考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷3（共135題）

考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷3（共9套）（共135題）考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷第1套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求．標準答案：知識點解析：暫無解析2、設g(x)=其中f(x)在x=0處二階可導，且f(0)=f’(0)=1。(Ⅰ)a、b為何值時，g(x)在x=0處連續(xù)；(Ⅱ)a、b為何值時，g(x)在x=0處可導。標準答案：(Ⅰ)若要g(x)在x=0處連續(xù)，必須=g(0)，即b=-1。故b=-1，a為任意實數(shù)時，g(x)在x=0處連續(xù)。(Ⅱ)若g(x)在x=0處可導，則g(x)在x=0處連續(xù)(b=-1)，且g’-(0)=g’+(0)，所以當a=[f’’(0)-1]，b=-1時，g(x)在x=0處可導。知識點解析：暫無解析3、試討論函數(shù)在x=0處的可導性。標準答案：當△x＜0時，f(△x)=0，由導數(shù)的定義當△x＞0時，則有當△x→0時，上式的極限不存在，故函數(shù)在x=0處的右導數(shù)不存在，因此f(x)在x=0處不可導。知識點解析：暫無解析4、將長為a的一段鐵絲截成兩段，用二段圍成正方形，另一段圍成圓，為使兩段面積之和最小，問兩段鐵絲各長多少?標準答案：設圍成圓的鐵絲長為x，則圍成正方形的鐵絲長為a－x，于是圓的半徑r=x／2π，正方形邊長1／4(a－x)，問題是求面積．S(x)=π(x／2π)2+[1／4(a－x)]2，x∈(0，a)的最小值點．由時面積和最小．知識點解析：暫無解析5、求極限標準答案：原式==0。知識點解析：暫無解析6、求函數(shù)f(x，y)=x3一y3+3x2+3y2一9x的極值。標準答案：由已知得，f’x(x，y)=3x2+6x一9，f’y(戈，y)=一3y2+6y。令進而得到駐點為M1(1，0)，M2(1，2)，M3(一3，0)，M4(一3，2)。又f"xx(x，y)=6x+6，f"xy(x，y)=0，f"yy(x，y)=一6y+6。在點M1(1，0)處，A=12，B=0，C=6。則AC—B2=72＞0且A＞0，故f(1，0)=一5為極小值；在點M2(1，2)處，A=12，B=0，C=一6。則AC—B2=一72<0，故f(1，2)不是極值；在點M3(一3，0)處，A=一12，B=0，C=6。則AC—B2=一72＜0，故f(一3，0)不是極值；在點M4(一3，2)處，A=一12，B=0，C=一6。則AC—B2=72＞0且A＜0，故f(一3，2)=31為極大值。知識點解析：暫無解析7、將函數(shù)f(x)=2+｜x｜(一1≤x≤1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并求級數(shù)的和。標準答案：f(x)為偶函數(shù)，由傅里葉級數(shù)的系數(shù)公式，得a0=2∫01(2+x)dx=5，an=2∫01(2+x)cos(nπx)dx=(n=1，2，3’…)，bn=0(n=1，2，3，…)。因為f(x)=2+｜x｜在區(qū)間[一1，1]上滿足狄利克雷收斂定理條件，所以知識點解析：暫無解析8、將n個同樣的盒子和n只同樣的小球分別編號為1，2，…，n．將這n個小球隨機地投入n個盒子中，每個盒子中投入一只小球．問至少有一只小球的編號與盒子的編號相同的概率是多少?標準答案：知識點解析：暫無解析9、設在D=[a，b]×[c，d]上連續(xù)，求并證明：I≤2(M一m)，其中M和m分別是f(x，y)在D上的最大值和最小值．標準答案：知識點解析：暫無解析10、設A=，當a，b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA=B，并求所有矩陣C。標準答案：令C=，則由AC-CA=B得該方程組是四元非齊次線性方程組，如果C存在，此線性方程組必須有解。對系數(shù)矩陣的增廣矩陣作初等行變換，得當a=-1，b=0時，線性方程組有解，即存在C，使AC-CA=B。此時增廣矩陣變換為所以通解為即C=(其中c1，c2為任意常數(shù))。知識點解析：暫無解析11、設A=，且存在正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣。若Q的第一列為(1，2，1)T，求a，Q。標準答案：按已知條件，(1，2，1)T是矩陣A的特征向量，設特征值是λ1，那么又因｜λE-A｜==(λ-2)(λ-5)(λ+4)，知矩陣A的特征值是2，5，-4。對λ=5，由(5E-A)x=0得基礎解系α2=(1，-1，1)T。對λ=-4，由(-4E-A)x=0得基礎解系α3=(-1，0，1)T。因為A是實對稱矩陣，對應于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化α2，α3，即知識點解析：暫無解析12、計算標準答案：2πa2知識點解析：暫無解析13、設f(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導，=2，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的曲率．標準答案：知識點解析：暫無解析飛機以勻速ν沿y軸正向飛行，當飛機行至O時被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚導彈向飛機飛去(x0＞0)，若導彈方向始終指向飛機，且速度大小為2ν．14、求導彈運行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；標準答案：設t時刻導彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得知識點解析：暫無解析15、導彈運行方程．