山西省2020年中考數(shù)學(xué)試題(解析版)

山西省2020年中考數(shù)學(xué)試題

第I卷選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.計算（-6）+（一：］的結(jié)果是（）

A.-18B.2C.18D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)有理數(shù)的除法法則計算即可，除以應(yīng)該數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).

【詳解】解：（-6）+（J）=（-6）x（-3）=18.

故選：C.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2.自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，各地積極普及科學(xué)防控知識.下面是科學(xué)防控知識的圖片,

圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形；

B、不是軸對稱圖形；

C、不是軸對稱圖形；

D、是軸對稱圖形；

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，如

果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

3.下列運(yùn)算正確是()

A.3。+2。=5/B.—8/+4。=2。C.(-2a2)3=-8?6D.4/.3〃=12/

【答案】C

【解析】

【分析】

利用合并同類項、單項式除法、幕的乘方、單項式乘法的運(yùn)算法則逐項判定即可.

【詳解】解：A.3。+2。=5。,故A選項錯誤；

B.-8a2+4a=-2a,故B選項錯誤；

C.(-2?2)3=-8a6,故C選項正確；

D.4a3.3a2=12a5,故D選項錯誤.

故答案為C.

【點睛】本題考查了合并同類項、單項式除法、積的乘方、單項式乘法等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)運(yùn)算法則

是解答此類題的關(guān)鍵.

4.下列幾何體都是由4個大小相同的小正方體組成的，其中主視圖與左視圖相同的幾何體是()

【答案】B

【解析】

【分析】

分別畫出四個選項中簡單組合體的三視圖即可.

【詳解】A、左視圖為,主視圖為,左視圖與主視圖不同，故此選項不合題意；

,左視圖與主視圖相同，故此選項符合題意；

,左視圖與主視圖不同，故此選項不合題意；

,左視圖與主視圖不同，故此選項不合題意；

【點睛】此題主要考查了簡單組合體的三視圖，關(guān)鍵是掌握左視圖和主視圖的畫法.

5.泰勒斯是古希臘時期的思想家，科學(xué)家，哲學(xué)家，他最早提出了命題的證明.泰勒斯曾通過測量同一時刻

標(biāo)桿的影長，標(biāo)桿的高度。金字塔的影長，推算出金字塔的高度。這種測量原理，就是我們所學(xué)的（）

A.圖形的平移B.圖形的旋轉(zhuǎn)C.圖形的軸對稱D.圖形的相似

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)在同一時刻的太陽光下物體的影長和物體的實際高度成比例即可判斷；

【詳解】根據(jù)題意畫出如下圖形：可以得到VABE:NCDE，則警=算

BEDE

AB即為金字塔的高度，CO即為標(biāo)桿的高度，通過測量影長即可求出金字塔的高度

A

故選：D.

【點睛】本題主要考查將實際問題數(shù)學(xué)化，根據(jù)實際情況畫出圖形即可求解.

‘2》-6〉0

6.不等式組，?的解集是（）

A.x>5B.3<x<5C.x<5D.x>-5

【答案】A

【解析】

【分析】

先分別求出各不等式的解集，最后再確定不等式組的解集.

2x-6>0?

【詳解】解：<

4-x<-l?

由①得x>3

由②得x>5

所以不等式組的解集為x>5.

故答案為A.

【點睛】本題考查了解不等式組，掌握不等式的解法和確定不等式組解集的方法是解答本題的關(guān)鍵.

7.已知點A（/yJ,3（馬,必）,。（毛,%）都在反比例函數(shù)y=人伏<（））的圖像上，且玉<々<。<工3,

則%,%的大小關(guān)系是（）

A.%>y>%B.%>%>yc.x>%>%D.%>%>/

【答案】A

【解析】

【分析】

首先畫出反比例函數(shù)y=K（%＜（）），利用函數(shù)圖像的性質(zhì)得到當(dāng)芭＜々＜0＜天時，H,力的大小

關(guān)系.

k

【詳解】解:反比例函數(shù)y=-（攵＜0）,

X

???反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，

觀察圖像：當(dāng)玉＜々＜。＜工3時，

則%＞%＞%.

故選A.

