考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷10（共266題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷10（共9套）（共266題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，若使F(x)在x=0處可導(dǎo)，則必有()A、f(0)=0B、f’(0)=0C、f(0)+f’(0)=0D、f(0)－f’(0)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由于=f+’(0)+f(0)．同理，=f－’(0)－f(0)．要求F+’(0)=F－’(0)，可得A．2、設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，f’(a)f’(b)＜0．下述命題：①至少存在一點x0∈(a，b)使f(x0)＞f(a)；②至少存在一點x0∈(a，b)使f(x0)＞f(x)；③至少存在一點x0∈(a，b)使f(x0)=0；④至少存在一點x0∈(a，b)使f(x0)=[f(a)+f(b)]．正確的個數(shù)為(A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：只有③是正確的．其證明如下：設(shè)f’(a)＜0，f’(b)＞0．由以及保號性，則存在點x1∈(a，b)使f(x1)－f(a)＜0及x2∈(a，b)使f(x2)－f(b)＜0．因此f(a)與f(b)都不是f(x)在[a，b]上的最小值，從而f(x)在[a，b]上的最小值必在(a，b)內(nèi)部，故知存在x0∈(a，b)使f’(x0)=0．若f’(a)＞0，f’(b)＜0，其證明類似．①，②與④的反例：f(x)=x2－x，當(dāng)x∈[0，1]時，有f’(0)=－1，f’(1)=1，f’(0)f’(1)＜0．但當(dāng)x∈(0，1)時，f(x)＜f(0)=f(1)=0．3、積分()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：4、設(shè)Ω為x2+y2+z2≤1，則三重積分等于()A、0B、πC、D、2π標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：積分區(qū)域Ω關(guān)于xOy面對稱，被積函數(shù)關(guān)于變量z為奇函數(shù)，故I=0．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)5、給出以下5個函數(shù)：100x，log10x100，e10x，x1010，，則對充分大的一切x，其中最大的是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：100x=exln100，log10x100=100logl10x．當(dāng)x充分大時，有重要關(guān)系：eαx》eβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本題填．6、若是(－∞，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，則a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：f(x)在x=0處連續(xù)，可得7、設(shè)曲線y=(ax3+bx2+cx+d經(jīng)過(－2，44)，x=－2為駐點，(1，一10)為拐點，則a，b，c，d分別為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1；－3；－24；16知識點解析：由條件解方程可得a=1，b=－3，c=－24，d=16．8、∫(arcsinx)2dx=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：9、∫x3ex2dx=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：e∫x∫1ee(x∫1e－1)+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：原式=∫x2ex2d(x2)=∫x2dex2=[x2ex2－∫ex2d(x2)]=(x2ex2－ex2)+C=ex2(x2－1)+C．10、點(1，2，3)到直線的距離為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：記點M0(1，2，3)，M(0，4，3)，方向向量S=(1，－3，－2)，11、函數(shù)的定義域為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由z≠0及可得．12、若f(x，y)為關(guān)于x的奇函數(shù)，且積分區(qū)域D關(guān)于Y軸對稱，則當(dāng)f(x，y)在D上連續(xù)時，必有f(x，y)dxdy=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：若連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)關(guān)于x為奇函數(shù)，即f(－x，y)=－f(x，y)；若關(guān)于x為偶函數(shù)，即f(－x，y)=f(x，y)．設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，D1表示D的位于y軸右方的部分．則有同理當(dāng)z=f(x，y)關(guān)于y為奇函數(shù)或偶函數(shù)，積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱時也有類似的結(jié)論．13、曲面積分x3dxdy=______，其中S為球面x2+y2+z2=1的外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：原式==3∫02πdθ∫0πdφ∫01ρ2cos2φρ2sinφdρ=3∫02πdθ∫0πcos2φsinφdφ∫01ρ4d14、設(shè)的斂散性為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識點解析：由發(fā)散．15、ex展開成的x－3的冪級數(shù)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：ex=e3+(x－3)=e3.ex－3，因從而ex=e3.ex－3=e3(x－3)n(－∞＜x－3＜+∞即一∞＜x＜+∞)．16、設(shè)x1=r＞0，xn+1=xn+xn3，n=1，2，3，…．則數(shù)項級數(shù)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由xn+1=xn+xn3，xn=r＞0，所以{xn}嚴(yán)格單調(diào)增加．若顯然有A＞r＞0．令n→∞，xn+1=xn+xn3，兩邊取極限，得A=A+A3，即A=0，矛盾，所以由xn+1=xn+xn3，有三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由拉格朗日中值定理，得tan(tanx)－tan(sinx)=sec2ξ.(tanx－sinx)，sinx＜ξ＜tanx，其中=sec20=1．于是知識點解析：暫無解析18、證明：方程xa=Inx(a＜0)在(0，+∞)上有且僅有一個實根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=lnx－xα(α＜0)，則f(x)在(0，+∞)上連續(xù)，且f(1)=－1＜0，+∞，故任意M＞0，存在X＞1，當(dāng)x＞X時，有f(x)＞M＞0．任取x0＞X，則f(1).f(x0)＜0，根據(jù)零點定理，至少存在ξ∈(1，x0)，使得f(ξ)=0，即方程xα=lnx在(0，+∞)上至少有一實根．又lnx在(0，+∞)上單調(diào)增加，因α＜0，－xα也單調(diào)增加，從而f(x)在(0，+∞)上單調(diào)增加，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一個實根，即方程xα=lnx在(0，+∞)上只有一個實根．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n－1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)，證明：(1)當(dāng)n為偶數(shù)且f(n)(x0)＜0時，f(x)在x0取得極大值；(2)當(dāng)n為偶數(shù)且f(n)(x0)＞0時，f(x)在x0取得極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：n為偶數(shù)，令n=2k，構(gòu)造極限(1)當(dāng)f(2k)(x0)＜0時，由極限保號性=>存在x0的某個去心鄰域=>f(x)＜f(x0)，故x0為極大值點．(2)當(dāng)f(2k)(x0)＞0時，由極限保號性=>存在x0的某個去心鄰域=>f(x)＞f(x0)，故x0為極小值點．知識點解析：暫無解析20、計算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：令1～x=sint，則知識點解析：暫無解析21、求定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：用變量代換可得知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在區(qū)間(－∞，+∞)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，并設(shè)f(x)=2∫0xf’(x－t)t2dt+sinx，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=2∫0xf’(x－t)t2dt+sinx=－2∫0xt2d[f(x－t)]+sinx=－2[t2f(x－t)｜0x－2∫0xtf(x－t)dt]+sinx=－2[x2(0)－0－2∫x0(x－u)f(u)(－du)]+sinx=－2x2(0)+4x∫0xf(u)du－4∫0xuf(u)du+sinx，f’(x)=－4xf(0)+4∫0xf(u)du+4xf(x)－4xf(x)+cosx=－4xf(0)+4∫0xf(u)du+cosx，f’’(x)=－4f(0)+4f(x)－sinx．由上述表達式可見有f(0)=0，f’(0)=1．所以由f’’(x)－4f(x)=－sinx，解得f(x)=C1e2x+C2e－2x+sinx．