考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷5（共251題）

考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷5（共9套）（共251題）考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設隨機事件A與B互不相容，0＜P(A)＜1，則下列結論中一定成立的是A、A∪B=Ω．B、=Ω．C、A=B．D、標準答案：B知識點解析：因AB==Ω，應選(B)．2、同時拋擲三枚勻稱的硬幣，正面與反面都出現(xiàn)的概率為A、1／4．B、1／3．C、2／3．D、3／4．標準答案：D知識點解析：設Bk表示三枚中出現(xiàn)的正面硬幣個數(shù)，k=0，1，2，3，P(A)為所求概率，依題意P()=P(B0∪B3)=P(B0)+P(B3)==1／4，P(A)=1－P()=3／4．應選(D)．3、假設隨機變量X服從指數(shù)分布，則隨機變量Y=min{X，2}的分布函數(shù)A、是連續(xù)函數(shù)．B、至少有兩個間斷點．C、是階梯函數(shù)．D、恰好有一個間斷點．標準答案：D知識點解析：由于Y=min{X，2}=所以Y的分布函數(shù)為計算得知FY(y)只在y=2處有一個間斷點，應選(D)．4、設F1(x)與F2(x)分別是隨機變量X1與X2的分布函數(shù)，為使F(x)=aF1(x)－bF2(x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應取A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：對任何x，為保證F(x)≥0，a與－b均應大于0，又F(+∞)=aF1(+∞)－bF2(+∞)=a－b=1，應選(A)．5、設隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，則A、X+Y一定服從正態(tài)分布．B、X和Y不相關與獨立等價C、(X，Y)一定服從正態(tài)分布．D、(X，－Y)未必服從正態(tài)分布．標準答案：D知識點解析：(A)不成立，例如，若Y=－X，則X+Y≡0不服從正態(tài)分布．(C)不成立，(X，Y)不一定服從正態(tài)分布，因為邊緣分布一般不能決定聯(lián)合分布．(B)也不成立，因為只有當X和Y的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布時“X和Y獨立”與“X和Y不相關”二者等價．故應選(D)．雖然隨機變量X和－Y都服從正態(tài)分布，但是因為邊緣分布一般不能決定聯(lián)合分布，故(X，－Y)未必服從正態(tài)分布．6、假設隨機變量X在區(qū)間[－1，1]上均勻分布，則U=arcsinX和V=arccosX的相關系數(shù)等于A、－1．B、0．C、0．5．D、1．標準答案：A知識點解析：注意到U=arcsinX和V=8rccosX滿足下列關系：arcsinX=－arccosX，即U=－V+，由于U是V的線性函數(shù)，且其增減變化趨勢恰恰相反，所以其相關系數(shù)ρ=－1．應選(A)．7、設隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…相互獨立，則根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當n→∞時1／nXi依概率收斂于其數(shù)學期望，只要{Xn，n≥1}A、有相同的期望．B、有相同的方差．C、有相同的分布．D、服從同參數(shù)p的0—1分布．標準答案：D知識點解析：由于辛欽大數(shù)定律除了要求隨機變量X1，X2，…，Xn，…相互獨立的條件之外，還要求X1，X2，…，Xn，…同分布與期望存在，只有選項(D)同時滿足后面的兩個條件，應選(D)．8、設X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總體N(0，σ2)的簡單隨機樣本，與S2分別是樣本均值與樣本方差，則A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據(jù)正態(tài)總體抽樣分布公式知應選(D)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)9、設事件A與B相互獨立，已知它們都不發(fā)生的概率為0．16，又知A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則A與B都發(fā)生的概率是_______．標準答案：0.36知識點解析：0．16=P()=0．4，P(AB)=P(A)P(B)=0．62=0．36．10、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，1)，已知P{X≤3}=0．975，則P{X≤－0．92}=_______．標準答案：0.025知識點解析：由P{X≤3}=Ф()=Ф(3－μ)=0．975，可知3－μ=1．96，μ=1．04．于是P{X≤－0．92}=Ф(－0．92－μ)=Ф(－1．96)=0．025．11、從數(shù)1，2，3，4中任取一個數(shù)，記為X，再從1，…，X中任取一個數(shù)，記為Y，則P{Y=2}=_______．標準答案：13／48知識點解析：由于事件{X=1}，{X=2}，{X=3}，{X=4}是一個完備事件組，且P{X=i}=1／4，i=1，2，3，4．條件概率P{Y=2|X=1}=0，P{Y=2|X=i}=1／i，i=2，3，4．根據(jù)全概率公式12、隨機從數(shù)集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n個數(shù)X1，X2，…，xn，則當n→∞時Xi依概率收斂于_______；1／nXi2依概率收斂于_______．標準答案：3；11知識點解析：依題意X1，…，Xn相互獨立且有相同的概率分布：P{Xi=k}=1／5(k=1，2，3，4，5)，與相同的數(shù)學期望：EXi=1／5(1+2+3+4+5)=3．根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當n→∞時，Xi依概率收斂于3．同理，X12，…，Xn2相互獨立且P{Xi2=k2}=1／5(k=1，2，3，4，5)，EXi2=1／5(1+4+9+16+25)=11，當n→∞時1／nXi2依概率收斂于11．三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)13、一個班內(nèi)有20位同學都想去參觀一個展覽會，但只有3張參觀票，大家同意通過這20位同學抽簽決定3張票的歸屬．計算下列事件的概率：(Ⅰ)“第二人抽到票”的概率p1；(Ⅱ)“第二人才抽到票”的概率p2；(Ⅲ)“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”的概率p3；(Ⅳ)“前兩人中至少有一人抽到票”的概率p4．標準答案：設事件Ai=“第i人抽到票”，i=1，2．(Ⅰ)如果是填空題，可以根據(jù)抽簽公平性原理得知中簽率應與抽簽次序無關．直接填寫p1=P(A2))=3／20；作為計算題，應寫出解題步驟．根據(jù)全概率公式p1=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)(Ⅱ)事件“第二人才抽到票”表示“第一人未抽到票、但第二人抽到了票”，根據(jù)乘法公式(Ⅲ)“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”表示已知事件A1發(fā)生，再考慮事件A2出現(xiàn)．p3=P(A2|A1)=2／19．(Ⅳ)根據(jù)加法公式與乘法公式p4=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)－P(A1A2)=P(A1)+P(A2)－P(A1)P(A2|A1)知識點解析：暫無解析14、向直線上擲一隨機點，假設隨機點落入?yún)^(qū)間(－∞，0]，(0，1]和(1，+∞)的概率分別為0．2，0．5和0．3，并且隨機點在區(qū)間(0，1]上分布均勻．設隨機點落入(－∞，0]得0分，落入(1，+∞)得1分，而落入(0，1]坐標為x的點得x分．試求得分X的分布函數(shù)F(x)。標準答案：以H1，H2，H3分別表示事件：隨機點落入(－∞，0]，(0，1]和(1，+∞)，它們構成完備事件組．由條件知P(H1)=0．2，P(H2)=0．5，P(H3)=0．3．于是，由全概率公式即得F(x)=P{X≤x}=P(Hk)P{X≤x|Hk}知識點解析：暫無解析15、某個人參加跳高項目的及格選拔賽，規(guī)定一旦跳過指定高度就被認為及格而被入選，但是限制每人最多只能跳6次．若6次均未過竿，則認定其為落選．如果一位參試者在該指定高度的過竿率為0．6，求他在測試中所跳次數(shù)的概率分布．