān)于x，y的一次式，必有≠0。又因?yàn)閒(x，y)=C，所以，則因此可得f"xx(f’y)2—2f’xf’yf’xy+f"yy(f’x)2=0。亦即充分性：由(1)和(2)可知=0，因而f(x，y)=C必是關(guān)于x，y的一次式，即f(x，y)=C表示一條直線。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、函數(shù)f(x，y)=試判定其在點(diǎn)(0，0)處的可微性。標(biāo)準(zhǔn)答案：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有fx(0，0)==0，由對(duì)稱(chēng)性知fy(0，0)=0，而上式極限不存在。事實(shí)上，故f(x，y)在(0，0)點(diǎn)不可微。應(yīng)選B。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、在橢圓x2+4y2=4上求一點(diǎn)，使其到直線2x+3y一6=0的距離最短。標(biāo)準(zhǔn)答案：由點(diǎn)到直線的距離公式，橢圓x2+4y2=4上的點(diǎn)P(x，y)到直線2x+3y一6=0的距離為由于d的表達(dá)式中含有絕對(duì)值，而d2=，所以本題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)(2x+3y—6)2在條件x2+4y2=4下的最小值點(diǎn)。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，λ)=(2x+3y一6)2+λ(x2+4y2一4)，則根據(jù)本題實(shí)際意義知，最短距離存在，即點(diǎn)()為所求的點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)x，y，z∈R+。求u(x，y，z)=lnx+lny+31nz在球面x2+y2+z2=5R2上的最大值，并證明：當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，有abc3≤27()5。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)r(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一5R2)，令解得駐點(diǎn)(R，R，R2)，于是有l(wèi)nxyz3≤ln(R5)，故xyz3≤，特別地，取x2=a，y2=b，z2=c，平方后即得abc3≤27()5。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求函數(shù)f(x，y)=x3一y3+3x2+3y2一9x的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知得，f’x(x，y)=3x2+6x一9，f’y(戈，y)=一3y2+6y。令進(jìn)而得到駐點(diǎn)為M1(1，0)，M2(1，2)，M3(一3，0)，M4(一3，2)。又f"xx(x，y)=6x+6，f"xy(x，y)=0，f"yy(x，y)=一6y+6。在點(diǎn)M1(1，0)處，A=12，B=0，C=6。則AC—B2=72＞0且A＞0，故f(1，0)=一5為極小值；在點(diǎn)M2(1，2)處，A=12，B=0，C=一6。則AC—B2=一72<0，故f(1，2)不是極值；在點(diǎn)M3(一3，0)處，A=一12，B=0，C=6。則AC—B2=一72＜0，故f(一3，0)不是極值；在點(diǎn)M4(一3，2)處，A=一12，B=0，C=一6。則AC—B2=72＞0且A＜0，故f(一3，2)=31為極大值。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求曲線在點(diǎn)M0(1，1，3)處的切線與法平面方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面x2+z2=10和曲面y2+z2=10在點(diǎn)M0的法向量分別為n1=(2x，0，2z)｜(1，1，3)=2(1，0，3)，n2=(0，2y，2z)｜(1，1，3)=2(0，1，3)。由于切線的方向向量與它們均垂直，即有l(wèi)=n1×n2==一3i一3j+k?？扇》较蛳蛄縧=(3，3，一1)，因此切線方程為法平面方程為3(x一1)+3(y一1)一(z一3)=0，即3x+3y—z一3=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、已知fx(x0，y0)存在，則=()A、fx(x0，y0)B、0C、2fx(x0，y0)D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故選C。2、設(shè)f(x，y)=則fx(0，1)()A、等于1。B、等于0。C、不存在。D、等于—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：fx(0，1)=，故選A。3、設(shè)z=則該函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在。C、連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。D、可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于，則z(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤。所以z(x，y)在點(diǎn)(0，0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，B項(xiàng)錯(cuò)誤。4、設(shè)，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在。C、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。D、可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由微分的定義可知f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，故選D。5、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()A、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零B、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零C、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零D、f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，故有fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，又由fx(x0，y0)=，故選B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、設(shè)f(x，y)=則fx(1，0)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知f(x，0)=x2，則fx(x，0)=2x。故fx(1，0)=2。