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.中國美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤造型也會讓美食錦上添花.圖①中的擺盤，其形狀是扇形的一部分，

圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測量得到AC=BD=\2cm,C,。兩點之間的距離為4cm,

圓心角為60°,則圖中擺盤的面積是（）

圖①圖②

A.80^cm2B.40^cm2C.24兀an?D.2jiarr

【答案】B

【解析】

【分析】

先證明△CQD是等邊三角形，求解OC,。。，利用擺盤的面積等于兩個扇形面積的差可得答案.

【詳解】解：如圖，連接CD,

OC=OD/COD=60。,

.工coo是等邊三角形，

CD=4,

.-.OC=OD=4,

AC=BD=12,

,-.OA=OB=16,

所以則圖中擺盤的面積S扇小-S扇形c”=W盧-竺裳匕=40萬面.

JoUJOU

故選B.

【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.豎直上拋物體離地面的高度〃（㈤與運(yùn)動時間r（s）之間的關(guān)系可以近似地用公式h=-5產(chǎn)+3+%表

示，其中4（機(jī)）是物體拋出時離地面的高度，%（帆/s）是物體拋出時的速度.某人將一個小球從距地面

1.5/7?的高處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達(dá)到的離地面的最大高度為（）

A.23.5mB.22.5”？C.21.5mD.20.5m

【答案】C

【解析】

【分析】

將&=1.5,%=20代入/?=-5/+W+4，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，即可得出答案.

【詳解】解：依題意得：瓦=1.5,%=2（）,

把力0=1.5,%=20代入/?=-5/+%/+%得力=一5產(chǎn)+20『+1.5

20C

當(dāng)1=一。95）=2時,〃=-5x4+20x2+1.5=215

故小球達(dá)到的離地面的最大高度為：21.5m

故選：C

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用利用二次函數(shù)在對稱軸處取得最值是解決本題的關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)

題.

10.如圖是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形,將一個

飛鏢隨機(jī)投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

連接菱形對角線，設(shè)大矩形的長=2a,大矩形的寬=2b,可得大矩形的面積，根據(jù)題意可得菱形的對角線長，

從而求出菱形的面積，根據(jù)“順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形”，可得小矩形的長，寬分別是菱形對角

線的一半，可求出小矩形的面積，根據(jù)陰影部分的面積=菱形的面積-小矩形的面積可求出陰影部分的面積,

再求出陰影部分與大矩形面積之比即可得到飛鏢落在陰影區(qū)域的概率.

【詳解】解：如圖，連接EG,FH,

設(shè)AD=BC=2a,AB=DC=2b,

貝！］FH=AD=2a,EG=AB=2b,

???四邊形EFGH是菱形，

?'.S菱形EFGHug/7"-EG=~2a-2b=2ab,

VM,O,P,N點分別是各邊的中點，

.".OP=MN=—FH=a,MO=NP=—EG=b,

22

:四邊形MOPN是矩形，

S初MOPN=OP,MO=abz

S陰影二S菱形EFGH-S期MOPN=2ab-ab=ab,

*.*S就ABCD=AB,BC=2a,2b=4ab/

,飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是2=!,

4ab4

故選B.

【點睛】本題考查了幾何概率問題.用到的知識點是概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

第II卷非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.計算：（0+VJ）2-后=

【答案】5

【解析】

原式=2+2#+3-2#=5.

故答案為5.

12.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相等的正三角形組合而成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖

案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形按此規(guī)律擺下去，第〃個圖案有個三角形（用含"的

代數(shù)式表示）.

及北及心川兀

第1個第2個第3個第4個

【答案】（3〃+1）

【解析】

【分析】

由圖形可知第1個圖案有3+1=4個三角形，第2個圖案有3x2+1=7個三角形，第3個圖案有3x3+1=10個

三角形…依此類推即可解答.

【詳解】解：由圖形可知：

第1個圖案有3+1=4個三角形，

第2個圖案有3x2+1=7個三角形，

第3個圖案有3x3+1=10個三角形，

第n個圖案有3xn+1=（3n+l）個三角形.

故答案為（3n+l）.