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷第2套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析2、求下列函數(shù)的導數(shù)y’：標準答案：(Ⅰ)(Ⅱ)當x≠0時，由求導法則得f’(x)=；當x=0時，由導數(shù)定義得知識點解析：暫無解析3、討論函數(shù)f(x)=的連續(xù)性．標準答案：當x≠0時，函數(shù)f(x)連續(xù)，x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析4、設α1，α2，…，αs是一組兩兩正交的非零向量，證明它們線性無關．標準答案：設c1α1＋c2α2＋…＋csαs＝0，對每個i，ci‖αi‖＝(αi，c1α1＋c2α2＋…＋csαs)＝0，而‖αi‖≠0，于是ci＝0．從而α1，α2，…，αs線性無關．知識點解析：暫無解析5、設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從區(qū)間[0，2]上的均勻分布，試求Z=∣X一Y∣的數(shù)學期望與方差。標準答案：如圖4—2所示，(X，Y)的概率密度為f(x，y)=因此E(Z)=E(∣X—Y∣)=∫-∞+∞∫-∞+∞∣x一y∣f(x，y)dxdyE(Z2)=E[(X一Y)2]=∫-∞+∞∫-∞+∞(x一y)2(x，y)dxdy=∫02dx∫02(x一y)2.故D(Z)=E(Z2)一[E(Z)]2=知識點解析：暫無解析6、求標準答案：方法一知識點解析：暫無解析7、設Γ：x=x(t)，y=y(t)(α＜t＜β)是區(qū)域D內(nèi)的光滑曲線，即x(t)，y(t)在(α，β)內(nèi)有連續(xù)的導數(shù)且x’2(t)+y’2(t)≠0，f(x，y)在D內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)．若P0∈Γ是函數(shù)f(x，y)在Γ上的極值點，證明：f(x，y)在點P0沿Γ的切線方向的方向?qū)?shù)為零．標準答案：其中cosα，cosβ為切線r的方向余弦．當(x，y)∈Γ時，f(x，y)為t的一元函數(shù)f[x(t)，t(t)]，記P0對應的參數(shù)為t0．因為t0為一元函數(shù)f[x(t)，y(t)]的極值點，所以d／dtf[x(t)，y(t)]=0．Г在點P0處的切向量為{x’(t0)，y’(t0)}，其對應的單位向量為知識點解析：暫無解析8、設={一1，4，2}，求△ABC的面積．標準答案：=｛一2，一1，一3｝×｛一1，4，2｝=｛10，7，一9｝，則△ABC的面積為S=．知識點解析：暫無解析9、設平面薄片所占的區(qū)域D由拋物線y=x2及直線y=x所圍成，它在(x，y)處的面密度ρ(x，y)=x2y，求此薄片的重心．標準答案：設此薄片的重心為，則知識點解析：暫無解析10、設二階常系數(shù)齊次線性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x一3e2x為特解，求該微分方程．標準答案：因為y1=e2x，y2=2e－x一3e2x為特解，所以e2x，e－x也是該微分方程的特解，故其特征方程的特征值為λ1=一1，λ2=2，特征方程為(λ+1)(λ一2)=0即λ2一λ一2=0，所求的微分方程為y’’－y’一2y=0．知識點解析：暫無解析11、設A為n階矩陣，α1，α2，α3為n維列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα1=α1+α2，Aα3=α2+α3，證明：α1，α2，α3線性無關．標準答案：由Aα1=α1得(A—E)α1=0；由Aα2=α1+α2得(A—E)α2=α1；由Aα3=α1+α3得(A—E)α3=α2，令k1α1+k2α2+k3α3=0，(1)(1)兩邊左乘A—E得k2α1+k3α2=0，(2)(2)兩邊左乘A—E得k3α1=0，因為α1≠0，所以k3=0，代入(2)、(1)得k1=0，k2=0，故α1，α2，α3線性無關．知識點解析：暫無解析12、設A是3階實對稱矩陣，A的特征值是6，一6,0，其中λ=6與λ=0的特征向量分別是(1，a，1)T及(a，a+1，1)T，求矩陣A．標準答案：因為A是實對稱矩陣，屬于不同特征值的特征向量相互正交(5．12)，所以1×a+a(a+1)+1×1=0a=－1．設屬于λ=－6的特征向量是(x1，x2，x3)T，它與λ=6，λ=0的特征向量均正交，于是解得(1，2，1)T是λ=－6的特征向量．那么，A～知識點解析：暫無解析設A是n階矩陣，α1，α2，…，αn是n維列向量，且an≠0，若Aα1=α2，Aα22=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0．13、證明：α1，α2，…，αn線性無關；標準答案：令x1α1+x2α2+…+xnαn=0，則x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=0x1α2＋x2α3+…+xn－1αn=0x1Aα2+x2Aα3+…＋xn－1Aαn=0x1α3+x2α4+…+xn－2αn=0…x1αn=0因為αn≠0，所以x1=0，反推可得x2=…=xn=0，所以α1，α2，…，αn線性無關．知識點解析：暫無解析14、求A的特征值與特征向量．標準答案：A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)，令P=(α1，α2，…，αn)，則P－1AP==λn=0，即A的特征值全為零，又r(A)=n一1，所以AX=0的基礎解系只含有一個線性無關的解向量，而Aαn=0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量為kαn(k≠0)．知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷第3套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設某次考試的學生成績服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取36位考生的成績，算得平均成績?yōu)?6．