由f(0)=0，f’(0)=1，得C1+C2=0，2C1－2C2+=1，所以知識點解析：暫無解析23、設(shè)a=3i+4k，b=－i+2j－2k，求與向量a和b均垂直的單位向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由向量的向量積定義可知a×b既垂直于a又垂直于b，所以與a，b均垂直的單位向量為而所以與a，b均垂直的單位向量為知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x，y)及它的二階偏導(dǎo)數(shù)在全平面連續(xù)，且f(0，0)=0，求證：｜f(5，4)｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：因與路徑無關(guān)．設(shè)0(0，0)，A(4，4)，B(5，4)，由條件知在直線OA：y=x上，所以而f(0，0)=0，故f｜(5，4)｜=≤∫452｜x－4｜dx=1．知識點解析：暫無解析25、已知平面區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1)，L為D的邊界正向一周．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(格林公式法)知識點解析：暫無解析26、設(shè)L是平面上包含原點的單連通有界區(qū)域σ的正向邊界線，n0是L上任一點(x，y)處的單位外法向量．設(shè)平面封閉曲線L上點(x，y)的矢徑r=xi+yj，r=｜r｜，θ是n0與r的夾角，試求標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查第一型和第二型曲線積分之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．注意到第二型曲線積分要考慮曲線L在其上點(x，y)處的單位切向量，設(shè)其為τ0=cosαi+cosβj．因為曲線L在其上點(x，y)處的法向量n0。與切線向量τ0互相垂直，并使閉曲線L取正向，故取n0=cosβi－cosαj．根據(jù)兩向量內(nèi)積的定義及dx=cosαds，dy=cosβds，得于是，原曲線積分此處ε為任一含于L的圓的半徑．知識點解析：暫無解析27、已知曲線y=y(x)經(jīng)過點(1，e－1)，且在點(x，y)處的切線在Y軸上的截距為xy，求該曲線方程的表達式．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題以幾何問題為載體，讓考生根據(jù)問題描述建立微分方程，然后求解，是一道簡單的綜合題，是考研的重要出題形式．曲線y=f(x)在點(x，y)處的切線方程為Y－y=y’(X－x)，令X=0，得到切線在y軸截距為xy=y－xy’，即xy’=y(1－x)．此為一階可分離變量的方程，于是兩邊積分有l(wèi)n｜y｜=lnC1x－x，得到又y(1)=e－1，故C=1，于是曲線方程為知識點解析：暫無解析28、設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)有界，證明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程的通解為y(x)=e－ax[C+∫0xf(t)eatdt]，其中C為任意常數(shù)．設(shè)f(x)在[0，+∞)上的上界為M，即｜f(x)｜≤M，則當(dāng)x≥0時，有｜y(x)｜=｜e－ax[C+∫0xf(t)eatdt]｜≤｜Ce－ax｜+eax｜∫0xf(t)eatdt｜≤｜C｜+Me－ax∫0xeatdt=即y(x)在[0，+∞)上有界．知識點解析：暫無解析29、求方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：此為歐拉方程，按解歐拉方程的辦法解之．當(dāng)x＞0時，令x=et，有t=lnx，經(jīng)計算化原方程為得通解為當(dāng)x＜0時，令x=－u，原方程化為y關(guān)于u的方程合并兩種情形得原方程的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、當(dāng)x→0時，下列無窮小量中階數(shù)最高的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：當(dāng)x→0時與u=1一cosx復(fù)合而成．當(dāng)x→0時，與x2同階，是x的2×2=4階無窮?。蔬xD．2、設(shè)則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但f’(x)在x=0不連續(xù)D、可導(dǎo)且f’(x)在x=0連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：f(x)在x=0處連續(xù)，排除A．f(x)在x=0處可導(dǎo)，排除B．所以，f’(x)在x=0處連續(xù)．故選D．3、已知f(π)=2，∫0π[f(x)+f’’(x)]sinxdx=5，則f(0)等于()．A、2B、3C、5D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：用分布積分法，得∫0π[f(x)+f’’(x)]sinxdx=一∫0πf(x)cosx+∫0πdf’(x)=一f(x)cosx｜0π+∫0πcosx．f’(x)dx+f’(x)sinx｜0π一∫0πf’(x)cosxdx=2+f(0)．所以，2+f(0)=5，即f(0)=3．故選B．利用分部積分法可升高或降低被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)．4、設(shè)的值為()．A、(1一cos2)2B、(1+cos2)2C、(1+sin2)2D、(1一sin2)2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為f(x)f(y—x)僅在區(qū)域D1：x≤y≤x+2，0≤x≤2內(nèi)非零，所以故選A．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、設(shè)y=y(x)二階可導(dǎo)，且若y=y(x)的一個拐點是(x0，3)，則β=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填3．知識點解析：由于y(x)二階可導(dǎo)，(x0，3)是拐點，則y(x0)=3，y’’(x0)=0．得[4－y(x0)]β－y(x0)=0，即β=3．6、函數(shù)u=ln(x2+y2+z2)在點M(1，2，一2)處的梯度gradu｜M=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填．知識點解析：本題主要考查函數(shù)在某一點的梯度的計算方法．由若函數(shù)u=f(x，y，z)在空間區(qū)域Ω內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)u=f(x，y，z)在區(qū)域Ω內(nèi)任意一點M(x，y，z)處的梯度為7、已知冪級數(shù)的收斂域為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填(1，5]．知識點解析：由于在x0=0處收斂，所以對一切滿足｜x+2｜＜｜0+2｜=2的x也收斂；又它在x1=一4處發(fā)散，所以對一切滿足｜x+2｜＞｜4+2｜=2的x也發(fā)散．所以該級數(shù)的收斂區(qū)間為｜x+2｜＜2，即一2＜x+2＜2，從而其收斂區(qū)域為一2＜x+2≤2．又x一3=(x一5)+2，所以的收斂域為一2＜(x一5)+2≤2，即1＜x≤5，即(1，5]．8、y(4)一y=0的通解是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填y=c1et+c2e－t+c3cost+c44sint．知識點解析：本題主要考查高階常系數(shù)齊次方程的解法．此方程的特征方程為λ4一1=0，它有四個單根λ1,2=±1，=λ3,4±i．于是該方程有四個線性無關(guān)的解et，e－t，cost，sint，方程的通解為y(t)=c1et+c2e－t+c3cost+c44sint．三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)9、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：原式方法二：由臺勞公式(麥克勞林公式)，當(dāng)x→0時，有于是，原式知識點解析：直接用洛必塔法則將會導(dǎo)致復(fù)雜的計算，所以，該題用恒等變形或用臺勞公式進行化簡．(1)極限中的函數(shù)若具有二階以上的導(dǎo)函數(shù)，可直接用臺勞公式進行簡化．(2)該題也可以用如下方法求解：當(dāng)u→0時，于是盡管用這種方法得到了與前面相同的結(jié)果，但必須指出，在和、差中用等價無窮小量作代換時，一定要非常謹慎．若當(dāng)x→口時，α(x)～u(x)，β(x)～v(x)，則只有當(dāng)時，才能用這是因為將α(x)+β(x)用u(x)+v(x)替代后所產(chǎn)生誤差之大小，只有用臺勞公式才能說清楚．10、已知拋物線Y=px2(p>0)．(1)計算拋物線在直線Y=1下方的弧長l．(2)求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)拋物線y=px2與直線y=1的交點為弧微分ds=于是由弧長公式得(2)知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且求f(0)，f’(0)，f’’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由已知極限存在，可知．f(0)=0．于是可用定義求f’(0)，f’’(0)．12、設(shè)f(x)可導(dǎo)，且它的任何兩個零點的距離都大于某一個正數(shù)(稱零點是孤立的)，g(x)連續(xù)，且當(dāng)f(x)≠0時g(x)可導(dǎo)，令φ(x)=g(x)｜f(x)｜，討論φ(x)的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x0為分段點．若f(x0)≠0，則由題設(shè)可知，存在δ>0，使得當(dāng)｜x－x0｜<δ時，f(x)與f(x0)同號，于是在該鄰域內(nèi)必有φ(x)=f(x)g(x)或φ(x)=－f(x)g(x)之一成立，所以φ(x)在點x0處必可導(dǎo)．若f(x0)=0，不妨假設(shè)由φ(x0)=f(x0)=0，可得所以，φ(x)在x0處可導(dǎo)<=>f’(x0)g(x0)=0．且當(dāng)f’(x0)g(x0)=0時，φ’(x0)=0．