【點睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的排列、歸納圖形的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

13.某校為了選拔一名百米賽跑運(yùn)動員參加市中學(xué)生運(yùn)動會，組織了6次預(yù)選賽，其中甲，乙兩名運(yùn)動員較

為突出，他們在6次預(yù)選賽中的成績(單位：秒)如下表所示：

甲12.012.012.211.812.111.9

乙12.312.111.812.011.712.1

由于甲，乙兩名運(yùn)動員的成績的平均數(shù)相同，學(xué)校決定依據(jù)他們成績的穩(wěn)定性進(jìn)行選拔，那么被選中的運(yùn)

動員是-------

【答案】甲

【解析】

【分析】

直接求出甲、乙的平均成績和方差，進(jìn)而比較方差，方差小的比較穩(wěn)定，從而得出答案.

【詳解】解:X?=-(12.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9)=-X72=12,

1、1

x乙=-(z12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1)=-x72=12,

66

甲的方差為，[(12.0-12『+(12.0—12)2+(12.2—12)2+(11.8-12)2+(12.1-12)2]=，XO.1=L,

6L」660

乙的方差為

\[(12.3—12)2+(12.1—12)2+(11.8—12y+(12.0—12y+(11.7—12『+(12.1—12『

-x0.24=—

25

..±<±

6025

即甲的方差〈乙的方差，

六甲的成績比較穩(wěn)定.

故答案為甲.

【點睛】本題考查了方差的定義.一般地，設(shè)n個數(shù)據(jù)，%,々，X”的平均數(shù)為x,則方差為

^[[■一葉+仁一m2++卜"<)[-

14.如圖是一張長12cm，寬10C777的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分(陰

影部分)可制成底面積24cm2是的有蓋的長方體鐵盒.則剪去的正方形的邊長為cm.

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，列出三組等式解出即可.

【詳解】設(shè)底面長為a,寬為b,正方形邊長為x,

'2(x+Z?)=12

由題意得：<a+2x=10

ab=24

解得。=10-2x,b=6-x,代入岫=24中得：(10-2x)(6-x)=24,

整理得:2/-Hx+18=0.

解得42或內(nèi)=9(舍去).

故答案為2.

【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,關(guān)鍵在于不怕設(shè)多個未知數(shù).利用代數(shù)表示列出方程.

15.如圖，在&AA8C中,ZACB=90°,AC=3,BC=4,CD±AB,垂足為。,E為8C的中點，

AE與CD交于點F,則DF的長為.

【分析】

33

過點F作FHJ_AC于H,則.乂尸”6AEC，設(shè)FH為x,由已知條件可得A"^-FH=-x,利用相似

三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，利用

S/XAFC=gACxFH=|cFxAD即可得到DF的長?

【詳解】如解圖，過點尸作FHJ_AC于H,

k

（：//.4

???ZACB=90°,

BC±AC,

/.FH//BC,

VBC=4,點E是的中點，

/.BE=CE=2,

FH//BC,

???,.AFHs,AEC

.AHAC_3

"~FH~~EC~2

3

AH=-FH,

2

3_____

設(shè)"/為x,則,由勾股定理得AB=142+32=5，

又：SAABC=；ACxBC=gABxCD,

.rnACBC12

AB5

貝！|AD=JAC2—C￡)2=1,

???ZFHC=ZCDA=90°且AFCH=ZACD,

/./\CFHs,CAD,

FHCH

~\D~~CD

3--x

X2

即5=12

55

解得*二搭,

A…H=—18,

17

^△AFC-ACxFH=-CFxAD

22

，3XACFX2

21725

???CF若

ADF=CD-CF=——

51785

54

故答案為：—

o5

【點睛】本題考查了相似的判定和性質(zhì)、以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是作垂直，構(gòu)造相似三角形.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

1\3

16.(1)計算：(T『x-(-4+1)

2/

(2)下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

x?-92.x+1

x2+6x+92x+6

_(x+3)(x-3)2x+l

(x+3)2-2(x+3)

x—32x+1

x+32(x+3)

_2(x-3)2x+l

-2(7+3)2(x+3)

2x-6-(2x+1)

第四步

2(x+3)

2x—6—2x+1

第五步

2(x+3)

第六步

任務(wù)一：填空：①以上化簡步驟中，第步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是

填為；

②第____?步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是_______________________________________；

任務(wù)二：請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果；

任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就分式化簡時還需要注意的事項給其他同學(xué)提一

條建議.

【答案】(1)1；(2)任務(wù)一:①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不為零的

7

整式，分式的值不變；②五；括號前是“一”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；任務(wù)二：--~-；

任務(wù)三：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡分式或整式，答案不唯一，詳見解析.

