考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷2（共244題）

考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷2（共9套）（共244題）考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設當x→0時，(x-sinx)ln(1+x)是比一1高階的無窮小，而一1是比∫0x(1一cos2t)dt高階的無窮小，則n為()．A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：2、設D=｛(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π｝，則sinxsiny·max｛x，y｝如等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：根據(jù)對稱性，令D1=｛(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x｝，=2∫0πxsinx(1一cosx)dx=2∫0πxsinxdx一2∫0πxsinxcosxdx=π∫0πsinxdx—∫0πxd(sin2x)=，選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)3、設f(x)一階可導，且f(0)=f’(0)=1，則=_________．標準答案：2知識點解析：4、∫0πxdx=__________．標準答案：知識點解析：5、設z=z(x，y)由z+ex=xy2確定，則dz=_________．標準答案：知識點解析：6、設曲線L：y=(一1≤x≤1)，則∫L(x2+2xy)ds=________．標準答案：知識點解析：7、設=_________．標準答案：知識點解析：8、直線L：繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為_________．標準答案：x2+y2一z2=1知識點解析：設M(x，y，z)為旋轉(zhuǎn)曲面∑上的任意一點，該點所在的圓對應與直線L上的點為M0(x0，y0，z)，圓心為T(0，0，z)，由，得x2+y2=x02+y02，因為M0(x0，y0，z)∈L，所以，即x0=1，y0=z，于是曲面方程為∑：x2+y2一z2=1．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、．標準答案：知識點解析：暫無解析10、設f(x)=，討論f(x)在x=0處的可導性．標準答案：因為f－’(0)=f＋’=0，所以f(x)在x=0處可導．知識點解析：暫無解析11、設f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導，證明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．標準答案：令φ(x)=，則φ(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導，且φ(1)=φ(2)=f(2)一f(1)，由羅爾定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，故ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)－2f(1)．知識點解析：12、求．標準答案：知識點解析：暫無解析13、求∫－11(｜x｜＋x)e－｜x｜dx．標準答案：由定積分的奇偶性得∫－11(｜x｜＋x)e－｜x｜dx=∫－11｜x｜e－｜x｜dx=2∫01e－xdx=－2∫01xd(e－x)=－2xe－x｜01＋2∫01e－xdx=一2e－1—2e－x｜01=2一．知識點解析：暫無解析設f(a)=f(b)=0，∫abf2(x)dx=1，f'(x)∈[a，b]．14、求∫abxf(x)f’(x)dx；標準答案：∫abxf(x)f’(x)dx=．知識點解析：暫無解析15、證明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥．標準答案：∫abxf(x)f’(x)dz=≤∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx．知識點解析：暫無解析16、設一拋物線y=ax2+bx+c過點(0，0)與(1，2)，且a＜0，確定a，b，c，使得拋物線與x軸所圍圖形的面積最?。畼藴蚀鸢福阂驗榍€過原點，所以c=0，又曲線過點(1，2)，所以a+b=2，b=2一a．令S’(a)=0，得a=一4，從而b=6，所以當a=一4，b=6，c=0時，拋物線與x軸所圍成的面積最?。R點解析：暫無解析17、求μ=x2+y2＋z2在=1上的最小值·標準答案：令F=x2+y2+z2+λ(－1)知識點解析：暫無解析18、計算(z-y)xdydz+(x-y)dxdy，其中∑為+y2=1位于z=0與z=3之間的部分的外側(cè)．標準答案：知識點解析：暫無解析19、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：知識點解析：暫無解析20、將f(x)=展開成傅里葉級數(shù)．標準答案：函數(shù)f(x)在[一π，π]上滿足狄里克萊充分條件，將f(x)進行周期延拓，知識點解析：暫無解析21、一條曲線經(jīng)過點(2，0)，且在切點與y軸之間的切線長為2，求該曲線．標準答案：設切點為P(x，y)，曲線上P點處的切線為Y—y=y’(X—x)，令X=0，得Y=y—xy’，切線與y軸的交點為Q(0，y一xy’)，知識點解析：暫無解析22、求．標準答案：知識點解析：暫無解析23、設f(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導，=2，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的曲率．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設F(X)在[0，1]連續(xù)可導，且F(0)=0．證明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．標準答案：因為f’(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在區(qū)間[0，1]上取到最大值M和最小值m，對f(x)一f(0)=f’(c)x(其中c介于0與x之間)兩邊積分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx，由m≤f’(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f’(c)xdx＜M∫01xdx，即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0,1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知識點解析：暫無解析25、計算∫01．標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算曲線積分，從z軸正向看，C為逆時針方向．標準答案：知識點解析：暫無解析27、將函數(shù)f(x)=arctan展開成x的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析28、設級數(shù)(an－an－1)收斂，且絕對收斂．標準答案：令Sn=(a1一a0)+(a2一a1)+…+(an一an－1)，則Sn=an一a0．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、當x→0＋時，下列無窮小中，階數(shù)最高的是()．A、ln(1+x2)一x2B、+cosx一2C、∫0x2ln(1＋t2)dtD、ex2一1一x2標準答案：C知識點解析：當x→0＋時，ln(1+x2)一x2～x4，2、設級數(shù)都發(fā)散，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：選(D)．因為(｜μn｜+｜νn｜)為正項級數(shù)，若(｜μn｜+｜νn｜)收斂，因為0≤｜μn｜≤｜μn｜+｜νn｜，0≤｜νn｜≤｜μn｜+｜νn｜，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法知，都收斂，矛盾．