知識點解析：這是分段函數(shù)的可導(dǎo)性問題．只需討論在分段點Xo處是否可導(dǎo)．分f(x0)≠0與f(x0)=0兩種情形討論．13、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，∫01f(x)dx=0，g(x)在[0，1]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在(0，1)內(nèi)g’(x)≠0，∫01f(x)g(x)dx=0，試證：至少存在兩個不同的點ξ1,ξ2∈(0，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，則F(0)=F(1)=0．又0=∫01f(x)g(x)dx=∫01g(x)dF(x)=g(x)F(x)｜01－∫01F(x)g’(x)dx=－∫01F(x)g’(x)dx即有∫01F(x)g’(x)dx=0，由積分中值定理，存在點ξ∈(0，1)，使得F(ξ)g’(ξ)=0，由g’(x)≠0知F(ξ)=0，0<ξ<1．即F(0)=F(ξ)=F(1)=0，由洛爾定理，存在點ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0．知識點解析：在f(x)連續(xù)的條件下，欲證f(x)存在兩個零點f(ξ1)=0，f(ξ2)=0，可構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=∫0xf(t)dt，用洛爾定理證明．因已知F(0)=F(1)=0．于是，問題的關(guān)鍵是再找一點ξ，使得F(ξ)=0，這樣的點ξ可由已知條件得到．在只知函數(shù)f(x)連續(xù)的條件下，證明f(x)在[a，b]內(nèi)存在零點的問題，可以對f(x)用介值定理證明，也可對f(x)的原函數(shù)F(x)=∫axf(t)dt用洛爾定理證明．14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，又b>a>0，試證：存在兩點ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．標(biāo)準(zhǔn)答案：作輔助函數(shù)g(x)=lnx，則f(x)、g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．由柯西定理，存在點η∈(a，b)，使得即f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．知識點解析：15、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=π—t，則dx=一dt．于是，知識點解析：(1)用本題的求解思路可證明∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx．這里，被積函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(π—x)，x∈[0，π]．將它一般化可得到如下結(jié)果：設(shè)f(x)，g(x)在[0，a]上連續(xù)，且對x∈[0，a]，有f(x)=f(a—x)，g(x)+g(a－x)=k(k為常數(shù))，則有公式∫0af(x)g(x)dx=∫0af(x)dx成立．證：∫0ag(x)dx∫0af(a－t)g(a－t)dt=∫0af(t)[k一g(t)]dt=k∫0af(t)dt一∫0af(t)g(t)dt，所以，∫0af(x)g(x)dx=∫0af(x)dx．(2)將本題的解題思路一般化，可得∫abf(x)dx∫abf(a+b一t)dt=∫abf(a+b一x)dx＝＞∫abf(x)dx=∫ab[f(x)+f(a+b一x)]dx．特別地，有：16、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：是一個瑕積分，用分部積分法．17、求曲線y=ex曲率的最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由曲率公式于是，求k的最大值就轉(zhuǎn)化為求的最小值．因為所以，x0為φ(x)的極小值點．又駐點唯一，因此φ(x0)為最小值．故當(dāng)知識點解析：先求曲線的曲率，再求最大值．求函數(shù)最大值和最小值的方法．一般方法：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則比較f(x)在駐點、f’(x)不存在的點和區(qū)間端點的函數(shù)值，其中最大者為最大值，最小者為最小值．特殊方法：當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且駐點x0唯一時，若f(x0)為極小值，則f(x0)即為f(x)在[a，b]上的最小值；若f(x0)為極大值，則f(x0)即為f(x)在[a，b]上的最大值．若實際問題存在最大值(或最小值)，而由實際問題建立的函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且駐點x0唯一，則f(x0)就是所求的最大值(或最小值)．18、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，且在x=1處與曲線y=x3一3相切，f(x)在(0，+∞)內(nèi)與曲線y=x3一3有相同的凹向，求方程f(x)=0在(1，+∞)內(nèi)實根的個數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’=3x2，y’(1)=3，及曲線y=f(x)與y=x3一3相切可知，f’(1)=3，f(1)=y(1)=一2．由曲線y=f(x)與y=x3一3在(0，+∞)內(nèi)有相同的凹向，以及y’’=6x>0，可知，f’’(x)>0，x∈(0，+∞)．由臺勞公式即存在M＞0，當(dāng)x0＞M時，使得f(x0)＞0．于是，f(x)在[1，x0]上連續(xù)，且f(1)=－2<0，f(x0)>0．由零值定理，在(1，x0)內(nèi)至少存在一點ξ，使f(ξ)=0．由f’’(x)>0,x∈(0，+∞)，可知在(0，+∞)內(nèi)f’(x)單調(diào)增加．再由f’(x)＞f’(0)=0，知f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，故f(x)=0在(0，+∞)內(nèi)僅有一個根．知識點解析：由f(x)二階可導(dǎo)及臺勞公式可得f(x)的解析式，然后用零值定理．若f(n)(x)>0，x∈(a，b)，則f(n－1)(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加．19、設(shè)D是由曲線圍成的平面區(qū)域．求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：注意第一象限的兩條曲線，一條是圓，一條是星形線，且后者位于前者的下方．于是旋轉(zhuǎn)體的體積為知識點解析：暫無解析20、已知單位向量的三個方向角相等，點B與點M(1，一3，2)關(guān)于點N(一1，2，1)對稱，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)因為cos2α+cos2β+cos2γ=1，且α=β=γ，再設(shè)點B為B(x,y,z)，根據(jù)題意可知，點N(－1,2,1)為線段BM的中點，所以知識點解析：本題主要考查方向角的概念、關(guān)于點對稱的概念、對稱點的求法、向量積的概念與計算．21、設(shè)函數(shù)y=f(r)，而試求函數(shù)u．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用分離變量解微分方程．知識點解析：本題得到的是一個二階的微分方程，但不是線性的常系數(shù)的二階微分方程．因此，不能用常系數(shù)的線性微分方程的特征值的方法去求解．22、求當(dāng)x>0，y>0，z>0時，函數(shù)f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并證明：對任何正實數(shù)a、b、c，不等式ab2c3≤成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：為求在條件x2+y2+z2=6r2下函數(shù)f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz的最大值，不妨設(shè)L(x，y，z，λ)=lnx+2lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一6r2)(x>0，y>0，z>0)．由方程組因為駐點(x，y，z)在球面x2+y2+z2=6r2的第一卦限部分上，則點是唯一的駐點．另一方面，當(dāng)點趨于球面(第一卦限部分)與坐標(biāo)平面的交線時，函數(shù)f(x，y，z)便趨于一∞，所以函數(shù)f(x，y，z)在指定的區(qū)域內(nèi)部取得最大值，從而此唯一的駐點便是最大值點，即知識點解析：本題第一部分是求條件極值，利用拉格朗日乘子法解答．本題第二部分是利用第一部分得到的結(jié)果來證明不等式．(1)本題的目標(biāo)函數(shù)亦可取為f(x，y，z)=xy2z3，同樣有效．(2)由本題的目標(biāo)函數(shù)與約束條件在形式上的對稱性，還可以將上面的條件極大值問題改為如下的條件極小值問題：求目標(biāo)函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2在條件xy2z3=6r2約束下的最小值．只是具體求解起來不如上述方法簡單．23、設(shè)積分區(qū)域D=((x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π)，計算二重積分I=標(biāo)準(zhǔn)答案：因為故設(shè)積分區(qū)域D1={(x，y)｜y≥x，0≤y≤π}，D2={(x，y)｜x>y，0≤x≤π}．于是，知識點解析：首先應(yīng)設(shè)法去掉最大值符號max，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可．對于二重積分(或三重積分)的計算問題，當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時，應(yīng)利用積分的可加性分區(qū)域進行積分．而在實際考題中，被積函數(shù)經(jīng)常為隱含的分段函數(shù)，例如：取絕對值函數(shù)｜(x，y)｜、取極值函數(shù)max{f(x，y)，g(x，y)}，min{f(x，y)，g(x，y)}，符號函數(shù)sgn{f(x，y)一g(x，y)}以及取整函數(shù)[f(x，y)]等等．