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第3章空間向量與立體幾何3.1空間向量的概念和運算1.我們知道,平面內(nèi)________________的量叫做平面向量,平面向量可用________表示,平面向量可進(jìn)行加、減和數(shù)乘運算.既有大小又有方向有向線段學(xué)生自主檢測2.如果表示平面向量的有向線段所在的直線平行或重合,那么這些向量叫做________或________,并規(guī)定零向量與________平行.對平面內(nèi)任意兩個向量a、b(a≠0),b與a共線的充要條件是存在實數(shù)λ,使_______.共線向量平行向量任意向量3、下列說法中正確的是()A、任意兩個空間向量都可以比較大小B、方向不同的空間向量不能比較大小,但同向的空間向量可以比較大小C、空間向量的大小與方向有關(guān)D、空間向量的??梢员容^大小D4、空間中,起點相同的所有單位向量的終點所構(gòu)成的圖形是()A、圓B、球C、正方體D、球面D5、兩個向量的數(shù)量積__________1.空間向量的概念在空間,我們把既有大小又有方向的量,叫做________.2.空間向量的線性運算向量的加法、減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.(1)三角形法則;(2)平行四邊形法則.空間向量精講精析3.運算律(1)加法交換律:___________;(2)加法結(jié)合律:___________________;(3)數(shù)乘分配律:____________________.4.共線向量定理(1)共線向量定理:對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a與b共線的充要條件是存在實數(shù)λ,使.(2)對于空間任意兩個向量,共線向量定理可分解為以下兩個命題:①?存在惟一實數(shù)λ使;②存在惟一實數(shù)λ,使?①是共線向量的性質(zhì)定理,②是空間向量共線的判定定理,若要用此結(jié)論判定a、b的直線平行,還需a(或b)上有一點不在b(或a)上.5、空間向量的數(shù)量積滿足如下運算律:(1)(2)(3)提示:成立.講解例題精講精析【答案】②【名師點評】
(1)兩個向量的模相等,則它們的長度相等,但方向不確定,即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件.(2)熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法滿足的運算法則及運算律是解決好這類問題的關(guān)鍵.例3、【名師點評】掌握向量加減的運算法則及向量加法的交換律、結(jié)合律等基礎(chǔ)知識,在求解時需將雜亂的向量運算式有序化處理,必要時也可化減為加,降低出錯率.例4、如圖所示,正方體AC1中,M,N分別為棱D1C1,B1C1的中點,求證M,N,B,D四點共面.1.在運用空間向量的運算法則化簡向量表達(dá)式時,要結(jié)合空間圖形,觀察分析各向量在圖形中的表示,然后運用運算法則,把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量解決,并要化簡到最簡為止.在空間向量的加法運算中,如下事實常幫助我們簡化運算:方法感悟(1)首尾相接的若干個向量的和,等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量,求若干個向量的和,可以通過平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.(2)首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形,則它們的和為0.2.向量等式的證明,就是向量化簡的過程,可以由一端證到另一端,也可以兩端同時證到至“中間”向量表達(dá)式,從而達(dá)到證明等式的目的.3.共線向量定理包含兩個命題,特別是對于兩個向量a、b,若存在實數(shù)x,使a=xb(b≠0),則a∥b,可以作為以后證明線線平行的依據(jù),但必須a(或b)上有一點不在b(或a)上.隨堂練習(xí)1、已知向量2、已知E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點,用向量法證明:(1)E
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