1-離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

離散時(shí)間信號(hào)----序列連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣離散時(shí)間系統(tǒng)第一章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)(Discrete-timesignal

andsystem)1離散時(shí)間信號(hào)的定義、表示序列的運(yùn)算常用的序列序列的周期性序列的能量1.2離散時(shí)間信號(hào)—序列2離散時(shí)間信號(hào)只在離散時(shí)間上給出函數(shù)值，是時(shí)間上不連續(xù)的序列(sequence)。如果將一個(gè)數(shù)字序列x的第n個(gè)數(shù)字表示為x(n)（n為整數(shù)，表示離散時(shí)間），離散時(shí)間序列表示為x={x(n)}。為了方便常簡(jiǎn)單表示為x(n)。一、離散時(shí)間信號(hào)---序列的定義與表示1、圖形表示法：3零點(diǎn)位置2、枚舉式（數(shù)字集合）：

3、公式：

4二、序列的運(yùn)算移位翻褶和乘積標(biāo)乘累加差分卷積51.移位序列x(n)，當(dāng)m>0時(shí)x(n-m)：逐項(xiàng)依次延時(shí)/右移m位（發(fā)生時(shí)間推遲了）x(n+m)：逐項(xiàng)依次超前/左移m位（提前了）-1012-2x(n)11/21/41/8n1/21/41/81x(n+1)n0-1-21…6例：-1012x(n)11/21/41/8-2n2.翻褶(折疊)

x(-n)是以n=0的縱軸為對(duì)稱軸將x(n)加以翻褶的序列。-1012x(-n)11/21/41/8-2n…73.和同序列號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加構(gòu)成的新序列.4.乘積：相同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘.5.標(biāo)乘：x(n)的每個(gè)序列值乘以常數(shù)c.86.累加設(shè)一序列x(n),則x(n)的累加序列y(n)定義為

y(n)在某一個(gè)n0上的值等于n0上的值以及n0以前的所有n值上的x(n)的和。9前向差分（先左移后相減）：后向差分（先右移后相減）：7.差分運(yùn)算10（1）抽?。簒(n)x(Dn),D為正整數(shù)，表示從x(n)的每連續(xù)D個(gè)抽樣值中取出一個(gè)組成的新序列。

x(n)1231/21/4-2-1012n8.尺度變換x(2n)131/4-2-1012n

例：x(2n)，相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)取一點(diǎn)。11（2）零值插值：x(n)x(n/I),把原序列的兩個(gè)相鄰抽樣值之間插入（I-1）個(gè)值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n抽取與插值是多抽樣率數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ).例：x(n/2)相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)之間插一個(gè)點(diǎn)。129.卷積

設(shè)序列x(n),h(n),它們的卷積y(n)定義為卷積和計(jì)算分四步：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：131.單位脈沖序列（離散沖激）

unitimpulsesequence

(單位采樣序列)

unitsamplesequence

二、幾種常用序列1-2-1012n1-2-1012n142.單位階躍序列u(n)unitstepsequence

...0123-1nu(n)1令n-m=k153.矩形序列rectanglesequence...012N-1-1nRN(n)1164.實(shí)指數(shù)序列realexponentsequence

a為實(shí)數(shù)，當(dāng)175.復(fù)指數(shù)序列complexexponentsequence為數(shù)字域頻率。①實(shí)、虛部②極坐標(biāo)186、正弦序列(sinesequence)模擬正弦信號(hào)：（歸一化頻率）rad/s角頻率初始相位19三、序列的周期性若對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，滿足則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。思考：20討論一般正弦序列的周期性21分情況討論1）為整數(shù)時(shí)取k=1，x(n)是周期為的周期序列3）為無(wú)理數(shù)時(shí)，任何k都不能使N為正整數(shù)，x(n)不是周期序列2）為有理數(shù)=N/k,其中，k,N為互素的整數(shù)，此時(shí)x(n)周期的為N。22討論：如果一個(gè)正弦序列是由一個(gè)連續(xù)的正弦信號(hào)抽樣得到的，那么，抽樣時(shí)間間隔T和連續(xù)正弦信號(hào)的周期T0之間是什么關(guān)系才能使所得到的抽樣序列仍然是周期序列？信號(hào)頻率f,角頻率Ω=2πf，信號(hào)的周期為：23對(duì)采樣，采樣間隔為T，采樣后的信號(hào)令ω為數(shù)字頻率，滿足：用ω代替ΩT24討論與T和T0的關(guān)系。若要為整數(shù)，T0應(yīng)為T的整數(shù)倍；即N個(gè)抽樣間隔應(yīng)等于連續(xù)正弦信號(hào)的k

