專題04 概率與統(tǒng)計初步（7考點串講+7熱考題型）（高教版2021·基礎模塊下冊）（解析版）

專題04概率與統(tǒng)計初步考點串講考點串講考點一、隨機實驗（1）隨機試驗定義：把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗．特點：試驗可以在相同條件下重復進行；試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果．（2）樣本點和樣本空間定義：我們把隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間．表示：一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點．如果一個隨機試驗有個可能結果，，…，則稱樣本空間為有限樣本空間．（3）事件的分類隨機事件：我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．隨機事件一般用大寫字母，，，…表示．在每次試驗中，當且僅當中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生．必然事件：作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．不可能事件：空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為不可能事件．考點二、頻率與概率（1）頻率：在相同的條件下重復次試驗，觀察某一事件是否出現(xiàn),稱次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率.（2）概率：大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著試驗次數(shù)的增大，頻率偏離概概率的幅度會縮小，即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率估計概率.（3）由概率的定義可知：對于任意事件，都有；必然事件的概率為1，即；不可能事件的概率為0，即.考點三、古典概型（1）古典概型的定義如果一個試驗具有如下性質(zhì)：有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．稱這樣的為古典概率模型，簡稱古典概型．（2）古典概型的概率計算公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率，其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù)．考點四、概率的簡單性質(zhì)（1）互斥事件一般地，如果事件與事件不能同時發(fā)生，也就是說是一個不可能事件，即，則稱事件與事件互斥(或互不相容)，符號表示：，圖示：.（2）對立事件一般地，如果事件和事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對立，事件的對立事件記為，符號表示：，且，圖示：.（3）互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別與聯(lián)系相互獨立事件互斥事件判斷方法一個事件發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響兩個事件不可能同時發(fā)生，即概率公式事件與相互獨立等價于事件與互斥，則考點五、抽樣方法（1）簡單隨機抽樣一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．最常用的簡單隨機抽樣方法是抽簽法.抽簽法(抓鬮法)：一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取1個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本．簡單隨機抽樣有操作簡便易行的優(yōu)點，在總體個數(shù)不多的情況下是行之有效的．（2）系統(tǒng)抽樣一般地，假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，我們可以按下列步驟進行系統(tǒng)抽樣：①先將總體的N個個體編號．有時可直接利用個體自身所帶的號碼，如學號、準考證號、門牌號等；②確定分段間隔k，對編號進行分段．當eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)，如果遇到eq\f(N,n)不是整數(shù)的情況，可以先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除；③在第1段用簡單隨機抽樣方法確定第一個個體編號l(l≤k)；④按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本．當總體中元素個數(shù)較少時，常采用簡單隨機抽樣，當總體中元素個數(shù)較多時，常采用系統(tǒng)抽樣．（3）分層抽樣分層抽樣的概念：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣的方法．分層抽樣時，每個個體被抽到的機會是均等的．考點六、統(tǒng)計圖表名稱概念頻數(shù)、頻率將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組,各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù),叫作該組的頻數(shù).每組頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個數(shù)的商叫作該組的頻率，頻率反映該組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小.樣本的頻率分布根據(jù)隨機所抽樣本的大小，分別計算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律(取值狀況)就叫作樣本的頻率分布.極差若一組數(shù)據(jù)的最小值為a，最大值為b，則b-a的差就叫作極差組距把所有數(shù)據(jù)分成若干組,每個小組的兩個端點之間的距離稱為組距頻率直方圖的制作步驟：（1）求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)（2）決定組距與組數(shù)組距是指每個小組的兩個端點之間的距離.為方便起見一般取等長組距，并且組距的選擇應力求“取整”.極差、組距、組數(shù)有如下關系：若為整數(shù)，則=組數(shù)；若不為整數(shù)，則[]+1=組數(shù)。（3）將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)據(jù)所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間。（4）列頻率分布表：統(tǒng)計各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)，計算頻率，填入表格中，完成頻率分布表。（5）畫頻率直方圖：畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高）表示頻率與組距的比值。在頻率分布直方圖中，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1．考點七、樣本的均值和標準差（1）眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或者最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等．（2）樣本方差，樣本標準差樣本方差：標準差：s＝，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，是平均數(shù)．標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是樣本標準差的平方．通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差．熱考題型熱考題型類型一、隨機事件的有關概念【例1】①某人射擊一次,中靶；②從一副牌中抽到紅桃A；③種下一粒種子發(fā)芽；④擲一枚骰子出現(xiàn)6點.其中是隨機現(xiàn)象的是.【答案】①②③④【解析】根據(jù)隨機現(xiàn)象的定義知：①：射擊一次有兩種可能性：中靶和不中靶，中靶滿足隨機現(xiàn)象；②：從一副牌中抽到有大小王、紅桃（13張）、黑桃（13張）、方片（13張）、梅花（13張）54種可能，紅桃A滿足隨機現(xiàn)象；③：種下一粒種子有發(fā)芽和不發(fā)芽兩種可能性，發(fā)芽滿足隨機現(xiàn)象；④：擲一枚骰子，由1-6六種可能，故出現(xiàn)6滿足隨機現(xiàn)象故答案為：①②③④.【例2】從1,2,3,4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，那么“這2個數(shù)的和大于4”包含的樣本點數(shù)為()A．2個 B．3個C．4個 D．5個【答案】C【解析】從1,2,3,4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，則試驗的樣本空間為：Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}.其中“這2個數(shù)的和大于4”包含的樣本點有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4個.故選：C.【變式1】現(xiàn)有10個同類產(chǎn)品，其中7個是正品，3個是次品.有以下事件：從這10個產(chǎn)品中任意抽取4個產(chǎn)品，①4個產(chǎn)品都是正品；②至少有1個次品；③4個產(chǎn)品都是次品；④至少有1個正品.其中隨機事件為，不可能事件為，必然事件為.（填序號）【答案】