【解析】

【分析】

(1)先分別計算乘方，與括號內(nèi)的加法，再計算乘法，再合并即可得到答案；

(2)先把能夠分解因式的分子或分母分解因式，化簡第一個分式，再通分化為同分母分式，按照同分母分

式的加減法進(jìn)行運(yùn)算，注意最后的結(jié)果必為最簡分式或整式.

【詳解】解：(1)原式=16x(-，-(-3)

=-2+3

=1

(2M弗一：

①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不為零的整式，分式的值不變；

故答案為：三；分式基本性質(zhì);分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不為零的整式，分式的值不變;

②五；括號前是“一”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；

故答案為：五；括號前是“一’號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；

任務(wù)二：

的龍之—92x+1

解；~~；~~---——T

x+6x+92x+6

_(x+3)(x-3)2x4-1

(x+3)22(尤+3)

x—32x+1

x+32(x+3)

_2(x-3)2x+l

2(%+3)2(%+3)

2x—6—(2x+1)

2(x+3)

2x—6—2x—1

一_2(x+3)

7

2x+6

任務(wù)三：

解：答案不唯一，如：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡分式或整式；約分，通分時，應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形；

分式化簡不能與解分式方程混淆，等.

【點睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡，掌握以上兩種以上是解題的關(guān)鍵.

17.2020年5月份，省城太原開展了“活力太原?樂購晉陽”消費(fèi)暖心活動，本次活動中的家電消費(fèi)券單筆交

易滿600元立減128元(每次只能使用一張)某品牌電飯煲按進(jìn)價提高50%后標(biāo)價，若按標(biāo)價的八折銷售，

某顧客購買該電飯煲時，使用一張家電消費(fèi)券后，又付現(xiàn)金568元.求該電飯煲的進(jìn)價.

【答案】該電飯煲的進(jìn)價為580元

【解析】

【分析】

根據(jù)滿600元立減128元可知，打八折后的總價減去128元是實際付款數(shù)額，即可列出等式.

【詳解】解：設(shè)該電飯煲的進(jìn)價為x元

根據(jù)題意，得(1+50%)x-80%-128=568

解，得x=58O.

答；該電飯煲的進(jìn)價為580元

【點睛】本題主要考察了打折銷售知識點，準(zhǔn)確找出它們之間的關(guān)系列出等式方程是解題關(guān)鍵.

18.如圖，四邊形Q45C是平行四邊形，以點。為圓心，OC為半徑的。與相切于點3,與A。相交

于點。，A。的延長線交。于點E,連接￡?交OC于點F,求/C和/￡的度數(shù).

【答案】45°,22.5°

【解析】

【分析】

連接OB,即可得ZOBA=90°，再由平行四邊形得出NBOC=90。,從而推出/C=45。.再由平行四邊形的性質(zhì)得

出/A=45。,算出/AOB=45。.再根據(jù)圓周角定理即可得出NE=22.5°.

解：連接03.

QAB與。相切于點8,

：.OB1AB.;.NOBA=90°.

四邊形。鉆。是平行四邊形，

:.AB//OC

；.NBOC=NOBA=90°

OB=OC,

.-.zc=NOBC=1(1800-ZBOC)=；X(180?！?0。)=45°

四邊形Q46C是平行四邊形，

.-.ZA=ZC=45°

ZAOB=180°-ZA-^OBA=180°-45°-90°=45°.

AE=-ZDOB=-ZAOB=-x450=22.5°.

222

【點睛】本題考查圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì).關(guān)鍵在于根據(jù)條件結(jié)合性質(zhì)得出角度的變換.

19.2020年國家提出并部署了“新基建”項目，主要包含“特高壓，城際高速鐵路和城市軌道交通，5G基站

建設(shè)，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁''等.《2020新基建中高端人才市場就業(yè)吸

引力報告》重點刻畫了“新基建”中五大細(xì)分領(lǐng)域（5G基站建設(shè)，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新

能源汽車充電樁）總體的人才與就業(yè)機(jī)會.下圖是其中的一個統(tǒng)計圖.