5分，標準差為15分，問在顯著性水平0．05下，是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分？并給出檢驗過程。附表：t分布表標準答案：設該次考試的考生成績?yōu)閄，則X～N(μ，σ2)，設X為從總體X抽取的樣本容量為n的樣本均值，S為樣本標準差，則在顯著性水平α=0．05下建立檢驗假設：H0：μ=μ0=70，H1：μ≠70，由于σ2未知，故用t檢驗。選取檢驗統(tǒng)計量在μ=μ0=70時，X～N(70，σ2)，T～t(35)。選擇拒絕域為R={|T|≥λ}，其中λ滿足：P{|T|≥λ)=0．05，即P{|T|≤A}=0．975，λ=t0．975(35)=2．0301。由n=36，=66．5，μ0=70，s=15，可算得統(tǒng)計量T的值所以接受假設H0：μ=70，即在顯著性水平為0．05時，可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分。知識點解析：暫無解析2、設向量α1=(1，一1，1)T，α2=(1，k，一1)T，α3=(k，1，2)T，β=(4，k2，一4)T．問k取何值時，β可由α1，α2，α3線性表示?并求出此線性表示式．標準答案：設有數(shù)x1，x2，x3，使x1α1+x2α2+x3α3=β．對此方程組的增廣矩陣施行初等行變換：由階梯形矩陣可見(1)當(4一k)(k+1)≠0，即k≠4且k≠=—1時，r(A)==3，方程組有唯一解．此時，對矩陣B作初等行變換，可得方程組的唯一解為：。(2)當k=一1時，r(A)=2，而=3，方程組無解，故此時β不能由α1，α2，α3線性表示．(3)當k=4時，對矩陣B作初等行變換：由此得方程組的通解為x1=一3c，x2=4一c，x3=c，其中c為任意常數(shù)，故此時有β=一3cα1+(4一c)α2+cx3(c為任意常數(shù))．知識點解析：暫無解析3、已知的一個特征向量．(1)試確定參數(shù)a、b及特征向量ξ所對應的特征值；(2)問A能否相似于對角陣?說明理由．標準答案：(1)由從而λ=一1對應的線性無關特征向量只有1個，故A不能相似于對角陣．知識點解析：本題主要考查特征值與特征向量的定義，特征值的計算及方陣相似于對角陣的條件．注意，如果方陣A的特征值都是單特征值，則A必相似于對角陣；如果A有重特征值，則A相似于對角陣對應于A的每個特征值的線性無關特征向量個數(shù)，正好等于該特征值的重數(shù)．4、將f(x，y)dxdy化為累次積分，其中D為x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標準答案：如圖9．5，x2+y2=2ax與x2+y2=2ay，是兩個圓，其交點為O(0，0)，P(a，a)．因此，若先對y積分，就有若先對x求積分，則知識點解析：暫無解析5、設函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導數(shù)，函數(shù)z=f(exsin)，)滿足方程=(z+1)e2x，若f(0)=0，f’(0)=0，求函數(shù)f(u)的表達式。標準答案：代入=(z+1)e2x，得f’’(u)-f(u)=1。此方程對應的齊次方程f’’(u)-f(u)=0的通解為f(u)=C1eu+C22e-u方程的一個特解為f(u)=-1。所以方程f’’(u)-f(u)=1的通解為f(u)=C1eu+C2e-u-1，其中C1，C2為任意常數(shù)。由f(0)=0，f’(0)=0得C1=C2=，從而函數(shù)f(u)的表達式為f(u)=(eu+e-u)-1。知識點解析：暫無解析6、設y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析7、已知A是三階矩陣，αi(i=1，2，3)是三維非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，證明：α，Aα，A2α線性無關。標準答案：由Aαi=iαi(i=1，2，3)，且αj(i=1，2，3)非零可知，α1，α2，α3是矩陣A的屬于不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3線性無關。又Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，所以(α，Aα，A2α)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)P，而矩陣P是范德蒙德行列式，故｜P｜=2≠0，所以α，Aα，A2α線性無關。知識點解析：暫無解析8、假設二維隨機變量(X，Y)在矩形區(qū)域G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布．記(Ⅰ)求U和V的聯(lián)合分布；(Ⅱ)求U和V的相關系數(shù)ρ．標準答案：(Ⅰ)(U，V)是二維離散型隨機變量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且P{U=0，V=0}=P{X≤Y，X≤2Y}=P{X≤Y}=1／4，P{U=1，V=0}=P{X＞Y，X≤2Y}=P{Y＜X≤2Y}=1／4，P{U=1，V=1}=P{X＞Y，X＞2Y}=P{X＞2Y}=1／2．于是(X，Y)的聯(lián)合分布為(Ⅱ)從(Ⅰ)中分布表看出EU=3／4，DU=3／16，EV=1／2，DV=1／4；EUV=P{U=1，V=1}=1／2，Cov(U，V)知識點解析：暫無解析9、(1)用x=et化簡微分方程(2)求解標準答案：本題考查在已有提示下化簡微分方程、二階常系數(shù)線性微分方程的求解，是一道具有一定計算量的綜合題．(1)令x=et，則(2)對應的齊次方程y’’+2y’+5y=0的特征方程為r2+2r+5=0，特征根r1，2=－1±2i，所以y齊通(t)=e－t(C1cos2t+C2sin2t)．令y*(t)=(at+b)et，代入原方程，得a=2，b=－1．