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)3、設a＞0，且=1，則a=_______，b=________．標準答案：a=4，b=1；知識點解析：4、設f(x)為奇函數(shù)，且f’(1)=2，則f(x3)｜x=－1=________．標準答案：6知識點解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)．由f(x3)=3x2f’(x3)得f(x3)｜x=－1=3f’(一1)=3f’(1)=6．5、設f(x)∈C(1，+∞)，廣義積分，∫1＋∞f(x)dx收斂，且滿足f(x)=∫1＋∞f(x)dx，則f(x)=________．標準答案：f(x)=知識點解析：6、設f(x，y)滿足=2，f(x，0)=1，fy’(x，0)=x，則f(x，y)=________·標準答案：f(x，y)=y2+xy+1知識點解析：由=2y+φ1(x)，因為fy’(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即=2y+x，再由=2y+x得f(x，y)=y2＋xy+φ2(x)，因為f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．7、設f(x，y)在點(0，0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，F(xiàn)(t)==_________．標準答案：2πf(0，0)知識點解析：F(t)=f(x，y)dσ=f(ξ，η)．πt2，其中(ξ，η)∈D，D：x2+y2≤t2．8、設an(2x一1)n在x=一2處收斂，在x=3處發(fā)散，則anx2n的收斂半徑為________．標準答案：知識點解析：設級數(shù)anxn的收斂半徑為R，則解得R=5，故級數(shù)anx2n的收斂半徑為．9、的通解為_________．標準答案：＋Ce2y知識點解析：一2x=y2，則x=(∫y2．e∫－2dydy+C)e－∫－2dy=(∫y2．e－2ydy+C)e2y=+Ce2y．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)10、求．標準答案：知識點解析：暫無解析11、確定常數(shù)a，c，使得=c，其中c為非零常數(shù)．標準答案：由洛必達法則，知識點解析：暫無解析12、設f(x)=，求f(n)(x)．標準答案：令f(x)=，由A(2x+1)+B(x一2)=4x一3得，解得A=1，B=2，即f(x)=．知識點解析：暫無解析13、設ex一是關于x的3階無窮小，求a，b的值．標準答案：ex=1+x+＋ο(x3)，=1一bx+b2x2一b3x3+o(x3)，=(1+ax)[1—bx+b2x2一b3x3+ο(x3)]=1+(a—b)x+b(b－a)x2一b2(b一a)x3+ο(x3)，ex－=(1一a+b)x+(+ab—b2)x2+(+b3一ab2)x3+ο(x3)，由題意得1一a+b=0，+ab—b2=0且+b3一ab2≠0，解得．知識點解析：暫無解析14、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且f(0)=f(1)，證明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．標準答案：因為f(0)=f(1)，所以f’(ξ)=一f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．知識點解析：暫無解析15、計算下列積分：標準答案：(1)令，由A(x+2)+B(x一1)=3x一2得，故(2)知識點解析：暫無解析16、求．標準答案：知識點解析：暫無解析17、求．標準答案：知識點解析：暫無解析18、求．標準答案：知識點解析：暫無解析設y=f(x)為區(qū)間[0，1]上的非負連續(xù)函數(shù)．19、證明存在c∈(0，1)，使得在區(qū)間[0，c]上以f(c)為高的矩形面積等于區(qū)間[c，1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積；標準答案：S1(c)=cf(c)，S2(c)=∫c1f(t)dt=一∫1cf(t)dt，即證明S1(c)=S2(c)或cf(c)+∫1cf(t)dt=0，令φ(x)=x∫1xf(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)=0，即cf(c)+∫1cf(t)dt=0，所以S1(c)=S2(c)，命題得證。知識點解析：暫無解析20、設f(x)在(0，1)內(nèi)可導，且f’(x)＞一，證明(1)中的c是唯一的．標準答案：令h(x)=xf(x)－∫x1f(t)dt，因為h’(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上為單調(diào)函數(shù)，所以(1)中的c是唯一的．知識點解析：暫無解析21、設一拋物線y=ax2+bx+c過點(0，0)與(1，2)，且a＜0，確定a，b，c，使得拋物線與x軸所圍圖形的面積最?。畼藴蚀鸢福阂驗榍€過原點，所以c=0，又曲線過點(1，2)，所以a+b=2，b=2一a．因為a＜0，所以b＞0，拋物線與x軸的兩個交點為0，，所以S(a)=．令S’(a)=0，得a=一4，從而b=6，所以當a=－4，b=6，c=0時，拋物線與x軸所圍成的面積最小．知識點解析：暫無解析22、設={一1，4，2}，求△ABC的面積．標準答案：=｛一2，一1，一3｝×｛一1，4，2｝=｛10，7，一9｝，則△ABC的面積為S=．知識點解析：暫無解析23、設z=z(x，y)由方程z+lnz－∫yxe－t2dt=1確定，求．標準答案：當x=0，y=0時，z=1．z+lnz—∫yxe－t2dt=1兩邊分別對x和y求偏導得知識點解析：暫無解析24、設f(x)在x=0處可導，f(0)=0，求極限f(x2+y2+z2)dν，其中Ω：．標準答案：令，知識點解析：暫無解析25、設曲線積分∫L[f’(x)+2f(x)＋ex]ydx+[f’(x)一x]dy與路徑無關，且f(0)=0，f’(0)=，其中f(x)連續(xù)可導，求f(x)．標準答案：P(x，y)=[f’(x)+2f(x)+ex]y，Q(x，y)=f’(x)－x，=f’’(x)一1，=f’(x)+2f(x)＋ex，因為曲線積分與路徑無關，所以，整理得f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1，特征方程為λ2一λ一2=0，特征值為λ1=一1，λ2=2，方程f’’(x)－f’(x)一2f(x)=0的通解為f(x)=C1e－x+C2e2x；令方程f’’(x)－f’(x)一2f(x)=ex的特解為f1(x)=aex，代入得a=，即f1(x)=ex；方程f’’(x)－f’(x)－2f(x)=1的特解為f2(x)=，方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1的特解為f0(x)=(ex+1)，方程f’’(x)一f’(x)－2f(x)=ex+1的通解為f(x)=C1e－x+C2e2x－(ex+1)，知識點解析：暫無解析26、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：由=4，得冪級數(shù)的收斂半徑為R=，當x=收斂，故級數(shù)的收斂域為知識點解析：暫無解析27、(1)設f(x)=ex一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f(x)連續(xù)，求f(x)．(2)設f(x)在(一1，+∞)內(nèi)連續(xù)且f(x)一∫0xtf(f)dt=1(x＞一1)，求f(x)．標準答案：(1)由f(x)=ex一∫0x(x—t)f(t)dt，得f(x)=ex—x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，兩邊對x求導，得f’(x)=ex一∫0xf(t)dt，兩邊再對x求導得f’’(x)+f(x)=ex，其通解為f(x)=C1cosx+C2sinx＋ex．在f(x)=ex—∫0x(x一t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=ex—∫0xf(t)dt中，令x=0得f’(0)=1，于是有ex．