2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

二項(xiàng)發(fā)布及其應(yīng)用復(fù)習(xí)互斥事件:不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件如果事件A1,A2,…,An,中的任何兩個(gè)都是互斥的，那么就說事件A1,A2,…,An,彼此互斥.那么＝對(duì)立事件:必然有一個(gè)發(fā)生的互斥事件

問題(1)：甲、乙兩人各擲一枚硬幣，都是正面朝上的概率是多少？事件A：甲擲一枚硬幣，正面朝上；事件B：乙擲一枚硬幣，正面朝上.事件A、B是否互斥？事件A、B可以同時(shí)發(fā)生嗎？事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率有無影響？（不互斥）（可以）（無影響）問題(2)：甲壇子里有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙壇子里有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球的概率是多少？事件A：從甲壇子里摸出1個(gè)球，得到白球；事件B：從乙壇子里摸出1個(gè)球，得到白球.事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率有無影響？事件A、B是否互斥？事件A、B可以同時(shí)發(fā)生嗎？（不互斥）（可以）（無影響）思考：三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由三名同學(xué)有放回地抽取，因此第一名同學(xué)抽的結(jié)果對(duì)最后一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果沒有影響，事件A的發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎?事件B為“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”。事件A為“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，顯然，有放回地抽取獎(jiǎng)券時(shí)，最后一名同學(xué)也是從原來的三張獎(jiǎng)券中任抽一張，即事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B

發(fā)生的概率．事件AB是什么？事件A,B同時(shí)發(fā)生，簡(jiǎn)稱積事件問題(2)中，“從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，它們都是白球”是一個(gè)事件，即事件A，B同時(shí)發(fā)生，記作A·B.∵P(AB)=(3×2)/(5×4)=3/10,P(A)P(B)=(3/5)×(2/4)=3/10；于是：P(AB)=P(A)·P(B)相互獨(dú)立事件的定義設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果：P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.事實(shí)上，事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.若A與B是相互獨(dú)立事件，則A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立.一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1·A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An)練習(xí)判斷下列事件是否為相互獨(dú)立事件.①

籃球比賽“罰球兩次”中，事件A：第一次罰球，球進(jìn)了.

事件B：第二次罰球，球進(jìn)了.②袋中有三個(gè)紅球，兩個(gè)白球，采取不放回的取球.

事件A：第一次從中任取一個(gè)球是白球.

事件B：第二次從中任取一個(gè)球是白球.是不是是③袋中有三個(gè)紅球，兩個(gè)白球，采取有放回的取球.

事件A：第一次從中任取一個(gè)球是白球.

事件B：第二次從中任取一個(gè)球是白球.練習(xí)判斷下列各對(duì)事件的關(guān)系：（1）運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，射中9環(huán)與射中8環(huán)；（2）甲乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，甲射中9環(huán)與乙射中8環(huán)；互斥相互獨(dú)立練習(xí):已知A、B、C相互獨(dú)立，試用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示下列關(guān)系①A、B、C同時(shí)發(fā)生概率；②A、B、C都不發(fā)生的概率；③A、B、C中恰有一個(gè)發(fā)生的概率；④A、B、C中恰有兩個(gè)發(fā)生的概率；⑤A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率；例1.某商場(chǎng)推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng),凡購(gòu)買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券．獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)．如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是0.05，求兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率：

(1)都抽到某一指定號(hào)碼；記“第一次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事件A，“第二次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事件B，則“兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼”就是事件AB。解:(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025由于兩次的抽獎(jiǎng)結(jié)果是互不影響的,因此A和B相互獨(dú)立.于是由獨(dú)立性可得,兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼的概率為:例1.某商場(chǎng)推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng),凡購(gòu)買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券．獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)．如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是0.05,求兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率

(2)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼；所求的概率為：解:“兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用表示。由于事件與互斥，例1.某商場(chǎng)推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng),凡購(gòu)買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券.獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼,可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)．如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是0.05，求兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率：

(3)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼．所求的概率為：由于事件兩兩互斥，另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率為解:“兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用表示。例2.甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：(1)2人都射中目標(biāo)的概率；，解：記“甲射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件A，乙射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件B，則A與,與B,與，A與B，為相互獨(dú)立事件;(2)2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率；(3)2人至少有1人射中目標(biāo)的概率；(4)2人至多有1人射中目標(biāo)的概率？例2.甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：或“2人至少有一個(gè)擊中”與“2人都未擊中”為對(duì)立事件或:“至多有1人擊中目標(biāo)”的對(duì)立事件是“2人都擊中目標(biāo)”,例題講解例3.在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開開關(guān)，只要其中有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率.解：分別記這段時(shí)間內(nèi)開關(guān)JA,JB,JC，能夠閉合為事件A，B，C由題意，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響;這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)都不能閉合的概率是．正常工作的概率是例題講解練習(xí)1.如圖，添加第四個(gè)開關(guān)JD與其它三個(gè)開關(guān)串聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)此開關(guān)能夠閉合的概率也是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率.

