4.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

4.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征高二數(shù)學(xué)選修2一、復(fù)習(xí)回顧1、離散型隨機(jī)變量的分布列

X············2、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．復(fù)習(xí)引入

對于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學(xué)成績的方差。我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機(jī)變量的某個方面的特征，最常用的有期望與方差.二、互動探索1、某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）設(shè)他所得環(huán)數(shù)為X,求X的分布列(2)求他所得的平均環(huán)數(shù)是多少？（1）環(huán)數(shù)為X的可能所取的值為什么，1，2，3，4，其分布列X1234P權(quán)數(shù)加權(quán)平均1、某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）設(shè)他所得環(huán)數(shù)為X,求X的分布列(2)求他所得的平均環(huán)數(shù)是多少？一、離散型隨機(jī)變量取值的平均值數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?、隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)則Eξ=.

2、隨機(jī)變量ξ的分布列是2.4ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,則a=

b=

.0.40.1則

P(Y)=P(aX+b)=P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…

……

pn

……

p2

p1

P

……

axn+b

……

ax2+b

ax1+b

Y(2)E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn若Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，X為隨機(jī)變量;(1)寫出隨機(jī)變量Y的分布列；(2)求Y的均值。解:(1)由題意,知Y也為隨機(jī)變量,所以，Y的分布列為：=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn)=aE(X)+b即E(aX+b)=aE(X)+b例1籃球比賽中,罰球命中一次得1分，不中得0分，如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球1次的得分X的均值是多少解:于是有若X服從二點(diǎn)分布，一般地，如果隨機(jī)變量X服從二點(diǎn)分布，那么E(X)=1×p+0×(1-p)=p則E(X)=p.若X~B(n,p)若X服從二項分布，則E(X)=nP。歸納求離散型隨機(jī)變量的均值(期望)的步驟：①、確定離散型隨機(jī)變量可能的取值。②、寫出分布列，并檢查分布列的正確與否。③、求出均值(期望)。1：甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)X1，X2分布列如下：從以數(shù)據(jù)你能否說明誰的射擊水平高？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中平均得分差別不會很大，2.有場賭博，規(guī)則如下：如擲一個骰子，出現(xiàn)1，你贏10元；出現(xiàn)2或3或4，你輸3元；出現(xiàn)5或6，不輸不贏．這場賭博對你是否有利對你不利!勸君莫參加賭博.X10-30P3、某商場要將單價分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？X182436P解：把3種糖果的價格看成隨機(jī)變量的概率分布列：不一定,其含義是在多次類似的測試中,他的平均成績大約是90分例2.一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成,每個選擇題有4個選項,其中有且僅有一個選項正確,每題選對得5分,不選或選錯不得分,滿分100分.學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機(jī)地選擇一個.求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗中的成績的均值.解:設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗中選擇正確的選擇題個數(shù)分別是ξ和η,則ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答對每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗中的成績分別是5ξ和5η.這樣，他們在測驗中的成績的期望分別是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:學(xué)生甲在這次測試中的成績一定會是90分嗎他的均值為90分的含義是什么例3.根據(jù)氣象預(yù)報,某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備,遇到大洪水時要損失60000元,遇到小洪水時要損失10000元.為保護(hù)設(shè)備,有以下3種方案:方案1:運(yùn)走設(shè)備,搬運(yùn)費(fèi)3800元;方案2:建保護(hù)圍墻,建設(shè)費(fèi)為2000元.但圍墻只能防小洪水.方案3:不采取措施.試比較哪一種方案好

解:用X1,X2和X3分別表示三種方案的損失采用第1種方案,無論有無洪水,都損失3800元,即X1=3800采用第2種方案,遇到大洪水時,損失2000+60000=62000元;

沒有大洪水時,損失2000元,即于是,E(X2)=62000×P(X2=62000)+2000×P(X2=2000)E(X1)=3800,E(X3)=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)采用第3種方案,有方案3:不采取措施.