7、設(shè)z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所確定，則dz=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在方程兩端對(duì)x求偏導(dǎo)得。同理可得。8、設(shè)f(u，v)為二元可微函數(shù)，z=f(xy，yx)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：f′1.yxy—1+f′2.yxlny知識(shí)點(diǎn)解析：利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的公式，有=F′1.yxy—1+F′2.yxlny。9、設(shè)z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g(shù)，φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：g′(x+y)+xg″(x+y)+2yφ′(zy)+xy2φ″(xy)知識(shí)點(diǎn)解析：=g(x+y)+xg′(x+y)+y2φ′(xy)，=g′(x+y)+xg″(x+y)+2yφ′(xy)+xy2φ″(xy)。10、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=f(x,xy)，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：xf″12+f′2+xyf″22知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知=F′1+F′2.y，=xf″12+F′2+xyf″22。11、函數(shù)f(x，y，z)=x3+y4+z2在點(diǎn)(1，1，0)處方向?qū)?shù)的最大值與最小值之積為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：—25知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)f(x，y，z)在點(diǎn)(1，1，0)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值分別為f(x，y，z)在該點(diǎn)處梯度向量的模和梯度向量模的負(fù)值。gradf｜(1,1,0)=(3，4，0)，，則函數(shù)f(x，y，z)=x3+y4+z2在點(diǎn)(1，1，0)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值之積為三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)12、證明可微的必要條件：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則fx(x0，y0)與fy(x0，y0)都存在，且dz｜(x0，y0)=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則等式△z=[*]成立。令△y=0，于是[*]令[*]，于是證明了fx(x0，y0)與fy(x0，y0)存在，并且dz｜(x0，y0)=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y。知識(shí)點(diǎn)解析：undefinedundefined13、設(shè)y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)其中f和g具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且gz(x，y，z)≠0，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：本題確定兩個(gè)因變量，三個(gè)自變量。由第一個(gè)方程來(lái)看，u是因變量，x，y，t是自變量，由第二個(gè)方程來(lái)看，z是因變量。因此確定x，y，t為自變量，u，z為因變量。于是將方程組對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得同理，將方程組對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)z=，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)z=。標(biāo)準(zhǔn)答案：將上式分別代入原式可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、試確定常數(shù)a與b，使得經(jīng)變換u=x+ay，v=x+6y，可將方程(其中z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，并求z=z(x+ay，x+by)。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閦具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，有代入所給方程得按題意，應(yīng)取1—4a+3a2=0，1—4b+3b2=0，即(1—3a)(1—a)=0，(1—3b)(1—b)=0，其解分別為若取第一組解時(shí)，的系數(shù)為0，不合題意。同理，取第四組解時(shí)，的系數(shù)也為0。取，等式兩邊同時(shí)對(duì)u積分可得，其中φ(v)為v的任意可微函數(shù)。于是z=∫φ(v)dv+ψ(u)=Φ(v)+ψ(u)，其中ψ(u)為u的任意的可微函數(shù)。Φ(v)為φ(v)的一個(gè)原函數(shù)。由于Φ與ψ的任意性，所以?xún)山M解其實(shí)是一樣的。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿(mǎn)足=e2xz，求f(u)。標(biāo)準(zhǔn)答案：=f′(u)exsiny，=f′(u)excosy，=f′(u)exsiny+f″(u)e2xsin2y，=—f′(u)exsiny+f″(u)e2xcos2y，代入方程=e2xz中，得到f″(u)—f(u)=0，解得f(u)=C1eu+C2e—u，其中C1，C2為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(exsiny)滿(mǎn)足方程=(z+1)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求函數(shù)f(u)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：=f′(u)exsiny，=f′(u)exsiny+f″(u)e2xsin2y，=f′(u)excosy，=—f′(u)exsiny+f″(u)e2xcos2y，代入=(z+1)e2x，得f″(u)—f(u)=1。此方程對(duì)應(yīng)的齊次方程f″(u)—f(u)=0的通解為f(u)=C1eu+C2e—u，方程的一個(gè)特解為f(u)=—1。所以方程f″(u)—f(u)=1的通解為f(u)=C1eu+C2e—u—1，其中C1，C2為任意常數(shù)。由f(0)=0，f′(0)=0得C1=C2=，從而函數(shù)f(u)的表達(dá)式為f(u)=(eu+e—u)—1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求f(x，y)=的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求函數(shù)f(x，y)=的駐點(diǎn)，令fx(x，y)=e—x=0，fy(x，y)=—y=0，解得函數(shù)f(x，y)的駐點(diǎn)為(e，0)。