24、計算三重積分繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面與兩平面z=2，z=8所圍成的空間閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用“先二后一”的柱坐標(biāo)公式．由于垂直于坐標(biāo)x軸的平面(2≤x≤4)與空間區(qū)域Ω的截面為圓，則積分區(qū)域Ω可以表示為Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤2x，2≤x≤8}，即固定2≤x≤8，垂直于坐標(biāo)z軸的平面Z=z與Ω的截面為圓域D(x)：x2+y2≤2z．于是，知識點解析：本題主要考查三重積分在直角坐標(biāo)系下的計算方法．當(dāng)積分區(qū)域Ω的邊界曲面方程容易用極坐標(biāo)表示，且積分區(qū)域Ω為柱體，或被積函數(shù)為f(x2+y2)時，三重積分應(yīng)采用柱坐標(biāo)變換的換元公式此時，應(yīng)注意確定變量r、φ、θ的取值范圍．已知曲線積(A為常數(shù))，其中φ(y)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且φ(1)=1．L是圍繞原點O(0，0)的任意分段光滑簡單正向閉曲線．25、證明：對右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1—9—4所示，將曲線C分解為C=L1+L2．再作另一條曲線L2圍繞原點且與C相接，則知識點解析：暫無解析26、求函數(shù)φ(y)的表達式，及常數(shù)A的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)且P、Q在單連通區(qū)域x＞0內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，由上一題知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)x＞0時，總有于是，xφ(x)=2φ(x)．這是可分離變量的微分方程．解微分方程，得φ(x)=cx2．由條件φ(1)=1，得c=1，從而φ(x)=x2．由于曲線積分與路徑無關(guān)，故可取閉曲線L：x2+y2=1．根據(jù)格林公式，得知識點解析：證明第一題的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進行分解討論；而第二題中求φ(y)的表達式，顯然應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)即可．本題難度較大，關(guān)鍵是如何將待求解的問題轉(zhuǎn)化為可利用已知條件的情形．27、計算曲線積分其中г是依參數(shù)t增大的方向通過的橢圓：x=asin2t，y=2asintcost，z=acos2t，0≤t≤π．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用斯托克斯公式．知識點解析：本題主要考查第一類型曲線積分的求解方法．28、已知{an)是單調(diào)增加且有界的正數(shù)列，證明：級數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于{an}是單調(diào)增加且有界的正數(shù)列，則由于{an}有界，所以{Sn}有界，故是正項級數(shù)，且其部分和數(shù)列有界，因此它收斂．知識點解析：暫無解析29、將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、求解微分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：將原微分方程化為兩邊積分得sinu=—ln｜x｜+c．再將變量代換代回到上式中，得原微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．知識點解析：本題主要考查齊次微分方程的求解方法．31、求解微分方程xy’sinylnx+(1一xcosy)cosy=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)變量代換u=cosy，則原微分方程就化為這是n=2時的伯努利方程．令z=u－1，代入到上式中，得這是線性微分方程．利用分離變量的方法，得齊次線性微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．利用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次線性微分方程的通解為代入到線性微分方程中，得c(x)=x+c．于是，線性微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．最后，再將變量代換z=u－1代回到原微分方程中去，即得原微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．另外，當(dāng)u=0時，(n取整數(shù))也是原微分方程的解．知識點解析：本題主要考查伯努利方程的求解方法．在求解微分方程的通解時，有時有的特解并不在其通解中．這時，就需要按原微分方程的結(jié)構(gòu)來判定．32、求解微分方程y’’一y=ex+4cosx．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)該微分方程的特解為y*=y1*(x)+y2*(x)=Axex+(Bcosx+Csinx)，代入到微分方程中，得B=一2，c=0，從而微分方程的通解為：其中c1，c2為任意常數(shù)．知識點解析：本題主要考查二階非齊次線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)以及解的疊加原理．若yi*(x)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y’’+ay’+by=fi(x)的特解(i=1，2)，則y*=y1*(x)+y2*(x)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y’’+ay’+by=f1(x)+f2(x)的特解．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)y=f(x)是微分方程y’’一2y’+4y=一esinx的一個解，若f(x0)＞0，f’(x0)=0，則函數(shù)f(x)在點x0()．A、取得極大值B、某鄰域內(nèi)單調(diào)增加C、取得極小值D、某鄰域內(nèi)單調(diào)減少標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由題設(shè)可知f’’(x0)一2f’(x0)+4f(x0)=又f’(x0)=0，所以，f(x)在x0處取得極大值，故選A．當(dāng)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)時，駐點x0是否是極值點可用f’’(x0)的符號判定：若f’’(x0)>0，則x0為極小值點；若f’’(x0)<0，則x0為極大值點．這稱為極值的第二充分條件，它可以表示為極限形式：若x0為f(x)的駐點，則當(dāng)A>0時，f(x0)為極小值；當(dāng)A<0時，f(x0)為極大值．2、已知曲面z=4一x2一y2上點P處的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，則點P的坐標(biāo)是()．A、(1，一1，2)B、(一1，1，2)C、(1，1，2)D、(一1，一1，2)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查曲面的切平面的求法以及兩個平面平行的充要條件．設(shè)切點是P0(x0，y0，z0)，則切平面的法向量是，n={2x0，2y0，1}，它與平面2x+2y+z一1=0的法向量平行，故有由此可得：x0=1，y0=1，z0=4一x02一y02=2，故選C．3、下列選項正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為所以存在N＞1，當(dāng)n≥N時，0≤從而由正項級數(shù)的比較判別法知道收斂．故選D．4、微分方程y’’一y=ex+1的一個特解應(yīng)具有形式()．A、aex+bB、aex+bxC、axex+bD、axex+bx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：原方程對應(yīng)的齊次方程y’’一y=0的兩個特征根分別為1，一1，所以y’’一y=1的一個特解形式為b，而y’’一y=e的一個特解形式為axex．根據(jù)疊加原理，方程的一個特解形式為b+axex．故選C．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)5、∫－11(1+x2009)(ex—e－x)dx=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點解析：原式=∫－11x(ex—e－x)dx+∫－11x2010(ex—e－x)dxex—e－x為奇函數(shù)，x(ex—e－x)為偶函數(shù)，x2010(ex—e－x)為奇函數(shù)所以∫－11x2010(ex+e－x)dx=0∫－11x(ex—e－x)dx=2∫01xd(ex+e－x)=2[x(ex+e－x)｜01－∫01(ex+e－x)dx]6、過點P(1，2，一1)且與直線垂直的平面π的方程是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填x一3y—z+4=0．知識點解析：本題主要考查直線的參數(shù)方程及平面的點法式方程．由于所求平面丌與直線L垂直，且直線L的方向向量為s={一1，3，1)，故所求平面π的法向量為，n={一1，3，1}．又因為平面π過點P(1，2，一1)，所以平面π的點法式方程為(一1)(x一1)+3(y一2)+1(z+1)=0，即x一3y—z+4=0．(1)若空間直線方程的參數(shù)方程為x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt，則該直線的方向向量為s={m，n，p)．(2)空間直線與平面互相垂直的充分必要條件是其中平面π的法向量為n={A，B，C}．三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)7、討論函數(shù)f(x)=在(一∞，+∞)上的有界性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(一x)=可知：f(－x)=f(x)．所以，f(x)是偶函數(shù)．