標準答案：設該人在選拔賽中跳的次數(shù)為X，顯然X是一個離散型隨機變量，其全部可能取值為1，2，3，4，5，6，由于各次跳躍過竿與否互不影響，因此有P{X=1}=0．6，P{X=2}=0．4×0．6，P{X=3}=0．42×0．6，P{X=4}=0．43×0．6，P{X=5}=0．44×0．6，P{X=6}=0．45．即X的概率分布為知識點解析：暫無解析16、設二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，其中D={(x，y)||x+y|≤1，|x－y|≤1}，求X的邊緣密度fX(x)與在X=0條件下，關于Y的條件密度fY|X(y|0)．標準答案：從圖3．2可知，區(qū)域D是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)為頂點的正方形區(qū)域，其邊長為，面積SD=2，因此(X，Y)的聯(lián)合密度是fX(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy根據(jù)公式fY|X=F(x，y)／fX(x)(fX(x)≠0)，當x=0時，有fY|X(y|x)=fY|X(y|0)知識點解析：暫無解析設二維隨機變量(X1，Y1)與(X2，Y2)的聯(lián)合概率密度分別為求：17、常數(shù)k1，k2的值；標準答案：由1=∫－∞+∞∫－∞+∞f1(x，y)dxdy=∫0+∞dy∫0+∞k1e－(x+y)dx=k1，得k1=1；又由1=∫－∞+∞∫－∞+∞f2(x，y)dxdy=∫0+∞dy∫y+∞k2e－(x+y)dx=∫0+∞k2e－2ydy=k2／2，得k2=2．因此(X1，Y2)與(X2，Y2)的概率密度分別為知識點解析：暫無解析18、Xi，Yi(i=1，2)的邊緣概率密度；標準答案：知識點解析：暫無解析19、P{Xi＞2Yi}(i=1，2)．標準答案：P{X1＞2Y1}=f1(x，y)dxdy=∫0+∞dy∫2y+∞e－(x+y)dx=∫0+∞e－3ydy=1／3；P{X2＞2Y2}=f2(x，y)dxdy=∫0+∞dy∫2y+∞2e－(x+y)dx=2∫0+∞e－3ydy=2／3．知識點解析：暫無解析20、設某網(wǎng)絡服務器首次失效時間服從E(λ)，現(xiàn)隨機購得4臺，求下列事件的概率：(Ⅰ)事件A：至少有一臺的壽命(首次失效時間)等于此類服務器期望壽命；(Ⅱ)事件B：有且僅有一臺壽命小于此類服務器期望壽命．標準答案：設服務器首次失效時間為X，則X～E(λ)．(Ⅰ)由題設X～E(λ)可知，X為連續(xù)型隨機變量．由于連續(xù)型隨機變量取任何固定值的概率是0，因此P(A)=0(詳細寫作：因p=P{X=E(X)}=0，故P(A)=C4kpkqn－k=0)．(Ⅱ)由于X～E(λ)則E(X)=1／λ，即服務器的期望壽命為1／λ．從而一臺服務器的壽命小于此類服務器期望壽命E(X)的概率為p0=∫01／λλe－λxdx=1－e－1．而每臺服務器的壽命可能小于E(x)，也可能超過E(X)，從而4臺服務器中壽命小于E(X)的臺數(shù)應該服從二項分布，故所求概率為P(B)=C41p0(1－p0)3=4e－3(1－e－1)．知識點解析：暫無解析21、寫了n封信，但信封上的地址是以隨機的次序寫的，設Y表示地址恰好寫對的信的數(shù)目，求EY，及DY．標準答案：EXk=F{Xk=1}=1／n，DXk=1／n(1－)=(n－1)／n2，k=1，…，n，E(XkXl)=P{Xk=1，Xl=1}=P{Xk=1}P{Xl=1|Xk=1}=Cov(Xk，Xl)=E(XkXl)－EXkEXl知識點解析：暫無解析22、設正態(tài)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn為來自X的簡單隨機樣本，求證：標準答案：根據(jù)簡單隨機樣本的性質(zhì)，X1，X2，…，Xn相互獨立與X同分布，且與S2相互獨立，于是又因～χ2(n－1)，且W與S2相互獨立，所以=F～F(1，n－1)．知識點解析：暫無解析已知X1，…，Xn是來自總體X容量為n的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為與S2．23、如果EX=μ，DX=σ2，試證明：Xi－與Xj－(i≠j)的相關系數(shù)ρ=－標準答案：由于總體分布未知，因此只能應用定義與性質(zhì)證明．因為X1，…，Xn相互獨立且與總體X同分布，故EXi=μ，DXi=σ2，D=σ2／n，知識點解析：暫無解析24、如果總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，試證明：協(xié)方差Cov(X1，S2)=0．標準答案：由于總體X～N(0，σ2)，故EXi=0，DXi=σ2．=1／n2Cov(X1，X12)+Cov(X1，X1Xj)=1／n2(EX13－EX1EX12)+(EX12Xj－EX1EX1Xj)=0，故Cov(X1，S2)=0．知識點解析：暫無解析25、已知總體X服從瑞利分布，其密度函數(shù)為X1，…，Xn為取自總體X的簡單隨機樣本，求θ的矩估計量，并問這個估計量是否為無偏估計量?標準答案：記EX=μ，DX=σ2，則DX=EX2－(EX)2計算可知是θ的有偏估計量．知識點解析：暫無解析26、設有一批同型號產(chǎn)品，其次品率記為p．現(xiàn)有五位檢驗員分別從中隨機抽取n件產(chǎn)品，檢測后的次品數(shù)分別為1，2，2，3，2．(Ⅰ)若已知p=2．5％，求n的矩估計值(Ⅱ)若已知n=100，求p的極大似然估計值(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，檢驗員從該批產(chǎn)品中再隨機檢測100個產(chǎn)品，試用中心極限定理近似計算其次品數(shù)大于3的概率(注：Ф(5／7)=0．76)．標準答案：記X為n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X～B(n，p)．(Ⅰ)由=EX=np，即10／5=2．5％n，得=80．=C1001(C1002)3C1003p10(1－p)490，lnL=ln[C1001(C1002)3C1003]+10lnp+490ln(1－p)，(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，X～B(100，1／50)，由中心極限定理知X近似服從N(2，19／25)，于是P{X＞3}=1－0．76=0．24．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設A，B為兩個任意事件，則使減法公式P(A－C)=P(A)－P(C)成立的C為()．A、B、C、C=(A∪B)(A－B)D、C=(A－B)∪(B－A)標準答案：C知識點解析：因(A∪B)(A－B)=A(A－B)∪B(A－B)=A(A－B)=A－BA，即此時C是A的子事件，故有P(A－C)=P(A)－P(C)．故選C．2、設X的分布函數(shù)為F(x)，則在下列函數(shù)中，仍為分布函數(shù)的是()．A、F(2x－1)B、F(1－x)C、F(x2)D、1－F(－x)標準答案：A知識點解析：易驗證F(2x－1)滿足分布函數(shù)的充要條件為：①0≤F(2x－1)≤1；②單調(diào)不下降；③右連續(xù)性；④故選A．3、設X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ1，σ22)，則()．A、X+Y～N(μ1+μ2，σ12+σ22)B、X－Y～N(μ1－μ2，σ12－σ22)C、X與y不相關和X與y相互獨立等價D、X+y可能不服從正態(tài)分布標準答案：D知識點解析：由于只已知X與Y的邊緣分布為正態(tài)分布，而其聯(lián)合分布未知，所以A，B，C均不正確．故選D．4、設隨機變量X與Y服從正態(tài)分布N(－1，2)與N(1，2)，并且X與Y不相關，Ax+Y與X+bY亦不相關，則()．A、a－b=1B、a－b=0C、a+b=1D、a+b=0標準答案：D知識點解析：X～N(－1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)=2，D(Y)=2．又Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0．由協(xié)方差的性質(zhì)有Cov(aX+Y，X+bY)=aCov(X，X)+Cov(Y，X)+abCov(X，Y)+bCov(Y，Y)=aD(X)+bD(Y)=2a=2b=0，故a+b=0．故選D．5、設隨機變量X1，X2，…相互獨立且同服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其中φ(x)=則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：故選A．6、設隨機變量X～N(0，1)和Y～N(0，2)，并且相互獨立，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：故選C．7、在假設檢驗中，原假設H0的拒絕域為W，x1，x2，…，xn為樣本值，則犯第二類錯誤的情況為()．