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）填空：圖中2020年“新基建”七大領(lǐng)域預(yù)計投資規(guī)模的中位數(shù)是_____億元；

（2）甲，乙兩位待業(yè)人員，僅根據(jù)上面統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，從五大細(xì)分領(lǐng)域中分別選擇了“5G基站建設(shè)”和“人

工智能”作為自己的就業(yè)方向，請簡要說明他們選擇就業(yè)方向的理由各是什么；

（3）小勇對“新基建”很感興趣，他收集到了五大細(xì)分領(lǐng)域的圖標(biāo)，依次制成編號為W,G,D,R,X

的五張卡片（除編號和內(nèi)容外，其余完全相同），將這五張卡片背面朝上，洗勻放好，從中隨機(jī)抽取一張（不

放回），再從中隨機(jī)抽取一張.請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是編號為W（5G基站建

設(shè)）和R（人工智能）的概率.

。

.?..3a:'e;艮o...（?y>?*>'???

WGDRX

【答案】（1）300;（2）甲更關(guān)注在線職位增長率，在“新基建”五大細(xì)分領(lǐng)域中，2020年第一季度“5G基

站建設(shè)”在線職位與2（）19年同期相比增長率最高，?乙更關(guān)注預(yù)計投資規(guī)模，在“新基建''五大細(xì)分領(lǐng)域中，“人

工智能”在2020年預(yù)計投資規(guī)模最大；（3）'

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)中位數(shù)的定義判斷即可.

（2）根據(jù)圖象分析各個優(yōu)勢,表達(dá)出來即可.

（3）利用列表法或樹狀圖的方法算出概率即可.

【詳解】⑴將數(shù)據(jù)從小到大排列：100,160,200,300,300,500,640,中位數(shù)為:300.

故答案為：300

（2）解：甲更關(guān)注在線職位增長率，在“新基建”五大細(xì)分領(lǐng)域中，2020年第一季度“5G基站建設(shè)”在線職位

與2（）19年同期相比增長率最高；

乙更關(guān)注預(yù)計投資規(guī)模，在“新基建”五大細(xì)分領(lǐng)域中，“人工智能”在2020年預(yù)計投資規(guī)模最大

⑶解:列表如下：

第二張

WGDRX

第一張

W(W,G)（w,。）(W,H)(w,x)

G（G,W）（G，。）(G,R)（G，X）

D（D,W）（O，G）(D,R)（D,X）

R（H,W）(R，G)(R，D)(R，x)

X(x,w)(X?（X，。）(X,R)

或畫樹狀圖如下：

flkiMkl<t?2"1*'<u

由列表（或畫樹狀圖）可知一共有20種可能出現(xiàn)的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相同，其中抽到“W”和

的結(jié)果有2種.

所以，P（抽到“W”和“R"）=5=A.

【點睛】本題考查統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)分析及概率計算,關(guān)鍵在于從圖像中獲取有用信息.

20.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

X年X月X日星期日

沒有直角尺也能作出直角

今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖①所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板

上畫出一條裁割線A3,現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過A3上的一點C，作出A3的垂線，用鋸子進(jìn)行裁割，

然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？

辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在A3上量出8=30cm,然后分別以。,。為圓心，

以50m與4（）C7〃為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E,作直線CE,則/DCE必為90°.

辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出M,N兩點，然后把木棒斜放在

木板上，使點M與點C重合，用鉛筆在木板上將點N對應(yīng)的位置標(biāo)記為點。，保持點N不動，將木棒

繞點N旋轉(zhuǎn)，使點M落在A8上，在木板上將點M對應(yīng)的位置標(biāo)記為點R.然后將RQ延長，在延長

線上截取線段QS=MN，得到點S，作直線SC,則NRCS=90°.

我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線

呢？

任務(wù)：

(1)填空；“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是______________________________________；

(2)根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明NHCS=9()。;

(3)①尺規(guī)作圖：請在圖③的木板上，過點C作出AB的垂線(在木板上保留作圖痕跡，不寫作法)；

②說明你的作法依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(寫出一個即可)

【答案】(1)勾股定理的逆定理;(2)詳見解析；(3)①詳見解析；②答案不唯一，詳見解析

【解析】

【分析】

(1)利用3()2+4()2=5()2說明△力CE是直角三角形，說明/。。E=90。，進(jìn)而得出利用的原理是勾股定理

逆定理即可；

(2)由作圖的方法可以得出：QR=QC,QS=QC,^ZQCR=ZQRC,ZQCS=ZQSC,利用

三角形內(nèi)角和得出NQCR+NQCS=90。，即NRCS=9O。，說明垂直即可；

(3)①以點C為圓心，任意長為半徑畫弧，與AB有兩個交點，分別以這兩個交點為圓心，以大于這兩個

交點之間的距離的一半為半徑畫弧，這兩段弧交于一點P,連接PC即可；

②到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，即可說明垂直.