只需證明f(x)在[0，+∞)上有界．又于是，對于存在A>0，當(dāng)x>A時，有即當(dāng)x>A時，有0x∈[0，A]，有0≤f(x)≤M1．取M=max{1，M1}，則對x∈[0，+∞)，有0≤f(x)≤M從而可知，對x∈(一∞，+∞)，有0≤f(x)≤M．知識點解析：因為f(x)為偶函數(shù)，所以只需證明f(x)在[0，+∞)上有界．要證f(x)在[0，+∞)上有界，只要證明存在．(1)要判斷函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)上的有界性，需考察f(x)在間斷點x0及在無窮遠點的極限．若存在，則f(x)在x0附近有界，若存在，則f(x)在x0的左鄰域內(nèi)有界，若存在，則f(x)在x0的右鄰域內(nèi)有界．若f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，又均存在，則f(x)在(a，b)內(nèi)有界．在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有界，但在開區(qū)間上不連續(xù)的函數(shù)也可能有界．例如：f(x)在x=0處不連續(xù)，但f(x)在(一1，1)內(nèi)有界．(2)在本題的證明中取(或取其他一個確定的正數(shù))是非常必要的．如果用來證明f(x)在[A，+∞)上有界就是錯誤的，因為此時的“界”不確定．(3)用變量替換可證明f(x)與其原函數(shù)的奇偶性有著密切的聯(lián)系：若f(x)連續(xù)，則1)為奇(偶)函數(shù)<=>f(x)為偶(奇)函數(shù)．2)為偶函數(shù)<=>f(x)為奇函數(shù)．8、求極限(用定積分求極限)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為知識點解析：將n項的和轉(zhuǎn)化為積分和，從而可以用定積分計算這種類型的極限．利用定積分求n項和式的極限，關(guān)鍵在于找出定積分中的被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a，b]的n等份之一．當(dāng)n項和不能直接視為某個定積分對應(yīng)的積分和時，可通過放縮法將和式轉(zhuǎn)化為某定積分對應(yīng)的積分和，再利用夾逼定理求解．9、設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)，且求f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：即f(0)+2=1，得f(0)=一1．又當(dāng)x→0時，ln[f(x)+2]=ln[1+f(x)+1]～f(x)+1，所以知識點解析：這是抽象函數(shù)求導(dǎo)數(shù)值的問題，利用定義在計算極限時，經(jīng)常要用到下面的結(jié)論：(1)若limf(x)g(x)=A，且limg(x)=∞，則limf(x)=0．(2)若limf(x)／g(x)一A≠0，且limf(x)=0，則limg(x)=0．(3)若limf(x)／g(x)=A，且limg(x)=0，則limf(x)=0．10、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上有定義，且f’(0)=1，又f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令z=y=0得f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0．即f’(x)一f(x)=ex，f(0)=0，這是一階非齊次線性微分方程，通解為：f(x)=e∫dx(∫exe－∫dx+c)=cex+xex由f(0)=0，得c=0，所以，f(x)=xex．知識點解析：由已知條件f(x+y)一f(x)=f(x)ey+f(y)ex一f(x)，建立f(x)應(yīng)滿足的微分方程，然后解方程求出f(x)．11、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)一1，試證：對任何滿足0＜k＜1的常數(shù)k，存在點ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=一k．標(biāo)準(zhǔn)答案：作輔助函數(shù)F(x)=f(x)+kx，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)=f’(x)+k．由f(0)=f(1)一1，F(xiàn)(1)=1+k，所以，＜F(0)＜F(1)．由介值定理，存在點c∈使得F(c)=F(0)．因此，F(xiàn)(x)在[0，c]上連續(xù)，在(0，c)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(c)．由洛爾定理，存在點ξ∈(0，c)(0，1)，使得F’(ξ)=f’(ξ)+k=0，即f’(ξ)=一k．知識點解析：這是討論函數(shù)在某點取定值的問題，可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的存在性問題．f’(ξ)=一k<=>f’(ξ)+k=0<=>[f(x)+kx]’｜x=ξ=0<=>F(x)=f(x)+kx的導(dǎo)數(shù)在(0，1)內(nèi)有零點．于是，我們只要驗證F(x)在[0，1]上或其子區(qū)間上滿足洛爾定理的全部條件．在本題的證明過程中綜合運用了輔助函數(shù)法和輔助區(qū)間法，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是：將待證的結(jié)論變形為f’(ξ)+k=0，即函數(shù)F(x)=f(x)+kx的導(dǎo)函數(shù)在(0，1)內(nèi)存在零點的形式．然后取該函數(shù)作為用洛爾定理證明本題的輔助函數(shù)．由于F(x)在區(qū)間[0，1]的端點的值不相等，再由已知條件和介值定理構(gòu)造使F(x)在端點值相等的輔助區(qū)間[0，c]，c∈然后應(yīng)用洛爾定理得到要證明的結(jié)論．12、設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(a)=f(c)=f(b)．其中c為(a，b)內(nèi)的一點，試證：存在點ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)<0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，f(x)在[a，c]和[c，d]上分別滿足洛爾定理的全部條件，由洛爾定理，存在點a1∈(a，c)，b1∈(c，b)，使得f’(a1)=f’(b1)=0．又f’(x)在[a1，b1]上可導(dǎo)且不恒等于零，所以，必存在點a2∈(a1，b1)，使得f’(a2)＞0，或存在點a3∈(a1，b1)，使得f’(a3)＜0．當(dāng)存在a2∈(a1，b1)，使f’(a2)＞0時，由拉格朗日中值定理，存在點ξ∈(a2，b1)，使得當(dāng)存在a3∈(a1,b1)，使f’(a3)＜0時，由拉格朗日中值定理，存在點ξ∈(a3，b1)，使得綜上可知，存在點ξ∈(a1，b1)(a，b)，使得f’’(ξ)<0．知識點解析：由題設(shè)知，可在[a，c]，[c，b]上分別對f(x)用洛爾定理，存在點a1∈(a，c)，b1∈(c，b)，使得f’(a1)=f’(b1)=0．但f(x)不恒等于常數(shù)，可知f’(x)≠0．從而可知，f’(x)在[a1，b1]上可導(dǎo)，不恒等于零，且f’(a1)=f’(b1)=0．然后可用拉格朗日中值定理證明存在點ξ∈(a1，b1)，使得f’’(ξ)<0．為了證明存在點ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)<0，我們可對f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理和洛爾定理，再對f’(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理．一般來說，若要從函數(shù)f(x)的性質(zhì)出發(fā)去證明其k階導(dǎo)數(shù)f(k)(x)在某點滿足指定的要求，需要對f(x)，f’(x)，…，f(k－1)(x)依次運用微分中值定理．13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：原式知識點解析：14、設(shè)f’(x)=arcsin(x一1)2及f(0)=0，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x－1)=(x－1)f(x)｜01－∫01f’(x)(x－1)dx=—∫01(x－1)arcsin(x－1)2dx知識點解析：若已知f(a)=0或f(b)=0時，則在分部積分時可用下面的小技巧簡化計算．若已知f(a)=0，則∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=一∫ab(x一b)f’(x)dx．若已知f(b)=0，則∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一a)=一∫ab(x一a)f’(x)dx．15、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：對于廣義積分只有在已知收斂的前提下，才能考慮利用被積函數(shù)的奇、偶性簡化計算．16、求曲線的漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以x=一1，x=0是曲線的鉛直漸近線．知識點解析：．需注意的是：若曲線在一個方向上有水平漸近線，則在此方向上一定沒有斜漸近線，同一條曲線最多有兩條水平漸近線，但可能有多條鉛直漸近線．17、過曲線上點M作切線，使該切線和曲線及x軸所圍成的平面圖形的面積為,求切點M的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)M(x0,y0)是曲線上一點，則過點M(x0,y0)的切線方程為它在x軸上的截距為x=－x0．于是，由切線、曲線和x軸所圍成的平面圖形的面積S為知識點解析：暫無解析18、設(shè)空間中一個平面π與坐標(biāo)軸z、y、z的交點分別為P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)，求該平面π的方程，其中abc≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求平面π的方程為Ax+By+Cz+D=0，將點P，Q，R分別代入，得知識點解析：本題主要考查空間平面的截距式方程．空間平面方程的表達式主要有：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0．