A、H0真，且x1，x2，…，xn∈WB、H0不真，且x1，x2，…，xnWC、H0真，且x1，x2，…，xnWD、H0不真，且x1，x2，…，xn∈W標準答案：B知識點解析：犯第二類錯誤指的是H0不真，但接受H0，即樣本值(x1，x2，…，xn)W．故選B．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)8、已知事件A與B相互獨立，P(A)=a，P(B)=b．如果事件C發(fā)生必然導致事件A與B同時發(fā)生，則A，B，C都不發(fā)生的概率為______．標準答案：應填(1－a)(1－b)．知識點解析：由于CAB，P(AB)=P(A)P(B)，故A，B，C都不發(fā)生的概率為=1－P(A∪B∪C)=1－P(A)－P(B)－P(C)+P(AB)+P(BC)+P(AC)－P(ABC)=1－a－b－P(C)+ab+P(C)+P(C)－P(C)=1－a－b+ab=(1－a)(1－b)．9、設二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)則R的取值范圍是______．標準答案：應填知識點解析：10、設X1，X2，…，Xn，…相互獨立同分布，其分布函數(shù)記為F(x)，密度函數(shù)記為f(x)，并且F(x)嚴格單調(diào)，f(x)連續(xù)，根據(jù)中心極限定理，當n充分大時，近似服從______分布，參數(shù)為______．標準答案：應填正態(tài)，知識點解析：易知F(Xi)，i=1，2，…，n相互獨立同分布，且其分布為[0，1]上的均勻分布，故E[F(xi)]=三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)11、設隨機變量X服從參數(shù)為λ＞0的指數(shù)分布，且X的取值于區(qū)間[1，2]上的概率達到最大，試求λ的值．標準答案：X的分布函數(shù)為P(1≤X≤2)=F(2)－F(1)=1－e－2λ－(1－e－λ)=eλ－e－2λ．記g(λ)=eλ－e－2λ，則g’(λ)=e－λ+2e－2λ．令g’(λ)=0得λ0=ln2，且g’’(λ0)＜0，故當λ=λ0=ln2時，P(1≤X≤2)達到最大．知識點解析：暫無解析12、商店銷售10臺洗衣機，其中有3臺次品，7臺正品．若已知已售出洗衣機4臺，求從剩下的洗衣機中任選一臺是正品的概率．標準答案：由古典概型得所求概率知識點解析：暫無解析13、設隨機變量X的分布函數(shù)為試求y=X2的分布函數(shù)．標準答案：FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)．當y＜0時，F(xiàn)Y(y)=0；當0≤y＜1時，當y≥1時，F(xiàn)Y(y)=1．故知識點解析：暫無解析14、設隨機變量X在(0，1)上服從均勻分布，而且tan(πY／2)=eX，求y的概率密度．標準答案：由tan(πY／2)=eX得由于當0＜X＜1時，fX(x)＞0，于是當時，fY(y)＞0．因此，有從而Y的概率密度為知識點解析：暫無解析15、假設隨機變量X等可能地取1，2，3，4為值，而隨機變量Y等可能地取1到X的自然數(shù)為值，試求X和Y的聯(lián)合概率分布．標準答案：當j＞i時，有Pij=P(X=i，Y=j)=0；當j≤i時，有pij=P(X=i，Y=j)=P(X=i)P(Y=j｜X=i)故X與Y的聯(lián)合分布律為知識點解析：暫無解析16、假設隨機變量X和Y獨立同分布．P{X=0}=P{Y=0}=1－p，P{X=1}=P{Y=1)=p．隨機變量問p取何值時，X和Z獨立?這時X,Y,Z是否相互獨立?標準答案：易得X+Y服從二項分布B(2，p)，于是P(Z=0)=P(X+Y=1)=2p(1－p)，P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2)=(1－p)2+P2=1－2p+2p2．若X與Z獨立，則P(X=0，Z=0)=P(X=0)P(Z=0)，其中P(X=0，Z=0)=P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=P(X=0)P(y=1)=(1－P)P．因此(1－P)P=(1－p)．2p(1－p)，即P(X=i，Z=j)=P(X=i)P(Z=j)，i，j=0，1，故X與Z獨立．又因為P(X=0，Y=0，Z=0)=P(X=0，Y=0，X+Y=1)=0，P(X=0)P(Y=0)P(Z=0)≠0，所以時，X，Y，Z并不相互獨立．知識點解析：暫無解析假設隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為17、求未知常數(shù)c；標準答案：由∫－∞+∞∫－∞+∞f(x，y)dxdy=1，即∫01∫01cxydxdy=1，得c=4．知識點解析：暫無解析18、求概率P{X＜Y)；標準答案：知識點解析：暫無解析19、求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x，y)；標準答案：F(x，y)=∫－∞x∫－∞yf(u，v)dudv，當X＜0或y＜0時，F(xiàn)(x，y)=0；當0≤x＜1，0≤y＜1時，F(xiàn)(x，y)=∫0x∫0y4uvdudv=x2y2；當0≤x＜1，y≥1時，F(xiàn)(x，y)=∫01dv∫0x4uvdu=x2；當0≤y＜1，x≥1時，F(xiàn)(x，y)=∫01du∫0y4uvdv=y2；當x≥1，y≥1時，F(xiàn)(x，y)=1．故X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)為知識點解析：暫無解析20、求X和Y的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)．標準答案：X的分布函數(shù)F1(x)=F(x，+∞)Y的分布函數(shù)F2(y)=F(+∞，y)知識點解析：暫無解析設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從(－1，1)上的均勻分布．21、試求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)；標準答案：因為又X與Y相互獨立，故X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為知識點解析：暫無解析22、試求Z=X+Y的密度函數(shù)．標準答案：X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為故Z的密度函數(shù)為知識點解析：暫無解析23、保險公司設置一險種為：每份保單有效期為一年，有效理賠一次；每份保費500元，理賠金額為2萬元．統(tǒng)計資料表明，每份保單索賠的概率為0．005．假設總共賣出此種保單800份，試求公司的期望利潤．標準答案：設X表示需要索賠的保單數(shù)，則X服從二項分布B(800，0．005)，該公司的期望利潤為Q=E(800×500－20000X)=400000－20000E(X)=400000－20000×800×0．005=320000(元)．故公司的期望利潤為32萬元．知識點解析：暫無解析24、檢查員逐個地檢查某產(chǎn)品，每次花10秒鐘檢查一個，但也可能有的產(chǎn)品需要再花10秒鐘重復檢查一次，假設每個產(chǎn)品需要重復檢查的概率為0．5，求在8小時內(nèi)檢查員檢查的產(chǎn)品個數(shù)多于1900個的概率是多少?標準答案：設Xi表示“檢查第i個產(chǎn)品花費的時間”(單位為秒)，即i=1，2，…，1900．易知X1，X2，…，Xn相互獨立且同分布檢查1900個產(chǎn)品所花費的時間，且E(Xi)=10×0．5+20×0．5=15，D(Xi)=E(Xi2)－E2(Xi)=25．知識點解析：暫無解析設總體X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為其中λ＞0是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本．25、求λ的最大似然估計量；標準答案：似然函數(shù)為知識點解析：暫無解析26、求的最大似然估計量；標準答案：知識點解析：暫無解析27、判斷的最大似然估計的無偏性；標準答案：由于知識點解析：暫無解析設總體X的密度函數(shù)為其中θ＞0為未知參數(shù)，x1，X2，…，Xn為來自X的樣本，28、證明：都是θ的無偏估計量；標準答案：因為的無偏估計量．易得總體X的分布函數(shù)為從而Yn的密度函數(shù)為知識點解析：暫無解析29、比較這兩個估計量，哪一個更有效?標準答案：易得顯然，n＞1時，有知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：設A={兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品)，A1={兩件產(chǎn)品都是不合格品}，A2={兩件產(chǎn)品中一件是不合格品，另一件是合格品}，則A=A1∪A2，A1A2=，所求概率即為P(A1｜A)．