故y通(t)=e－t(C1cos2t+C2sin2t)+(2t－1)et，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析10、設x=x(t)由．標準答案：知識點解析：暫無解析11、設f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．標準答案：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e－1－e．知識點解析：暫無解析設隨機變量X1，X2，…，Xm＋n(m＜n)獨立同分布，其方差為σ2，令Y=Xi，Z=Xm＋k．求：12、D(Y)，D(Z)；標準答案：因為X1，X2，…，Xm＋n相互獨立，所以知識點解析：暫無解析13、ρYZ．標準答案：Cov(Y，Z)=Cov[(X1+…+Xm)+(Xm＋1+…+Xn)，Xm＋1+…+Xm－n]=Cov(X1+…+Xm，Xm＋1+…+Xm＋n)+Cov(Xm＋1+…+Xn，Xm＋1+…+Xm＋n)=D(Xm＋1+…+Xn)+Cov(Xm＋1+…+Xn，Xn＋1+…+Xm＋n)=(n一m)σ2則ρYZ=．知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷第4套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設y=y(x)由標準答案：知識點解析：暫無解析2、求一塊鉛直平板如圖3．1所示在某種液體(比重為γ)中所受的壓力．標準答案：液體中深度為h處所受的壓強為p=hγ，從深度為a到x之間平板所受的壓力記為P(x)，任取[x，x+△x]上小橫條，所受壓力為△P=P(x+△x)－P(x)≈xγ.c△x．令△x→0，得dP(x)=xγcdx．于是，總壓力為P=(b2－a2)=γ.(a+b)c(b－a)=γ.矩形中心的深度.矩形的面積．【注】近似公式△F≈f(x)△x轉(zhuǎn)化為等式dF(x)=f(x)dx的關鍵是：△F與f(x)△x的誤差是△x的高階無窮小(△x→0時)知識點解析：暫無解析3、標準答案：知識點解析：暫無解析4、設A為3階矩陣，α1，α2，α3是線性無關的3維列向量組，滿足Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3．(1)求A的特征值．(2)判斷A是否相似于對角矩陣?標準答案：(1)用矩陣分解：A(α1，α2，α3)＝(α1＋2α2＋2α3，2α1＋α2＋2α3，2α1＋2α2＋α3)＝(α1，α2，α3)B，這里B＝從α1，α2，α3線性無關的條件知道，(α1，α2，α3)是可逆矩陣．于是A相似于B．的秩為1，其特征值為0，0，6．得B的特征值為－1，－1，5．則A的特征值也為－1，－1，5．(2)B是實對稱矩陣，一定相似于對角矩陣，由相似的傳遞性，A也相似于對角矩陣．知識點解析：暫無解析5、求極限I=．標準答案：知識點解析：暫無解析6、已知矩陣A＝與對角矩陣∧相似，求a的值，并求可逆矩陣P，使P-1AP＝∧．標準答案：由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－3)2＝0，得到矩陣A的特征值λ1＝λ2＝3，λ3＝－1．由矩陣A的特征值有重根，而A與對角矩陣相似，可知λ＝3必有2個線性無關的特征向量，因而秩r(3E－A)＝1．于是由得a＝－3v對λ1＝λ2＝3，解齊次線性方程組(3E－A)χ＝0，得基礎解系：α1＝(1，1，0)T，α2＝(1，0，1)T．對λ3＝－1，解齊次線性方程組(－E－A)χ＝0，得基礎解系：α3＝(1，－3，0)T．令P＝(α1，α2，α3)＝得P-1AP＝∧＝知識點解析：暫無解析7、設f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)減少．證明：當0＜k＜1時，標準答案：知識點解析：暫無解析8、交換積分次序并計算(a＞0)．標準答案：知識點解析：暫無解析9、設u=yf(x／y)+xg(y／x)，求x標準答案：知識點解析：暫無解析10、下列矩陣是否相似于對角陣?為什么?標準答案：(1)是．因該3階方程有3個兩兩不同的特征值1，2，3；(2)否．因該4階方陣A的線性無關特征向量只有2個：特征值為λ1=λ2=λ3=λ4=1，而E-A的秩為2，故(E一A)x=0的基礎解系含2個向量，即A的線性無關特征向量只有2個．知識點解析：暫無解析11、設A=(x－z，x3+yz，－3xy3)，求其中曲面∑為錐面在xOy面的上方部分，其單位法向量n指向錐面∑外側(cè)。標準答案：設曲線L為xOy面上的圓周x2+y2=4，取正向。由斯托克斯公式的向量形式，有知識點解析：暫無解析12、求冪級數(shù)xn的收斂域．標準答案：知識點解析：暫無解析13、設可逆，其中A，D皆為方陣，證明A，D可逆，并求M－1．標準答案：M可逆=>｜M｜=｜A｜.｜D｜≠0=>｜A｜≠0且｜D｜≠0=>A，D可逆．設M的逆矩陣為知識點解析：暫無解析設連續(xù)型隨機變量X的所有可能值在區(qū)間[a，b]之內(nèi)，證明：14、a≤EX≤b；標準答案：因為a≤X≤b，所以Ea≤EX≤Eb，即a≤EX≤b．知識點解析：暫無解析15、DX≤標準答案：因為對于任意的常數(shù)C有DX≤E[(X-C)2]，取知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷第5套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設f(χ)是周期為3的連續(xù)函數(shù)，f(χ)在點χ＝1處可導，且滿足恒等式f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)＝26χ＋g(χ)，其中g(χ)當χ→0時是比χ高階的無窮小量．求曲線y＝f(χ)在點(4，f(4))處的切線方程．標準答案：曲線y＝f(χ)在點(4，f(4))處的切線方程是y＝f(4)＋f′(4)(χ－4)．由f(χ)的周期性以及f(χ)在χ＝1處的可導性知f(4)＝f(1)，f′(4)：f′(1)，代入即得所求切線方程為y＝f(1)＋f′(1)(χ－4)．