(2)點法式方程：A(x—x0)+B(y一y0)+C(z—z0)=0．(3)截距式方程：19、設(shè)二元函數(shù)z=z(x，y)是由方程xexy+yz2=yzsinx+z所確定，求二階偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：由x=0，y=0，得z=0．在方程兩邊同時對變量z求偏導(dǎo)數(shù)，得．知識點解析：暫無解析20、計算二重積分sin(x2+y2)dxdy，其中積分區(qū)域D={(x，y}｜x2+y2≤π}．標(biāo)準(zhǔn)答案：作極坐標(biāo)變換，x=rcosθ，y=rsinθ，則令t=r2，則I=πeπ∫0πe－tsintdt．再令∫0πe－tsintdt=A，則A=－∫0πsint(e－t)=－(e－tsint｜0π—∫0πe－tcostdt)=－∫0πcostd(e－t)=－(e－tcost｜0π+∫0πe－tsintdt)=e－π+1－A．知識點解析：因為被積函數(shù)f(x，y)含有x2+y2，且積分區(qū)域D為圓，應(yīng)選用極坐標(biāo)系計算二重積分．21、交換二重積分的積分次序，其中f(x，y)為連續(xù)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1—8—6，由已知二重積分的第一部分得積分區(qū)域D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x2}．知識點解析：交換二重積分的一般步驟為：(1)根據(jù)原有的二重積分的上、下限，畫出相應(yīng)的積分區(qū)域的圖形；(2)按著新的積分次序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二重積分．根據(jù)原有的二重積分的上、下限，畫出相應(yīng)的積分區(qū)域的圖形，是解答本類型題的關(guān)鍵所在．22、已知球A的半徑為R，另一半徑為r的球B的中心在球A的表面上(r≤2R)．(1)求球B被夾在球A內(nèi)部的表面積．(2)問r的值為多少時，該表面積為最大?并求出最大表面積的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)球B的中心在點(0，0，R)處，球B被球A所割部分的方程為(1)所求曲面面積為(2)本題的關(guān)鍵在于球B的中心位置的設(shè)定，亦即坐標(biāo)系的選?。R點解析：首先確定表面積的曲面方程，然后再利用表面積的面積公式，求出相應(yīng)的表面積S，其中曲面在坐標(biāo)平面xOy上的投影區(qū)域為D．23、計算曲線積分其中曲線弧L為；x2+y2=一2y．標(biāo)準(zhǔn)答案：將曲線弧長L所滿足的方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程知識點解析：因為曲線弧L是一個圓，故可用極坐標(biāo)計算曲線積分．設(shè)曲線積分其中L為平面上任意一條分段光滑閉曲線，且P(x，y)=2[xφ(y)+ψ(y)]，Q(x，y)=x2ψ(y)+2xy2一2xφ(y)．其中φ(y)、ψ(y)在R'內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且φ(0)=一2，ψ(0)=1．24、試求φ(y)、ψ(y)的表達式．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為在平面上任意一條分段光滑閉曲線L上，即積分∫LPdx+Qdy在平面上與路徑無關(guān)．也即對任意的(x,y)．也即2[xφ’(y)+ψ’(y)]=2xψ(y)+2y2一2φ(y)．也即xφ’(y)+ψ’(y)=xψ(y)+y2一φ(y)．也即于是ψ(y)=φ’(y)=cosy+2y．知識點解析：暫無解析25、求曲線積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：主要考查曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件，二階線性微分方程的特解以及相應(yīng)的曲線積分．上一題通過曲線積分與路徑無關(guān)的條件，得到一個二階線性微分方程，它是本題解題的關(guān)鍵所在．下一題利用了全微分方程的解題方法．26、設(shè)∑是球面x2+y2+z2一2ax一2ay一2az+a2=0(a>0，為常數(shù))，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因為球面∑可改為(x一a)2+(y一a)2+(z一a)2=2a2，由輪換對稱性知：又因為球面∑的球心的z的坐標(biāo)為知識點解析：暫無解析27、一條鯊魚在發(fā)現(xiàn)血腥味時，總是向著血腥味最濃的方向追尋．在海面上進行試驗表明：如果把坐標(biāo)原點取在血源處，在海面上建立直角坐標(biāo)系，那么點(x，y)處血液的濃度c(每百萬份水中所含血的份數(shù))可以近似地表示為求鯊魚從點(x0，y0)出發(fā)向血液前進的路線．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)鯊魚的前進路線為L：y=f(x)．首先，建立f(x)應(yīng)滿足的關(guān)系式．由于鯊魚追蹤最強的血腥味，所以它每一瞬間都將按血液濃度增加最快、即按C的梯度方向前進又由于鯊魚前進的方向即L的切線方向，而切線方向向量又可以表為s={dx,dy}，于是，s的方向和梯度gradC的方向平行，即從而y=f(x)應(yīng)滿足條件為這是一個可分離變量得微分方程．解此微分方程，得鯊魚的前進路線為知識點解析：本題主要考查梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系，并由此建立相應(yīng)的微分方程．梯度的方向就是函數(shù)在某點處的方向?qū)?shù)的最大的方向，即梯度的方向=方向?qū)?shù)的最大方向．28、求級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)則原級數(shù)化為新級數(shù)所以新級數(shù)的收斂半徑R=1．當(dāng)u=一1時，新級數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較判別法的極限形式知，新級數(shù)發(fā)散．當(dāng)u=1時，新級數(shù)單調(diào)有界，則新級數(shù)收斂．于是，新級數(shù)的收斂域為(一1,1]，從而原級數(shù)的收斂域為解此不等式，即得原級數(shù)的收斂域為知識點解析：求冪級數(shù)的收斂域是基本題型，本題的關(guān)鍵是簡化冪級數(shù)的一般項．29、試將f(x)=x2，x∈[一π，π]展開為以π為周期的傅里葉級數(shù)，并由此求數(shù)項級數(shù)的“和數(shù)”．標(biāo)準(zhǔn)答案：在x∈[一π，π]上，因為f(x)=x2為偶函數(shù)，故bn=0(n=1，2，…)，且在端點x=±π處，該傅里葉級數(shù)收斂于因此又狄利克雷收斂定理，知識點解析：因為f(x)=x2在x∈[一π，π]為偶函數(shù)，故bn=0(n=1，2，…)．因此，所展成的傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù)．30、設(shè)f(x)，g(x)滿足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2．求積分值標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件f’(x)=g(x)，得f’’(x)=g’(x)=2ex一f(x)，即求解齊次微分方程：特征方程為λ2+1=0，λ=±n’，通解為非齊次微分方程：因為r=1不是特征方程的解，故設(shè)特解f*(x)=Aex，則得A=1．于是，通解為f(x)=c1cosx+c2sinx+ex．將條件f(0)=0，g(0)=2代入到通解中，得特解f(x)=sinx一cosx+ex，其中c1=一1，c2=1．從而知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且則()A、f(0)=0且f－’(0)存在B、f(0)=1且f－’(0)存在C、f(0)=0且f+’(0)存在D、f(0)=1且f+’(0)存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為f(x)在x=0處連續(xù)，且所以f(0)=0．從而有2、若非零向量a，b滿足關(guān)系式｜a－b｜=｜a+b｜，則必有()A、a－b=a+bB、a=bC、a.b=0D、a×b=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：｜a－b｜2=(a－b).(a－b)=｜a｜2+｜b｜2－2a.b，｜a+b｜2=(a+b).(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2a.b，從｜a－b｜=｜a+b｜即知－2a.b=2a.b，4a.b=0，所以a.b=0．或者由向量加減運算的幾何意義，a－b與a+b分別表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線向量，而平行四邊形的麗對角線長度相等時，必是矩形．即知a⊥b，a.b=0．應(yīng)選C．3、設(shè)c=αa+βb，a，b為非零向量，且a與b不平行．若這些向量起點相同，且a，b，c的終點在同一直線上，則必有()A、αβ≥0B、αβ≤0C、α+β=1D、α2+β2=1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：依題意，αa+βb－b與αa+βb－a平行，從而有(αa+βb－b)×(αa+βb－a)=0，即αβa,×b+αβb×a－βb×a－αb×a+b×a=0．因為a×b=－b×a，所以從上式可得(α+β)b×a=b×a．又a與b不平行，a×b≠0，故得α+β=1．應(yīng)選C．4、以下4個平面方程：①7x+5y+2z+10=0，②－7y－5y+2z－10=0，③7x－y+14z+26=0，④x－7y+14z－26=0，是平面x+2y－2z+6=0和平面4x－y+8z－8=0的交角的平分面方程的是()A、①②B、②③C、②④D、①④標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)M(x，y，z)為所求平面上的任一點，根據(jù)題意，M到兩個已知平面的距離相等，所以即3｜x+2y－2z+6｜=｜4x－y+8z－8｜，因此3x+6y－6z+18=±(4x－y+8z－8)，故所求平面的方程是x－7y+14z－26=0或7x+5y+2z+10=0．