第2.1節(jié) 機械振動 簡諧運動（解析版）

其次章·機械振動第01節(jié)機械振動簡諧運動目目標導航學問要點難易度1．什么是機械振動，簡諧振動2．理解彈簧振子是一種抱負化模型，理解平衡位置和位移3．理解彈簧振子的x-t圖象，依據圖像分析運動變化（s,v,t,a,F）4．會利用簡諧振動的對稱性分析問題5．利用周期性對t做去整取零★★★★★★★★★★知知識精講學問點01機械振動和簡諧振動1．機械振動：物體在平衡位置四周所做的往復運動，簡稱振動。平衡位置：做機械振動物體靜止時的位置．2、機械振動的動力學緣由：物體在回復力作用下做機械振動?；貜土Γ嚎偸侵赶蚱胶馕恢玫牧Α?、簡諧振動①定義：質點在F=-kx的回復力作用下，位移與時間的關系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖象(x-t)是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧振動．②特點：簡諧運動是最簡潔、最基本的振動。彈簧振子，單擺是簡諧振動【例1】（多選）下列運動屬于機械振動的是()A．說話時聲帶的運動B．彈簧振子在豎直方向的上下運動C．體育課上同學進行25米折返跑D．直立于水面上的圓柱形玻璃瓶的上下運動【答案】ABD【解析】聲帶振動產生聲音，A正確；彈簧振子是機械振動，B正確；折返跑不是機械運動，但不是振動，C錯誤；水面波紋是機械振動，D正確。【例2】若某一過程中振子的速率在減小，則此時振子的（）A．速度與位移方向肯定相反 B．加速度與速度方向可能相同C．位移可能在減小 D．回復力肯定在增大【答案】D【解析】速率減小，振子遠離平衡位置，速度和位移同向，A錯誤；加速度和位移反向，B錯誤；位移增大，C錯誤；F=-kx，位移增大，回復力增大，D正確。學問點02彈簧振子及其隨時間變化規(guī)律1．彈簧振子：一根輕質彈簧一端固定，另一端系一質量為m的小球就構成一彈簧振子。是一種抱負模型，其振動是簡諧振動。如圖所示：回復力F＝－kx式中F為回復力，x為離開平衡位置的位移，k是比例常數(shù)。對彈簧振子來說k是彈簧的勁度系數(shù)，式中的負號，表示回復力的方向與位移方向相反。2．彈簧振子的位移—時間（x-t）圖像(1)建立坐標系：以小球的平衡位置為坐標原點，沿著振動方向建立坐標軸．小球在平衡位置右邊時它對平衡位置的位移為正，在左邊時為負．※留意：坐標原點只能取平衡點，但可以取振子在不同位置為0時刻．(2)圖象：橫坐標表示振子振動的時間，縱坐標表示振子相對平衡位置的位移，如下圖所示：(3)外形：正(余)弦曲線．振動圖像規(guī)律：①0-1s，O→A，位移（+）增大，加速度（-）增大，速度（+）減?、?-2s，A→O，位移（+）減小，加速度（-）減小，速度（-）增大③2-3s，O→B，位移（-）增大，加速度（+）增大，速度（-）減小④3-4s，B→O，位移（-）減小，加速度（+）減小，速度（+）增大3．描述振動的物理量振幅：振動質點離開平衡位置的最大距離，標量。（物理意義：描述振動的強弱）上圖中A=2cm周期：振動質點完成一次全振動所需時間。（物理意義：描述振動的快慢）上圖中T=4s頻率：1秒內全振動的次數(shù)，f=1/T（物理意義：描述振動的快慢；單位：赫茲）上圖中f=0.25s-14．簡諧振動圖象解讀(1)可直接讀出振幅A，周期T。間接計算路程：1/4T通過的路程=A。(2)振子在某一時刻相對于平衡位置的位移x大小和方向。(3)依據圖像的斜率推斷速度v的方向，增大或減小變化趨勢。(4)依據F=-kx間接推斷受到回復力的大小，方向，從而進一步推斷加速度的變化。(5)對稱性：速度大小，加速度大小，回復力大小，時間對平衡點具有對稱性。5．能量轉化：簡諧振動是振子動能和彈簧勢能之間的轉換平衡位置動能最大，彈簧彈性勢能=0；最大位移處動能=0，彈簧彈性勢能最大?！纠?】如圖甲所示，一彈簧振子在A、B之間做簡諧運動，O點為振子靜止的位置，其振動圖象如圖乙所示，規(guī)定向右的方向為正方向，試依據圖象分析以下問題：(1)在t＝0時刻，振子所處的位置為________，正在向________(選填“左”或“右”)方向運動．(2)A、B兩點間的距離為________cm.