①②

③

④【解析】10個同類產(chǎn)品，其中7個是正品，3個是次品.，從中任意抽取4個產(chǎn)品，則至少有一個是正品，故④為必然事件，而不可能4個產(chǎn)品都是次品，故③為不可能事件，可能會4個產(chǎn)品都是正品，可能會至少有1個次品，所以①②是隨機事件故答案為：①②；③；④【變式2】連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.（與先后順序有關）（1）寫出這個試驗的樣本空間及樣本點的個數(shù)；（2）寫出事件“恰有兩枚正面向上”的集合表示.【答案】（1）8個，見解析（2）{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.【解析】解：（1）這個試驗的樣本空間：{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，樣本點的個數(shù)是8.（2）記事件“恰有兩枚正面向上”為事件A，則{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.類型二、頻率與概率【例1】對下面的描述：①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率是反映事件發(fā)生的可能性的大??；②做n次隨機試驗，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率；③頻率是一個比值，但概率不是；④頻率是不能脫離具體的n次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值；⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．其中正確的說法有()A．①③⑤ B．①③④C．①④⑤ D．②④⑤【答案】C【解析】頻率是一個不確定的值，隨試驗次數(shù)的變化而變化，但具有相對的穩(wěn)定性．而概率是一個確定的值，不隨試驗次數(shù)的變化而變化，但當試驗次數(shù)無限增大時，頻率趨向于概率，因此①④⑤是正確的．故選：C.【例2】“某彩票的中獎概率為eq\f(1,1000)”意味著()A．買1000張彩票就一定能中獎 B．買1000張彩票中一次獎C．買1000張彩票一次獎也不中 D．購買彩票中獎的可能性是eq\f(1,1000)【答案】D【解析】概率與試驗的次數(shù)無關，在此題中與所買彩票的張數(shù)的多少無關，它是客觀存在的，可能會出現(xiàn)只買一張就中獎，也可能買1000張也不中獎．故選：D.【變式1】某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次10環(huán)，3次9環(huán)，4次8環(huán)，1次脫靶，在這次練習中，這個人中靶的頻率是____，中9環(huán)的概率是____.【答案】0.9；0.3【解析】打靶10次，9次中靶，故中靶的概率為eq\f(9,10)＝0.9，其中3次中9環(huán)，故中9環(huán)的頻率是eq\f(3,10)＝0.3．故答案為：0.9；0.3.【變式2】一家保險公司想了解汽車擋風玻璃破碎的概率，公司收集了20000部汽車，時間從某年的5月1日到下一年的5月1日，共發(fā)現(xiàn)有600部汽車的擋風玻璃破碎，則一部汽車在一年時間里擋風玻璃破碎的概率近似為.【答案】0.03【解析】在一年里汽車的擋風玻璃破碎的頻率為eq\f(600,20000)＝0.03，所以估計其破碎的概率約為0.03．故答案為：0.03.類型三、古典概型【例1】下列試驗是古典概型的為．①從6名同學中選出4人參加數(shù)學競賽，每人被選中的可能性大?。虎谕瑫r擲兩枚骰子，點數(shù)和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．【答案】①②④【解析】因為古典概型需要滿足基本事件是有限個，且每個基本事件的概率相等，據(jù)此①②④均符合要求，③不滿足等可能的要求，因為降雨受多方面因素影響.故答案為：①②④.【變式1】從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.故選：C.【變式2】天河英才秋季運動會三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”這三個圖案的卡片（卡片的形狀?大小和質(zhì)地完全相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設三張卡片“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”依次記為,若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則基本事件為：共9種，則其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的基本事件為：共2種，所有所求概率為.故選：C.類型四、概率的簡單性質(zhì)【例1】從裝有十個紅球和十個白球的罐子里任取2球，下列情況中不是互斥的兩個事件是（