又A=fxx(e，0)=—1，B=fxy(e，0)=0，C=fyy(e，0)=—1，B2—AC＜0，A＜0。故f(x，y)在點(diǎn)(e，0)處取得極大值f(e，0)=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)z=z(x，y)是由x2—6xy+10y2—2yz—z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：在方程x2—6xy+10y2—2yz—z2+18=0的兩端分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)，于是有將上式代入x2—6xy+10y2—2yz—z2+18=0，可得所以點(diǎn)(9，3)是z(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9，3)=3。類(lèi)似的，由所以點(diǎn)(—9，—3)是z(x，y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(—9，—3)=—3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求｜z｜在約束條件下的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：｜z｜的最值點(diǎn)與z2的最值點(diǎn)一致，用拉格朗日乘數(shù)法，令F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2—2z2)+μ(x+3y+3z—5)，由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xDy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函數(shù)為h(x，y)=75—x2—y2+xy。23、設(shè)M(x0，y0)為區(qū)域D上的一點(diǎn)，問(wèn)h(x，y)在該點(diǎn)沿平面上哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為g(x0，y0)，寫(xiě)出g(x0，y0)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)h(x，y)在點(diǎn)M處沿該點(diǎn)的梯度方向方向?qū)?shù)的最大值是gradh(x，y)｜(x0，y0)的模，即g(x0，y0)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳下尋找一坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)。也就是說(shuō)，要在D的邊界線x2+y2—xy=75上找出使上小題中g(shù)(x，y)達(dá)到最大值的點(diǎn)。試確定攀登起點(diǎn)的位置。標(biāo)準(zhǔn)答案：求g(x，y)在條件x2+y2—xy—75=0下的最大值點(diǎn)等價(jià)于g2(x，y)=(y—2x)2+(x—2y)2=5x2+5y2—8xy在條件x2+y2—xy—75=0下的最大值點(diǎn)。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=5x2+5y2—8xy+λ(x2+y2—xy—75)，則有聯(lián)立(1)，(2)解得y=—x，λ=—6或y=x，λ=—2。若y=—x，則由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5。若y=x，則由(3)式得x2=75，即。于是得可能的極值點(diǎn)M1(5，—5)，M2(—5，5)，?，F(xiàn)比較f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2—8xy在這些點(diǎn)的函數(shù)值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得邊界線D上的最大值，即M1，M2可作為攀登的起點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求函數(shù)f(x，y)=x2+2y2—x2y2在區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0，x≥0}上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求D內(nèi)的駐點(diǎn)及相應(yīng)的函數(shù)值，由得f(x，y)在D內(nèi)有一個(gè)駐點(diǎn)M=2。再求f(x，y)在D的邊界上的最大值與最小值，D的邊界由三部分組成：一是線段Γ1：y=0，0≤x≤2，在Γ1上f(x，y)=x2(0≤x≤2)，最小值為0，最大值為4。二是線段Γ2：x=0，0≤y≤2，在Γ2上f(x，y)=2y2(0≤y≤2)，最小值為0，最大值為8。三是上半圓周Γ3：y2=4—x2(0≤x≤2)，在Γ3上f(x，y)=x2+2(4—x2)—x2(4—x2)=8—5x2+x4==h(x)(0≤x≤2)，h′(x)=，由h′(x)=0得x=0或x2=，且h(0)=8，，h(2)=4。于是f(x，y)在D的邊界上的最大值為8，最小值為0。最后通過(guò)比較知f(x，y)在D上的最大值為8，最小值為0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，則()A、a=2，b=－2。B、a=3，b=2。C、a=2，b=2。D、a=－2，b=2。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+6cos(x+2y)]dy可知，以上兩式分別對(duì)y，x求偏導(dǎo)，得由于連續(xù)，因此即3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－6sin(x+2y)。比較兩端系數(shù)得a=2，b=2，故選(C)。2、曲面z=F(x，y，z)的一個(gè)法向量為()A、(Fx’，F(xiàn)y’，F(xiàn)z’－1)。B、(Fx’－1，F(xiàn)y’－1，F(xiàn)z’－1)。C、(Fx’，F(xiàn)y’，F(xiàn)z’)。D、(－Fx’，－Fy’，－1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：曲面方程z=F(x，y，z)可以寫(xiě)成F(x，y，z)－z=0，由曲面的法向量計(jì)算公式，其法向量為(Fx’，F(xiàn)y’，F(xiàn)z’-1)，故選(A)。3、設(shè)u(x，y，z)=zarctan，則gradu(1，1，1)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由梯度計(jì)算公式，有故選(A)。4、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿(mǎn)足則函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、取極大值。B、取極小值。C、不取極值。