(3)在乙圖中，振子在t＝1s、t＝2s和t＝3s時所處的位置依次是________、________和________．(4)在t＝2s時，振子速度的方向與t＝0時速度的方向________．(5)質點在前4s內的位移等于________cm，其路程為________cm.【答案】(1)O點右(2)6(3)B點O點A點(4)相反(5)012【解析】（1）t=0，依據圖像x=0，可得到振子在O處，下一時刻x>0，所以向B運動（2）AB間距離是2A，所以AB=6cm（3）依據圖像t=1s時，x=3cm，所以在B點；t=2s時，x=0，所以在O點；t=3s時，x=-3cm，所以在A點；（4）t=0時，振子向右運動，t=2s時，振子向左運動，所以速度方向相反；（5）t=4s時，x=0，所以位移=0，路程為4個振幅，即12cm?！纠?】如圖甲所示，彈簧振子以點O為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動．取向右為正方向，振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是()A．t＝0.4s時，振子的速度方向向右B．t＝0.8s時，振子在O點和B點之間C．t＝0.6s和t＝1.2s時刻，振子的速度完全相同D．t＝1.5s到t＝1.8s的時間內，振子的加速度漸漸減小【答案】D【解析】t=0.4s，振子從B向O運動，速度方向向左，A錯誤；t=0.8s，振子在O和A之間，B錯誤；t＝0.6s，振子速度向左，t＝1.2s，振子的速度向右，C錯誤；t＝1.5s到t＝1.8s的時間內，振子從B向O運動，位移減小，回復力減小，加速度減小，D正確。學問點03簡諧運動的函數(shù)表達式及圖像簡諧運動的一般表達式為x＝Asin(ωt＋φ)．1．x表示離開平衡位置的位移，A表示簡諧運動的振幅，表示振動的強弱．2．式中ω叫做“圓頻率”，它與周期頻率的關系為ω＝eq\f(2π,T)＝2πf.可見ω、T、f相當于一個量，描述的都是振動的快慢．簡諧運動的表達式也可寫成：x＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋φ))或x＝Asin(2πft＋φ)．3．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性運動的物體在各個不同時刻所處的不同狀態(tài)，是描述不同振動的振動步調的物理量．它是一個隨時間變化的量，相當于一個角度，單位為弧度，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動．4．式中φ表示t＝0時簡諧運動質點所處的狀態(tài)，稱為初相位或初相．5．相位差：即某一時刻的相位之差兩個具有相同ω．的簡諧運動，設其初相分別為φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.【例5】有一彈簧振子在水平方向上的B、C之間做簡諧運動，已知B、C間的距離為20cm，振子在2s內完成了10次全振動．若從某時刻振子經過平衡位置時開頭計時(t＝0)，經過eq\f(1,4)周期振子有負向最大位移．(1)求該振子的振幅和周期；(2)畫出該振子的位移—時間圖象；(3)寫出該振子的振動方程．【答案】(1)10cm0.2s(2)圖見解析(3)x＝10sin(10πt＋π)cm【解析】(1)彈簧振子在B、C之間做簡諧運動，故振幅A＝10cm，振子在2s內完成了10次全振動，振子的周期T＝eq\f(t,n)＝0.2s.(2)振子從平衡位置開頭計時，故t＝0時刻，位移是零，經eq\f(1,4)周期振子的位移為負向最大，故其位移—時間圖象如圖所示．(3)由函數(shù)圖象可知振子的位移與時間函數(shù)關系式為：x＝10sin(10πt＋π)cm.考點考點題型考點01簡諧振動的規(guī)律【例6】(多選)如圖所示，一彈簧振子做簡諧運動，下列說法正確的是()A．若位移為負值，則加速度肯定為正值B．振子通過平衡位置時，速度為零，位移最大C．振子每次通過平衡位置時，位移相同，速度也肯定相同D．