2025年高考數學復習大題題型歸納：專題16 圓錐曲線中的探索性和綜合性問題（原卷）

專題16圓錐曲線中的探索性和綜合性問題1．在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點的坐標分別為A?77a,0,B77a,0(a>0)(1)求△ABC的頂點C的軌跡方程；(2)若過點P0,a的直線與（1）的軌跡相交于E?F(3)若G?a,0,H2a,0,θ為C點的軌跡在第一象限內的任意一點，則是否存在常數λ(λ>0)，使得2．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長.某些折紙活動蘊含豐富的數學內容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）：步驟1：設圓心是E，在圓內異于圓心處取一點，標記為F；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點F；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設定點F到圓心E的距離為4，按上述方法折紙.以點F、E所在的直線為x軸，線段EF中點為原點建立平面直角坐標系.(1)求折痕圍成的橢圓的標準方程；(2)若過點Q1,0且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在定點Tt,0，使得直線TM，3．已知橢圓C：x24+y2b2=10<b<2，設過點A1,0的直線l交橢圓C于M，N兩點，交直線(1)若AM≥1，求b(2)若b=1，記直線EM，EN，EP的斜率分別為k1，k2，k3，問是否存在k1，k2，k3的某種排列ki1，ki2，ki34．橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求橢圓C的方程；(2)若點Mx0,y0是橢圓x2m2+y2n2=1m>n>0上任一點，則該橢圓在點M處的切線方程為x0x（i）求證：PF（ii）在橢圓C上是否存在點N，使得△PF1Q5．如圖所示，由半橢圓C1:x24+y2b2=1y≤0和兩個半圓C2:x+12+y2=1y≥0(1)求C1(2)若過點F1,F2作兩條平行線l1,l2分別與C16．已知拋物線H:x2=2py（p(1)若直線l:y=kx?2pk+2p與H只有一個公共點，求k；(2)貝塞爾曲線是計算機圖形學和相關領域中重要的參數曲線．法國數學象卡斯特利奧對貝塞爾曲線進行了圖形化應用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點，根據對應的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點的切線，也有相應成比例的結論．如圖，A，B，C是H上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點D，E，F，證明：|AD||DE|7．已知直線l與拋物線C1:y2=2x交于兩點Ax1,y1，Bx2,y2(1)若直線l過點M1,0，且1BM?(2)①證明：1y②設△AOB，△COD的面積分別為S1，S2，（O為坐標原點），若AC=28．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3，直線(1)求線段AB(2)若a=1，過點D作斜率為2x0y0的直線l'?與直線l1:2x?y=0交于點P，與直線9．如圖，過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點F作直線l交E于A，B兩點，點A，B在x軸上的射影分別為D，C．當AB平行于x(1)求p的值；(2)過拋物線上兩點的弦和拋物線弧圍成一個拋物線弓形，古希臘著名數學家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點為頂點作拋物線弓形的內接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內接三角形面積的43倍．已知點P在拋物線E上，且E在點P處的切線平行于AB，根據上述理論，從四邊形ABCD中任取一點，求該點位于圖中陰影部分的概率為12時直線10．某城市決定在夾角為30°的兩條道路EB、EF之間建造一個半橢圓形狀的主題公園，如圖所示，AB=2千米，O為AB的中點，OD為橢圓的長半軸，在半橢圓形區(qū)域內再建造一個三角形游樂區(qū)域OMN，其中M，N在橢圓上，且MN的傾斜角為45°，交OD于G．(1)若OE=3千米，為了不破壞道路EF，求橢圓長半軸長的最大值；(2)若橢圓的離心率為32，當線段OG長為何值時，游樂區(qū)域△OMN11．法國數學家加斯帕爾·蒙日是19世紀著名的幾何學家，他創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間解析幾何學的獨立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學的寬厚基礎，根據他的研究成果，我們定義：給定橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，則稱圓心在原點O，半徑是a2(1)若點A為橢圓C的“伴隨圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C的兩相異點，且BD⊥x軸，求AB?(2)在橢圓C的“伴隨圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷12．如圖，過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點F作直線l交E于A，B兩點，點A，B在x軸上的射影分別為D，C，當AB平行于x(1)求p的值；(2)過拋物線上兩點的弦和拋物線弧圍成一個拋物線弓形，古希臘著名數學家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點為頂點作拋物線弓形的內接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內接三角形面積的43倍．已知點P在拋物線E上，且E在點P處的切線平行于AB，根據上述理論，從四邊形ABCD13．已知橢圓方程為C1:x2a2+(1)求該橢圓C1(2)若橢圓C1的頂點恰好是雙曲線C2焦點，橢圓C1的焦點恰好是雙曲線C2頂點，設橢圓C1的焦點F1,F2，雙曲線C2的焦點F114．如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，直線l與圓C1:x2(1)求橢圓C的標準方程；(2)當△OAB的面積取最大值時（O為坐標原點），求直線l的方程．15．在平面內動點P與兩定點A1(?3(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)已知點F1(?1,0),F2(1,0)，過點P作軌跡E的切線其斜率記為k(k≠0)，當直線P16．