因故應選C．2、設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度為其中A為常數(shù)，則=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由∫01Ax(1－x)dx==1，得A=6．所以3、設X1，X2，…，X8是來自總體N(2，1)的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從()A、χ2(2)B、χ2(3)C、t(2)D、t(3)標準答案：C知識點解析：且它們相互獨立，所以所以由T與X相互獨立得，因此本題選C．4、設隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，記p1=P{X≤μ－4}，p2=P{Y≥μ+5}，則()A、對任意實數(shù)μ，都有p1=p2B、對任意實數(shù)μ，都有p1＜p2C、只對μ的個別值，才有p1=p2D、對任意實數(shù)μ，都有p1＞p2標準答案：A知識點解析：用Ф(x)代表標準正態(tài)分布N(0，1)的分布函數(shù)，有由于Ф(－1)=1－Ф(1)，所以p1=p2．5、設a為區(qū)間(0，1)上一個定點，隨機變量X服從(0，1)上的均勻分布．以Y表示點X到a的距離，當X與Y不相關時，a=()A、0．1B、0．3C、0．5D、0．7標準答案：C知識點解析：由題設條件知X～U(0，1)，Y=｜X－a｜，又因為EY=∫01｜x－a｜dx=∫0a(a－x)dx+∫a1(x－a)dx=a3－a+，E(XY)=∫0ax(a－x)dx+∫a1x(x－a)dx=所以由Cov(X，Y)=0可得方程4a3－6a2+1=0，此方程等價于(2a－1)(2a2－2a－1)=0，從中解得在(0，1)內(nèi)的實根為a=0．5，即a=0．5時，X與Y不相關．6、一袋中有6個正品4個次品，按下列方式抽樣：每次取1個，取后放回，共取n(n≤10)次，其品個數(shù)記為X；若一次性取n(n≤10)個，其中次品個數(shù)記為y．則下列正確的是()A、EX＞EYB、EX＜EYC、EX=EYD、若n不同，則EX，EY大小不同標準答案：C知識點解析：由題意Y服從參數(shù)為n，10，4的超幾何分布，故因此EX=EY．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、設A，B是任意兩個事件，則=______．標準答案：0知識點解析：8、已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，即k=0，1，2，…，則隨機變量Z=3X－2的數(shù)學期望EZ=______．標準答案：4知識點解析：EZ=3EX－2=4．9、設總體X～P(A)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，它的均值和方差分別為和S2，則和E(S2)分別為______．標準答案：知識點解析：，E(S2)=DX=λ．10、設隨機事件A，B，C滿足C=A∪B，P(AB｜C)=______．標準答案：知識點解析：由可得P(A)=P(B)．又由可得A，B相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)]2=[P(B)]2．11、設二維隨機變量的分布律為則隨機變量Z=Y.min{X，Y}的分布律為______．標準答案：知識點解析：Z全部可能的取值為0，1，2，3，且所以Z的分布律為12、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為則隨機變量Z=X－Y的方差為______．標準答案：知識點解析：DZ=DX+DY－2Cov(X，Y)=DX+Dy－2E(XY)+2EXEY，①其中D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x}，如圖3—6陰影部分所示．關于X的邊緣概率密度為關于Y的邊緣概率密度為13、假設一設備在任何長為t的時間段內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λt的泊松分布(λ＞0)，設兩次故障之間時間間隔為T，則ET=______．標準答案：知識點解析：由于丁是非負隨機變量，故當t＜0時F(t)=P{T≤t}=0；當t≥0時，由于事件T＞t與N(t)=0等價．所以當t≥0時，F(xiàn)(t)=P{T≤t}=1－P{T＞t}=1－P{N(t)=0}=1－e－λt．于是T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，即三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)14、設P(A)＞0，P(B)＞0．證明：A，B互不相容與A，B相互獨立不能同時成立．標準答案：一方面，若A，B互不相容，則AB=，于是P(AB)=0≠P(A)P(B)＞0，所以A，B不相互獨立；另一方面，若A，B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)＞0，于是AB≠，即A，B不是互不相容的．知識點解析：暫無解析15、設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx，－∞＜x＜+∞，求：(1)系數(shù)A與B；(2)P{－1＜X≤1}；(3)X的概率密度．標準答案：(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)得(3)X的概率密度為f(x)=F’(x)=－∞＜x＜+∞．知識點解析：暫無解析16、假設有四張同樣的卡片，其中三張上分別只印有a1，a2，a3，而另一張上同時印有a1，a2，a3．現(xiàn)在隨意抽取一張卡片，令Ak={卡片上印有ak}．證明：事件A1，A2，A3兩兩獨立但不相互獨立．標準答案：由于對任意的k，j(k，j=1，2，3且k≠j)，有P(AkAj)==P(Ak)P(Aj)，可見事件A1，A2，A3兩兩獨立．但是，由于P(A1A2A3)==P(A1)P(A2)P(A3)，可見事件A1，A2，A3不相互獨立．知識點解析：暫無解析某保險公司接受了10000輛電動自行車的保險，每輛車每年的保費為12元．若車丟失，則賠償車主1000元．假設車的丟失率為0．006，對于此項業(yè)務，試利用中心極限定理，求保險公司：17、虧損的概率α；標準答案：設X為需要賠償?shù)能囍魅藬?shù)，則需要賠償?shù)慕痤~為Y=0．1X(萬元)；保費總收入C=12萬元．顯而易見，隨機變量X服從參數(shù)為(n，p)的二項分布，其中n=10000，p=0．006；EX=np=60，DX=np(1－p)=59．64．由棣莫弗一拉普拉斯定理知，隨機變量X近似服從正態(tài)分布N(60，59．64)，隨機變量Y近似服從正態(tài)分布N(6，0．5964)．保險公司虧損的概率知識點解析：暫無解析18、一年獲利潤不少于40000元的概率β；標準答案：保險公司一年獲利潤不少于4萬元的概率β=P{12－Y≥4}=P{Y≤8)=≈Ф(2．59)=0．9952．知識點解析：暫無解析19、一年獲利潤不少于60000元的概率γ．標準答案：保險公司一年獲利潤不少于6萬元的概率γ=P{12－Y≥6}=P{Y≤6)=≈Ф(0)=0．5．知識點解析：暫無解析20、設隨機變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)．標準答案：f(x)的圖形如圖3—8所示，則X的分布函數(shù)為F(x)=∫－∞xf(u)du知識點解析：暫無解析21、設(X，Y)的聯(lián)合概率密度為求：(1)Z=｜X｜+Y的概率密度fZ((z)；(2)EZ．標準答案：(1)FZ(z)=P{Z≤z}=P{｜x｜+Y≤z}，①當z＜0時，F(xiàn)Z(z)=0；②當z≥2時，F(xiàn)Z(z)=1；③當0≤z＜1時，F(xiàn)Z(z)=P{Z≤z}=P{｜X｜+Y≤z}=P{｜X｜+Y≤z，X≥0}+P{｜X｜+Y≤z，X＜0}=P{X+Y≤z，X≥0}+P{－X+Y≤z，X＜0}，利用二維均勻分布幾何意義，積分區(qū)域如圖3—13所示④1≤z＜2時，同③有(如圖3—14)(2)用公式有EZ=∫－∞+∞zfZ(z)dz=∫01z.zdz+∫12z(2－z)dz=1．知識點解析：暫無解析22、已知X～t(n)，求證：X2～F(1，n)．標準答案：X～t(n)，則X可表示為其中Z～N(0，1)，Y～χ2(n)且Z，Y相互獨立，又Z2～χ2(1)，于是知識點解析：暫無解析23、一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設每箱平均重量50千克，標準差為5千克，若用最大載重為5噸的汽車承運，試用中心極限定理說明每輛車最多可裝多少箱，才能保證不超載的概率大于0．977(φ(2)=0．977)．標準答案：設Xi是“裝運的第i箱的重量”，n表示裝運箱數(shù)，則EXi=50，DXi=52=25，且裝運的總重量Y=X1+X2+…+Xn，因{Xn}獨立同分布，故EY=50n，DY=25n．