振子每次通過同一位置時，其速度不肯定相同，但位移肯定相同【答案】AD【解析】F=-kx，位移為負值，振子在平衡點左側，回復力為正，A正確；振子通過平衡位置時位移為0，速度最大，B錯誤，D正確；振子通過平衡位置時，位移為0相同，但速度方向可能不同，C錯誤；【例7】(多選)如圖所示的彈簧振子，O點為它的平衡位置，關于振子的運動，下列說法正確的是（）A．振子從A點運動到C點時位移大小為OC，方向向右B．振子從C點運動到A點時位移大小為CA，方向向右C．振子從A點運動到C點的過程中，速度在增大，加速度在減小D．振子從A點運動到O點的過程中，速度先增大后減小，加速度先減小后增大【答案】AC【解析】位移定義為從平衡位置指向振子位置，所以運動到C點，位移為OC，方向向右，A正確；去整取零。t=1.36-1.2=0.16s，振子在其次個1/4周期，向左加速，C正確。考點02簡諧振動圖像問題【例8】某彈簧振子的振動圖象如圖所示。依據圖象推斷，下列說法正確的是A．第1s內振子相對于平衡位置的位移與速度方向相反B．第2s末振子相對于平衡位置的位移為－20cmC．第2s末和第3s末振子相對于平衡位置的位移不相同，但瞬時速度方向相反D．第1s內和第2s內振子相對于平衡位置的位移方向相同，瞬時速度方向相反【答案】D【解析】第1s內位移為正，速度為正，方向相同，A錯誤；第2s末位移為0，B錯誤；第2s末速度方向為負，第3s末位移為-20cm，速度為0，C錯誤；第1s內位移為正，速度為正，第2s內位移為正，速度為負，所以位移方向相同，速度方向相反，D正確?！纠?】（多選）將某彈簧振子從平衡位置拉開4cm后放開，同時開頭計時，彈簧振子的振動圖像如圖所示，則在t＝0.15s時()A．振子正在做加速度減小的加速運動 B．振子正在做加速度增大的減速運動C．振子速度方向沿x軸正方向 D．振子的位移肯定大于2cm【答案】BD【解析】由于振子在0.1－0.2s內做減速運動，所以振子在0.1－0.15s內運動的速度大于在0.15－0.2s內運動的速度，故在t＝0.15s時振子的位移肯定大于2cm，選項D正確．考點03依據簡諧振動的對稱性求時間【簡諧運動的對稱性】如圖所示，物體在A與B間運動，O點為平衡位置，C和D兩點關于O點對稱，則有：(1)時間的對稱：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA.(2)速度的對稱①物體連續(xù)兩次經過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反．②物體經過關于O點對稱的兩點(如C與D兩點)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．【例10】如圖所示，一個做簡諧運動的質點，先后以同樣的速度通過相距10cm的A、B兩點，歷時0.5s，過B點后再經過t＝0.5s，質點以大小相等、方向相反的速度再次通過B點，則質點從離開O點到再次回到O點歷時(O點為AB的中點)()A．0.5sB．1.0sC．2.0sD．4.0s【答案】B【解析】由振動的對稱性可知：O點為平衡位置，A、B兩點對稱分布在O點兩側，質點從O點向右運動到B點的時間應為tOB＝eq\f(1,2)×0.5s＝0.25s．質點從B點向右到達最大位移處D點的時間tBD＝eq\f(1,2)×0.5s＝0.25s．所以質點從離開O點到再次回到O點的時間t＝2tOD＝2×(0.25＋0.25)s＝1.0s，故正確選項為B.考點04簡諧振動的多解問題【例11】一個質點在平衡位置O點四周做簡諧運動。若從過O點開頭計時，經過5s小球第一次經過M點，再連續(xù)運動，又經過2s它其次次經過M點。該小球做簡諧運動的周期可能是多少?【答案】28s,8s【解析】假設質點從O向A運動，M在OA之間，則5+1=6s=1/4周期,T=24s。假設M在OB之間，則5+1=6s=3/4周期,T=8s。方法總方法總結1，簡諧振動圖像關于平衡點具有對稱性。2，求t時刻的運動狀態(tài)，對周期T去整取零。鞏鞏固練習1．(多選)關于機械振動的位移和平衡位置，以下說法中正確的是()A．做機械振動的物體必有一個平衡位置B．機械振動的位移總是以平衡位置為起點的位移C．機械振動的物體運動的路程越大，發(fā)生的位移也越大D．機械振動的位移是指振動物體偏離平衡位置最遠時的位移【答案】AB【解析】AB符合機械振動的定義，AB正確；在平衡位置時位移為0，但路程不肯定為0，C錯誤；振子位移是振子位置相對于平衡位置的位移，隨時間而變化，不是固定值，D錯誤。