D、無(wú)法確定是否取極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：已知根據(jù)極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)時(shí)，有成立，而所以當(dāng)時(shí)，有f(x，y)－f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處取極大值，故選(A)。5、設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，△z是f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的全增量，則在點(diǎn)(x0，y0)處()A、△z=dz。B、△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。C、△z=fx’(x0，x0)dx+fy’(x0，y0)dy。D、△z=dz+o(ρ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閦=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，所以△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y·+ο(ρ)=dz+ο(ρ)，故選(D)。6、曲線在點(diǎn)(1，－1，0)處的切線方程為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由法向量計(jì)算公式n=(Fx’(x0，y0，z0)，F(xiàn)y’(x0，y0，z0)，F(xiàn)z’(x0，y0，z0))得，曲面x2+y2+z2=2在點(diǎn)(1，－1，0)處的法向量為n=(2，－2，0)，平面x+y+z=0在點(diǎn)(1，－1，0)處的法線向量為n2=(1，1，1)。則曲線在點(diǎn)(1，－1，0)處的切向量為τ=n1×n2=(－2，－2，4)，則所求切線方程為故選(D)。7、在曲線x=t，y=－t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z－4=0平行的切線()A、只有一條。B、只有兩條。C、至少有三條。D、不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：曲線的切向量為T(mén)=(1，－2t，3t2)，平面的法向量為n=(1，2，1)，于是由T，n=1－4t+3t2=0．解得t1=1，故曲線x=t，y=－t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z－4=0平行的切線有兩條，故選(B)。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且f(1，1)=1，fx’(1，1)=a,fy’(1，1)=b。又記φ(x)=f{x，f[x，f(x，x)]}，則φ’(1)=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a(1+b+b2)+b3知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)f(x，y)可微，且f(1，1)=1，fx’(1，1)=a，fy’(1，1)=b。又φ’(x)=fx’{x，f[x，f(x，x)]}+fy’{x，f[x，f(x，x)]}·{fx’[x，f(x，x)]+fy’[x，f(x，x)][fx’(x，x)+fy’(x，x)]}，所以φ’(1)=fx’(1，1)+fy’(1，1){fx’(1，1)+fy’(1，1)[fx/(1，1)+fy’(1，1)]}=a+b[a+b(a+b)]=a(1+b+b2)+b3。9、已知其中φ(u)可微，則標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則所以10、曲面上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和為_(kāi)_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)曲面上任意一點(diǎn)M(x0，y0，z0)，則曲面在M點(diǎn)的法向量為M點(diǎn)的切平面方程為即又因?yàn)樗訫點(diǎn)的切平面方程滿(mǎn)足等式令x=y=0，得切平面在z軸上的截距得切平面在y軸上的截距y=z-0，得切平面在x軸上的截距故截距之和為11、函數(shù)f(x，y，z)=x2+y3+z4在點(diǎn)(1，－1，0)處方向?qū)?shù)的最大值與最小值的平方和為_(kāi)__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：26知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)f(x，y，z)=x2+y3+z4在點(diǎn)(1，－1，0)處方向?qū)?shù)的最大值與最小值分別為函數(shù)f(x，y，z)在該點(diǎn)處梯度的模(長(zhǎng)度)及梯度模(長(zhǎng)度)的相反數(shù)。由梯度計(jì)算公式，有則該點(diǎn)處梯度的模長(zhǎng)故所求平方和為12、函數(shù)z=1－(x2+2y2)在點(diǎn)處沿曲線C：x2+2y2=1在該點(diǎn)的內(nèi)法線n的方向?qū)?shù)為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令F(x，y)=x2+2y2－1，則曲線C在點(diǎn)的法向量是因此曲線C在點(diǎn)的內(nèi)法線方向是故從而13、曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在點(diǎn)(0，1，－1)處的切平面方程為_(kāi)__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x－y+z=－2知識(shí)點(diǎn)解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，則曲面的法向量n={Fx’，F(xiàn)y’，F(xiàn)z’}={2x－ysin(xy)+1，－xsin(xy)+z，y}，則曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在點(diǎn)(0，1，－1)處的法向量為n={1，－1，1}，故切平面方程為(x－0)－(y－1)+(z+1)=0，即x－y+z=－2。三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、在旋轉(zhuǎn)橢球面上內(nèi)接一個(gè)頂點(diǎn)在橢球面上，且表面平行于坐標(biāo)面的長(zhǎng)方體，問(wèn)怎樣選取長(zhǎng)、寬、高才能使內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積最大。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方體在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)為A(x，y，z)，則長(zhǎng)方體的體積為V=8xyz，其中A(x，y，z)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方法一：由方程得從而把三元函數(shù)V=8xyz求最大值的問(wèn)題化為求下述二元函數(shù)求最大值的問(wèn)題：等式兩邊分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)，得方程組解得并且點(diǎn)是函數(shù)V(x，y)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且由實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)知，體積最大的內(nèi)接長(zhǎng)方體一定存在，所以就是V(x，y)的最大值點(diǎn)。