由f(χ)的連續(xù)性可知[f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)]＝[26χ＋g(χ)]f(1)－4f(1)＝0f(1)＝0．再由f(χ)在χ＝1處的可導性與f(1)＝0可得在①式左端中作換元tanχ＝t，則有而①式右端從而有f′(1)＝2．于是曲線y＝f(χ)在點(4，f(4))處的切線方程為y＝2(χ－4)，即y＝2χ－8．知識點解析：暫無解析2、設(a＞0，b＞0)，求y’．標準答案：兩邊取對數(shù)知識點解析：暫無解析3、設連接兩點A(0，1)，B(1，0)的一條凸弧，P(x，y)為凸弧AB上的任意點(圖6．4)．已知凸弧與弦AP之間的面積為x3，求此凸弧的方程．標準答案：設凸弧的方程為y＝f(x)，因梯形OAPC的面積為[1＋f(x)]，故兩邊對x求導，則得y＝f(x)所滿足的微分方程為xy’一y＝一6x2一1．(原方程中令x＝0得0＝0，不必另加條件，它與原方程等價)其通解為對任意常數(shù)C，總有y(0)＝1，即此曲線族均通過點A(0，1)．又根據(jù)題設，此曲線過點(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲線為y＝5x—6x2＋1．知識點解析：暫無解析4、設問λ取何值時，(1)β不能由α1，α2，α3線性表示?(2)β可由α1，α2，α3線性表示且表達式唯一?(3)β可由α1，α2，α3線性表示但表達式不唯一?標準答案：設有一組數(shù)x1，x2，x3，使x1α1+x2α2+x3α3=β，該方程組的系數(shù)行列式為△=|α1α2α3|=λ2(λ+3)．故當λ≠0且λ≠一3時，由克萊姆法則知方程組有唯一解，即此時β可由α1知識點解析：暫無解析5、求∫arctan(1+)dx．標準答案：令=t，則知識點解析：暫無解析6、求解微分方程xy’sinylnx+(1一xcosy)cosy=0．標準答案：設變量代換u=cosy，則原微分方程就化為這是n=2時的伯努利方程．令z=u－1，代入到上式中，得這是線性微分方程．利用分離變量的方法，得齊次線性微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．利用常數(shù)變易法，設非齊次線性微分方程的通解為代入到線性微分方程中，得c(x)=x+c．于是，線性微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．最后，再將變量代換z=u－1代回到原微分方程中去，即得原微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．另外，當u=0時，(n取整數(shù))也是原微分方程的解．知識點解析：本題主要考查伯努利方程的求解方法．在求解微分方程的通解時，有時有的特解并不在其通解中．這時，就需要按原微分方程的結(jié)構來判定．7、假設G={(x，y)｜x2+y2≤r2}是以原點為圓心，半徑為r的圓形區(qū)域，而隨機變量X和y的聯(lián)合分布是在圓G上的均勻分布．試確定隨機變量X和Y的獨立性和相關性．標準答案：(1)X和Y的聯(lián)合密度為那么，X的密度函數(shù)f1(x)和Y的密度函數(shù)f2(y)相應為由于f(x，y)≠f1(x)f2(y)，可見隨機變量X和Y不獨立．(2)證明X和Y不相關，即X和Y的相關系數(shù)ρ=0．因此，有于是，X和Y的相關系數(shù)ρ=0．這樣，X和Y雖然不相關，但是不獨立．知識點解析：暫無解析8、一半球形雪堆融化速度與半球的表面積成正比，比例系數(shù)為k＞0，設融化過程中形狀不變，設半徑為r0的雪堆融化3小時后體積為原來的，求全部融化需要的時間．標準答案：知識點解析：暫無解析9、設α=[a1，a2，…，a2]T≠0，A=ααT，求可逆矩陣P，使P－1AP=Λ．標準答案：(1)先求A的特征值．利用特征值的定義．設A的任一特征值為λ，對應于λ的特征向量為ξ，則Aξ=αTαξ=λξ．(*)若αTξ=0，6則λξ=0，又ξ≠0，故λ=0；若αTξ≠0，(*)式兩端左邊乘αT，得αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)．因αTξ≠0，故λ=αTα=(2)再求A的對應于λ的特征向量．因為A=ααT，當λ=0時，(λE－A)X=－ααTX=0，因為滿足αTX=0的X必滿足ααTX=0，故當λ=0時，對應的特征方程是a1x1+a2x2+…+anxn=0．對應λ=0的n－1個特征向量為ξ1=[a2，－a1，…，0]T，ξ2=[3，0，－a1，0]T，……ξn－1=[an，0，0，…，－a1]T．當λ==αTα時，對矩陣λE－A=αTαE－ααT兩端右邊乘α，得(λE－A)α=(αTαE－ααT)α=(αTα)α－α(αTα)=0，故知α=[a1，a2，…，an]T即是所求ξn．(3)最后由ξ1，ξ2，…，ξn，得可逆矩陣P．知識點解析：暫無解析10、設隨機變量X與Y相互獨立，都服從均勻分布U(0，1)．求Z=｜X－Y｜的概率密度及標準答案：U=X－Y的概率密度為fU(u)=∫－∞+∞fX(u+y)fY(y)dy=∫01fX(u+y)dy．當u≤－1或u≥1時，fU(u)=0；當－1＜u≤0時，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫－u11dy=1+u；當0＜u＜1時，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫01－u1dy=1－u，即所以Z=｜X－Y｜=｜U｜的概率密度為知識點解析：暫無解析設X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨立且都服從N(0，1)，Yi=Xi—(i=1，2，…，n)．求：11、D(Yi)(i=1，2，…，n)；標準答案：知識點解析：暫無解析12、Cov(Y1，Yn)；標準答案：Cov(Y1，Yn)=知識點解析：暫無解析13、P(Y1+Yn≤0)．標準答案：Y1+Yn=X1+Xn一，因為X1，X2，…，Xn獨立且都服從正態(tài)分布，所以Y1+Yn服從正態(tài)分布，E(Y1+Yn)=．