(2)由f(x)－∫0xtf(t)dt=1得(x+1)f(x)一∫0xtf(t)dt=x+1，兩邊求導得f(x)＋(x+1)f’(x)－xf(x)=1，整理得f’(x)＋知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設函數(shù)f(x)=則在點x=0處f(x)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導C、可導但導數(shù)不連續(xù)D、導數(shù)連續(xù)標準答案：D知識點解析：2、設a為任意常數(shù)，則級數(shù)()A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與常數(shù)a有關標準答案：B知識點解析：3、下列說法正確的是()．A、設f(x)在x0二階可導，則f’’(x)在x=x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值上定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點，則該極值點一定為最值點標準答案：D知識點解析：令f’(x)=不存在，所以(A)不對；若最大值在端點取到則不是極大值，所以(B)不對；(C)顯然不對，選(D)．4、若由曲線y=，曲線上某點處的切線以及x=1，x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、設f(x)連續(xù)，且F(x)=∫axf(t)dt，則F(x)=________．標準答案：a2f(a)知識點解析：6、=_________．標準答案：＋C知識點解析：7、設f(x)=，在x=0處連續(xù)，則a=________，b=________．標準答案：a=-1，b=1知識點解析：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1．8、設f(μ)連續(xù)可導，且∫04f(μ)du=2，L為半圓周y=，起點為原點，終點為B(2，0)，則I=∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=_________．標準答案：1知識點解析：P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，因為=2xyf’(x2＋y2)，所以曲線積分與路徑無關，故I=∫Lf(x2+y2)(xdx＋ydy)==1．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、求．標準答案：知識點解析：暫無解析10、設b＞0，且=2，求b的值．標準答案：知識點解析：暫無解析11、設f(x)=處處可導，確定常數(shù)a，b，并求f’(x)．標準答案：由f(x)在x=0處連續(xù)，得b=0．知識點解析：暫無解析12、求．標準答案：知識點解析：暫無解析13、求．標準答案：知識點解析：暫無解析14、設f(x)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b一a)ff’’(ξ)．標準答案：知識點解析：暫無解析15、求直線的夾角．標準答案：s1=｛1，一1，2｝，s2=｛1，0，一2｝×｛1，3，1｝=｛6，一3，3｝=3｛2，一1，1｝，設兩直線的夾角為θ，則cosθ=．知識點解析：暫無解析16、設μ=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)確定的x，y的函數(shù)，其中f(z)與φ(z)為可微函數(shù)，證明：．標準答案：知識點解析：暫無解析17、計算xydxdy，其中D=｛(x，y)｜y≥0，x2+y2≤1，x2+y2≤2x｝．標準答案：知識點解析：暫無解析18、計算(x3cosα+y3cosβ+z3cosγ)dS，其中S：x2+y2+z2=R2，取外側(cè)．標準答案：由兩類曲面積分之間的關系得知識點解析：暫無解析19、求冪級數(shù)(2n+1)xn的收斂域及和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析20、求微分方程x2y’+xy=y2滿足初始條件y(1)=1的特解．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設函數(shù)f(x)可導且0≤f’(x)≤(k＞0)，對任意的xn，作xn＋1=f(xn)(n=0，1，2，…)，證明：xn存在且滿足方程f(x)=x．標準答案：xn＋1一xn=f(xn)一f(xn－1)=f’(ξn)(xn一xn－1)，因為f’(x)≥0，所以Xn＋1一xn與xn一xn－1同號，故｛xn｝單調(diào)．知識點解析：暫無解析22、設f(x)在[一1，1]上可導，f(x)在x=0處二階可導，且f’(0)=0，f’’(0)=4．求．標準答案：知識點解析：暫無解析23、計算定積分∫01．標準答案：令x=tant，則知識點解析：暫無解析24、某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場上銷售，售價分別為P1，P2，銷售量分別為q1，q2，需求函數(shù)分別為q1=24—0．2p1，q2=10一0．05p2，總成本函數(shù)為C=35+40(q1＋q2)，問廠家如何確定兩個市場的銷售價格，能使其獲得總利潤最大?最大利潤為多少?標準答案：P1=120—5q1，P2=200—20q2，收入函數(shù)為R=P1q1+P2q2，總利潤函數(shù)為L=R—C=(120—5q1)q1+(200—20q2)q2一[35+40(q1+q2)]，由得q1=8，q2=4，從而p1=80，p2=120，L(8，4)=605，由實際問題的意義知，當p1=80，p2=120時，廠家獲得的利潤最大，最大利潤為605．知識點解析：暫無解析設(n=1，2，…；an＞0，bn＞0)，證明：25、若級數(shù)收斂；標準答案：知識點解析：暫無解析26、若級數(shù)發(fā)散．標準答案：知識點解析：暫無解析27、求冪級數(shù)xn的收斂域．標準答案：知識點解析：暫無解析28、設函數(shù)f(x)二階連續(xù)可導，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e－x=0，求f(x)．標準答案：因為x∫01f(tx)dt=∫0xf(μ)dμ，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt＋2x∫01f(tx)dt+e－x=0可化為f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt＋e－x=0，兩邊對x求導得f’’(x)+3f’(x)＋2f(x)=e－x，由λ2+3λ+2=0得λ1=一1，λ2=一2，則方程f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解為C1e－x+C2e－2x．令f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e－x的一個特解為y0=axe－x，代入得a=1，則原方程的通解為f(x)=C1e－x+C2e－2x+xe－x．由f(0)=1，f’(0)=一1得C1=0，C2=1，故原方程的解為f(x)=e－2x+xe－x．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、若f’(x)=sinx，則f(x)的原函數(shù)之一是A、1+sinxB、1一sinxC、1+cosxD、1一cosx標準答案：B知識點解析：暫無解析2、設函數(shù)f(x)連續(xù)，則F’(x)=A、f(x2)一f(e-x)．B、f(x2)+f(e-x)．C、2xf(x2)一e-xf(e-x)．D、2xf(x2)+e-xf(e-x)．標準答案：D知識點解析：暫無解析3、設f(x)，φ(x)在點x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且x→0時，f(x)是φ(x)的高階無窮小，則x→0時，的()無窮小．A、低階．B、高階．C、同階非等價．D、等價．標準答案：B知識點解析：暫無解析4、若a·b=a·c，則A、b=c．B、a⊥b且a⊥c．C、a=0或b—c=0．D、a⊥(b一c)。標準答案：D知識點解析：暫無解析5、設c=(b×a)一b，則A、a垂直于b+c．B、n平行于b+c．C、b垂直于c．D、b平行于c．標準答案：A知識點解析：暫無解析6、設則f(0，0)點處A、不連續(xù)．B、偏導數(shù)不存在．C、偏導數(shù)存在但不可微．D、偏導數(shù)存在且可微．標準答案：C知識點解析：暫無解析7、若二元函數(shù)f(x，y)在(x0，y0)處可微，則在(x0，y0)點下列結(jié)論中不一定成立的是A、連續(xù)．