廣東省揭陽市數(shù)學(xué)初三上學(xué)期試卷及答案解析

廣東省揭陽市數(shù)學(xué)初三上學(xué)期試卷及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、下列運(yùn)算正確的是()A.a2?C.a2+A.根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，有am所以a2B.根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，有am所以a6÷aC.a2和a所以a2+aD.根據(jù)冪的乘方法則，有am所以a32=綜上，只有A選項(xiàng)是正確的。2、在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示?3和15?3，則線段A.152B.15C.15?232D.15?根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，線段AB的中點(diǎn)M所表示的數(shù)為：M=A+B2=3、下列計(jì)算正確的是()A.a2?a4=aA.根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，有am所以a2B.根據(jù)冪的乘方法則，有am所以a32=C.根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，有am所以a6÷aD.a2和a所以a2+a綜上，只有A選項(xiàng)是正確的。4、已知a=√3-2，b=2-√3，則a與b的關(guān)系是()A.a=bB.a>bC.a<bD.無法確定答案：A解析：首先，我們觀察給定的兩個(gè)數(shù)a=3?為了判斷它們之間的關(guān)系，我們可以嘗試將其中一個(gè)數(shù)變形為另一個(gè)數(shù)的形式?？紤]b，我們可以將其寫為：b=2?3a=?b但這里需要注意，題目中的b是2?3，而不是?故答案為：A.a=5、下列計(jì)算正確的是()A.16=±C.a+b答案：D解析：A.根據(jù)算術(shù)平方根的定義，16=4，而不是B.根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，am÷an=C.根據(jù)完全平方公式，a+b2D.根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，am?an=6、下列命題是真命題的是()A.如果a=b，那么C.相等的角是對(duì)頂角D.無理數(shù)都是無限小數(shù)答案：A；D解析：A.如果a=b，那么B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形。這個(gè)命題是錯(cuò)誤的，因?yàn)槌司匦?，等腰梯形的?duì)角線也是相等的。所以B是假命題。C.相等的角是對(duì)頂角。這個(gè)命題也是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄嗟鹊慕遣灰欢ㄊ菍?duì)頂角，它們也可以是其他關(guān)系（如同位角、內(nèi)錯(cuò)角等）。所以C是假命題。D.無理數(shù)都是無限小數(shù)。這個(gè)命題是正確的，因?yàn)闊o理數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的比，且其小數(shù)部分是無限不循環(huán)的。所以D是真命題。綜上，真命題是A和D。但題目只要求選出一個(gè)，這里我們按照題目原始要求（可能是一個(gè)印刷錯(cuò)誤或理解錯(cuò)誤），只選擇第一個(gè)真命題A作為答案。不過，從數(shù)學(xué)邏輯上講，D也是真命題。7、下列說法中，正確的是()A.射線AB與射線BA是同一條射線B.兩條射線組成的圖形叫做角C.兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短D.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等A.射線AB與射線BA的起點(diǎn)和延伸方向都不同，所以它們不是同一條射線。故A選項(xiàng)錯(cuò)誤。B.角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形。但題目中只提到了“兩條射線”，沒有明確它們有公共端點(diǎn)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤。C.根據(jù)線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段是最短的。故C選項(xiàng)正確。D.兩條直線被第三條直線所截，只有當(dāng)兩條直線平行時(shí)，同位角才相等。但題目中沒有明確兩條直線平行，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤。故答案為：C。8、下列計(jì)算正確的是()A.a2?C.a32A.根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，有am所以a2B.根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，有am所以a6÷aC.根據(jù)冪的乘方法則，有am所以a32=D.根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，有a?n=所以2a?2故答案為：A。9、下列計(jì)算正確的是()A.a2?C.a32A.根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，有am所以a2B.根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，有am所以a6÷aC.根據(jù)冪的乘方法則，有am所以a32=D.根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，有a?n=所以2a?2故答案為：A。10、計(jì)算：(-2a)^2a^3的結(jié)果是_______．A.4a^5B.4a^6C.-4a^5D.-4a^6

首先計(jì)算?2?2a2=4a2×a二、填空題（本大題有5小題，每小題3分，共15分）1、下列計(jì)算正確的是()A.2a2C.a+bA.對(duì)于2a2?2a2?aB.對(duì)于a6÷aa6÷a2C.對(duì)于a+b2a+b2=D.對(duì)于a2?aa2?a4故答案為：D。2、若扇形的圓心角為45?°，半徑為3，則該扇形的弧長為____．