【詳解】(1)勾股定理的逆定理(或如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角

三角形)；

(2)證明：由作圖方法可知：QR=QC,QS=QC,

ZQCR=NQRC,ZQCS=ZQSC.

又ZSRC+ZRCS+ZRSC=18O°,

ZQCR+ZQCS+NQRC+Z.QSC=180。.

.,.2(NQCR+/QCS)=180。.

ZQCR+ZQCS^90°

即NRCS=90°.

(3)解：①如圖，直線CP即為所求；

圖③

②答案不唯一，如：三邊分別相等的兩個三角形全等(或SS5);等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、

底邊上的中線重合(或等腰三角形“三線合一”)；到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平

分線上等.

【點睛】本題主要考查了垂直的判定，熟練掌握說明垂直的方法是解決本題的關(guān)鍵.

21.圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過時智能閘機(jī)會自動識別行人身份，識別成功后，兩側(cè)的

圓弧翼閘會收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時行人即可通過.圖②是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形A8C和。瓦'

是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，8C和爐均垂直于地面，扇形的圓心角NABC=N￡>E尸=28。，

半徑5A=ED=60c7"，點A與點。在同一水平線上，且它們之間的距離為10c、m.

(1)求閘機(jī)通道的寬度，即BC與所之間的距離(參考數(shù)據(jù)：sin28°?0.47,cos28°?0.88,

tan28°?0.53);

(2)經(jīng)實踐調(diào)查，一個智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍，180人的團(tuán)隊通

過一個智能閘機(jī)口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù).

【答案】(1)8c與所之間的距離為66.4。加;(2)一個智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.

【解析】

【分析】

(1)連接AD,并向兩方延長，分別交,EF于點M,N,則MNLBC,MN_L跖根據(jù)的

長度就是與旅之間的距離，依據(jù)解直角三角形，即可得到可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度；

(2)設(shè)一個人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為工人，根據(jù)“一個智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個人工

檢票口平均檢票速度的2倍，180人的團(tuán)隊通過一個智能閘機(jī)口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘”列出

分式方程求解即可；還可以設(shè)一個智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人，根據(jù)題意列方程求解.

【詳解】解：連接AD,并向兩方延長，分別交,EF于點M,N.

c

MN

q、

BE

由點A與點。在同一水平線上，BC,所均垂直于地面可知，MNJ_5C,MN，所，所以MN的長

度就是3。與比之間的距離.同時,由兩圓弧翼成軸對稱可得AM=ON.

在RAA8M中,ZAMB=90°,ZABM=2S°,AB=60,

,sin/ABM=坦,

AB

:.AM=AB-sinZABM

=60xsin28°?60x0.47=28.2.

MN=AM+DN+AD=2AM+AD=28.2x2+10=66.4.

：.BC與EF之間的距離為66.4cm.

(1)解法一：設(shè)一個人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為工人.

,=180c180

根據(jù)題目，得-----3=——

x2x

解，得x=30.

經(jīng)檢驗x=30是原方程的解

當(dāng)x=30時，2x=60

答：一個智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.

解法二：設(shè)一個智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為％人.

180.180

------F3=-----

根據(jù)題意，得X1.

一X

2

解，得x=60

經(jīng)檢驗x=60是原方程的解.

答：一個智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為6()人.

【點睛】本題考查了解直角三角形及列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是掌握含30度的直角直角三角形的性質(zhì).

22.綜合與實踐

問題情境：

如圖①，點E為正方形43co內(nèi)一點，ZAEB=90°,將用AABE繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到

ACBF(點A的對應(yīng)點為點C),延長AE交C￡于點/，連接DE.

猜想證明：

(1)試判斷四邊形8￡莊的形狀，并說明理由；

(2)如圖②，若DA=DE,請猜想線段CF與FE的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

解決問題：

(3)如圖①，若A5=15,CE=3,請直接寫出DE的長.