故選擇D．5、設(shè)u(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則u(x，y)的()A、最大值點和最小值點必定都在D的內(nèi)部B、最大值點和最小值點必定都在D的邊界上C、最大值點在D的內(nèi)部，最小值點在D的邊界上D、最小值點在D的內(nèi)部，最大值點在D的邊界上標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令由于B2－AC＞0，函數(shù)u(x，y)不存在無條件極值，所以D的內(nèi)部沒有極值，故最大值與最小值都不會在D的內(nèi)部出現(xiàn)．但是u(x，y)連續(xù)，所以，在平面有界閉區(qū)域D上必有最大值與最小值，故最大值點和最小值點必定都在D的邊界上．6、設(shè)∑是曲面被平面z=1割下的有限部分，則曲面積分的值為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：設(shè)∑1為∑在第一卦限部分的曲面，∑1：Dxy={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，Y≥0}，用極坐標(biāo)表示為所以因為∑關(guān)于yOz面，zOx面對稱，函數(shù)｜yz｜關(guān)于變量x或y都為偶函數(shù)，故7、下列命題中正確的是()A、若un＜vn(n=1，2，3，…)，則B、若un＜vn(n=1，2，3，…)，收斂C、若收斂D、若ωn＜un＜vn(n=1，2，3，…)，收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為ωn＜un＜vn，所以0＜un－ωn＜vn－ωn．又因為收斂．因為只有當(dāng)級數(shù)收斂時，才能比較其和的大小，所以不能選A，選項B，C將正項級數(shù)的結(jié)論用到了一般級數(shù)上，顯然不對．例如取級數(shù)可以說明B不對，取級數(shù)就可以說明C不對，故選D．8、方程y(4)－2y’’’－3y’’=e－3x－2e－x+x的特解形式(其中a，b，c，d為常數(shù))是()A、axe－3x+bxe－x+cx3B、ae－3x+bxe－x+cx+dC、ae－3x+bxe－x+cx3+dx2D、axe－3x+be－x+cx3+dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：特征方程r2(r2－2r－3)=0，特征根為r1=3，r2=－1，r3=r4=0，對于f1(x)=e－3x，λ1=－3非特征根，y1*=ae－3x；對于f2(x)=－2e－x，λ2=－1是特征根，y2*=bxe－x；對于f3(x)=x，λ3=0是二重特征根，y3*=x2(cx+d)，所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae－3x+bxe－x+cx3+dx2．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)則y’=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：用求導(dǎo)法則計算得10、函數(shù)F(x)=∫1x(1一)dt(x＞0)的遞減區(qū)間為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：[e2，+∞)知識點解析：需要考慮F(x)的導(dǎo)函數(shù)令F’(x)≤0，即得x≥e2．11、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2(tanx)+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：12、二元函數(shù)f(x，y)=xy在點(e，0)處的二階(即n=2)泰勒展開式(不要求寫余項)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由題知f(e，0)=1，fx’(x，y)=yxy－1，fx’(e，0)=0，fy’(x，y)=xylnx，fy’(e，0)=1，fxx’’(x，y)=y(y－1)xy－2，fxx’’(e，0)=0，fxy’’(x，y)=xy－1+yxy－1lnx，fxy’’(e，0)=e－1，fyy’’(x，y)=xy(lnx)2，fyy’’(e，0)=1．因此f(x，y)在點(e，0)處展開的二階泰勒公式為f(x，y)=f(e，0)+(x－e)fx’(e，0)+(y－0)fy’(e，0)+[(x－e)2fxx’’(e，0)+2(x－e)(y－0)fxy’’(e，0)+(y－0)2fyy’’(e，0)]+R3略去R3，得如上所填．13、微分方程ydx－xdy=x2ydy的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：將方程改寫為此為全微分方程，即通解為其中C為任意常數(shù)．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)14、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因為x→0時，而故原極限=知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)是三次多項式，且有標(biāo)準(zhǔn)答案：因為所以f(2a)=f(4a)=0，從而得知x=2a，x－4a為f(x)的因式．又因為f(x)為三次多項式，可令f(x)=b(x－2a)(x－4a)(x－c)．于是知識點解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(y)的反函數(shù)f－1(x)及f’[f－1(x)]與f’’[f－1(x)]都存在，且f’[f－1(x)]≠0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x=f(y)，則其反函數(shù)為y=f－1(x)．對x=f(y)兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得知識點解析：暫無解析17、設(shè)求y(n)(n＞1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：經(jīng)計算A=8，B=－1．故知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[一1，1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(－1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．證明：在[一1，1]內(nèi)存在ξ，使得f’’’(ξ)=3．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x－x0)+(x0)(x－x0)2+f’’’(η)(x－x0)3，取x0=0，x=1代入，得η1∈(0，1)．①取x0=0，x=－1代入，得η2(－1，0)．②①－②得f(1)－f(－1)=[f’’’(η1)+f’’’(η2)]=1－0=1．③因為f’’’(x)在[－1，1上連續(xù)，則存在m和M，使得x∈[－1,1]，m≤f’’’(x)≤M，m≤f’’’(η1)≤M，m≤f’’’(η2)≤M=>m≤[f’’’(η1)+f’’’(η2)]≤M．④③代入④，有m≤3≤M，由介值定理，存在ξ∈[－1，1]，使得f’’’(ξ)=3．知識點解析：暫無解析19、(1)證明如下所述的型洛必達(L’Hospital)法則：設(shè)①②存在x0的某去心鄰域時，f’(x)與g’(x)都存在，且g’(x)≠0；③(只要求對于x→x0+的情形給出證明)；(2)請舉例說明：若條件③不成立，但仍可以存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：令在區(qū)間[x0，x]上F(x)與G(x)滿足柯西中值定理條件，于是有(2)舉例：而卻不存在，洛必達法則不成立，原因在于條件③不滿足．知識點解析：暫無解析20、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、對于實數(shù)x＞0，定義對數(shù)函數(shù)依此定義試證：(1)(2)ln(xy)=lnx+lny(x＞0，y＞0)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)令t=xξ，則有知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分中值定理，得f(1)=e1－ξ12f(ξ1)，ξ1∈令F(x)=e1－x2f(x)，則F(x)在[ξ1，1]上連續(xù)，在(ξ1，1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(1)=f(1)=e1－ξ12f(ξ1)=F(ξ1)．由羅爾定理，在(ξ1，1)內(nèi)至少有一點ξ，使得F’(ξ)=e1－ξ2[f’(ξ)－2ξf(ξ)]=0，于是f’(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ1，1)(0，1)．知識點解析：暫無解析23、求二重積分直線y=2，y=x所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、證明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題看似是二重積分問題，事實上，用代換t=xy可將累次積分化為定積分．在∫01(xy)xydy中，視x為常數(shù)，令t=xy，dt=xdy,當(dāng)y從0變到1時，t從0變到x，則從而∫01dx∫01(xy)xydy==－∫01ttlntdt．于是也就是要證明－∫01ttlntdt=∫01ttdt，移項后就是要證明∫01tt(1+lnt)dt=0．事實上，tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故∫01tt(1+lnt)dt=etlnt｜01=0．知識點解析：暫無解析25、已知∑：z=z(x，y)，(x，y)∈D，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：因曲面z=z(x，y)在任一點(x，y，z)的法線向量為(－zx’，=zy’，1)，故又利用兩類曲面積分之間的關(guān)系，則得到知識點解析：暫無解析26、設(shè)平面區(qū)域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：將D分成第一、二、三、四象限中的4塊，分別記為D1，D2，D3，D4，如圖1．6—14所示．