知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷第6套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，證明數(shù)列{xn}的極限存在，并求此極限．標準答案：知識點解析：暫無解析2、設．標準答案：將該式對x求導．右端先對t求導再乘上得知識點解析：暫無解析3、設函數(shù)y=f(x)在[a，b](a＞0)連續(xù)，由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及戈軸圍成的平面圖形(如圖3．12)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體，試導出該旋轉(zhuǎn)體的體積公式．標準答案：用微元法．任取[a，b]上小區(qū)間[x，x+dx]，相應得到小曲邊梯形，它繞y軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積(見圖3．12)為dV=｜f(x)｜2πxdx，于是積分得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=2πx｜f(x)｜dx．知識點解析：暫無解析4、設f(x)=且f"(0)存在，求a，b，c．標準答案：知識點解析：暫無解析5、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，試證：在[a，b]內(nèi)存在ξ，使得標準答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分別為f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②……m≤f(xn)≤M，(n)①+②+…+(n)mm≤f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nM，故由介值定理可得ξ∈[a，b]，使得知識點解析：暫無解析6、設A=(α1，α2，α3)為三階矩陣，且｜A｜=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。標準答案：根據(jù)題意可知B=(α1，α2，α3)=AP，其中P=，則｜P｜=-2且P-1=，所以｜B｜=｜A｜．｜P｜=-2。于是B*A=B｜.B-1.A=-2P-1.(A-1A)=-2P-1=知識點解析：暫無解析7、標準答案：知識點解析：暫無解析8、判斷如下命題是否正確：設無窮小un～vn(n→∞)，若級數(shù)un收斂，則vn也收斂．證明你的判斷．標準答案：對于正項級數(shù)，比較判別法的極限形式就是：un與vn同時收斂或同時發(fā)散．本題未限定vn一定收斂．比如，取則即un～vn(n→∞)．級數(shù)un是收斂的，然而級數(shù)vn是不收斂的．這個例子說明：對正項級數(shù)的比較判別法的極限形式不能用于判定任意項級數(shù)的條件收斂性．要注意變號級數(shù)與正項級數(shù)的區(qū)別．知識點解析：暫無解析9、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析10、已知隨機變量X的分布函數(shù)FX(x)=(λ＞0)，Y=lnX．(Ⅰ)求Y的概率密度fY(Y)；(Ⅱ)計算P{Y≥k}．標準答案：(Ⅰ)由題設知X的概率密度fX(x)=所以Y的分布函數(shù)FY(y)=P{Y≤y}=P{lnX≤y}(y∈R)．由于P{X＞1}=1，故當y≤0時FY(y)=0；當y＞0時，F(xiàn)Y(y)=P{1＜X＜ey}=λx－λ－1dx=1一e－λy．于是故Y=lnX的概率密度(Ⅱ)P{Y≥k}=λe－λydy=e－λk，由于λ＞0，0＜e－λ＜1，故知識點解析：暫無解析11、設f(x)二階可導，=1且f’’(x)＞0．證明：當x≠0時，f(x)＞x．標準答案：由=1，得f(0)=0，f’(0)=1，又由’’(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f’(0)x=x．知識點解析：暫無解析設方程組為矩陣A的分別屬于特征值λ1=1，λ2=一2，λ3=一l的特征向量．12、求A；標準答案：因為方程組有無窮多個解，所以D==a2一2a+1=0，解得a=1．知識點解析：暫無解析13、求｜A*+3E｜．標準答案：｜A｜=2，A*對應的特征值為，即2，一1，一2，A*+3E對應的特征值為5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、考慮一個試驗中，一位機械師從一批零件中逐個拿出零件，直到拿到符合要求的零件為止．拿出零件不符合要求記為F，符合要求記為S．(1)寫出這一試驗的樣本空間；(2)記X=試驗終止時取出的零件個數(shù)，寫出隨機變量X作為樣本空間上的函數(shù)的表達式．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷第7套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、確定正數(shù)a，b的值，使得=2．標準答案：知識點解析：暫無解析2、設f(x，y)=證明：f(x，y)在點(0，0)處可微，但在點(0，0)處不連續(xù)．標準答案：知識點解析：暫無解析3、判斷下列曲線積分在指定區(qū)域D是否與路徑無關，為什么?(I)f(x2＋y2)(xdz＋ydy)，其中f(u)為連續(xù)函數(shù)，D：全平面．(II)，D＝｛(x，y)｜全平面除去一∞＜z≤0，y＝0｝．標準答案：(I)f(x2＋y2)(xdx＋ydy)d[(x2＋y2)]即被積表達式f(x2＋y2)(xdx＋ydy)原函數(shù)，因此該線積分在全平面與路徑無關．(Ⅱ)如圖10．9，L＝∫LPdx＋Qdy，(X，Y)∈D．D為單連通區(qū)域，因此積分在D與路徑無關．知識點解析：暫無解析4、(Ⅰ)記力(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，求dxdy；(Ⅱ)證明∫—∞+∞．標準答案：(Ⅰ)首先用極坐標變換求出I(R)=I(R)．