由列維一林德伯格中心極限定理知Y近似服從N(50n，25n)．于是即n＜98．01，即最多可以裝98箱．知識點解析：暫無解析24、利用列維一林德伯格定理，證明：棣莫弗一拉普拉斯定理．標準答案：設隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，均服從以p為參數(shù)的0－1分布，則有EXi=p，DXi=pq(i=1，2，…，n)，于是Sn=X1+X2+…+Xn，ESn=np，DSn=npq，其中q=1－p．隨機變量X1，X2，…，Xn滿足列維一林德伯格定理的條件：X1，X2，…，Xn獨立同分布且數(shù)學期望和方差存在，當n充分大時近似地有Sn～N(np，npq)，得證．知識點解析：暫無解析在獨立的伯努利試驗中，若p為一次試驗中成功的概率．以X記為第r次成功出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，則X是隨機變量，取值為r，r+1，…，稱為負二項分布．記為M(r，p)．其概率分布為：P{X=k}=Ck－1r－1(1－p)k－r，k=r，r+1，…．25、記Y1表示首次成功的試驗次數(shù)，Y2表示第1次成功后到第2次成功為止共進行的試驗次數(shù)，證明X=Y1+Y2～Nb(2，p)；標準答案：Y1表示首次成功的試驗次數(shù)，則Y1服從參數(shù)為P的幾何分布，取值1，2，…．Y2表示第1次成功后到第2次成功為止共進行的試驗次數(shù)，則Y2也服從參數(shù)為P的幾何分布，取值為1，2，…，即Y1，Y2獨立同分布于P{Y1=k}=(1－p)k－1.p，k=1，2，…，則X=Y1+Y2為第2次成功出現(xiàn)時的試驗次數(shù)取值為2，3，…，=(k－1)p2(1－p)k－2=Ck－11p2(1－p)k－2，因此X=Y1+Y2～Nb(2，p)．知識點解析：暫無解析26、設試驗成功的概率為獨立重復試驗直到成功兩次為止，求試驗次數(shù)的數(shù)學期望、方差．標準答案：令的幾何分布且相互獨立，重復試驗直到成功兩次為止的試驗次數(shù)X=Y1+Y2．知識點解析：暫無解析27、設X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，X的概率密度為其中θ＞0，試求θ的最大似然估計．標準答案：由題意得似然函數(shù)為為θ的最大似然估計量．知識點解析：暫無解析設總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n(n≥2)是X的簡單隨機樣本，且及統(tǒng)計量28、統(tǒng)計量Y是否為σ2的無偏估計；標準答案：由X1，…，X2n(n≥2)是X的簡單隨機樣本，則X1+Xn+1，X2+Xn+2，…，Xn+X2n也獨立．因為Xi+Xn+i(i=1，2，…，n)為N(2μ，2σ2)的簡單隨機樣本，則樣本均值為由于E(S2)=2σ2，所以即EY=2(n－1)σ2，故Y不是σ2的無偏估計．知識點解析：暫無解析29、當μ=0時，試求標準答案：當μ=0時，Xi+Xn+i～N(0，2σ2)，i=1，2，…，n，則知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設X1，…，Xn為相互獨立的隨機變量，Sn＝X1＋…＋Xn，則根據(jù)列維一林德貝格中心極限定理，當n充分大時，Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1，…XnA、有相同的數(shù)學期望；B、有相同的方差；C、服從同一指數(shù)分布；D、服從同一離散型分布．標準答案：C知識點解析：列維一林德貝格中心極限定理要求諸Xi獨立同分布，因此選項A、B不能選(無法保證同分布)，而選項D卻保證不了EXi及DXi存在，甚至排除不了Xi為常數(shù)(即退化分布)的情形，而中心極限定理卻要求Xi非常數(shù)且EXi與DXi存在，故不選D，只有C符合要求，故選C．2、設總體X～N(μ，σ2)，從中抽得簡單樣本X1，X2，…，Xn．記則Y1～＝_______，Y2～_______(寫出分布，若有參數(shù)請注出)且A、Y1、Y2均與獨立．B、Y1、Y2均與不獨立．C、Y1與獨立，而Y2未必．D、Y2與獨立，而Y2未必．標準答案：D知識點解析：由Xi～N(μ，σ2)，∴～N(0，1)，且X1，…，Xn相互獨立，故～χ2(n)，故Y1～χ2(n)．而由～χ2(n－1)，故Y2～χ2(n－1)，且Y2與獨立，而Y1未必，故選D．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)3、設總體X～N(μ，σ2)，從X中抽得容量為16的簡單樣本，S2為樣本方差，則D(S2)＝_______．標準答案：σ4知識點解析：∵～χ2(15)，∴D()＝2×15＝30，即D(S2)＝30，故D(S2)＝σ5．4、設X～F(n，n)，且P(｜X｜＜A)＝0．3，則P(X＜)＝_______．(其中A為一常數(shù))．標準答案：0．7知識點解析：由0．3＝P(X＜A)，∴A＝F0．3(n，n)，∴＝F0．7(n，n)，故P(X＜)＝0．7．5、設X1，…，Xn來自總體N(μ，σ2)的簡單樣本，其中μ、σ2均未知．記則假設H0：μ＝0的t檢驗使用的統(tǒng)計量t＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)6、設X1，X2，…，Xn，是同分布的隨機變量，且EX1＝0，DX1＝1．不失一般性地設X1為連續(xù)型隨機變量．證明：對任意的常數(shù)λ＞0，有．標準答案：由已知可知：E(Xi2)＝DXi＋(EXi)2＝1，i＝1，…，n．設(X1，…，Xn)的概率密度為f(χ1，χ2，…，χn)，則知識點解析：暫無解析7、兩家影院競爭1000名觀眾，每位觀眾隨機地選擇影院且互不影響．試用中心極限定理近似計算：每家影院最少應設多少個座位才能保證“因缺少座位而使觀眾離去”的概率不超過1％?(Ф(2．328)＝0．9900)標準答案：設甲影院(乙影院完全同理)應設N個座位才符合要求，而這1000名觀眾中有X名選擇甲影院，則X～B(1000，)，由題意有：P(X≤N)≥0．99．而由中心極限定理知：故得≥2．328，∴N≥53．知識點解析：暫無解析8、(1)設系統(tǒng)由100個相互獨立的部件組成．運行期間每個部件損壞的概率為0．1．至少有85個部件是完好時系統(tǒng)才能正常工作，求系統(tǒng)正常T作的概率．Ф()＝0．9522．(2)如果上述系統(tǒng)由n個部件組成，至少有80％的部件完好時系統(tǒng)才能正常工作．問n至少多大才能使系統(tǒng)正常工作的概率不小于0．95?Ф(1．645)＝0．95．標準答案：(1)設有X個部件完好，則X～B(100，0．9)，∴EX＝90，DX＝9，∴P{系統(tǒng)正常工作}＝P{X≥85}＝＝0．9522．(2)設有Y個部件完好，則Y～B(n，0．9)，∴EX＝0．9n，DX＝0．09n，∴P{X≥0．8n}＝由題意，P(X≥0．8n)≥0．95，∴Ф()≥0．95，故≥1．645，得n≥24．35，即n≥25．知識點解析：暫無解析9、對隨機變量X，已知EekX．存在(k＞0常數(shù))，證明：P{X≥ε}≤.E(ekX)．(其中ε＞0)．標準答案：不失一般性，設X為連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(χ)，則EekX＝∫－∞＋∞ekχ.f(χ)dχ，而P{X≥ε}＝∫χ≥εf(χ)dχ≤．知識點解析：暫無解析10、當擲一枚均勻硬幣時，問至少應擲多少次才能保證正面出現(xiàn)的頻率在0．4至0．6之間的概率不小于0．97試用切比雪夫不等式和中心極限定理來分別求解．標準答案：設拋擲n次硬幣，正面出現(xiàn)X次，則X～B(n．0．5)．現(xiàn)要求P(0．4＜＜0．6)≥0．9．即P(0．4n＜X＜0．6n)≥0．9．(1)用切比雪夫不等式：P(0．4n＜X＜0．6n)＝P(｜X－0．5n｜＜0．1n)≥1－，令1－≥0．9，得n≥250；(2)用中心極限定理：P(0．4n＜X＜0．6n)＝≈Ф(0．2)－Ф(0．2)＝2Ф(0．2)－1．令2Ф(0．2)－1≥0．9，得Ф(0．2)≥0．95，∴0．2≥1．645，∴n≥67．65即n≥68．知識點解析：暫無解析11、利用中心極限定理證明：標準答案：引隨機變量Xk～π(1)(參數(shù)為1的泊松分布)，k＝1，2，…，且{Xk}相互獨立，由泊松分布的再生性知令n→∞，由中心極限定理即知：知識點解析：暫無解析12、設總體X具有概率密度：f(χ)＝從此總體中抽得簡單樣本X1，X2，X3，X4，求T＝Xi的密度．標準答案：T的分布函數(shù)為FT(t)＝P(T≤t)＝P(Xi≤t)＝P(X1≤t，…，X4≤t)＝[P(X1≤t)]4故fT(t)＝F′(t)＝知識點解析：暫無解析13、記總體X～N(μ，σ2)，X1，…，Xn為取自X的簡單樣本d＝｜Xi－μ｜，求E(d)D(d)．標準答案：∵ξ＝～N(0，1)，得D｜Xi－μ｜＝(1－)σ2．