因此當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別取時(shí)，內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積最大。方法二：引入拉格朗日函數(shù)L(x，y，z，λ)=8xyz+λ(x2+y2+－1)。令由方程組的前3個(gè)方程解得將它們都代入第4個(gè)方程解得于是此時(shí)內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積最大。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求曲線在點(diǎn)(1，－2，1)處的切線及法平面方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)則Fx’=2x，F(xiàn)y’=2y，F(xiàn)z’=2z，Gx’=Gy’=Gz’=1。在點(diǎn)(1，－2，1)處所以切線方程為法平面方程為－(x－1)+(z－1)=0，即x－z=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)直線l：在平面Π上，而平面Π與曲面：z=x2+y2相切于點(diǎn)(1，－2，5)，求a，b的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面z=x2+y2在點(diǎn)(1，－2，5)處的法向量為n=(2x,2y,－1｜1,－2,5=(2,－4,－1)，于是切平面方程為2(x－1)－4(y+2)－(z－5)=0，即2x－4y－z－5=0。(1)由得y=－x－b，z=x－3+a(－x－b)，代入(1)式得2x+4x+4b－x+3+ax+ab－5=0，即(5+a)x+4b+ab－2=0，于是有5+a=0，4b+ab－2=0。因此解得a=－5，b=－2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求函數(shù)在點(diǎn)A(1，0，1)沿點(diǎn)A指向B(3，－2，2)方向的方向?qū)?shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：的方向余弦：=(3－1，－2－0，2－1)=(2，－2，1)，而且于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)镈={(x，y｜x2+y2－xy=≤75}，小山的高度函數(shù)為h(x，y)=75－x2－y2+xy。18、設(shè)M(x0，y0)為區(qū)域D上的一個(gè)點(diǎn)，問(wèn)h(x，y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大。若記此方向?qū)?shù)的最大值為g(x0，y0)，試寫(xiě)出g(x0，y0)的表達(dá)式；標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)h(x，y)在點(diǎn)M處沿該點(diǎn)的梯度方向方向?qū)?shù)的最大值是gradh(x，y)｜(x0,y0)的模，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)，也就是說(shuō)，要在D的邊界曲線x2+y2－xy=75上找出使上題中的g(x，y)達(dá)到最大值的點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置。標(biāo)準(zhǔn)答案：求g(x，y)在條件x2+y2－xy－75=0下的最大值點(diǎn)與求g2(x，y)=(y－2x)2+(x－2y)2=5x2+5y2=8xy在條件x2+y2－xy－75=0下的最大值點(diǎn)等價(jià)。這是求解條件最值問(wèn)題，用拉格朗日乘數(shù)法。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=5x2+5y2－8xy+λ(x2+y2－xy－75)，則有聯(lián)立(1)，(2)解得y=－x，λ=－6或y=x，λ=－2。若y=－x，則由(3)式得3x2=75，即x=±5，若y=x，則由(3)式得x2=75，即于是得可能的條件極值點(diǎn)現(xiàn)比較f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2—8xy在這些點(diǎn)的函數(shù)值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得邊界線D上的最大值，即M1，M2可作為攀登的起點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知z=f(u，v)，用變換可把化簡(jiǎn)為求a值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=f(u，v)，且u，v分別是x與y的函數(shù)，則那么將以上結(jié)果代入原方程，整理得由題意可知a應(yīng)滿(mǎn)足6+a－a2=0，且10+5a≠0故得a=3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)y=f(x，t)，且方程r(x，y，t)=a確定了函數(shù)t(x，y)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：等式y(tǒng)=f(x，t(x，y))兩端對(duì)x求導(dǎo)得而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所確定，則由隱函數(shù)存在定理有于是整理得方法二：由y=f(x，t)知由F(x，y，t)=0知，得將dt的表達(dá)式代入并整理可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)曲面z=f(x，y)二次可微，且證明：對(duì)任給的常數(shù)C，f(x，y)=C為一條直線的充要條件是標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性：若f(x，y)=C表示一條直線，則f(x，y)一定是關(guān)于x，y的一次式，必有其中又因?yàn)閒(x，y)=C，所以則因此可得fxx"(fy’)2－2fx’fy’fxy"+fyy"(fx’)2=0。亦即充分性：由(1)和(2)可知因而f(x，y)=C必是關(guān)于x，y的一次式，即f(x，y)=C表示一條直線。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、函數(shù)試判定其在點(diǎn)(0，0)處的可微性。標(biāo)準(zhǔn)答案：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有由對(duì)稱(chēng)性知fy(0，0)=0，而上式極限不存在。事實(shí)上，故f(x，y)在(0，0)點(diǎn)不可微。