2、（多選）簡諧振動的特點是（）A．回復力跟位移成正比且方向相反 B．速度跟位移成正比且方向相反C．加速度跟位移成正比且方向相反 D．加速度跟位移成正比且方向相同【答案】AC【解析】F=-kx，所以A正確；過平衡點時位移為0，速度最大，所以速度和位移不成正比，B錯誤；加速度和回復力成正比，F(xiàn)=-kx，C正確，D錯誤。3．(多選)彈簧振子以O點為平衡位置，在水平方向上的A、B兩點間做簡諧運動，以下說法正確的是()A．振子在A、B兩點時的速度為零，位移不為零B．振子在通過O點時速度的方向將發(fā)生轉變C．振子所受的彈力方向總跟速度方向相反D．振子離開O點的運動總是減速運動，靠近O點的運動總是加速運動【答案】AD【解析】振子在A時位移為負，在B時位移為正，瞬時速度都為0，A正確；通過O點速度方向不變，B錯誤；振子所受彈力和位移反向，不是和速度方向，比如從A向O運動時，速度和彈力同向，C錯誤；離開O時加速度方向和位移反向，所以減速，D正確。4．如圖是用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移—時間圖像，下列有關該圖像的說法不正確的是()A．該圖像的坐標原點是建立在彈簧振子小球的平衡位置B．從圖像可以看出小球在振動過程中是沿垂直x軸方向移動的C．為了顯示小球在不同時刻偏離平衡位置的位移，讓底片沿垂直x軸方向勻速運動D．圖像中小球的疏密顯示出相同時間內小球位置變化快慢不同【答案】B【解析】原點O處位移為0，所以原點在平衡位置，A正確；小球沿x方向振動，B錯誤；假如底片不動，拍攝的小球位置會重疊在一起，所以底片沿x軸勻速運動，C正確；拍攝時間相等，位置變化大，表示速度大，即位置變化快，D正確。5．如圖甲所示為一彈簧振子的振動圖象，規(guī)定向右的方向為正方向，圖乙為彈簧振子的示意圖，彈簧振子在F、G之間運動，E是振動的平衡位置，試依據圖象分析以下問題：(1)如圖乙所示，振子振動的起始位置是______(選填“E”“F”或“G”)，從初始位置開頭，振子向______(選填“左”或“右”)運動。(2)在圖乙中，找出圖象中的A、B、C、D點各對應振動過程中的哪個位置？A對應______，B對應_______，C對應_______，D對應_______。(3)在t＝2s時，振子的速度方向與t＝0時速度方向________(選填“相同”或“相反”)。(4)振子在前4s內的位移等于________?！敬鸢浮?1)E右(2)GEFE(3)相反(4)0【解析】（1）t=0時，位移為0，所以位置為E，位移增大，所以向右運動。（2）由圖像可知，A，B，C，D對應于G，E，F(xiàn)，E。（3）t=0時，速度為正，t=2s時，速度為負，所以反向相反。（4）T=4s，所以任意4s內位移為0。6．A、B兩物體做簡諧運動，在A物體振動20次的時間內，B物體振動15次，A、B兩物體振動的周期之比為_______，頻率之比為_______，若要求A、B都振動20次，需要的時間之比為_______?！敬鸢浮?:4；4:3；3:4【解析】TA=t/20,TB=t/15，所以TA:TB=3:4;f=1/T，所以頻率之比為4:3;都振動20次，所需時間之比為周期之比=3:4。7．如圖甲所示，水平的光滑桿上有一彈簧振子，振子以O點為平衡位置，在a、b兩點之間做簡諧運動，其振動圖像如圖乙所示．由振動圖像可以得知（）A．振子的振動周期等于t1B．在時刻，振子的位置在a點C．在時刻，振子的速度為零D．從t1到t2，振子正從O點向b點運動【答案】D【解析】從t1到t2，位移從0增大到最大值，所以從O運動到b，D正確。8．(多選)如圖所示為質點P在0～4s內的振動圖象，下列敘述正確的是()A．再過1s，該質點的位移是正向最大 B．再過1s，該質點的速度方向向上C．再過1s，該質點運動到平衡位置 D．再過1s，該質點的速度為零【答案】AD【解析】T=4s,t=4s時，質點在平衡位置，再過1s，即1/4周期，質點到達最大位移處，速度為0，所以AD正確。9．如圖所示為某物體做簡諧運動的圖像，下列說法中正確的是()A．由P→Q位移在增大 B．由P→Q速度在增大C．由M→N速度是先減小后增大D．