用極坐標(biāo)，其中先對D1進行積分：根據(jù)對稱性，被積函數(shù)關(guān)于x，y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于x軸、y軸對稱，故知識點解析：暫無解析27、判別級勢的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是交錯級數(shù)，易見：｜un｜→0，但｜un｜≥｜un－1｜不成立，萊布尼茨判別法失效．分母有理化后，可判定單調(diào)減少，因此級數(shù)滿足萊布尼茨判別法條件，是條件收斂的．但級數(shù)發(fā)散．因為收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的代數(shù)和是發(fā)散級數(shù)，故原級數(shù)發(fā)散。知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)f’(x)有界，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)其中｜f’(x)｜≤M，M是正常數(shù)，所以絕對收斂．(2)由于級數(shù)存在．知識點解析：暫無解析29、求(x+2)y’’+xy’2=y’的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊同除以P2，化為當(dāng)C1＞0時，得當(dāng)C1=0時，得當(dāng)C1＜0時，得其中C1，C2，C3，C4為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、若f(x)在x0點可導(dǎo)，則｜f(x)｜在x0點()A、必可導(dǎo)B、連續(xù)，但不一定可導(dǎo)C、一定不可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：函數(shù)f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0處不可導(dǎo)，排除A．函數(shù)f(x)=x2在x=0處可導(dǎo)，｜f(x)｜=｜x2｜在x=0處也可導(dǎo)，排除C，D．關(guān)于選項B，因為f(x)在x0點可導(dǎo)，故在x0點連續(xù)．當(dāng)x→x0時，｜｜f(x)｜－｜f(x0)｜｜≤｜f(x)－f(x0)｜→0，故｜f(x)｜也在x0處連續(xù)．選B．2、曲面x2+4y2+z2=4與平面x+z=a的交線在yOz平面上的投影方程是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：根據(jù)題意，曲面與平面的交線在yOz平面上的投影應(yīng)在yOz平面上，故x=0，因而選項B和D不對．又曲面與平面的交線在yOz平面上的投影柱面方程應(yīng)不含變量x，故選項C也不對．應(yīng)選A．3、曲線S：在點(1，一1，0)處的切線方程為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：曲面x2+y2+z2=2在點(1，－1，0)處的法向量為n1=(2，－2，0)，平面x+y+z=0的法向量為n2=(1，1，1)，于是，曲線在點(1，－1，0)處的切向量為τ=n1×n2=(－2，－2，4)，故所求切線方程為4、設(shè)∑為球面x2+y2+z2=1的外側(cè)，則下面4個結(jié)論：其中正確的個數(shù)為()A、1個B、2個C、3個D、4個標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由對稱性得由高斯公式得(由積分區(qū)域的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性)．同理可證5、若an(x－1)2在x=－1處收斂，則在x=2處是()A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由an(x－1)n在x=－1處收斂，可知收斂半徑R≥｜－1－1｜=2．而x=2處．因｜2－1｜=1＜R，所以x=2在收斂區(qū)間內(nèi)，即原級數(shù)在x=2處絕對收斂，故應(yīng)選B．6、下列結(jié)論正確的是()A、anxn在收斂域上必絕對收斂B、anxn的收斂半徑為R，則R一定是正常數(shù)C、若anxn的收斂半徑為R，則其和函數(shù)S(x)在(－R，R)內(nèi)必可微D、都是冪級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由冪級數(shù)anxn的和函數(shù)S(x)性質(zhì)可知，命題C正確．命題A錯誤：如收斂域為(－1，1]，但在x=1處，條件收斂．命題B錯誤：因為收斂半徑可能為R=0或R=+∞．命題D錯誤：由冪級數(shù)的定義可知不是冪級數(shù)．7、設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3B、C1y1+C2y2－(C1+C2)y3C、C1y1+C2y2－(1－C1－C2)y3D、C1y1+C2y2+(1－C1－C2)y3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于C1y1+C2y2+(1－C1－C2)y3=C1(y1－y3)+C2(y2－y3)+y3，其中y1－y3和y2－y3是原方程對應(yīng)的齊次方程的兩個線性無關(guān)的解，又y3是原方程的一個特解，所以選項(D)是原方程的通解．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)f’’(x0)=2，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：9、=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：被積函數(shù)是[－2，2]上的奇函數(shù)，故在對稱區(qū)間[－2，2]上積分為零．10、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：11、設(shè)F(u，v)對其變元u，v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、設(shè)y1=ex，y2=x2為某二階齊次線性微分方程的兩個特解，則該微分方程為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于方程結(jié)構(gòu)已知，故只要將兩個特解分別代入并求出系數(shù)即可．由于y=ex與y：=x2線性無關(guān)，故該二階齊次線性微分方程的通解為y=C1ex+C2x2，y’=C1ex+2C2x，y’’=C1ex+2C2．三式聯(lián)立消去C1與C2便得如上所填．13、設(shè)當(dāng)x≥0時，f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且滿足f(x)=－1+x+2∫0x(x－t)f(t)f’(t)dt，則f(x)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：兩邊對x求導(dǎo)兩次，得f’’(x)=2f(x)f’(z)．初始條件為f(0)=－1，f’(0)=1．上述方程可改寫為f’’(x)=[(f(x))2]’，兩邊積分得f’(x)=[f(x)]2+C1，由初始條件得出C1=0．于是f’(x)=[f(x)]2．分離變量后積分得再由初始條件得出C2=1，即得解如上．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)14、判斷“分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)”是否正確，若正確，試證之；若不正確，試說明它們之間的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：不正確．初等函數(shù)是指由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟所得到的，并用一個式子表示的函數(shù)．分段函數(shù)雖用幾個表達式表示，但并不能說肯定不能用一個表達式表示，因此，分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是初等函數(shù)，如φ(x)=｜x｜，通常寫成分段函數(shù)的形式但也可以寫成一個表達式：它是由初等函數(shù)和u=x2復(fù)合而來，所以函數(shù)φ(x)=｜x｜是初等函數(shù)．而不是初等函數(shù)．知識點解析：暫無解析15、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)曲線f(x)=xn在點(1，1)處的切線與n軸的交點為(x0，0)，計算標(biāo)準(zhǔn)答案：由導(dǎo)數(shù)幾何意義，曲線f(x)=xn在點(1，1)處的切線斜率k=f’(1)=nxn－1｜xx=1=n，所以切線方程為y=1+n(x－1)，令y=0解得因此知識點解析：暫無解析17、設(shè)試確定常數(shù)a，b，c，使f(x)在x=0點處連續(xù)且可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為及c為任意值時，f(x)在x=0處連續(xù)．又因為令f－’(0)=f+’(0)，可得時，f’(0)存在．故當(dāng)a=2，時，f(x)在x=0處連續(xù)且可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析18、在區(qū)間[0，a]上｜f’’(x)｜≤M，且f(x)在(0，a)內(nèi)取得極大值．求證：｜f’(0)｜+｜f’(a)｜≤Ma．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)在(0，a)內(nèi)取得極大值，不妨設(shè)在點x=c處取到，則f’(c)=0．f’(x)在[0，c]與[c，a]上分別使用拉格朗日中值定理，f’(c)－f’(0)=cf’’(ξ1)，ξ1∈(0，c)，f’(a)－f’(c)=(a－c)f’’(ξ2)，ξ2∈(c，a)，所以｜f’(0)｜+｜f’(a)｜=c｜f’’(ξ1)｜+(a－c)｜f’’(ξ2)｜≤cM+(a－c)M=aM．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．19、敘述并證明一元函數(shù)微分學(xué)中的拉格朗日中值定理；標(biāo)準(zhǔn)答案：拉格朗日中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存