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、在橢圓x2+4y2=4上求一點(diǎn)，使其到直線2x+3y－6=0的距離最短。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：由點(diǎn)到直線的距離公式，橢圓x2+4y2=4上的點(diǎn)P(x，y)到直線2x+3y－6=0的距離為由于d的表達(dá)式中含有絕對(duì)值，而所以本題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)(2x+3y－6)2在條件x2+4y2=4下的最小值點(diǎn)。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，λ)=(2x+3y－6)2+λ(x2+4y2－4)，則解得于是根據(jù)本題實(shí)際意義知，最短距離存在，即點(diǎn)為所求的點(diǎn)。方法二：作橢圓x2+4y2=4的切線l，使其與直線2x+3y－6=0平行，這樣的切線有兩條，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)切點(diǎn)，其中一個(gè)距直線2x+3y－6=0最遠(yuǎn)，另一個(gè)距直線2x+3y－6=0最近。直線2x+3y－6=0的斜率為而橢圓x2+4y2=4在點(diǎn)P(x，y)處切線斜率：于是即得8y=3x。將8y=3x與x2+4y2=4聯(lián)立解得由距離公式知，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)x，y，z∈R+。求u(x，y，z)=lnx+lny+31nz在球面x2+y2+z2=5R2上的最大值，并證明：當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，有標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2－5R2)，令解得駐點(diǎn)且于是有故特別地，取x2=a，y2=b，z2=c，平方后即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求函數(shù)f(x，y)=x3－y3+3x2+3y2－9x的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知得，fx’(x，y)=3x2+6x－9，fy’(x，y)=－3y2+6y。令得到進(jìn)而得到駐點(diǎn)為M1(1，0)，M2(1，2)，M3(－3，0)，M4(－3，2)。又fxx"(x，y)=6x+6，fxy"(x，y)=0，fyy"(x，y)=－6y+6。在點(diǎn)M1(1，0)處，A=12，B=0，C=6。則AC－B2=72＞0且A＞0，故f(1，0)=－5為極小值；在點(diǎn)M2(1，2)處，A=12，B=0，C=－6。則AC—B2=－72＜0，故f(1，2)不是極值；在點(diǎn)M3(－3，0)處，A=－12，B=0，C=60則AC－B2=－72＜0，故f(－3，0)不是極值；在點(diǎn)M4(－3，2)處，A=－12，B=0，C=－6。則AC－B2=72＞0且A＜0，故f(－3，2)=31為極大值。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求曲線Γ：在點(diǎn)M0(1，1，3)處的切線與法平面方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面x2+z2=10和曲面y2+z2=10在點(diǎn)M0的法向量分別為n1=(2x，0，2z)｜(1,1,3)=2(1，0，3)，n2=(0，2y，2z)｜(1,1,3)=2(0，1，3)。由于切線的方向向量與它們均垂直，即有可取方向向量l=(3，3，－1)，因此切線方程為法平面方程為3(x－1)+3(y－1)－(z－3)：0，即3x+3y－z－3=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)則等于()A、－1。B、C、1。D、0。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，于是故選(A)。2、設(shè)則在原點(diǎn)(0，0)處f(x，y)()A、偏導(dǎo)數(shù)不存在。B、不可微。C、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。D、可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有同理fy’(0，0)=0。又因?yàn)椴淮嬖?前項(xiàng)極限為0，后項(xiàng)極限不存在)，所以排除(A)、(C)兩項(xiàng)。因?yàn)椤鱶=fx’(0，0)△x+fy’(0，0)△y+α=α，所以進(jìn)而又故因此f(x，y)在(0，0)處可微，故選(D)。3、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)都存在，則必有()A、存在常數(shù)k，B、C、D、當(dāng)(△x)2+(△y)2→0時(shí)，f(x0+△x，y0+△y)－f(x0，y0)－[fx’(x0，y0)△x+fy’(x0+y0)△y]標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)(A)表示f(x，y)當(dāng)(x，y)→(x0，y0)時(shí)極限存在；選項(xiàng)(B)表示f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)；選項(xiàng)(D)表示f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微。以上3項(xiàng)在題設(shè)條件下都不一定成立。選項(xiàng)(C)表示一元函數(shù)f(x0，y)與f(x，y0)分別在點(diǎn)y=y0，x=x0處連續(xù)。由于根據(jù)一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)的性質(zhì)知(C)項(xiàng)正確，故選(C)。4、極限A、不存在。B、等于1。C、等于0。D、等于2。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于當(dāng)02+y2＜1時(shí)，ln(x2+y2)＜0，所以0≤|xyln(x2+y2)|≤(x2+y2)ln(x2+y2)。令x2+y2=r，則則由夾逼準(zhǔn)則，故選(C)。5、設(shè)u=f(x+y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則A、f2’+xf11"+(x+z)f12"+xzf22"。B、xf12"+xzf22"。C、f2’+xf12"+xzf22"D、xzf22"。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，故選(C)。6、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微分，且對(duì)任意的x，y都有則使不等式f(x1，y1)＞f(x2，y2)成立的一個(gè)充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1>x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因若x1＞x2，則f(x1，y1)＞f(x2，y1)；同理若y1＜y2，則f(x2，y1)＞f(x2，y2)?？