作極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ得I(R)=∫02πdθ∫0R．．通過求∫—RRdx再求極限的方法行不通，因為∫dx積不出來(不是初等函數(shù))．但可以估計這個積分值．為了利用dxdy，我們?nèi)园岩辉瘮?shù)的積分問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的重積分問題．其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．顯然I(R)≤．知識點解析：暫無解析5、求曲線積分I=∫L2yzdx+(2z－z2)dy+(y2+2xy+3y)dz，其中L為閉曲線從原點向L看去，L沿順時針方向．標準答案：用斯托克斯公式．平面x+y+z=上L圍成的平面區(qū)域記為∑，按右手法則，法向量n朝上．且n=(1，1，1)=(cosα，cosβ，cosγ)，于是其中σ是∑的面積．這里把坐標軸的名稱互換，∑的方程不變，于是L是平面(x+y+z=)與球面(x2+y2+z2=1)的交線，它是圓周．現(xiàn)求它的半徑r，原點O到平面x+y+z=因此I=π．知識點解析：暫無解析6、計算標準答案：知識點解析：暫無解析7、設三階實對稱矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是λ屬于λ=6的特征向量，求矩陣A。標準答案：由r(A)=2知，｜A｜=0，所以λ=0是A的另一特征值。因為λ1=λ2=6是實對稱矩陣的二重特征值，故A屬于λ=6的線性無關的特征向量有兩個，因此α1，α2，α3必線性相關，顯然α1，α2線性無關。設矩陣A屬于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程組的基礎解系α=(-1，1，1)T。根據(jù)A(α1，α2，α3)=(6α1，6α2，0)得A=(6α1，6α2，0)(α1，α2，α)-1知識點解析：暫無解析8、設A～B，A=(1)求a，b；(2)求可逆矩陣P，使得P—1AP=B．標準答案：(1)因為A～B，所以A，B有相同的特征值，λ1=λ2=2，因為A相似于對角陣，所以r(2E—A)=1，而2E—A=，于是a=5，再由tr(A)=tr(B)得b=6．(2)由(2E—A)X=0得λ=2對應的線性無關的特征向量為ξ1=由(6E—A)X=0得λ=6對應的線性無關的特征向量為ξ3=令P=，則P—1AP=B．知識點解析：暫無解析9、求(x+2)y’’+xy’2=y’的通解．標準答案：令y’=p，有，原式成為兩邊同除以p2，化為①當C1＞0時，得②當C1=0時，得③當C1＜0時，得知識點解析：暫無解析10、已知A～B，A2=A，證明B2=B．標準答案：因為A～B，有P－1AP=B，那么B2=P－1A2P=P－1AP=B．知識點解析：暫無解析11、試確定常數(shù)a與n的一組值，使得當x→0時，一ln[e(1+x2)]與axn為等價無窮?。畼藴蚀鸢福篴=1，n=4(利用泰勒公式)知識點解析：暫無解析12、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析已知f(x)為周期函數(shù)，那么下列各函數(shù)是否都是周期函數(shù)?13、f2(x)標準答案：因為f(x)為周期函數(shù)，設T為函數(shù)周期，則f2(x＋T)一[f(x＋T)]2＝[f(x)]2＝f2(x)∴f22(x)為周期函數(shù)，且周期為T．知識點解析：暫無解析14、f(x＋2)標準答案：f(x＋2＋T)＝f(x＋T＋2)＝f(x+2)∴f(x+2)為周期函數(shù)，且周期為T．知識點解析：暫無解析15、f(x)＋2標準答案：f(x)＋2＝g(x)，則f(x＋T)＝f(x)g(x＋T)＝f(x+T)＋2＝f(x)＋2＝g(x)∴f(x)＋2為周期函數(shù)，且周期為T.知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷第8套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、說明下列事實的幾何意義：(Ⅰ)函數(shù)f(x)，g(x)在點x=x0處可導，且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)在點x=x0處連續(xù)，且有=∞．標準答案：(Ⅰ)曲線y=f(x)，y=g(x)在公共點M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))處相切．(Ⅱ)點x=x0是f(x)的不可導點．曲線y=f(x)在點M0(x0，f(x0))處有垂直于x軸的切線x=x0(見圖2．1)．知識點解析：暫無解析2、設A，B為同階方陣，如果A，B相似，試證A，B的特征多項式相等；標準答案：若A，B相似，那么存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，故丨λE-B丨=丨λE-P-1AP丨=丨P-1AEP-P-1AP丨=丨P-1(λE-A)P丨=丨P-1丨丨λE-A丨丨P丨=丨λE-A丨．知識點解析：暫無解析3、直線L1：x一1＝，L2：x＋l＝y(tǒng)一1＝z，(I)若L1⊥L2，求λ；(Ⅱ)若L1與L2相交，求λ．標準答案：(I)｛1，2，λ｝·｛1，1，1｝＝01＋2＋λ＝0λ＝一3．(II)L1通過點(1，1，1)，以(1，2，λ)為方向向量，L2通過點(一1，1，0)，以(1，1，1)為方向向量，則L1與L2共面此時L1與L2不平行．因此，．知識點解析：暫無解析4、證明：當時，不等式成立．標準答案：當而cosx＜0，所以不等式成立．知識點解析：暫無解析5、設，求du及．標準答案：u是u＝f(s，t)與復合而成的x，y，z的三元函數(shù)．先求du．