于是知識點解析：暫無解析14、設總體X～N(72，100)，為使樣本均值大于70的概率不小于0．95，樣本容量n至少應取多大?Ф(1．645)＝0．95標準答案：由題意知：查表得≥1．645，∴n≥67．65，即n≥68知識點解析：暫無解析15、從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，設樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上的概率為0．02，求總體的標準差(Ф(2．33)＝0．99)．標準答案：設總體X～N(μ，σ)，則，由題意得：0．02＝P{－μ｜＞4}查表得＝2．33，∴σ＝．知識點解析：暫無解析16、設總體X～N(μ，σ2)，從X中抽得樣本X1，…，Xn，Xn-1，記試求的分布．標準答案：又～χ2(n－1)，且Sn2與Xn+1－相互獨立，故知識點解析：暫無解析17、設k個總體N(μ，σ2)(i＝1，…，k)相互獨立，從第i個總體中抽得簡單樣本：Xi1，Xi2…，，記＝，(i＝1，…，k)．又記n＝，試求T＝的分布．標準答案：由χi2＝～χ2(ni－1)，i＝1，2，…，k．且χ12，…，χk2相互獨立，∴χi2～χ2((ni－1))即T～χ2(n－k)知識點解析：暫無解析18、從總體X～N(0，σ2)中抽得簡單樣本X1，…，Xn+m，求Y＝．標準答案：∵～N(0，1)，i＝1，…，n＋m，且諸Xi相互獨立，故：又∵Xi2與Xχ2相互獨立，故即Y～F(n，m)．知識點解析：暫無解析19、設總體X～B(m，p)，其中m已知，p未知．從X中抽得簡單樣本X1，…，Xn，試求p的矩估計和最大似然估計．標準答案：矩估計：EX＝mp，∴，故；最大似然估計：似然函數(shù)為：令解得p＝，故p的最大似然估計為．知識點解析：暫無解析20、設總體的密度為：從X中抽得簡單樣本X1，…，Xn．試求未知參數(shù)θ的矩估計和最大似然估計．標準答案：矩估計：最大似然估計：似然函數(shù)為L＝f(χi)即當χ1，…，χn＞0時，lnL＝－2nlnθ＋ln(χ1…χn)－∴令＝0，解得θ＝故θ的最大似然估計為：知識點解析：暫無解析21、設總體X在區(qū)間(μ－p，μ＋p)上服從均勻分布，從X中抽得簡單樣本X1，…，Xn，求μ和ρ(均為未知參數(shù))的矩估計，并問它們是否有一致性．標準答案：∵EX＝μ，EX2＝DX＋(EX)2＝＋μ2，得，解得矩估計為而n→∞時，即和分別是μ和ρ的一致估計．知識點解析：暫無解析22、設總體X在區(qū)間[0，θ]上服從均勻分布，其中θ＞0為未知參數(shù)，而X1，…，Xn為從X中抽得的簡單樣本，試求θ的矩估計和最大似然估計，并問它們是否是θ的無偏估計?標準答案：EX＝，得∴為θ的矩估計．而＝θ．即為θ的無偏估計．又，似然函數(shù)當0≤≤θ時，隨著θ的增加L在減小，欲使L達最大，須θ＝χi，即θ的最大似然估計為，而的分布函數(shù)為∴的概率密度為：可見不是θ的無偏估計．知識點解析：暫無解析23、設Y＝lnX～N(μ，σ2)，而X1，…，Xn為取自總體的X的簡單樣本，試求EX的最大似然估計．標準答案：EX＝Eey＝．令Yi＝lnXi，i＝1，2，…，n．Y1，…，Yn相當于取自總體Y中的樣本．似然函數(shù)故μ和σ2的最大似然估計分別為故EX的最大似然估計為這里exp{a}＝ea．知識點解析：暫無解析24、從均值為μ，方差為σ2＞0的總體中分別抽取容量為n1和n2的兩個獨立樣本，樣本均值分別記為和．試證：對任意滿足a＋b＝1的常數(shù)a、b，T＝都是μ的無偏估計．并確定a、b，使D(T)達到最?。畼藴蚀鸢福篍(T)＝＝(a＋b)μ＝μ，∴T為μ的無偏估計．而令(DT)′a＝0，解得a＝，而可見D(T)在a＝處取得唯一極值且為極小值，故時，D(T)最?。R點解析：暫無解析25、總體X～N(2，σ2)，從X中抽得簡單樣本X1，…，Xn試推導σ2的置信度為1－α的置信區(qū)間．若樣本值為：1．8，2．1，2．0，1．9，2．2，1．8．求出σ2的置信度為0．95的置信區(qū)間．(χ0．9752(6)＝14．449，χ0．0252(6)＝1．237．下側分位數(shù)．)標準答案：χ2＝(Xi－2)2～χ2(n)，∴1－α＝故σ2的置信區(qū)間為：對1－α＝0．95，n＝6，可算得(χi－2)2＝0．14，故σ2的置信區(qū)間為＝[0．009689，0．1132]．知識點解析：暫無解析26、為了研究施肥和不施肥對某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響獨立地，選了13個小區(qū)在其他條件相同的情況下進行對比試驗，得收獲量如下表：設小區(qū)的農(nóng)作物產(chǎn)量均服從正態(tài)分布且方差相等，求施肥與未施肥平均產(chǎn)量之差的置信度為0．95的置信區(qū)間(t0．975(11)＝2．201，下側分位數(shù))．標準答案：設施肥與不施肥的農(nóng)作物產(chǎn)量分別為總體X與Y，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，由題可知n＝6，＝33，Sχ2＝＝3．2，m＝7，＝30，Sy2＝＝4，1－α＝0．95，故μ1－μ2的置信下限為置信上限為知識點解析：暫無解析27、隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的樣本標準差S＝11．設炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信度為0．95的置信區(qū)間．標準答案：設炮口速度為總體X，X～N(μ，σ2)，而n＝9，α＝0．05．∴的置信下限為σ的置信上限為知識點解析：暫無解析28、一個罐子里裝有黑球和白球，黑、白球數(shù)之比為R：1，現(xiàn)有放回地一個接一個地抽球，直到抽到黑球為止，記X為所抽的白球數(shù)．這樣做了n次以后，我們獲得一組樣本：X1，X2，…，Xn，基于此，求R的最大似然估汁．標準答案：由題意，總體X的分布律為：P{X＝k}＝，k＝0，1，2，…似然函數(shù)為令＝0，解得R＝，故R的最大似然估計為知識點解析：暫無解析29、用過去的鑄造方法，零件強度的標準差是1．6kg／mm2．為了降低成本，改變了鑄造方法．測得用新方法鑄出的零件強度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52．設零件強度服從正態(tài)分布．取顯著性水平α＝0．05，問改變方法后零件強度的方差是否發(fā)生了變化?(χ0．9752(8)＝17．5，χ0．0252(8)＝2．180，下側分位數(shù))標準答案：設零件強度為總體X，則X～N(μ，σ2)，檢驗H0，σ2＝1．62．拒絕域為χ2＝并χ2≥(n－1)，這里σ02＝1．62，n＝9，算得＝53，χ2＝＝3．90625，故(n－1)＝2．180＜χ2＜17．535＝(n－1)，故接受H0．知識點解析：暫無解析30、一批礦砂的4個樣品中鎳含量測定為(％)：3．25，3．26．3．24．3．25．設測定值總體服從正態(tài)分布。問在α＝0．01下能否接受假設：這批礦砂鎳含量的均值為3．26．(t0．975(3)＝5．8409，下側分位數(shù))．標準答案：設這批礦砂的鎳含量為總體X，則X～N(μ，σ2)．檢驗H0：μ＝μ0．這兒μ0＝3．26，n＝4，拒絕域為：可算得＝3．25，S＝0．01，故｜－μ0｜＝0．01，＝0．02920，可見，故接受H0．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)1、設事件A，B同時發(fā)生時事件C必然發(fā)生，則()A、P(C)≤P(A)+P(B)．B、P(C)＞P(A)+P(B)-1．C、P(ABC)=P(AB)．D、P(C)=P(A∪B)．標準答案：C知識點解析：因A，B同時發(fā)生時事件C必然發(fā)生，所以，ABC，則ABC=AB，P(ABC)=P(AB)，故選C．2、設隨機事件A與B相互獨立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，則P(B-A)=()A、0．1．B、0．2．C、0．3．D、0．4．標準答案：B知識點解析：因為A與B相互獨立，所以，①A與也相互獨立，從而，即P(A)=0．6；②B與也相互獨立，從而P(B-A)==[1-P(A)]=P(B)=0．4×0．5=0．2．3、將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A1={擲第一次出現(xiàn)正面)，A2={擲第二次出現(xiàn)正面)，A3={正、反面各出現(xiàn)一次)，A4={正面出現(xiàn)兩次)，則事件()A、A1，A2，A3相互獨立．B、A2，A3，A4相互獨立．C、A1，A2，A3兩兩獨立．D、A2，A3，A4兩兩獨立．標準答案：C知識點解析：A，B兩事件相互獨立的充要條件為P(AB)=P(A)P(B)；A，B，C三事件相互獨立的充要條件為A，B，C兩兩相互獨立，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．