B、偏導數(shù)存在．C、偏導數(shù)連續(xù)．D、切平面存在．標準答案：C知識點解析：暫無解析8、累次積分可以寫成A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析9、下列各選項正確的是A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：暫無解析10、設則下列級數(shù)中肯定收斂的是A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析11、設函數(shù)f(x)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、設則標準答案：x一(1+e-x)112(1+ex)+C知識點解析：暫無解析14、設則標準答案：(3x+x3)+C知識點解析：暫無解析15、標準答案：2(e2+1)知識點解析：暫無解析16、已知a，b，c是單位向量，且滿足a+b+c=0，則a·b+b·c+c·a=___________．標準答案：知識點解析：暫無解析17、已知|a|=2，|b|=．且a·b=2，則|a×b|=___________．標準答案：2知識點解析：暫無解析18、設可導，則標準答案：z知識點解析：暫無解析19、設f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則f’x(0，1，一1)=_______________．標準答案：1知識點解析：暫無解析20、設f(x，y)=xy，則標準答案：xy-1+yxy-1lnx知識點解析：暫無解析21、交換積分次序：標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：4知識點解析：暫無解析24、冪級數(shù)的收斂域是_____________．標準答案：[一1，1)知識點解析：暫無解析25、微分方程的通解為_____________．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設f(x)二階連續(xù)可導，且=2，則()．A、x=1為f(x)的極大點B、x=1為f(x)的極小點C、(1，f(1))為y=f(x)的拐點D、x=1不是f(x)的極值點，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由=2及f(x)二階連續(xù)可導得f’’(1)=0，當x∈(1－δ，1)時，f’’(x)＞0；當x∈(1，1+δ)時，f’’(x)＜0，則(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點，應選(C)．2、雙紐線(x2+y2)2=x2一y2所圍成的區(qū)域面積可表示為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：雙紐線(x2＋y2)2=x2一y2的極坐標形式為r2=cos2θ，再根據(jù)對稱性，有A=．選(A)．3、設直線L：及平面π：4x-2y+z-6=0，猜直線L()．A、平行于平面πB、在平面π上C、垂直于平面πD、與平面π斜交標準答案：C知識點解析：直線L的方向向量為s=｛1，3，2｝×｛2，一1，一10｝=｛－28，14，一7｝，因為s∥n，所以直線L與平面π垂直，正確答案為(C)．4、設級數(shù)an發(fā)散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，則()．A、發(fā)散B、收斂于C、收斂于0D、斂散性不確定標準答案：B知識點解析：5、設φ1(x)，φ2(x)為一階非齊次線性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個線性無關的特解，則該方程的通解為()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)一φ2(x)]C、C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)標準答案：C知識點解析：因為φ1(x)，φ2(x)為方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個線性無關解，所以φ1(x)一φ2(x)為方程y’+P(x)y=0的一個解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解為C[φ1(x)φ2(x)]+φ2(x)，選(C)．6、設f(x)為單調(diào)可微函數(shù)，g(x)與f(x)互為反函數(shù)，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，則g’(4)等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為g’(4)=，所以選(B)．7、設f(x，y)在有界閉區(qū)域D上二階連續(xù)可偏導，且在區(qū)域D內(nèi)恒有條件=0，則()．A、f(x，y)的最大值點和最小值點都在D內(nèi)B、f(x，y)的最大值點和最小值點都在D的邊界上C、f(x，y)的最小值點在D內(nèi)，最大值點在D的邊界上D、f(x，y)的最大值點在D內(nèi)，最小值點在D的邊界上標準答案：B知識點解析：若f(x，y)的最大點在D內(nèi)，不妨設其為M0，則有=0，因為M0為最大值點，所以AC—B2非負，而在D內(nèi)有=0，即AC—B2＜0，所以最大值點不可能在D內(nèi)，同理最小值點也不可能在D內(nèi)，正確答案為(B)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)8、=________．標準答案：知識點解析：9、=________．標準答案：知識點解析：10、∫0πx=_________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、求．標準答案：知識點解析：暫無解析12、求．標準答案：知識點解析：暫無解析13、求∫0x2xf(x—t)dt．標準答案：知識點解析：暫無解析14、求f(x)=∫01｜x—t｜dt在[0，1]上的最大值與最小值．標準答案：f(x)=∫01｜x-t｜dt=∫0x(x-t)dt+∫x1(t-x)dt知識點解析：暫無解析15、求∫arctan(1＋)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析16、求∫－11dx．標準答案：知識點解析：暫無解析17、舉例說明多元函數(shù)連續(xù)不一定可偏導，可偏導不一定連續(xù)．標準答案：知識點解析：暫無解析18、計算．標準答案：知識點解析：暫無解析19、在過點O(0，0)和A(π，0)的曲線族y=asinx(a＞0)中，求一條曲線L，使沿該曲線從點O到A的積分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最?。畼藴蚀鸢福篒=I(a)=∫0π[(1+a3sin3x)+(2x+asinx)．a(chǎn)cosx]dx=π－4a+．由I’(a)=4(a2一1)=0，得a=1，I’’(a)=8a，由I’’(1)=8＞0得a=1為I(a)的極小值點，因為a=1是I(A)的唯一駐點，所以a=1為I(a)的最小值點，所求的曲線為y=sinx．知識點解析：暫無解析20、判斷級數(shù)的斂散性，若級數(shù)收斂，判斷其是絕對收斂還是條件收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設an=A，證明：數(shù)列｛an｝有界．標準答案：取ε0=1，因為=A，根據(jù)極限定義，存在N＞0，當n＞N時，有｜an一A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max｛｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1｝，則對一切的n，有｜an｜≤M．知識點解析：暫無解析22、設f(x)在[0，+∞)內(nèi)可導且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．證明：f(x)＜ex(x＞0)．標準答案：令φ(x)=e－xf(x)，則φ(x)在[0，+∞)內(nèi)可導，又φ(0)=l，φ’(x)=e－x[f’(x)一f(x)]＜0(x＞0)，所以當x＞0時，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x＞0)．