P=例題講解練習(xí)2.如圖，兩個(gè)開關(guān)串聯(lián)再與第三個(gè)開關(guān)并聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率.P=或:正常工作只要排除JC開且JA與JB至少有1個(gè)開的情況.例4.已知某種高炮在它控制區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2

(1)假定有5門這種高炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后未被擊中的概率；被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機(jī).解:(1)設(shè)敵機(jī)被第k門高炮擊中的事件為Ak(k=1,2,3,4,5)那么5門高炮都未擊中敵機(jī)的事件為∵事件A1,A2,A3,A4,A5相互獨(dú)立,∴敵機(jī)未被擊中的概率為=

(2)要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？例4.已知某種高炮在它控制區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2至少需要布置n門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，敵機(jī)被擊中的概率為1-，∴n=11互斥事件相互獨(dú)立事件

不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件.如果事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件P(A∪B)=P(A)+P(B)P（AB）=P(A)P(B)互斥事件A、B中有一個(gè)發(fā)生，相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生,計(jì)算公式

符號(hào)概念記作:A∪B(或A+B)記作:AB互斥事件、相互獨(dú)立事件的對(duì)比課堂練習(xí)

1．在一段時(shí)間內(nèi)，甲去某地的概率是1/4，乙去此地的概率是1/5，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么在這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去此地的概率是()練習(xí)：A3/20B1/5C2/5D9/20C

2．從甲口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是1/3，從乙口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是1/2，從兩個(gè)口袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，那么5/6等于（）

A2個(gè)球都是白球的概率

B2個(gè)球都不是白球的概率

C2個(gè)球不都是白球的概率

D2個(gè)球中恰好有1個(gè)是白球的概率C練習(xí)3若甲以10發(fā)8中，乙以10發(fā)7中的命中率打靶，兩人各射擊一次，則他們都中靶的概率是()(A)(B)(D)(C)練習(xí)4某產(chǎn)品的制作需三道工序，設(shè)這三道工序出現(xiàn)次品的概率分別是P1,P2,P3。假設(shè)三道工序互不影響，則制作出來的產(chǎn)品是正品的概率是

D(1－P1)(1－P2)(1－P3)練習(xí)5甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問題,甲解決這個(gè)問題的概率是P1,乙解決這個(gè)問題的概率是P2，那么其中至少有1人解決這個(gè)問題的概率是多少？P1(1－P2)+(1－P1)P2+P1P2=P1+P2－P1P2課堂練習(xí)練習(xí)7某道路的A、B、C三處設(shè)有交通燈,這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒,某輛車在這條路上行駛時(shí)，三處都不停車的概率是（）A35/192B25/192C35/192D65/192練習(xí)6電燈泡使用時(shí)間在1000小時(shí)以上概率為0.2，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)后壞了1個(gè)的概率是:()A0.128B0.096C0.104D0.384BA⑵甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)作天氣預(yù)報(bào)，如果它們預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率分別是0.8與0.7，那么在一次預(yù)報(bào)中兩個(gè)氣象臺(tái)都預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是

．練習(xí)8⑴將一個(gè)硬幣連擲5次，5次都出現(xiàn)正面的概率是

；1/320.56練習(xí)9棉籽的發(fā)芽率為0.9，發(fā)育為壯苗的概率為0.6;（1）每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為

；此穴無壯苗的概率為

．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率為

；此穴有壯苗的概率為

.0.010.160.9990.936練習(xí)10一個(gè)工人負(fù)責(zé)看管4臺(tái)機(jī)床，如果在1小時(shí)內(nèi)這些機(jī)床不需要人去照顧的概率第1臺(tái)是0.79，第2臺(tái)是0.79，第3臺(tái)是0.80，第4臺(tái)是0.81，且各臺(tái)機(jī)床是否需要照顧相互之間沒有影響，計(jì)算在這個(gè)小時(shí)內(nèi)這4臺(tái)機(jī)床都不需要人去照顧的概率.(P=)課堂練習(xí)()練習(xí)11制造一種零件，甲機(jī)床的廢品率是0.04，乙機(jī)床的廢品率是0.05．從它們制造的產(chǎn)品中各任抽1件，其中恰有1件廢品的概率是多少？(P=)練習(xí)12甲袋中有8個(gè)白球和4個(gè)紅球；乙袋中有6個(gè)白球和6個(gè)紅球，從每袋中任取一個(gè)球，問取得的球是同色的概率是多少？課堂小結(jié)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，這一點(diǎn)與互斥事件的概率和也是不同的.兩個(gè)事件相互獨(dú)立，是指它們其中一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录遣豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生的，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提的.課堂練習(xí)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布復(fù)習(xí)互斥事件:不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件如果事件A1,A2,…,An,中的任何兩個(gè)都是互斥的，那么就說事件A1,A2,…,An,彼此互斥.那么＝對(duì)立事件:必然有一個(gè)發(fā)生的互斥事件課堂練習(xí)相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.，若A與B是相互獨(dú)立事件，則A與，與B,與也相互獨(dú)立：相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：一般地，如果事件A1,A2,…,An,相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積.