【答案】(1)四邊形8EFE是正方形，理由詳見解析;(2)CF=FE,證明詳見解析;(3)3折.

【解析】

【分析】

(1)由旋轉(zhuǎn)可知：ZE'=ZAEB=90°,/￡5￡/=90。,再說明4'石8=90°可得四邊形8￡'廠￡是矩形,

再結(jié)合3E=3后即可證明；

(2)過點。作，AE,垂足為H,先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AH=^AE,再證AAEB合AD/M

可得AH=BE,再結(jié)合BE=BE、CE'=AE即可解答；

(3)過￡作EG_LAD，先說明N1=N2，再設(shè)EF=x、貝|JBE=FE'=EF=BE'=x、CE'=AE=3+x,再在RsAEB

中運(yùn)用勾股定理求得X,進(jìn)一步求得BE和AE長，然后運(yùn)用三角函數(shù)和線段的和差求得DG和EG的長,

最后在RlADEG中運(yùn)用勾股定理解答即可.

【詳解】解：(1)四邊形8EEE是正方形

理由：由旋轉(zhuǎn)可知：NE'=NAEB=90°,NEBE1=90°,BE=BE

又ZAEB+ZFEB=ISO°,ZA￡B=90°

:.ZFEB=90°

???四邊形BEFE是矩形.

*/BE=BE.

???四邊形BEEE是正方形；

(2)CF=FE.

證明：如圖，過點。作。,垂足為H,

則ZD〃4=90°,Nl+N3=90°

DA=DE

AH=-AE.

2

四邊形ABCD是正方形，

：.AB^DA,NZM8=90°.

.-.Zl+Z2=90o

.?.N2=N3

ZAEB=ZDHA=9O°,

:.MEB=X)HA.

:.AH=BE.

'：BE=E'F

:.AH=EF

CE'=AE,

:.FE'=-CE'

2

;.CF=FE';

(3)如圖：過E作EGLAD

AGE//AB

N1=N2

設(shè)EF=x,貝!]BE=FE'=EF=BE'=x,CE'=AE=3+x

RtAAEB中,BE=x,AE=x+3,AB=15

JAB?=BE2+AE2,即152=X2+(x+3)2,解彳導(dǎo)x=-12(舍)，x=9

/.BE=9,AE=12

BE_9_3AE12_4

sinN1二,cosZ1=-----=

~AB5AB15-5

AGAG3GEGE4

/.sinZ2==—,cosZ2=-----

~AE~~125AE一五一S

???AG=7.2,GE=9.6

???DG=15-7.2=7.8

DE=A/7.82+9.62=V153=3V17.

DC

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、解三角形等知識，綜合應(yīng)用所學(xué)知識是解答本

題的關(guān)鍵.

23.綜合與探究

如圖，拋物線＞=:爐—x—3與x軸交于A,8兩點（點A在點8的左側(cè)），與），軸交于點C.直線/與拋

4

物線交于A,D兩點,與曠軸交于點E，點。的坐標(biāo)為（4,-3）.

（1）請直接寫出A,8兩點的坐標(biāo)及直線/的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點尸是拋物線上的點，點P的橫坐標(biāo)為（加20）,過點P作PM軸，垂足為M.PM與直

線/交于點N,當(dāng)點N是線段PM的三等分點時,求點P的坐標(biāo)；

（3）若點。是），軸上的點，且44DQ=45°,求點。的坐標(biāo).

【答案】（1）A（—2,0）,B（6,0）,直線/的函數(shù)表達(dá)式為：y=-1x-l;（2）當(dāng)點N是線段PM的三等

分點時，點P的坐標(biāo)為（0,-3）或（3,-；（3）點。的坐標(biāo)為（0,9）或.

【解析】

【分析】

(1)令9V-X—3=0,可得A3兩點的坐標(biāo)，把A,。的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得/的解析式；

(2)根據(jù)題意畫出圖形，分別表示P,",N三點的坐標(biāo)，求解的長度，分兩種情況討論即

可得到答案；

(3)根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論：①如圖，當(dāng)點。在＞軸正半軸上時，記為點2.過點。作J-

直線/,垂足為H.再利用相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得答案，②如圖，當(dāng)點Q

在軸負(fù)半軸上時，記為點。2.過點。2作Q?G_L直線/,垂足為G,