設(shè)扇形的弧長為根據(jù)弧長公式，弧長l與圓心角n和半徑r的關(guān)系為：l=nπr180l=45π×3、已知一組數(shù)據(jù)：1，3，2，5，4，則這組數(shù)據(jù)的極差是____．

首先，找出這組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值。最大值：5最小值：1根據(jù)極差的定義，極差=最大值-最小值。所以，極差=5?故答案為：4。4、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,-3)到原點(diǎn)O的距離是_______．答案：13解析：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)Px1,y1到點(diǎn)Qx2,y25、若關(guān)于x的方程x2+2x+答案：k解析：對(duì)于一元二次方程ax2+對(duì)于方程x2+2要求方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式必須大于0，即

Δ=22?4三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題題目：在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B。(1)求證:△ADF∽△DEC；(2)若AB=4，AD=3，AF=2，求AE的長。答案：(1)我們可以按照以下步驟來證明△ADF∽△DEC：第一步，由于ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，我們知道AD∥BC，所以∠ADF=∠DEC（內(nèi)錯(cuò)角）。第二步，已知∠AFE=∠B，且∠AFE和∠DFC是對(duì)頂角，所以∠DFC=∠AFE=∠B。第三步，根據(jù)三角形的相似性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)三角形有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的角相等時(shí)，這兩個(gè)三角形相似。所以，△ADF∽△DEC。(2)我們可以按照以下步驟來求AE的長：第一步，由于△ADF∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，我們有AFDE=A第二步，在直角三角形ABE中，我們可以使用勾股定理來求AE。設(shè)AE為x，則BE為BC?EC。由于ABCD是平行四邊形，且AE⊥BC，所以EC=AD=3（平行四邊形的對(duì)邊相等）。因此，BE=BC?綜上，AE的長為15。解析：本題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用。在證明△ADF∽△DEC時(shí)，我們主要利用了平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)以及相似三角形的判定條件。在求解AE的長時(shí)，我們則利用了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)以及勾股定理。這些知識(shí)點(diǎn)都是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，需要同學(xué)們熟練掌握并靈活運(yùn)用。第二題題目：在平行四邊形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠B=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)。當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥CD？（2）設(shè)△CPQ的面積為Scm2，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。答案：（1）解：由于PQ⊥CD，且ABCD是平行四邊形，所以∠B=∠D=60°。又因?yàn)镻Q⊥CD，所以∠CPQ=30°。在直角三角形CPQ中，利用30°-60°-90°三角形的性質(zhì)，有CQ=1/2×CP。由題意知，CQ=2t，CP=BC-BP=8-t。代入得：2t=1/2×(8-t)，解得t=8/5秒。（2）解：過點(diǎn)P作PM⊥CD于點(diǎn)M，則PM=AB×sin60°=6×√3/2=3√3cm。由題意知，CQ=2t，所以CM=CQ×cos60°=t。因此，QM=CQ-CM=2t-t=t。所以，△CPQ的面積S=1/2×QM×PM=1/2×t×3√3=3√3/2×t。由于0≤t≤6（因?yàn)锳B的長度是6cm，P點(diǎn)需要6秒才能到達(dá)B點(diǎn)），所以S的最大值出現(xiàn)在t=6時(shí)，即S_max=3√3/2×6=9√3cm2。解析：（1）此題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及解一元一次方程的能力。通過利用PQ⊥CD這一條件，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，我們可以得到∠CPQ的度數(shù)，進(jìn)而利用30°-60°-90°三角形的性質(zhì)求出t的值。（2）此題主要考察了三角形的面積公式以及一次函數(shù)的性質(zhì)。通過作高PM，我們可以將△CPQ的面積轉(zhuǎn)化為底QM和高PM的乘積的一半。然后，利用給定的速度和時(shí)間關(guān)系，我們可以得到QM和PM關(guān)于t的表達(dá)式，進(jìn)而得到S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。最后，通過分析一次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以求出S的最大值。第三題題目：在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=60°。點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4）。（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形？（2）設(shè)△CEF的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。答案：（1）由于四邊形ABEF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，我們有AB=EF。點(diǎn)E從B出發(fā)，沿BC方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，所以BE=2t。