知識點解析：暫無解析設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．證明：23、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；標準答案：令F(x)=∫axf(t)dt，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且F’(x)=f(x)，故存在c∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=F(b)一F(a)=F’(c)(b一a)=f(c)(b一a)=0，即f(c)=0．知識點解析：暫無解析24、存在ξ1∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；標準答案：令h(x)=exf(x)，因為h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)＋f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知識點解析：暫無解析25、存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=f(ξ)；標準答案：令φ(x)=e－x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x[f’’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以f’’(ξ)=f(ξ)．知識點解析：暫無解析26、存在η∈(a，b)，使得f’’(η)一3f’(η)+2f(η)=0標準答案：令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由羅爾定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e－x[f’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e－2x[f’(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由羅爾定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e－2x[f’’(x)一3f’(x)+2f(x)]且e－2x≠0，所以f’’(η)－3f’(η)+2f(η)=0．知識點解析：暫無解析27、設f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導，f(0)=0．令．標準答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ)，其中ξ介于0與x之間，因為f(0)=0，所以｜f(x)｜=｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，從而｜∫0af(x)dx｜≤∫0a｜f(x)｜dx≤∫0aMxdx=M．知識點解析：暫無解析28、設函數(shù)f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D為區(qū)域a≤x≤b，a≤y≤b．證明：≥(b一a)2．標準答案：因為積分區(qū)域關于直線y=x對稱，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設f(x，y)=則f(x，y)在點(0，0)處A、連續(xù)，偏導數(shù)存在．B、連續(xù)，偏導數(shù)不存在．C、不連續(xù)，偏導數(shù)存在．D、不連續(xù)，偏導數(shù)不存在．標準答案：C知識點解析：這是討論f(x，y)在點(0，0)處是否連續(xù)，是否可偏導．先討論f(x，y)在點(0，0)處是否可偏導．由于f(x，0)=0=0．因此(B)，(D)被排除．再考察f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性．令y=x2，則≠f(0，0)，因此f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．故應選C．2、在曲線的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線A、只有一條．B、只有兩條．C、至少有三條．D、不存在．標準答案：B知識點解析：t0∈(一∞，+∞)，該曲線在點M0(x(t0)，y(t0)，z(t0))=(t0，一t02，t03)的切線方程為該切線與平面x+2y+z=4平行的充要條件是，切線的方向向量(1，一2t0，3t02)與平面的法向量(1，2，1)垂直，即(1，一2t0，3t02)．(1，2，1)=1—4t0+3t02=(3t0一1)(t0一1)=0，則t0==1，且M0不在該平面上．因此選B．二、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)3、(Ⅰ)設f(x，y)=x2+(y一1)arcsin；(Ⅱ)設f(x，y)=．標準答案：(Ⅰ)因f(x，1)=x2，故=2x｜x=2=4．又因f(2，y)=4+(y一1)arcsin，故知識點解析：暫無解析4、求下列函數(shù)在指定點處的二階偏導數(shù)：標準答案：(Ⅰ)按定義知識點解析：暫無解析5、設z=f(u，v，x)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函數(shù)，求復合函數(shù)z=f(φ(x，y)，ψ(y，x)的偏導數(shù)．標準答案：由復合函數(shù)求導法可得知識點解析：暫無解析6、設z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求復合函數(shù)z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一階與二階偏導數(shù)．標準答案：已求得．第一步，先對的表達式用求導的四則運算法則得(*)第二步，再求(f’2)．這里f(u，v)對中間變量u，v的導數(shù)f’1=仍然是u，v的函數(shù)，而u，v還是x，y的函數(shù)，它們的復合仍是x，y的函數(shù)，因而還要用復合函數(shù)求導法求。第三步，將它們代入(*)式得知識點解析：暫無解析7、設u=f(x，y，z，t)關于各變量均有連續(xù)偏導數(shù)，而其中由方程組確定z，t為y的函數(shù)，求．標準答案：注意z=z(y)，z=t(y)，于是因此，我們還要求，將方程組①兩邊對y求導得記系數(shù)行列式為W=(y—t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，則知識點解析：暫無解析8、設u=u(x，y)有二階連續(xù)偏導數(shù)，證明：在極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ下有。標準答案：利用復合函數(shù)求導公式，有再對用復合函數(shù)求導法及(*)式可得知識點解析：暫無解析9、設z(x，y)=x3+y3一3xy(Ⅰ)一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+ao，求z(x，y)的駐點與極值點．(Ⅱ)D={(x，y)｜0≤x≤2，一2≤y≤2}，求證：D內(nèi)的唯一極值點不是z(x，y)在D上的最值點．標準答案：(Ⅰ)解方程組得全部駐點(0，0)與(1，1)．再求(0，0)處，AC—B2＜0→(0，0)不是極值點．(1，1)處，AC一B2＞0，A＞0→(1，1)是極小值點．因此z(x，y)的駐點是(0，0)，(1，1)，極值點是(1，1)且是極小值點．(Ⅱ)D內(nèi)唯一極值點(1，1)是極小值點，z(1，1)=一1．D的邊界點(0，一2)處．z(0，一2)=(一2)3=一8＜z(1，1)因z(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，必存在最小值，又z(0，一2)＜z(1，1)，(0，一2)∈D→z(1，1)不是z(x，y)在D的最小值．知識點解析：暫無解析10、求函數(shù)z=x2y(4一x一y)在由直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的區(qū)域D上的最大值與最小值．標準答案：區(qū)域D如圖8．1所示，它是有界閉區(qū)域．