因為P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=，且P(A1A2)=，P(A1A3)=，P(A2A3)=，P(A2A4)=，P(A1A2A3)=0，有P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A1A3)=P(A1)P(A3)，P(A2A3)=P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)≠P(A1)P(A2)P(A3)，P(A2A4)≠P(A2)P(A4)，故A1，A2，A3兩兩獨立但不相互獨立；A2，A3，A4不兩兩獨立更不相互獨立，應選C．4、設隨機變量X的概率密度為f(x)，則可以作為概率密度函數(shù)的是()A、f(2x)．B、f(2-x)．C、f2(x)．D、f(x2)．標準答案：B知識點解析：對于(B)，f(2-x)≥0且f(t)dt=1，所以正確選項為B．5、設隨機變量X～N(μ，σ2)，其分布函數(shù)為F(x)，則對任意函數(shù)a，有()A、F(a+μ)+F(a-μ)=1．B、F(μ+a)+F(μ-a)=1．C、F(a)+F(-a)=1．D、F(a-μ)+F(μ-a)=1．標準答案：B知識點解析：因為X～N(μ，σ2)，所以6、設隨機變量X的分布函數(shù)為p1=P{0≤X＜1}，p2=P{X=1}，則()A、p1＜p2．B、p1=p2．C、p1＞p2．D、無法判定．標準答案：C知識點解析：由于p1=P{0≤X＜1}=F(1-0)-F(0-0)p2=P{X-1)=F(1)-F(1-0)=1-e-x--e-1，因此p2＜p1，故選C．7、設(X，Y)的概率密度為f(x，y)=g(x)h(y)，其中g(x)≥0，h(y)≥0，存在且不為0，則X與Y的概率密度fX(x)，fY(y)分別為()A、fX(x)=g(x)，fY(y)=h(y)．B、fX(x)=ag(x)，fY(y)=bh(y)．C、fX(x)=bg(x)，fY(y)=ah(y)．D、fX(x)=g(x)，fY(y)=abh(y)．標準答案：C知識點解析：故選C．8、設隨機變量(X，Y)的分布律為已知事件{X=0}與{X+Y=2}獨立，則a，b分別為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由分布律性質(zhì)得a+b=，由{X=0}與{X+Y=2}獨立得P{X=0，X+Y=2}=P{X=0}.P{X+Y=2}，即．故選C．9、ξ，η相互獨立且在[0，1]上服從均勻分布，則使方程x2+2ξx+η=0有實根的概率為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由ξ～U(0，1)．η～U(0，1)，且ξ與η獨立，則(ξ，η)～f(x，y)=方程x2+2ξx+η=0有實根，則(2ξ)2-4η≥0，即ξ2≥η，故10、設隨機變量X與Y相互獨立，且X的分布函數(shù)為FX(z)，Y的概率分布為P{Y=0}P{Y=1}=，則Z=XY的分布函數(shù)FZ(z)為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由全概率公式及X與Y相互獨立得FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{Y=0}P{XY≤z｜Y=0]+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=}=P{X.0≤z｜Y=0)+P{X≤z｜Y=1}]=[P{X.0≤z}+P{X≤z}]，于是當z＜0時，F(xiàn)Z(z)=FX(z)；當z≥0時，F(xiàn)Z(z)=[1+FX(z)]．從而11、設離散型隨機變量X可能的取值為x1=1，x2=2，x3=3，且E(X)=2．3，E(X2)=5．9，則取x1，x2，x3所對應的概率為()A、p1=0．1，p2=0．2，p3=0．7．B、p1=0．2，p2=0．3，p3=0．5．C、p1=0．3，p2=0．5，p3=0．2．D、p1=0．2，p2=0．5，p3=0．3．標準答案：B知識點解析：E(X)=x1p1+x2p2+x3p3=p1+2p2+3(1-p1-p2)=3-2p1-p2=2．3，2p1+p2=0．7，E(X2)=x12p1+x22p2+x32p3=p1+4p2+9(1-p1-p2)=5．9，8p1+5p2=3．1，解得p1=0.2，p2=0.3，則p3=0.5故選B.12、設隨機變量X與Y均服從B(1，)分布，且E(XY)=．記X與Y的相關系數(shù)為ρ，則()A、ρ=1．B、ρ==-1．C、ρ=0．D、ρ=標準答案：A知識點解析：由，又Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=故選A．13、已知隨機變量X服從標準正態(tài)分布，Y=2X2+X+3，則X與Y()A、不相關且相互獨立．B、不相關且相互不獨立．C、相關且相互獨立．D、相關且相互不獨立．標準答案：D知識點解析：由于X～N(0，1)，所以E(X)=0，D(X)=E(X2)=1，E(X3)=0，所以E(XY)=E[X(2X2+X+3)]=2E(X2)+E(X2)+3E(X)=1．Coy(X，Y)=E(XY)-E(X)E(y)=1≠0X與Y相關X與Y不獨立．故選D．14、設隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，Sn=X1+X2+…+Xn，則根據(jù)列維一林德伯格中心極限定理，當n充分大時，Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1，X2，…，Xn()A、有相同的數(shù)學期望．B、有相同的方差．C、服從同一指數(shù)分布．D、服從同一離散型分布．標準答案：C知識點解析：列維一林德伯格中心極限定理要求隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立、同分布且方差存在．當n充分大時，Sn=X1+X2+…+Xn才近似服從正態(tài)分布，故本題只要求驗證滿足同分布和方差存在的條件．15、設X1，X2，X3，X4是取自總體N(0，4)的簡單隨機樣本，記X=a(X1=2X2)2+b(3X3-4X4)2，其中a，b為常數(shù)，已知X～χ2(n)分布，則()A、n必為2．B、n必為4．C、n為1或2．D、n為2或4．標準答案：C知識點解析：X1，X2，X3，X4是相互獨立且均服從N(0，4)分布，所以X1-2X2～N(0，20)和3X3-4X4～N(0，100)且相互獨：泣，因此，如果令a=，則a(X1-2X2)2～χ2(1)；如果令b=，則b(3X3-4X4)2～χ2(1)．16、設X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，是樣本均值，記則服從于自由度為n=1的t分布的隨機變量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：若X～N(μ，σ2)，則～t(n-1)，對本題來說，17、設X1，X2，…，Xn為取自正態(tài)總體X～N(μ，σ2)的樣本，則μ2+σ2的矩估計量為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：按矩估計方法：所以μ2+σ2的矩估計為．故選D．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)18、設A，B為隨機事件，已知P(A)=0．5，P(B)=0．6，=0．4，則P(A∪B)=_______．標準答案：0．7知識點解析：19、設隨機變量的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx，-∞＜x＜+∞，則常數(shù)A=_______；B=______；P{X＜1}=_______；概率密度f(x)=______．標準答案：知識點解析：利用分布函數(shù)的規(guī)范性F(-∞)=0，F(xiàn)(+∞)=1，得，從而A=0．5，B=，即分布函數(shù)F(x)=0．5+arctanx，-∞＜x＜+∞．利用分布函數(shù)計算隨機事件發(fā)生的概率，得20、已知每次試驗“成功”的概率為夕，現(xiàn)進行n次獨立試驗，則在沒有全部“失敗”的條件下，“成功”不止一次的概率為_______．標準答案：知識點解析：令事件A={成功}，則p=P(A)，又設n次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)為X，則X～B(n，p)，所求概率為21、假設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，已知F(0)=，且密度函數(shù)f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正態(tài)分布N(0，σ2)的密度函數(shù)，f2(x)是參數(shù)為λ的指數(shù)分布的密度函數(shù)，則a=_______，b=_______．