）A．至少有一個紅球；至少有一個白球B．恰有一個紅球；都是白球C．至少有一個紅球；都是白球D．至多有一個紅球；都是紅球【答案】A【解析】對于A，“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球，“至少有一個白球”可能為一個白球、一個紅球，故兩事件可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；對于B，“恰有一個紅球”，則另一個必是白球，與“都是白球”是互斥事件；對于C，“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是互斥事件；對于D，“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是互斥事件．故選：A.【例2】甲、乙兩人下棋，和棋的概率為50%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則乙不輸?shù)母怕蕿開_____．【答案】【解析】由題意，甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，甲不輸?shù)母怕蕿?，可得乙贏棋的概率為，所以乙不輸?shù)母怕蕿?故答案為：.【變式1】從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為互斥事件的是（

）A．至多有1個白球；都是紅球 B．至少有1個白球；至少有1個紅球C．恰好有1個白球；都是紅球 D．至多有1個白球；至多有1個紅球【答案】C【解析】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯誤；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件.故B錯誤；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯誤；對于D：“至多有1個紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個白球”與“至多有1個紅球”不是互斥事件.故D錯誤.故選：C.【變式2】口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.2 B．0.28C．0.52 D．0.8【答案】A【解析】口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1球，摸到紅球，摸到黑球，摸到白球這三個事件是互斥的，因為摸出紅球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，所以摸出黑球的概率是1－0.52－0.28＝0.2.故選：A．類型五、抽樣方法【例1】下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是()A．從無數(shù)個個體中抽取10個個體作為樣本B．從含有50個個體的總體里一次性抽取5個個體作為樣本C．某班有40名同學，指定個子最高的5名同學參加籃球比賽D．一彩民從裝有30個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽取7個號簽【答案】D【解析】A錯，簡單隨機抽樣中，總體中的個體數(shù)不能是無限的；B錯，簡單隨機抽樣的定義的要求是“逐個抽取”，不能“一次性”抽??；C錯，指定5人參賽，每個個體被抽到的機會不均等，不是簡單隨機抽樣；D對，符合簡單隨機抽樣的定義和特征．故選：D.【例2】有20位同學，編號從1至20，現(xiàn)在從中抽取4人做問卷調(diào)查，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號可能為()A．5,10,15,20 B．2,6,10,14C．2,4,6,8 D．5,8,11,14【答案】A【解析】本題考查系統(tǒng)抽樣的具體實施過程．系統(tǒng)抽樣采用的是等距離抽樣方法，由題意知，間隔為eq\f(20,4)＝5，故選：A．【例3】交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12、21、25、43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()A．101 B．808C．1212 D．2012【答案】B【解析】由題意得，eq\f(96,N)＝eq\f(12,12＋21＋25＋43)，解得N＝808．故選：B.【變式1】為了了解全校240名學生的身高情況，從中抽取40名學生進行測量，下列說法正確的是()A．總體是240 B．個體是每一名學生C．樣本是40名學生 D．樣本容量是40【答案】D【解析】因為要了解的是學生身高情況，所以A，B，C錯，樣本容量是40.故選：D．【變式2】某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A．11 B．12C．13 D．14【答案】B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的等可能性可知，每人入選的可能性都是eq\f(42,840)，由題設可知區(qū)間[481,720]的人數(shù)為240，所以編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為：eq\f(42,840)×240＝12．故選：B.【變式3】某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、肉食品類、果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A．4 B．5C．6 D．7【答案】C【解析】四類食品的比例為4∶1∶3∶2，則抽取的植物油類的數(shù)量為20×eq\f(1,10)＝2，抽取的果蔬類的數(shù)量為20×eq\f(2,10)＝4，二者之和為6.故選：C．類型六、統(tǒng)計圖表【例1】有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)在[8,10)內(nèi)的頻數(shù)為()A．38 B．57C．76 D．95【答案】C【解析】樣本數(shù)據(jù)在[8,10)外的頻率為(0.02＋0.05＋0.09＋0.15)×2＝0.62，所以樣本數(shù)據(jù)在[8,10)內(nèi)的頻率為1－0.62＝0.38，所以樣本數(shù)據(jù)在[8,10)內(nèi)的頻數(shù)為0.38×200＝76.故選：C．【變式1】為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組，下圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A．6 B．8C．12 D．18【答案】C【解析】設第一二組的頻率之和為(0.24＋0.16)×1＝0.4，第三組有療效的為x人，由已知得eq\f(0.4,0.36)＝eq\f(20,6＋x)，解得x＝12.