z(x，y)在D上連續(xù)，所以在D上一定有最大值與最小值，它或在D內(nèi)的駐點達到，或在D的邊界上達到．為求D內(nèi)駐點，先求=2xy(4一x一y)一x2y=xy(8—3x一2y)，=x2(4一x一y)一x2y=x2(4一x一2y)．再解方程組得z(x，y)在D內(nèi)的唯一駐點(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的邊界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在邊界x+y=6(0≤x≤6)上將y=6一x代入得z(x，y)=x2(6一x)(一2)=2(x3一6x2)，0≤x≤6．令h(x)=2(x3一6x2)，則h’(x)=6(x2—4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=一64，h(6)=0，即=(x，y)在邊界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值為0，最小值為一64．因此，(x，y)=一64．知識點解析：暫無解析11、已知平面曲線Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC—B2＞0)為中心在原點的橢圓，求它的面積．標準答案：橢圓上點(x，y)到原點的距離平方為d2=x2+y2，條件為Ax2+2Bxy+Cy2一1=0．令F(x，y，λ)=x2+y2一A(Ax2+2Bxy+Cy2一1)，解方程組將①式乘x，②式乘y，然后兩式相加得[(1一Aλ)x2一Bλxy]+[一Bλxy+(1一Cλ)y2]=0，即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，于是可得d=．從直觀知道，函數(shù)d2的條件最大值點與最小值點是存在的，其坐標不同時為零，即聯(lián)立方程組F’x=0，F(xiàn)’y=0有非零解，其系數(shù)行列式應為零，即該方程一定有兩個根λ1，λ2，它們分別對應d2的最大值與最小值．因此，橢圓的面積為知識點解析：只需求橢圓的半長軸a與半短軸b，它們分別是橢圓上的點到中心(原點)的距離的最大值與最小值．因此，歸結(jié)為求解條件極值問題．12、求函數(shù)u=ln(x+)在點A(1，0，1)沿點A指向8(3，一2，2)方向的方向?qū)?shù)．標準答案：先求=(3—1，一2—0，2—1)=(2，一2，1)，知識點解析：暫無解析13、設有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0．(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程；(Ⅱ)求曲面S與平面∏之間的最短距離．標準答案：(Ⅰ)先寫出曲面S上任意點(x0，y0，z0)處的切平面方程．記S的方程為F(x，y，z)=0，F(xiàn)(x，y，z)=一1，則S上點M0(x0，y0，z0)處的切平面方程為F’x(M0)(x一x0)+F’y(M0)(y—y0)+F’(M0)(z—z0)=0，其中，F(xiàn)’x(M0)=x0，F(xiàn)’y(M0)=2y0，F(xiàn)’z(M0)=z0．該切平面與平面∏平行←→它們的法向量共線即成比例=λ，且2x0+2y0+z0+5≠0．因為M0(x0，y0，z0)在S上，所以它滿足方程(2λ)2=1，即4λ2=1，λ=±．于是，(x0，y0，z0)=±(1，，1)．顯然，(x0，y0，z0)不在平面∏上．相應的切平面方程是這就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程．(Ⅱ)橢球面S是夾在上述兩個切平面之間，故曲面S上切點到平面仃的距離最短或最長因此，曲面S到平面仃的最短距離為d2=．知識點解析：暫無解析14、求曲線在點M0(1，1，3)處的切線與法平面方程．標準答案：這兩個曲面在點M0的法向量分別為n1=(2x，0，2z)｜(1，1，13)=2(1，o，3)，n2=(0，2y，2z)｜(1，1，13)=2(0，1，3)．切線的方向向量與它們均垂直，即有l(wèi)=n1×n2==一3i一3j+k．可取方向向量l=(3，3，一1)，因此切線方程為法平面方程為3(x一1)+3(y一1)一(z一3)=0，即3x+3y—z一3=0．知識點解析：關鍵是求切線的方向向量．這里沒給出曲線的參數(shù)方程，而是給出曲面的交線方程，曲面的交線的切線與它們的法向均垂直，由此可求出切線的方向向量l．15、設z(x，y)滿足求z(x，y)．標準答案：把y看作任意給定的常數(shù)，將等式①兩邊對x求積分得z(x，y)=一xsiny一ln｜1—xy｜+φ(y)，其中φ(y)為待定函數(shù)．由②式得一siny一ln｜1一y｜+φ(y)=siny，故φ(y)=2siny+ln｜1—y｜．因此，z(x，y)=(2一x)siny+．知識點解析：實質(zhì)上這是一元函數(shù)的積分問題．當y任意給定時，求z(x，y)就是x的一元函數(shù)的積分問題，但求積分后還含有y的任意函數(shù)，要由z(1，y)定出這個任意函數(shù)．16、設f(x，y)=；(Ⅱ)討論f(x，y)在點(0，0)處的可微性，若可微并求df｜(0，0)．標準答案：(Ⅰ)當(x，y)≠(0，0)時，；當(x，y)=(0，0)時，因f(x，0)=0=0．由對稱性得當(x，y)≠(0，0)時=0．(Ⅱ)考察在點(0，0)處的連續(xù)性．注意即在點(0，0)處均連續(xù)，因此f(x，y)在點(0，0)處可微．于是知識點解析：暫無解析17、設z=(x2+y2)．標準答案：由一階全微分形式不變性及全微分四則運算法則得知識點解析：暫無解析18、設u=．標準答案：u=復合而成的x，y，z的三元函數(shù)．先求du(從而也就求得也就可求得du，然后再由．由一階全微分形式的不變性及全微分的四則運算法則，得知識點解析：暫無解析19、設z=z(x，y)是由方程xy+x+y—z=ez所確定的二元函數(shù)，求dz，．標準答案：將方程兩邊求全微分后求出dz，由dz可求得分別對x，y求導求得．將方程兩邊同時求全微分，由一階全微分形式不變性及全微分的四則運算法則，得ydx+xdy+dx+dy—dz=ezdz，解出dz=[(y+1)dx+(x+1)dy]．知識點解析：暫無解析20、設由方程φ(bz—cy，cx一az，ay—bx)=0(*)確定隱函數(shù)z=z(x，y)，其中φ對所有變量有連續(xù)偏導數(shù)，a，b，c為非零常數(shù)，且bφ’1一aφ’2≠0，求．標準答案：由一階全微分形式不變性，對方程(*)求全微分得φ’1．(bdz—cdy)+φ’2．(cdx—adz)+φ’3．(ady—bdx)=0，即(bφ’1一aφ’2)dz=(bφ’3一cφ’2)dx+(cφ’1—aφ’3)dy．于是[a(bφ’3一cφ’2)+b(cφ’1一aφ’1)]=c．知識點解析：暫無解析21、設．標準答案：利用一階全微分形式不變性．分別對兩個方程求全微分得du=f’1d(x一ut)+f’2d(y—ut)+f’3d(z一ut)=f’1(dx—udt—tdu)+f’2(dy—udt—tdu)+f’3(dz—udt—tdu)，整理得[1+t(f’1+f’2+f’3)]du=f’1dx+f’2dy+f’3dz一u(f’1+f’2+f’3)dt．(*)對題設中第二個方程求全微分得g’1dx+g’2dy+g’3dz=0，解得dz=一(g’1dx+g’2dy)．將上式代入(*)，得[1+t(f’1+f’2+f’3)]du=[(f’1g’3一f’3g’1)dx+(f’2g’3一f’3g’2)dy]一u(f’1+f’2+f’3)dt，因此知識點解析：在題設的兩個方程中共有五個變量x，y，z，t和u．按題意x，y是自變量，u是因變量，從而由第二個方程知z應是因變量，即第二個方程確定z是x，y的隱函數(shù)．這樣一來在五個變量中x，y和t是自變量，u與z是因變量．22、設z=z(x，y)有連續(xù)的二階偏導數(shù)并滿足①(Ⅰ)作變量替換u=3x+y，v=x+y，以u，v作為新的自變量，變換上述方程；(Ⅱ)求滿足上述方程的z(x，y)．標準答案：(Ⅰ)將z對x，y的偏導數(shù)轉(zhuǎn)換為z對u，v的偏導數(shù)．由復合函數(shù)求導法得這里仍是u，v的函數(shù)，而u，v又是x，y的函數(shù)，因而將②，③，④代入原方程①得(Ⅱ)由題(Ⅰ)，在變量替換u=3x+y，v=x+y下，求解滿足①的z=(x，y)轉(zhuǎn)化為求解滿足⑤的z=z(u，v)．由⑤式→=f()，其中f(u)為任意的有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)．