點(diǎn)F從C出發(fā)，沿CD方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，但CD與AB平行且相等（因?yàn)锳BCD是平行四邊形），所以CF=t（但這里CF的長度實(shí)際上對(duì)判斷ABEF是否為平行四邊形不直接起作用，因?yàn)镋F并不是直接由CF決定的，而是由BE和BC、AB的關(guān)系決定的）。然而，由于ABCD是平行四邊形，EF可以通過平移AB到與BC平行且等長的位置來得到，即EF=AB=6。因此，當(dāng)BE=AB時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形。即2t=6，解得t=3。（2）對(duì)于△CEF，其底為CF=t，高h(yuǎn)可以通過∠B=60°和BC的長度來計(jì)算。由于BC=8，且∠B=60°，我們可以利用三角函數(shù)或30°-60°-90°直角三角形的性質(zhì)來找到高h(yuǎn)。在這個(gè)直角三角形中，BC是斜邊，BE是較長直角邊（但不是我們需要的那個(gè)），而我們需要找的是垂直于CF的高，它位于以BC為斜邊的另一個(gè)30°-60°-90°直角三角形中。這個(gè)高h(yuǎn)實(shí)際上是BC上從C到垂足的距離，可以表示為BC的sin(60°)倍減去BE的sin(60°)倍，但在這里我們只需要知道h與t無關(guān)，且h=BC×sin(60°)=8×√3/2=4√3（因?yàn)锽E與CF平行，所以它們的高是相同的）。因此，△CEF的面積S=1/2×CF×h=1/2×t×4√3=2√3t。由于0≤t≤4，S隨t的增大而增大。因此，當(dāng)t=4時(shí)，S取得最大值，即S_max=2√3×4=8√3。解析：（1）此題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)以及動(dòng)點(diǎn)問題的解決方法。通過設(shè)定時(shí)間t，我們可以表示出點(diǎn)E和點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)距離，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊相等）來求解t的值。（2）此題還考察了三角形面積的計(jì)算以及函數(shù)關(guān)系的建立。通過找出三角形CEF的底和高，我們可以建立面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并通過分析函數(shù)的單調(diào)性來找出S的最大值。注意，在這里我們并沒有直接使用CF作為底來計(jì)算面積，而是利用了平行四邊形ABCD的性質(zhì)和∠B的度數(shù)來找到高h(yuǎn)。第四題題目：在菱形ABCD中，AB=4，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=3，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，求|PM-PN|的最大值。答案：|PM-PN|的最大值為2。解析：理解題意：菱形ABCD中，AB=4，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，BM=3。需要求的是|PM-PN|的最大值，其中P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)。利用菱形的性質(zhì)：菱形對(duì)角線互相垂直且平分，即AC⊥BD，且AO=OC，BO=OD。由于AB=4，則菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC和BD的長度可以通過勾股定理求出（但本題不需要具體求出）。構(gòu)造三角形并應(yīng)用三角形三邊關(guān)系：延長NO到點(diǎn)Q，使得NQ=NO，連接PQ和CQ。由于NQ=NO且NO是AO的中點(diǎn)，所以NQ=AO/2=ON，從而四邊形APCQ是平行四邊形（對(duì)角線互相平分）。在平行四邊形APCQ中，有PQ=AC，且PQ與BD平行。由于PQ與BD平行，所以∠MPQ=∠MPN，∠NPQ=∠NPM（內(nèi)錯(cuò)角）。在△PMN和△PQN中，由于∠MPQ=∠MPN，∠NPQ=∠NPM，且PQ=PN（平行四邊形對(duì)邊相等），所以△PMN≌△PQN（SAS）。因此，PM=PQ，PN=NQ=NO。所以，|PM-PN|=|PQ-NO|=|QN-NO|=|OQ|。求|OQ|的最大值：由于O是BD的中點(diǎn)，且Q在BD的延長線上，所以|OQ|的最大值出現(xiàn)在Q與菱形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)（不失一般性，假設(shè)Q與D重合）。此時(shí)，|OQ|=OD=BD/2。由于菱形的對(duì)角線互相平分且等長，所以BD的長度可以通過勾股定理由AB和BC的長度求出（但具體值在此題中不重要）。但由于我們只關(guān)心|OQ|的相對(duì)大小，且知道O是BD的中點(diǎn)，所以|OQ|的最大值實(shí)際上是BD的一半減去ON的長度。由于N是AO的中點(diǎn)，且AO是AC的一半（因?yàn)锳C被BD平分），所以O(shè)N=AO/2=AC/4。但由于菱形的對(duì)角線長度關(guān)系，我們可以直接得出當(dāng)Q與D重合時(shí)，|OQ|達(dá)到最大，且此時(shí)|OQ|=BD/2-ON=BD/2-AC/4（雖然AC和BD的具體值未給出，但這不影響我們得出|OQ|是最大值的結(jié)論）。然而，在本題中，我們可以直接通過幾何直觀得出，當(dāng)P移動(dòng)到使PM與BC平行（即P為BD與BC的交點(diǎn)時(shí)），|PM-PN|達(dá)到最大值，此時(shí)|PM-PN|實(shí)際上等于BC的一半（因?yàn)镻N是固定的NO長度，而PM隨P的移動(dòng)而變化，當(dāng)PM最大時(shí)，即PM為BC的垂足時(shí)，|PM-PN|達(dá)到最大）。由于BM=3，且BC是菱形的邊，所以BC=AB=4，因此BC的一半為2，即|PM-PN|的最大值為2。注意：上述解析中關(guān)于|OQ|最大值的直接計(jì)算部分有所簡化，因?yàn)樵趯?shí)際問題中我們并不需要求出BD和AC的具體長度。而是通過幾何直觀和菱形的性質(zhì)直接得出|PM-PN|的最大值。這里主要是為了展示一種更一般化的思路，但在具體解題時(shí)可以更加直接和簡潔。第五題題目：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F。（1）求證：△BED≌△CFD；（2）若AB=10cm，DE=4cm，求△ABC的面積。答案：（1）證明：由于AB=AC（已知），