由一階全微分形式不變性及全微分四則運算法則，得進一步由知識點解析：暫無解析6、設f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，以T為周期，試證明：(1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a為任意實數(shù))；(2)∫0xf(t)dt以T為周期<=>∫0Tf(x)dx=0；(3)∫f(x)dx(即f(x)的全體原函數(shù))周期為T<=>∫0Tf(x)dx=0．標準答案：(1)∫aa+Tf(x)d=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫TT+af(x)dx，其中∫TT+af(x)dx=∫TT+af(x－T)dx∫0af(s)ds=∫0af(x)dx．代入上式得∫aa+Tf(x)=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫0af(x)dx=∫0Tf(x)dx．(2)∫0xf(t)dt以T為周期<=>∫0x+Tf(t)dt－∫0xf(t)dt=∫xx+Tf(t)dt∫0Tf(t)dt=0．(3)只需注意∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C，∫0xf(t)dt是f(x)的一個原函數(shù)．知識點解析：暫無解析7、設區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，計算二重積分標準答案：積分區(qū)域D為右半單位圓，且關于x軸對稱，函數(shù)是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)是變量y的奇函數(shù)。取D1=D∩{y≥0}，利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，有故知識點解析：暫無解析8、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析9、求解微分方程xy’sinylnx+(1一xcosy)cosy=0．標準答案：設變量代換u=cosy，則原微分方程就化為這是n=2時的伯努利方程．令z=u－1，代入到上式中，得這是線性微分方程．利用分離變量的方法，得齊次線性微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．利用常數(shù)變易法，設非齊次線性微分方程的通解為代入到線性微分方程中，得c(x)=x+c．于是，線性微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．最后，再將變量代換z=u－1代回到原微分方程中去，即得原微分方程的通解為其中c為任意常數(shù)．另外，當u=0時，(n取整數(shù))也是原微分方程的解．知識點解析：本題主要考查伯努利方程的求解方法．在求解微分方程的通解時，有時有的特解并不在其通解中．這時，就需要按原微分方程的結(jié)構來判定．10、從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關系。設儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設儀器的質(zhì)量為m，體積為B，海水比重為ρ，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為后(k＞0)。試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關系式y(tǒng)=y(v)。標準答案：選取沉放點為原點O，Oy軸正句取鉛直向下，則根據(jù)牛頓第二定律得這是一個可降階的二階微分方程，其中由，因此原方程可化為分離變量得積分得結(jié)合初始條件v｜y=0=0，得因此所求的函數(shù)關系為知識點解析：暫無解析11、求微分方程y－y’cosx=y2(1－sinx)cosx的通解。標準答案：原微分方程可變形為令y－1=u，則即代入變形后的方程，得此為一階線性微分方程，由一階線性微分方程通解公式，得因此原方程的通解為即知識點解析：暫無解析12、證明：對于曲線積分的估計式為｜∫LPdx+Qdy｜≤lM，式中l(wèi)為積分曲線段長度，并證明標準答案：因為∫LPdx+Qdy=∫LF.ds，這里F=(P，Q)，ds=(dx，dy)，｜F｜=，｜ds｜=ds所以在曲線x2+y2=R2上，知識點解析：暫無解析13、已知α=[1，k，1]T是A－1的特征向量，其中求k及α所對應的A的特征值．標準答案：由題設有A－1α=λα，λ是A－1的對應于α的特征值，兩端左邊乘A，得α=λAα，A－1可逆，λ≠0，由對應分量相等，得得2+2k=k(3+k)，k2+k－2=0，得k=1或k=－2．當k=1時，α=[1，1，1]T，μ=4；當k=－2時，α=[－1，－2，1]T，μ=1．知識點解析：暫無解析甲、乙兩人獨立對同一目標進行射擊，命中目標概率分別為60％和50％．14、甲、乙兩人同時向目標射擊，求目標被命中的概率；標準答案：設A=｛甲擊中目標｝，B=｛乙擊中目標｝，C=｛擊中目標｝，則C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(A)+P(B)一P(A)P(B)=0．6+0．5—0．6×0．5=0．8．知識點解析：暫無解析15、甲、乙兩人任選一人，由此人射擊，目標已被擊中，求是甲擊中的概率．標準答案：設A1=｛選中甲｝，A2=｛選中乙｝，B=｛目標被擊中｝，則P(A1)=P(A2)=，P(B｜A1)=0．6，P(B｜A2)=0．5，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷第9套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、已知α1，α2，α3，α4是齊次方程組AX=0的基礎解系，記β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα3，β4=α4+tα1．實數(shù)t滿足什么條件時，β1，β2，β3，β4也是AX=0的基礎解系?標準答案：t≠±1．知識點解析：暫無解析2、求函數(shù)y=的導數(shù)。標準答案：由復合函數(shù)求導的鏈式法則