=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600=60000×0.01+10000×0.25=3100顯然,采取方案2的損失最小,所以可以選擇方案2.離散型隨機(jī)變量的方差要從兩名同學(xué)中挑選出一名，代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列為P56789100.030.090.200.310.270.10第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列為P567890.010.050.200.410.33請問應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽？發(fā)現(xiàn)兩個均值相等因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.

探究

（1）分別畫出的分布列圖.O5671098P0.10.20.30.40.5O56798P0.10.20.30.40.5（2）比較兩個分布列圖形，哪一名同學(xué)的成績更穩(wěn)定？思考？除平均中靶環(huán)數(shù)以外，還有其他刻畫兩名同學(xué)各自射擊特點(diǎn)的指標(biāo)嗎？第二名同學(xué)的成績更穩(wěn)定.思考？怎樣刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性？一組數(shù)據(jù)的方差：方差反映了這組數(shù)據(jù)的波動情況在一組數(shù)：x1,x2

,…,xn

中，各數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

，則這組數(shù)據(jù)的方差為：類似于這個概念,我們可以定義隨機(jī)變量的方差.

新課

離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差:則稱為隨機(jī)變量x的方差.一般地,若離散型隨機(jī)變量的概率分布列為：············稱為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差.

定義

注意：它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的量,它們的值越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小,即越集中于均值,穩(wěn)定性越大

練習(xí)

1、請分別計算探究中兩名同學(xué)各自的射擊成績的方差.P56789100.030.090.200.310.270.10P567890.010.050.200.410.33因此第一名同學(xué)的射擊成績穩(wěn)定性較差，第二名同學(xué)的射擊成績穩(wěn)定性較好，穩(wěn)定于8環(huán)左右.思考？如果其他班級參賽選手的射擊成績都在9環(huán)左右，本班應(yīng)該派哪一名選手參賽？如果其他班級參賽選手的成績在7環(huán)左右，又應(yīng)該派哪一名選手參賽？隨機(jī)變量X的方差與X可能取值的方差相同嗎?理解概念方差不同于相應(yīng)數(shù)值的方差可能取值的方差為X8912P隨機(jī)變量X的方差與X可能取值的方差何時相等?X8912P可能取值的方差為?隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何區(qū)別和聯(lián)系課本P66①隨機(jī)變量的方差是常數(shù),樣本的方差是隨機(jī)變量;②對于簡單隨機(jī)樣本,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來越接近于總體方差，因此常用樣本方差來估計總體方差樣本離散型隨機(jī)變量均值公式意義方差或標(biāo)準(zhǔn)差公式意義隨著不同樣本值的變化而變化是一個常數(shù)隨著不同樣本值的變化而變化，反映數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的平均程度，方差越小，偏離程度越小.是一個常數(shù)，反映隨變量取值偏離均值的平均程度，方差越小，偏離程度越小.

1.已知隨機(jī)變量X的分布列X01P0.30.7求DX.解：2.若隨機(jī)變量X

滿足P（X＝c）＝1，其中c為常數(shù)，求EX和DX.EX＝c×1＝cDX＝（c－c）2×1＝0

練習(xí)

小結(jié)：(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則（2）若，則解：結(jié)論1：則;結(jié)論2：若ξ~B(n，p)，則Eξ=np.可以證明,對于方差有下面三個重要性質(zhì)：

結(jié)論

結(jié)論2：若ξ服從兩點(diǎn)分布，則Eξ=np.（2）若X服從兩點(diǎn)分布，則（3）若，則例如：已知某離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下，則a＝______，數(shù)學(xué)均值(期望)Eξ＝______，方差Dξ＝________.2.一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么DX＝__________.3．一般地：隨機(jī)變量η與隨機(jī)變量ξ滿足關(guān)系η＝aξ＋b，其中a，b為常數(shù)，則Dη＝______________.ξ012Pa0.20.4n＝6

p＝0.40.410.8p(1－p)a2Dξ4．若ξ～B(n，p)，則Dξ＝________.例如：設(shè)ξ～B(n，p)，且Eξ＝2.4，Dξ＝1.44，求n，p.np(1－p)

例題

例1．隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點(diǎn)數(shù)X的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.課本P66例4解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)X的