已知雙曲線Γ:x2?y23=1,F為雙曲線Γ的右焦點，過F作直線l1交雙曲線Γ于A,B兩點，過F點且與直線l1垂直的直線l2(1)若直線OP的斜率為32，求AB(2)設直線AB,AP,AM,AN的斜率分別為k1,k2,k3,k4，且k117．在xOy平面上．設橢圓Γ：x2m2+y2=1(m>1)，梯形ABCD的四個頂點均在(1)若AB為Γ的長軸，梯形ABCD的高為12，且C在AB上的射影為Γ的焦點，求m(2)設m=2，直線CD經過點P0,2，求(3)設m=2，AB=2CD，AD與BC的延長線相交于點M，當k18．已知雙曲線C的中心在坐標原點，左焦點F1與右焦點F2都在x軸上，離心率為3，過點F2的動直線l與雙曲線C交于點A、B(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)若點A、B都在雙曲線C的右支上，求λ的最大值以及λ取最大值時∠AF1B的正切值；（關于求λ的最值．某學習小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②設AF2|AB|為μ，建立相應數量關系并利用它求最值；(3)若點A在雙曲線C的左支上（點A不是該雙曲線的頂點，且λ=1，求證：△AF1B是等腰三角形．且AB19．某小區(qū)有塊綠地，綠地的平面圖大致如下圖所示，并鋪設了部分人行通道．為了簡單起見，現作如下假設：假設1：綠地是由線段AB，BC，CD，DE和弧EA圍成的，其中EA是以O點為圓心，圓心角為2π假設2：線段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圓弧EA暫時未修路；假設3：路的寬度在這里暫時不考慮；假設4：路用線段或圓弧表示，休息亭用點表示．圖1-圖3中的相關邊、角滿足以下條件：直線BA與DE的交點是O，AB//CD，∠ABC=π2小區(qū)物業(yè)根據居民需求，決定在綠地修建一個休息亭．根據不同的設計方案解決相應問題，結果精確到米．(1)假設休息亭建在弧EA的中點，記為Q，沿EA和線段QC修路，如圖2所示．求QC的長；(2)假設休息亭建在弧EA上的某個位置，記為P，作PM⊥BC交BC于M，作PN⊥CD交DC于N．沿EP、線段PM和線段PN修路，如圖3所示．求修建的總路長EP+PM+PN(3)請你對（1）和（2）涉及到的兩種設計方案做個簡明扼要的評價．20．從拋物線的焦點發(fā)出的光經過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處，這一性質被廣泛應用在生產生活中．如圖，已知拋物線C:x2=2pyp>1，從點4,9發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點，經過拋物線兩次反射后，反射光線由(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓M:x2+y?32=4，在拋物線C上任取一點E，過點E向圓M作兩條切線EA和EB，切點分別為21．如圖，小明同學先把一根直尺固定在畫板上，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細繩的一端固定在三角板的頂點A處，另一端固定在畫板上點F處，用鉛筆尖扣緊繩子，讓細繩緊貼住三角板的直角邊，然后將三角板沿著直尺上下滑動，這時筆尖在平面上留下軌跡C.已知細繩長度為3cm，經測量，當筆尖運動到點P處時，∠FAP=30°,∠AFP=90°.設直尺邊沿所在直線為a，以過F垂直于直尺的直線為x軸，以過F垂直于(1)求C的方程；(2)過點D0,?3且斜率為k的直線l與C交于M,N兩點，k的取值范圍為0,2，探究：是否存在λ，使得DM=λDN22．已知F1，F2分別為雙曲線E：x2a2?y(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線E實軸長為2，過點F2且斜率為k的直線l交雙曲線C的右支不同的A，B兩點，Q為x軸上一點且滿足QA=QB23．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1?F(1)求橢圓C的方程；(2)若過點G1,0的動直線n與橢圓C相交于M,N兩點，直線l的方程為x=4.過點M作MP⊥l于點P，過點N作NQ⊥l于點Q.記△GPQ,△GPM,△GQN的面積分別為S，S1，S2.問是否存在實數λ，使得λ24．在數學中常有“數形結合”的思想，即找到代數式的幾何意義，比如：y=x?12+4x2?32+x2+4x(1)當a＝1時，證明：x1(2)當a≥1時，證明：a425．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長．某些折紙活動蘊含豐富的數學內容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）步驟1：設圓心是E，在圓內異于圓心處取一點，標記為F；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點F；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓．若取半徑為4的圓形紙片，設定點F到圓心E的距離為23(1)以點F、E所在的直線為x軸，建立適當的坐標系，求折痕圍成的橢圓C的標準方程；(2)設橢圓C的下頂點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與橢圓C的另一個交點分別為M，N．設l1的斜率為kk≠0，△DMN的面積為S，當26．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，R'分別是線段OF，CF上的動點，且滿足OR4+FR(1)證明：點P始終在某一橢圓上，并求出該橢圓的標準方程；(2)設S，T為該橢圓上兩點，T關于直線y=x的對稱點為Q，設M23,32，且直線MS27．數學家加斯帕爾·蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學》對世界各國科學技術的發(fā)展影響深遠.在雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設點P3,1關于坐標原點的對稱點為Q，不過點P且斜率為13的直線與雙曲線C相交于M,N兩點，直線PM與QN交于點Dx28．如圖，F1(?c,0)、F2(c,0)為雙曲線C1:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，拋物線(1)求雙曲線C1與拋物線C(2)過F2作不垂直于x軸的直線l，依次交C1的右支、C2于A、B、C、D四點，設M為AD中點，N為BC29．①離心率為22；②經過點M?3,已知橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的方程；(2)過P的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓交于點Q(異于點P)，過F1與直線l垂直的直線交橢圓于點A，B，記PQ中點為Mx1,y1，記AB的中點為Nx30．人造