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)定義：一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，“在相同條件下”等價(jià)于各次試驗(yàn)的結(jié)果不會(huì)受其他試驗(yàn)結(jié)果的影響?yīng)毩⒅貜?fù)試驗(yàn)的基本特征：1、每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行；2、每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果:發(fā)生與不發(fā)生；3、各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；4、每次試驗(yàn),某事件發(fā)生的概率是相同的。不是是不是是判斷下列試驗(yàn)是不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：1).依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣,3次正面向上;2).某射擊手每次擊中目標(biāo)的概率是0.9，他進(jìn)行了4

次射擊，只命中一次；3).口袋裝有5個(gè)白球,3個(gè)紅球,2個(gè)黑球,從中依次抽取5

個(gè)球,恰好抽出4個(gè)白球;4).口袋裝有5個(gè)白球,3個(gè)紅球,2個(gè)黑球,從中有放回的抽取5個(gè)球,恰好抽出4個(gè)白球獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)際原型是有放回的抽樣試驗(yàn)

則針尖向下的概率為q=1-p.投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為p，連續(xù)擲一枚圖釘3次，僅出現(xiàn)1次針尖向上的概率是多少？連續(xù)擲一枚圖釘3次，就是做3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；用Ai(i=1,2,3)表示“第i次擲得針尖向上”，B1表示事件“僅出現(xiàn)1次針尖朝上”，則：B1=事件之間彼此互斥=q2p+q2p+q2p=3q2p.P(B1)=因此，連續(xù)擲一枚圖釘3次，僅出現(xiàn)1次針尖向上的概率是3q2p。用Bk

(k=0,1,2,3)表示事件“連續(xù)一枚擲圖釘3次，出現(xiàn)1次針尖朝上”，如果連續(xù)擲3次圖釘，恰有k(k=0,1,2,3)次針尖向上的概率是多少？有什么規(guī)律嗎？類似于前面的討論，有：P(B0)==q3.P(B1)==3q2pP(B2)==3qp2P(B3)==p3.研究上述等式，可以發(fā)現(xiàn)，P(Bk)=（k＝0,1,2,3）二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則：記作X~B(n,p)，并稱p為成功概率。（k＝0,1,2,…，n）此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，恰好是二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的值，所以這個(gè)發(fā)布稱為二項(xiàng)分布；（其中k=0，1，2，···，n）試驗(yàn)總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布有什么聯(lián)系？二點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即為n=1時(shí)的二項(xiàng)分布例1.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8.求這名射手在10次射擊中。(1)恰有8次擊中目標(biāo)的概率；(2)至少有8次擊中目標(biāo)的概率.(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)解：設(shè)X為擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X~B(10,0.8)(1)在10次射擊中，恰有8次擊中目標(biāo)的概率為:(2)在10次射擊中，至少有8次擊中目標(biāo)的概率為:練習(xí)

某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊3次.⑴第一次命中，后面兩次不中的概率；⑵恰有一次命中的概率;⑶恰有兩次命中的概率.∴=0.032∴恰有一次命中的事件的概率∴恰有兩次命中的事件的概率例2．某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)ξ的概率分布． 解：依題意，隨機(jī)變量ξ～B(2，5%)．所以，P(ξ=0)=C20(95%)2=0.9025，P(ξ=1)=C21(5%)(95%)=0.095，P(ξ=2)=C22(5%)2=0.0025．因此，次品數(shù)ξ的概率分布是ξ012P0.90250.0950.0025例3．重復(fù)拋擲一枚骰子5次得到點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)記為ξ，求P(ξ>3)．解：依題意，隨機(jī)變量ξ～B(5,1/6)．∴P(ξ=4)==25/7776，P(ξ=5)==1/7776．∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=13/3888例4．某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）：（1）5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；（2）5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率.解：（1）記“預(yù)報(bào)1次，結(jié)果準(zhǔn)確”為事件A．預(yù)報(bào)5次相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率:

.（2）5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率，就是5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率與5次預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率的和，即例5．某車間的5臺(tái)機(jī)床在1小時(shí)內(nèi)需要工人照管的概率都是1/4，求1小時(shí)內(nèi)5臺(tái)機(jī)床中至少2臺(tái)需要工人照管的