由M→N位移始終減小【答案】A【解析】從P到Q位移增大，速度減小，所以A正確，B錯誤；從M到N速度先增大后減小，位移先減小后增大，所以CD錯誤。10．(多選)一個質點以O為中心做簡諧運動，位移隨時間變化的圖象如圖，a、b、c、d表示質點在不同時刻的相應位置.下列說法正確的是()A.質點通過位置c時速度最大，加速度為零B.質點通過位置b時，相對平衡位置的位移為eq\f(A,2)C.質點從位置a到位置c和從位置b到位置d所用時間相等D.質點從位置a到位置b和從位置b到位置c的平均速度相等【答案】AC【解析】過平衡位置時速度最大，位移為0，回復力為0，加速度為0，A正確；從a到c速度漸漸增大，所以從a到b時間為其一半，位移小于振幅一般，B錯誤；從a到c為1/4周期，從b到d也是1/4周期，所用時間相等，C正確；從a到b的平均速度小于從b到c的平均速度，D錯誤。11．做簡諧振動的物體，當振子位移為負值時（）A．速度不肯定為正，加速度肯定為正 B．速度肯定為正，加速度肯定為負C．速度肯定為負，加速度肯定為正 D．速度肯定為負，加速度也肯定為負【答案】A【解析】F=-kx，所以位移為負時，加速度肯定為正，遠離平衡位置時速度為正，靠近平衡位置時速度為負，即速度可能為正，也可能為負，所以A正確。12．一個質點做簡諧運動，振幅是4cm，頻率是2.5Hz，該質點從平衡位置起向正方向運動，經過2.5s質點的位移和路程分別是（）A．4cm，24cm B．－4cm，100cm C．0，100cm D．4cm，100cm【答案】D【解析】去整取零。T=1/f=0.4s,去整取零再過2.5s，即等同于再過0.1s，即1/4周期，所以位移為最大，x=4cm。1/4周期路程為A，所以路程為2.5/0.1×4=100cm。13．某質點的振動圖像如圖，則下列說法正確的是（）A．該質點振動的周期是2sB．在1～2s內質點做初速度為零的變加速運動C．在1.5s和2.5s末，質點的速度相同，加速度相同D．在2.5s和3.5s末，質點的位移相同，速度相同【答案】B【解析】振動周期T=4s，所以A錯誤；t=1s是振子在最大位移，速度為0，1～2s內加速度漸漸減小，所以做變加速運動，B正確；t=1.5s和2.5s末，由對稱性可知，速度相等，但加速度反向，C錯誤；在2.5s和3.5s末，質點的位移相同，速度反向，D錯誤。14．如圖是甲、乙兩質量相等的振子做簡諧振動的圖像，則（）A．在1－3s內，甲走過的路程是4cm，乙走過的路程是1cmB．甲的最大速度和乙的最大速度大小相等C．前2s內甲、乙兩振子的加速度均為正值D．第2s末甲的速度最大，乙的加速度最大【答案】D【解析】在1－3s內，甲走過的路程是3A=6cm，所以A錯誤；速度用斜率推斷，在平衡位置時，甲和乙的斜率不同，所以速度不同，B錯誤；前2s內甲乙的位移為正，所以加速度均為負，C錯誤；第2s末甲的位移為0，所以速度最大，乙的位移最大，所以加速度最大，D正確。15．如圖甲所示，一彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O為平衡位置。如圖乙所示是振子做簡諧運動的位移—時間圖象。下面四個圖象中：（1）能正確反映振子加速度變化狀況的是 （）（2）能反映振子速度變化狀況的是 （）【答案】（1）C（2）A【解析】F=-kx，振子加速度變化圖像為C。在O點速度最大，且為正，所以速度圖像為A。16．如圖所示為一個彈簧振子做簡諧振動的圖像，以某時刻為計時零點（t＝0），經過1/4周期時，振子具有正方向最大加速度，則其振動圖像是（）【答案】D【解析】F=-kx，振子具有正方向最大加速度時，振子位移為負向最大值，D圖像表示再過1/4周期到達負向最大值，符合條件，所以D正確。17.一個彈簧振子的振動周期為0.4s，當振子從平衡位置開頭向右運動，經過1.36s時（ ）A．振子向右做加速運動 B．振子向右做減速運動C．振子向左做加速運動 D．振子向左做減速運動【答案】C【解析】去整取零。t=1.36-1.2=0.16s，振子在其次個1/4周期，向左加速，C正確。18.一個質點做簡諧運動的圖像如圖所示，下列敘述中正確的是()A．質點的振動頻率為4HzB．在10s內質點經過的路程為20cmC．在5s末，質點做簡諧運動的相位為eq\f(3,2)πD．t＝1.5s和t＝4.5