所以∠B=∠C（等邊對(duì)等角）。又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)（已知），

所以BD=CD（中點(diǎn)的性質(zhì)）。由于DE⊥AB，DF⊥AC（已知），

所以∠BED=∠CFD=90°（垂直的定義）。根據(jù)HL全等條件（直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等），

在△BED和△CFD中，

因?yàn)椤螧ED=∠CFD，∠B=∠C，BD=CD，

所以△BED≌△CFD（AAS）。（2）解：由于△BED≌△CFD（已證），

所以DE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。已知AB=10cm，DE=4cm，

所以S△ABC=S△ABD+S△ACD

=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF

=1/2×10×4+1/2×10×4

=40cm2。解析：（1）此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)。在證明△BED≌△CFD時(shí)，我們利用了等邊對(duì)等角、中點(diǎn)的性質(zhì)以及HL全等條件。首先，由AB=AC得出∠B=∠C，再由D是BC的中點(diǎn)得出BD=CD，最后由DE⊥AB，DF⊥AC得出∠BED=∠CFD=90°，從而根據(jù)HL全等條件證明了△BED≌△CFD。（2）此題還考查了三角形面積的計(jì)算。在求△ABC的面積時(shí)，我們利用了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出DE=DF，然后利用三角形面積的計(jì)算公式S=1/2×底×高，分別求出S△ABD和S△ACD的面積，再相加得到S△ABC的面積。第六題題目：已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)和C(0,-3)。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）求該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案及解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為交點(diǎn)式：y=a(x-1)(x-3)。由于拋物線還經(jīng)過點(diǎn)C(0,-3)，代入得：-3=a(0-1)(0-3)-3=3a

a=-1因此，拋物線的解析式為：y=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3。（2）對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其對(duì)稱軸為x=-。將a=-1，b=4代入得：x=-=2因此，對(duì)稱軸為直線x=2。再將x=2代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x^2+4x-3得：y=-(2)^2+4(2)-3=-4+8-3=1因此，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)。第七題題目：在四邊形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BAD，點(diǎn)E在BC邊上，且AE=EC。求證：△ABE≌△ADC；若∠B=70°，求∠EDC的度數(shù)。答案：證明：由于AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠DAC。又因?yàn)锳B=AD，且AE為公共邊，

在△ABE和△ADC中，我們有：AB=AD,

∠BAC=∠DAC,

AE=AE（公共邊），

根據(jù)SAS全等條件，△ABE≌△ADC。求解：由于△ABE≌△ADC，所以∠B=∠ADC。已知∠B=70°，所以∠ADC=70°。又因?yàn)锳E=EC，所以∠EAC=∠ECA。在△AEC中，由三角形內(nèi)角和為180°得：∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，

由于∠AEC是△ADC的外角，所以∠AEC=∠ADC+∠EDC=70°+∠EDC。又因?yàn)椤螮AC=∠BAC（AC平分∠BAD），且∠BAC+∠DAC=∠BAD（平角為180°），

所以∠EAC=∠BAC=∠DAC=0.5∠BAD。但此處∠BAD的具體度數(shù)未知，不過由于AB=AD，我們可以推斷∠BAD是銳角或直角（不可能是鈍角，否則AD會(huì)超出四邊形ABCD的范圍）。但由于∠B和∠ADC已知，我們可以利用三角形內(nèi)角和為180°來求解∠EDC。在△DEC中，有：∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°，

由于∠DEC=∠AEC（對(duì)頂角相等），且∠AEC=70°+∠EDC，

∠DCE=∠ECA（AE=EC，所以∠EAC=∠ECA），

我們可以