再對u積分得z=φ(u)+ψ(v)，其中φ，ψ為任意的有連續(xù)的二階導數(shù)的函數(shù)．回到原變量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y)．知識點解析：暫無解析23、在半徑為R的圓的一切內(nèi)接三角形中，求出其面積最大者．標準答案：用x，y，z表示三角形各邊所對的中心角，則三角形的面積S可用x，y，z，R表示為S=R2sinz，其中z=2π一x一y，將其代入得S=R2[sinx+siny—sin(x+y)]，定義域是D={(x，y)｜x≥0，y≥0，x+y≤2π}．現(xiàn)求S(x，y)的駐點：R2[cosy—cos(x+y)]．解在D內(nèi)部，又在D的邊界上即x=0或y=0或x+y=2π時S(x，y)=o．因此，S在取最大值．因x=y=，因此內(nèi)接等邊三角形面積最大．知識點解析：暫無解析24、在空間坐標系的原點處，有一單位正電荷，設另一單位負電荷在橢圓z=x2+y2，x+y+z=1上移動，問兩電荷間的引力何時最大，何時最小?標準答案：用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一1)，解方程組由前三個方程得x=y，代入后兩個方程得，可算得g(M1)=9—．從實際問題看，函數(shù)g的條件最大與最小值均存在，所以g在點M1，M2分別達到最小值和最大值，因而函數(shù)f在點M1，M2分別達到最大值和最小值，即兩個點電荷間的引力當單位負電荷在點M1處最大，在點M2處最?。R點解析：當負點電荷在點(x，y，z)處時，兩電荷間的引力大小為f(x，y，z)=．負點電荷又在橢圓上，于是問題化為求函數(shù)f(x，y，z)在條件x2+y2一z=0，x+t+z—1=0下的最大值和最小值．為簡單起見，考慮函數(shù)g(x，y，z)=x2+y2+z2，f的最大值(或最小值)就是g的最小值(或最大值)(差一倍數(shù))．于是問題又化為求函數(shù)g(x，y，z)=x2+y2+z2在條件x2+y2一z=0，x+y+z—1=0條件下的最大值和最小值．25、曲面2x2+3y2+z2=6上點P(1，1，1)處指向外側(cè)的法向量為n，求函數(shù)u=在點P處沿方向n的方向?qū)?shù)．標準答案：首先求出方向n及其方向余弦．曲面F(x，y，z)=2x2+3y2+z2—6=0，在P處的兩個法向量是±｜P=±(4x，6y，2z)｜P=±2(2，3，1)，點P位于第一卦限，橢球面在P處的外法向的坐標均為正值，故可取n=(2，3，1)．它的方向余弦為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以寫成A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析2、設S是平面x+y+z=4被圓柱面x2+y2=1截出的有限部分，則曲面積分的值是A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、交換積分次序：標準答案：知識點解析：暫無解析4、標準答案：知識點解析：暫無解析5、交換積分次序：標準答案：知識點解析：暫無解析6、標準答案：知識點解析：暫無解析7、標準答案：知識點解析：暫無解析8、設曲線C為標準答案：知識點解析：暫無解析9、設C為橢圓+(x2y+x)dy=_______．標準答案：πab知識點解析：暫無解析10、設u=x2+y2+z2，則div(gradu)=______．標準答案：6知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)11、設z=f(2x+y，xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求標準答案：2f11"+(2x+y)f12"+f2’+xyf22"知識點解析：暫無解析12、設+yf(x+y)，其中f具有二階連續(xù)導數(shù)，求標準答案：f’(x+y)+yf"(xy)+yf"(x+y)知識點解析：暫無解析13、設函數(shù)f(x，y)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，f(1，1)=1，f1’(1，1)=a，f2’(1，1)=b，又F(x)=f(x，f(x，x))，求F(1)，F(xiàn)’(1)．標準答案：F(1)=1，F(xiàn)’(1)=a+ab+b2知識點解析：暫無解析14、設ex-ysin(x+z)=0，試求標準答案：知識點解析：暫無解析15、設x2+y2+z2=4z，求標準答案：知識點解析：暫無解析16、求由方程2xz一2xyz+ln(xyz)=0所確定的函數(shù)z=z(x，y)的全微分．標準答案：知識點解析：暫無解析17、設u，v是x，y的函數(shù)，且標準答案：知識點解析：暫無解析18、求函數(shù)在點P(一1，3，一3)處的梯度以及沿曲線x=一t2，y=3t2，z=一3t2在點P參數(shù)增大的切線方向的方向?qū)?shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析19、求曲面x2+y2+z2=x的切平面，使它垂直于平面x—y—z=0和x—y一=2．標準答案：知識點解析：暫無解析20、求曲線處的切線方程和法平面方程．標準答案：知識點解析：暫無解析21、求函數(shù)z=3axy—x3一y3(a＞0)的極值．標準答案：在(a，a)點取極大值a3知識點解析：暫無解析22、求函數(shù)z=x3+y3一3xy在0≤x≤2，一1≤y≤2上的最大值和最小值．標準答案：Zmax(2，一1)=13，Zmin(1，1)=Zmmin(0，一1)=一1知識點解析：暫無解析23、在橢球體的內(nèi)接長方體中，求體積最大的長方體的體積．標準答案：知識點解析：暫無解析24、計算二重積分其中D是直線y=2，y=x和雙曲線xy=1所圍成的平面區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析25、計算標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算其中區(qū)域D由y=x2，y=4x2，y=1所圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析27、計算其中D由直線x=一2，y=0，y=2以及曲線所圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析28、計算|x2+y2一2y|dσ，其中D：x2+y2≤4．標準答案：9π知識點解析：暫無解析29、計算，其中D由不等式x2+y2≤x+y所確定．標準答案：知識點解析：暫無解析30、計算(0≤t≤2π)與x軸所圍成的區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、極限的充要條件是()A、α＞1B、α≠1C、α＞0D、與α無關標準答案：B知識點解析：令2、無界的一個區(qū)間是()A、(－∞，－1)B、(－1，0)C、(0，1)D、(1，+∞)標準答案：C知識點解析：因此f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)無界．其他三個區(qū)間內(nèi)f(x)都是有界的．3、在區(qū)間[0，8]內(nèi)，對函數(shù)羅爾定理()A、不成立B、成立，并且f’(2)=0C、成立，并且f’(4)=0D、成立，并且f’(8)=0標準答案：C知識點解析：因為f(x)在[0，8]上連續(xù)，在(0，8)內(nèi)可導，且f(0)=f(8)，故f(x)在[0，8]上滿足羅爾定理條件．令得f’(4)=0，即定理中的ξ可以取為4．4、若f(x)在x0點至少二階可導，且則函數(shù)f(x)在x=x0處()A、取得極大值B、取得極小值C、無極值D、不一定有極值標準答案：A知識點解析：由于則存在δ＞0，當0＜｜x－x0｜＜δ時，由于(x－x0)2＞0，于是f(x)－f(x0)＜0，所以f(x0)＞f(x)，x1為極大值點．故選A．5、設f(x)連續(xù)，f(0)=1，f’(0)=2．下列曲線與曲線y=f(x)必有公共切線的是()A、y=∫0xf(t)dtB、y=1+∫0xf(t)dtC、y=∫02xf(t)dtD、y=1+∫02xf(t)dt標準答案：D知識點解析：曲線y=f(x)在橫坐標x=0對應的點(0，1)處切線為y=1+2x．選項(D)中函數(shù)記為y=F(x)．由F(0)=1，F(xiàn)’(0)=2f(0)=2，知曲線y=F(x)在橫坐標x=0對應點處切線方程也為y=1+2x．故應選D．