芍_答案為(A)，故選(A)。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、設(shè)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛蓨A逼準(zhǔn)則知，又知f(0，0)=a，則a=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)滿(mǎn)足則出dz|(0,1)=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2dx－dyundefinedundefined知識(shí)點(diǎn)解析：由于函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則有f(0，1)－2×0+1－2=0，即f(0，1)=1。由題意可知分子應(yīng)為分母的高階無(wú)窮小，即[*]變形得[*]于是可知f(x，y)在(0，1)點(diǎn)是可微的，并且有[*]故出dz｜(0,1)=2dx－dy。9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)z=esinxy，則dz=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知識(shí)點(diǎn)解析：所以有dz=esinxycosxy(ydx+xdy)。11、設(shè)函數(shù)則標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，12、由方程確定的隱函數(shù)z=z(x，y)在點(diǎn)(1，0，－1)處的全微分為dz=_____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩邊求微分得把(1，0，－1)代入上式得13、設(shè)且f(u，v)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有再將等式兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)14、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一(分子有理化)：方法二(等價(jià)無(wú)窮小代換)：當(dāng)x→0，y→0時(shí)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、證明二重極限不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：取直線y=kx，則這說(shuō)明沿任何一條過(guò)原點(diǎn)的直線y=kx(不包括x軸)趨于(0，0)點(diǎn)時(shí)，極限存在且都為零，并且若沿y軸趨于(0，0)點(diǎn)極限也為零。但若沿過(guò)原點(diǎn)的拋物線x=y2趨于(0，0)點(diǎn)時(shí)，有綜上，故極限不存在。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)z=xy，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由二元函數(shù)z=f(x，y)的求導(dǎo)法則，得因此有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)其中F為可導(dǎo)函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令則z=xy+xF(u)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)求du及和標(biāo)準(zhǔn)答案：由全微分的基本公式及全微分的四則運(yùn)算法則，得故因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求與標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)u=f(x，y，z，t)關(guān)于各變量均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而其中由方程組確定z，t為y的函數(shù)，求與標(biāo)準(zhǔn)答案：注意z=z(y)，t=t(y)，于是因此，需要求將已知方程組兩邊對(duì)y求導(dǎo)得整理得記系數(shù)行列式為W=(y－t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，則代入得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)z=f(x，y)由方程z－y－x+xez-y-x=0確定，求dz。標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)已知方程兩邊求微分，得dz－dy－dx+ez-y-xdx+xez－y－x(dz－dy－dz)=0，解得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)u=f(x，y，z)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，z=z(x，y)由方程xex－yey=zez所確定，求du。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：由題設(shè)知等式xex－yey=zex兩端對(duì)x求導(dǎo)得由此可得則同理可求得故方法二：由u=f(x，y，z)知，對(duì)等式xex－yey=zez兩端求微分得(ex+xex)dx－(ey+yey)dy=(ez+zez)dz，解得將dz代入得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)u=f(x，y，z)，其中f(x，y，z)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=z(x，y)由方程x2+y2+z2－4z=0所確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知，在方程x2+y2+z2－4z=0兩端對(duì)x求偏導(dǎo)，得進(jìn)一步整理得故有上式兩端再對(duì)x求偏導(dǎo)并結(jié)合得其中因f(x，y，z)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，故f13"=f31"。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)z=f(u，x，y)，u=xey，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)函數(shù)其中函數(shù)φ具有二階導(dǎo)數(shù)，ψ具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有()標(biāo)準(zhǔn)答案：由則顯然故選(B)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、考慮二元函數(shù)f(x，y)的下面4條性質(zhì)：①f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)；②f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；③f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微；④f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在。