個(gè)周期.若要為有理數(shù)（N/k），則：25四、序列的能量x(n)的能量定義為序列各樣本的平方和，即：26

1.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣一、采樣器與采樣二、理想采樣三、理想采樣信號(hào)的頻譜四、采樣信號(hào)的重建27一、采樣與采樣器采樣器P(t)T采樣周期28采樣（sampling）是利用周期性采樣脈沖序列p(t),從連續(xù)信號(hào)xa(t)中抽取一系列的離散值，得到采樣信號(hào)（離散時(shí)間信號(hào)）采樣器可以看成是一個(gè)電子開關(guān)，開關(guān)每隔T秒閉合一次，（理想采樣閉合時(shí)間無(wú)窮短，實(shí)際采樣閉合時(shí)間τ秒，）對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行采樣。采樣過(guò)程可以看成脈沖調(diào)幅，xa(t)為調(diào)制信號(hào)，被調(diào)脈沖載波是周期為T的周期性脈沖串。當(dāng)脈沖寬度為τ時(shí)，實(shí)際采樣，τ→0時(shí)，理想采樣。29實(shí)際采樣：p(t)t0tTp(t)為脈沖序列…理想采樣tt…（沖激序列）30沖激函數(shù)序列：理想采樣輸出：理想采樣后的表達(dá)式：由于δ（t-nT）只在t=nT時(shí)不為零t…（沖激序列）31二、理想采樣信號(hào)的頻譜1、采樣后信號(hào)頻譜與模擬信號(hào)的頻譜之間的關(guān)系？2、在什么情況下，由采樣信號(hào)可以恢復(fù)原信號(hào)？研究目標(biāo)：32頻域卷積定理：時(shí)域相乘，頻域（傅立葉變換域）為卷積運(yùn)算。若：33利用傅立葉級(jí)數(shù)展開，可得：

s=2/T，

s稱為采樣角頻率fs=1/T，fs為采樣頻率周期函數(shù)3435......0Tt0……周期沖激序列與它的傅立葉變換3637結(jié)論：一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣后，其頻譜以采樣頻率為間隔重復(fù)。頻譜產(chǎn)生了周期延拓，即理想采樣后的頻譜，是頻率的周期函數(shù)，周期為，頻譜的幅度乘以。時(shí)域離散頻域周期38Ωh為最高頻率分量情況①：不混疊

若xa(t)是帶限信號(hào)，且信號(hào)最高頻譜分量

h不超過(guò)

s/2。由上圖可知，用一截止頻率為的低通濾器對(duì)濾波得到，從而得到。

39情況②：混疊

若xa(t)是帶限信號(hào)，且信號(hào)最高頻譜分量

h超過(guò)

s/2。Ωh為最高頻率分量由于各周期延拓分量產(chǎn)生的頻譜互相交疊，使采樣信號(hào)的頻譜產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。40采樣定理（samplingtheorem）要想采樣后能不失真的還原出原信號(hào)，采樣頻率必須大于兩倍原信號(hào)最高頻率分量。即：這就是奈奎斯特采樣定理。折疊頻率，稱為奈奎斯特頻率。為避免混疊，一般在采樣器前加一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器，將高于

s/2的頻率分量濾除。工程上，通常取

s>(3～5)