標準答案：知識點解析：已知F(0)=，即22、設平面區(qū)域D由曲線y=及直線y=0，x=1，x=e2圍成，二維隨機變量(X，Y)在D上服從均勻分布，則(X，Y)關于X的邊緣密度在X=2處的值為_______．標準答案：知識點解析：D的面積==2所以二維隨機變量(X，Y)的密度函數(shù)為下面求X的邊緣密度．當x＜1或x＞e2時φx(x)=0，當1≤x≤e2時，所以φx(2)=.23、設隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學期望E(X+e-2X)=________．標準答案：知識點解析：X的概率密度為故E(X+e-2X)=E(X)+E(e-2X)=1+24、設隨機變量X和Y的相關系數(shù)為0．5，E(X)=E(Y)=0，E(X2)=E(Y2)=2，則E[(X+Y)2]=______.標準答案：6知識點解析：E[(X+Y)2]=E(X2)+2E(XY)+E(Y2)=4+2[Cov(X，Y)+E(X).E(Y)]25、設ξ，η是兩個相互獨立均服從于正態(tài)分布的隨機變量，則E(｜ξ-η｜)=______.標準答案：知識點解析：設Z=ξ-η，因ξ，η是兩個相互獨立且均服從于正態(tài)分布的隨機變量，故Z～N(0，1)．26、設總體X服從0-1分布，P{X=1)=p(0＜p＜1)．設X1，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，為其樣本均值，則=______(k=0，1，2，…，n)．標準答案：Cnkpk(1-p)n-k知識點解析：X1，…，Xn相互獨立且都服從0-1分布，～B(n，p)．即27、X1，X2，…，Xn為總體X～N(0，σ2)的一個樣本，則σ2的最大似然估計量為______．標準答案：知識點解析：似然函數(shù)為考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設隨機變量X服從F(3，4)分布，對給定的α(0＜α＜1)，數(shù)Fα(3，4)滿足P{X＞Fα(3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，則x=A、B、C、Fα(4，3)．D、F1-α(4，3)．標準答案：A知識點解析：由P{X≤x}=1一α可知，P{X＞x}=α，即x=Fα(3，4)．又由F1-α(n1，n2)=故選(A)．2、設X1，X2，X3，X4是來自正態(tài)總體N(0，22)的簡單隨機樣本，記Y=a(X1—2X2)2+b(3X3—4X4)2，其中a，b為常數(shù)．已知Y～χ2(n)，則A、n必為2．B、n必為4．C、n為1或2．D、n為2或4．標準答案：C知識點解析：依題意Xi～N(0，22)且相互獨立，所以X1一2X2～N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，且它們相互獨立．由χ2分布的典型模式及性質(zhì)知由上可知，n=1或2，即應選(C)．3、設X1，X2，…，Xn是來自標準正態(tài)總體的簡單隨機樣本，和S2為樣本均值和樣本方差，則A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：顯然，(n一1)S2服從自由度為n一1的χ2分布，故應選(D)．其余選項不成立是明顯的：對于服從標準正態(tài)分布的總體，由于X1，X2，…，Xn相互獨立并且都服從標準正態(tài)分布，可見服從自由度為n的χ2分布．4、設隨機變量X服從n個自由度的t分布，定義tα滿足P{X≤tα}=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，則x等于A、t1-bB、C、tb．D、．標準答案：D知識點解析：根據(jù)t分布的對稱性及b＞0，可知x＞0．從而P{X≤x}=1一P{X＞x}=根據(jù)題設定義P{X≤tα}=1一α，可知應選(D)．5、假設總體X的方差DX存在，X1，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，其樣本均值和樣本方差分別為，S2，則EX2的矩估計量是A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析6、設一批零件的長度服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中σ2已知，μ未知．現(xiàn)從中隨機抽取n個零件，測得樣本均值，則當置信度為0．90時，判斷μ是否大于μ0的接受條件為A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：本題假設檢驗的假設應為H0：μ≤μ0；H1：μ＞μ0．因此選(C)．7、已知正態(tài)總體X一N(a，σx2)和Y～N(b，σy2)相互獨立，其中4個分布參數(shù)都未知．設X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是分別來自X和Y的簡單隨機樣本，樣本均值分別為，樣本方差相應為Sx2和Sy2，則檢驗假設H0：a≤b使用t檢驗的前提條件是A、σx2≤σy2．B、Sx2≤Sy2．C、σx2=σy2．D、Sx2=Sy2．標準答案：C知識點解析：應該選(C)．因為t檢驗使用統(tǒng)計量其中Sxy2是兩個總體的聯(lián)合樣本方差：只有當選項(C)即σx2=σy2成立時才能導出統(tǒng)計量t的抽樣分布——t分布，并且根據(jù)t分布來構造t檢驗．二、填空題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)8、設總體X—E(λ)，則來自總體X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn的聯(lián)合概率密度f(x1，x2，…，xn)=______．標準答案：知識點解析：總體X的概率密度f(x)=由于X1，X2，…，Xn相互獨立，且與總體X服從同一指數(shù)分布，因此9、設總體X—P(λ)，則來自總體X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn的樣本均值的概率分布為________．標準答案：知識點解析：由泊松分布的可加性可知，當X1，X2獨立時，X1+X2一P(2λ)，繼而有X1，X2，…，Xn獨立同為P(λ)分布時，于是，對任意n＞2，的概率分布為10、已知χ2～χ2(n)，則E(χ2)=______．標準答案：n知識點解析：由χ2分布的典型模式χ2=X12+X22+…+Xn2=而Xi～N(0，1)，且Xi相互獨立，由于E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1，所以11、已知X1，X2，X3相互獨立且服從N(0，σ2)，則服從的分布及參數(shù)為_________.標準答案：知識點解析：記Y1=X2+X3，Y2=X2一X3，則Y1～N(0，2σ2)，Y2～N(0，2σ2)．由于Cov(Y1，Y2)=E(Y1Y2)一E(Y1)E(Y2)=E[(X2+X3)(X2一X3)]=E(X22)一E(X32)=σ2一σ2=0，所以Y1與Y2相互獨立，且與X1獨立．又由X1+X2+X3=X1+Y1～N(0，3σ2)，且X1+X2+X3與X2一X3相互獨立，于是按t分布定義有12、設總體X的密度函數(shù)f(x)=分別為取自總體X容量為n的樣本的均值和方差，則ES2=______．標準答案：知識點解析：暫無解析13、假設X1，X2，…，X16是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本為其均值，S為其標準差，如果=0．95，則參數(shù)a=________．(t0.05(15)=1．7531)標準答案：a=一0．4383．知識點解析：暫無解析14、設X1，X2，…，X9是來自總體X～N(μ，4)的簡單隨機樣本，而是樣本均值，則滿足=0．95的常數(shù)μ=________．(ψ(1．96)=0．975)標準答案：1．3067．知識點解析：暫無解析15、設X～N(μ，σ2)，其中μ和σ2(σ＞0)均為未知參數(shù)．從總體X中抽取樣本X1，X2，…，Xn，樣本均值為則未知參數(shù)μ和σ2的矩估計量分別為標準答案：,B2知識點解析：由于待估計參數(shù)有2個：μ，σ2，故考慮一階、二階矩．由于E(X)=μ，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2，16、設X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，已知總體X的概率密度為則θ的最大似然估計量=______標準答案：知識點解析：似然函數(shù)為17、已知總體X的概率密度只有兩種可能，設對X進行一次觀測，得樣本X1，規(guī)定當時拒絕H0，否則就接受H0，則此檢驗犯第一、二類錯誤的概率α和β分別為_______．標準答案：知識點解析：由檢驗的兩類錯誤概率α和β的意義，知18、已知總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1,