若用表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()標(biāo)準(zhǔn)答案：二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在與全微分之間的關(guān)系如圖5—2所示，故選(A)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)z=z(x，y)是由x2－6xy+10y2－2yz－z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：在方程x2－6xy+10y2－2yz－z2+18=0兩端分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)，有將上式代入原方程中，解得可能取得極值的點(diǎn)為(9，3)和(－9，－3)。在(1)兩端再次對(duì)x求導(dǎo)得在(1)兩端對(duì)y求導(dǎo)得在(2)兩端再次對(duì)y求導(dǎo)得所以可計(jì)算得故從而點(diǎn)(9，3)是z=z(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9，3)=3。類(lèi)似地，由可知從而點(diǎn)(－9，－3)是z=z(x，y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(－9，－3)=－3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求函數(shù)u=xy+2yz在約束條件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：作拉格朗日函數(shù)L(x，y，z，λ)=xy+2yz+λ(x2+y2+z2－10)。令由(1)，(3)得z=2x，代入(2)中，并結(jié)合(1)得到y(tǒng)2=5x2，全部代入(4)得所有可能極值點(diǎn)為而且當(dāng)λ=0時(shí)也有一組解y=0，x=－2z，z2=2，即比較各點(diǎn)處的函數(shù)值得故函數(shù)的最大值為最小值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求函數(shù)z=x2y(4－x－y)在由直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的區(qū)域D上的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖5—3所示，它是有界閉區(qū)域，z(x，y)在D上連續(xù)，所以在D上一定有最大值與最小值，其最值或在D內(nèi)的駐點(diǎn)處取得，或在D的邊界上取得。為求D內(nèi)駐點(diǎn)，先求令于是得方程組解得z(x，y)在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4。在D的邊界y=0，0≤z≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在邊界x+y=6(0≤x≤6)上，將y=6－x代入z(x，y)，有z(x，y)=x2(6－x)(－2)=2(x3－6x2)(0≤x≤6)。令h(x)=2(x3－6x2)，則h’(x)=6(x2－4x)，得h’(4)=0，h’(0)=0。且h(4)=－64，h(0)=0，即z(x，y)在邊界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值為0，最小值為－64。綜上，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在B、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微C、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D、可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有由對(duì)稱(chēng)性知fy(0，0)=0，而上式極限不存在。事實(shí)上，故f(x，y)在(0，0)點(diǎn)不可微，故選B。2、已知f(x，y)=，則()A、fx(0，0)，fy(0，0)都存在。B、fx(0，0)存在，但fy(0，0)不存在。C、fx(0，0)不存在，fy(0，0)存在。D、fx(0，0)，fy(0，0)都不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：所以fy(0，0)存在，故選C。3、設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，△x是f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處的全增量，則在點(diǎn)(x0，y0)處()A、△z=dz。B、△z=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y。C、△z=fx(x0，y0)dx+fy(x0，y0)dy。D、△z=dz+o(ρ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則△z=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故選D。4、函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)可微的充分條件是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由可知，f(x，y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)fx(x，y)和fy(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，故選D。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、設(shè)f(x，y)=在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槔脢A逼原理知。又知f(0，0)=a，所以當(dāng)a=0時(shí)，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)。6、設(shè)z==________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f′(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(diǎn)(1，1)處的全微分出dz｜(1，1)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4(dx+dy)知識(shí)點(diǎn)解析：dz=f′(x2+y2)(2xdx+2ydy)，則dz｜(1，1)=f′(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。8