6、設函數(shù)P(x，y)，Q(x，y)在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)，L為D內(nèi)曲線，則曲線積分∫LPdx+Qdy與路徑無關的充要條件為()A、Pdx+Qdy是某一函數(shù)的全微分B、∮CPdx+Qdy=0，其中C：x2+y2=1在D內(nèi)C、D、標準答案：A知識點解析：在單連通域D中，<=>∮LPdx+Qdy在D內(nèi)與路徑無關<=>∮CPdx+Qdy=0，其中C為D內(nèi)任意閉曲線<=>Pdx+Qdy為某一函數(shù)的全微分．故選A．7、Ω是由x2+y2=z2與z=a(a＞0)所圍成的區(qū)域，則三重積分(x2+y2)dv在柱面坐標系下累次積分的形式為()A、∫0πdθ∫0ardr∫rar2dzB、∫02πdθ∫0ardr∫0ar2dzC、∫0πdθ∫0ardr∫0ar2dzD、∫02πdθrdr∫rar2dz標準答案：D知識點解析：被積函數(shù)中出現(xiàn)x2+y2．積分區(qū)域的邊界曲面方程中含有x2+y2．一般說來利用柱面坐標系計算三重積分較為簡便，這是因為柱面坐標變換中有x2+y2=r2．Ω在xOy面上的投影域Dxy={(x，y)}x2+y2≤a2}用極坐標可表示為Drθ={(r，θ)｜0≤r≤a，0≤θ≤2π}．Ω的上、下邊界曲面方程為z=a，z=r，故=∫02πdθ∫0ardr∫rar2dz．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)8、設f(x)是連續(xù)函數(shù)，且∫0x3－1f(t)dt=x，則f(7)=_____．標準答案：V=π∫0π(sinx+1)2dx=知識點解析：要從變上限積分得到被積函數(shù)，可以對變限積分求導．等式兩邊對x求導得f(xx－1).3x2=1，f(x3－1)=令x=2，即得9、設y(c)≠0且為連續(xù)函數(shù)，∫y(x)dx與的某兩個原函數(shù)，又設則y(x)=______．標準答案：e－x知識點解析：由兩邊對x求導，得所以y2(x)=[∫y(x)dx]2，y(x)=±∫y(x)dx，=±y(x)．所以y=Ce±x．由題設y(0)=1，知C=1．又因為，故“±”取“－”．所以y=e－x．10、過三點A(1，1，－1)，B(－2，－2，2)和C(1，－1，2)的平面方程是______．標準答案：x－3y－2z=0知識點解析：所求平面法向量可取為n==(－3，－3，3)×(0，－2，3)=(－3，9，6)，或取n=(1，－3，－2)．又平面過點(1，1，－1)，從而所求平面方程為(x－1)－3(y－1)－2(z+1)=0，即x－3y－2z=0．11、設a，b是非零向量，且｜b｜=1及=______．標準答案：知識點解析：12、設則fx’(0，1)=______．標準答案：1知識點解析：13、設∑是球面x2+y2+z2=a2(a＞0)的外側(cè)，則xy2dydz+yz2dzdx+zx2dxdy=______．標準答案：知識點解析：設Ω為球面x2+y2+z2=a2所圍閉區(qū)域，由高斯公式得14、設a為正常數(shù)，則級數(shù)的斂散性為______．標準答案：發(fā)散知識點解析：因絕對收斂，所以原級數(shù)發(fā)散．15、函數(shù)展開成的x－1的冪級數(shù)為______．標準答案：(－1)n(x－1)n，0＜x＜2知識點解析：因－1＜x－1<1即0＜x＜2．16、微分方程3extanydx+(1－ex)sec2ydy=0的通解是______．標準答案：tany=C(ex－1)3，其中C為任意常數(shù)知識點解析：方程分離變量得積分得lntan｜y｜=3ln｜ex－1｜+lnC1．所以方程的通解為tany=C(ex－1)3，其中C為任意常數(shù)．17、以y=cos2x+sin2x為一個特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程是______．標準答案：y’’+4y=0知識點解析：由特解y=cos2x+sin2x知特征根為r1，2=±2i，故特征方程是r2+4=0，其對應方程即y’’+4y=0．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)18、設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，x1，x2，…，xn，…是[a，b上一個點列，求標準答案：本題考慮使用夾逼準則．由f(x)在[a，b]上連續(xù)，知ef(x)在[a，b]上非負連續(xù)，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分別為ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故知識點解析：暫無解析19、設又函數(shù)f(x)可導，求F(x)=f[φ(x)]的導數(shù)．標準答案：當x≠0時，用復合函數(shù)求導法則求導得當x=0時(分段點)，φ(0)=0，又f(x)在x=0處可導，于是根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，有F’(0)=f’(0).φ’(0)=0．所以知識點解析：暫無解析20、設函數(shù)f(x)在[一2，2]上二階可導，且｜f(x)｜≤1，又f2(0)+[f’(0)]2=4．試證：在(一2，2)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(ξ)+f’’(ξ)=0．標準答案：由拉格朗日中值定理有f(0)－f(－2)=2f’(ξ1)，－2＜ξ1＜0，f(2)－f(x)=2f’(ξ2)，0＜ξ2＜2．由｜f(x)｜≤1知令φ(x)=f2(x)+[f’(x)]2，則有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2．因為φ(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，且φ(0)=4，設φ(x)在[ξ1，ξ2]上的大值在ξ∈(ξ1，ξ2)(－2，2)處取到，則φ(ξ)≥4，且φ(x)在[ξ1，ξ2]上可導，由費馬定理有：φ’(ξ)=0，即2f(ξ).f’(ξ+2f’(ξ).f’’(ξ)=0．因為｜f(x)｜≤1，且φ(ξ)≥4，所以f’(ξ)≠0，于是有f(ξ)+f’’(ξ)=0，ξ∈(－2，2)．知識點解析：暫無解析21、已知f(x)二階可導，且f(x)＞0，f(x)f’’(x)－[f’(x)]2≥0(x∈R)．(1)證明f(x1)－f(x2)≥(x1，x2∈R)；(2)若f(0)=1，證明f(x)≥ef(0)x(x∈R)．標準答案：(1)記g(x)=lnf(x)，則(2)即f(x)≥ef’(0)x．知識點解析：暫無解析22、求心形線r=a(1+cosθ)的全長，其中a＞0是常數(shù)．標準答案：r’(θ)=－asinθ，由對稱性得知識點解析：暫無解析23、求標準答案：設x=tanu，則dx=sec2udu，知識點解析：暫無解析24、設函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導且y’(x)＞0，y(0)=1．過曲線y=y(x)上任意一點P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設2S1－S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．標準答案：曲線y=y(x)上點P(x，y)處的切線方程為Y－y=y’.(X－x)．它與x軸的交點為由于y’(x)＞0，y(0)=1，從而y(x)＞0，于是又S2=∫0xy(t)dt，由條件2S1－S2=1知兩邊對x求導并化簡得yy’’=(y’)2．令p=y’，則上述方程可化為從而于是y=eC1x+C2．注意到y(tǒng)(0)=1，并由(*)式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線的方程是y=ex．知識點解析：暫無解析25、某公司可通過電臺和報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R(萬元)與電臺廣告費x1(萬元)及報紙廣告費用x2(萬元)之間的關系有如下經(jīng)驗公式：R=15+14x1+322x2－8x1x2－2x12－10x22．(1)在廣告費用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略；(2)若提供的廣告費用為1．5萬元，求相應的最優(yōu)廣告策略．標