h。41利用低通濾波器ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)三、采樣信號(hào)的重建0

如果滿足采樣定理，信號(hào)的最高頻率小于折疊頻率，則采樣后信號(hào)的頻譜不會(huì)產(chǎn)生混疊，可以恢復(fù)原信號(hào)。42時(shí)域討論：如何由采樣值恢復(fù)原來(lái)的模擬信號(hào)？ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)43理想低通濾波器的輸出：信號(hào)重建的內(nèi)插公式，信號(hào)的采樣值經(jīng)此公式得到連續(xù)信號(hào)。內(nèi)插函數(shù)44內(nèi)插函數(shù)(interpolatingfunction)的特性：

說(shuō)明：(1)內(nèi)插函數(shù)只有在采樣點(diǎn)mT上為1。(2)xa(t)等于xa(mT)乘上對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和。(3)在每一個(gè)采樣點(diǎn)上，只有該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)不為零，這

說(shuō)明在采樣點(diǎn)上信號(hào)值不變ya(mT)=xa(mT)，而采樣點(diǎn)之間的

信號(hào)ya(t)，(其中t≠mT)由各加權(quán)采樣函數(shù)波形的延伸疊加

而成。(m從-～)451.4離散時(shí)間系統(tǒng)

(discrete-time

system)離散時(shí)間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算。以T[·]來(lái)表示。離散時(shí)間系統(tǒng)T[·]x(n)y(n)46設(shè)：一、線性系統(tǒng)

(linearsystem)滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。若：則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。47二、移/時(shí)不變系統(tǒng)

（shift/timeinvariantsystem）若系統(tǒng)響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)輸入輸出的運(yùn)算關(guān)系不隨時(shí)間而改變，則稱該系統(tǒng)為移不變系統(tǒng)（時(shí)不變系統(tǒng)）。說(shuō)明：同時(shí)具有線性和移不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性移不變（linearshiftinvariant）離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱LSI系統(tǒng)。48知道h(n)后，就可求出線性移不變系統(tǒng)對(duì)任意輸入的輸出。T[·]三、單位采樣（沖激）響應(yīng)與卷積和單位采樣響應(yīng)是指輸入為單位沖激序列δ(n)時(shí)系統(tǒng)的輸出。一般用h(n)表示。

LSIh(n)x(n)y(n)49對(duì)LSI系統(tǒng)，設(shè)輸入序列為x(n)，輸出序列y(n)線性卷積離散卷積50LSI系統(tǒng)可以用它的單位采樣響應(yīng)h(n)來(lái)表征，任意輸入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該單位采樣響應(yīng)h(n)的卷積和。

LSIh(n)x(n)y(n)重要結(jié)論51離散卷積的規(guī)律1.交換律2.結(jié)合律52離散卷積的規(guī)律3.分配律并聯(lián)的兩個(gè)線性移不變系統(tǒng)可以等效成一個(gè)系統(tǒng)，其單位采樣響應(yīng)等于原來(lái)兩個(gè)系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)的和。53若系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出，只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入，而與n時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān)，則稱因果系統(tǒng)。四、因果系統(tǒng)(causalitysystem)結(jié)論：

線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件：h(n)=0，n<0。例：y(n)=nx(n)

y(n)=x(-n)是什么系統(tǒng)？

54五、穩(wěn)定系統(tǒng)(stablesystem

)穩(wěn)定系統(tǒng)是有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：則若55六、常系數(shù)線性差分方程

lineardifferentialequation

ofconstantcoefficient

離散時(shí)間線性移不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系用差分方程來(lái)描述。注意：（1）常系數(shù)：a0,a1,…,aｎ;b0,b1,…,bｍ均是常數(shù)

（2）階數(shù)：y(n-k)變量k的最大序號(hào)與最小序號(hào)之差

（3）線性：x

,

y各項(xiàng)只有一次冪,不含它們的乘積項(xiàng)h(n)y(n)x(n)56求解常系數(shù)線性差分方程的方法：用迭代法求解差分方程本質(zhì)上是求解