新教材人教A版必修第二冊6. 1 平面對量的概念

6.1平面對量的概念

敵材分析

本節(jié)課選自？一般高中課程標準數(shù)學教科書必修其次冊？（人教A版）第六章?平面對量及

其應用？，本節(jié)課是第1課時，本節(jié)課內容包括向量的實際背景與概念、向量的幾何表示、相

等向量與共線向量。

本節(jié)從物理學中的位移、力這些既有大小又有方向的量動身，抽象出向量的概念，并重

點說明白向量與數(shù)量的區(qū)分，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、

平行向量、共線向量、相等向量等根本概念。

在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示"中，主要介紹

有向線段、有向線段的三個要素、向量的表示、向量與有向線段的區(qū)分與聯(lián)系、向量的長度、

零向量、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向

量定義等

敬學目標與核心需算

課程目標學科素養(yǎng)

A.了解向量的實際背景，理解平面對量1.數(shù)學抽象：平面對量的概念；

的概念和向量的幾何表示；

2.規(guī)律推理：區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量；

把握向量的模、零向量、單位向量、

B.3.直觀想象：向量的幾何表示；

平行向量、相等向量、共線向量等概念；

C.并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線

向量.

D、通過對向量的學習，使同學初步熟悉現(xiàn)

實生活中的向量和數(shù)量的本質區(qū)分.

E、通過同學對向量與數(shù)量的識別力量的訓

練，培育同學熟悉客觀事物的數(shù)學本質的

力量.

政學■窿京

1.教學重點：理解并把握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.

2.教學難點：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)分和聯(lián)系.

多媒體

教學過程教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情景引入通過生動的例子及

物理學問，引入本節(jié)

1.老鼠以10m/s的速度向東跑，貓以50m/s的速度向西追，貓

新課。建立學問間的

能否追上老鼠？

聯(lián)系，提高同學概

分析：老鼠逃跑的路線、貓追趕的路線實際上都是有方向、有長短的括、類比推理的力

量.量,，

2.問題：質量、力、速度這三個物理量有什么區(qū)分？

質量只有大??；力、速度既有大小，又有方向。

二、探究新知

(-)向量的實際背景與概念

1.問題：在物理中，位移與路程是同一個概念嗎？為什么？

通過物理量路程與

【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小.

位移引入向量概念，

提高同學的解決問

2.(1)向量與數(shù)量的定義：

題、分析問題的力

量:"

既有大小，又有方向的量叫做向量(物理學中稱為矢量)；

只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量(物理學中稱為標量).

留意：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、能比擬大

小；向量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比擬大小，故向

量不能比擬大小.

練習：以下量不是向量的是(〕

(1)質量⑵速度⑶位移(4)力(5)加速度

提高練習，進一步穩(wěn)

(6)面積(7)年齡(8)身高固向量的概念。

【答案】(1)(6)(7)(8)

(二)向量的幾何表示

探究：由于實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，數(shù)量經(jīng)常用數(shù)軸上的一個通過探究，引入向量

點表示，那么，怎么表示向量呢？表示，提高同學分析

問題、概括力量。

1.有向線段的定義

在線段AB的兩個端點中，規(guī)定一個挨次，假設A為起點，B為終

點，就說線段AB具有方向，具有方向的線段叫做有向線段.

如圖，以A為起點、B為終點的有向線段記作.

線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作.

思索：一條有向線段由哪幾個根本要素所確定？

【答案】三個要素：起點、方向、長度.

通過思索，進一步理

2.向量的幾何表示

解向量的表示。

畫圖時，我們常用有向線段來表示向量，線段按肯定比例（標度）

畫出.其中有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向

量的方向.

3.向量的表示方法：

一般可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如。

假設表示向量的有向線段沒有標注起點和終點字母，向量也可用黑體

字母a,b,c,…（書寫時用留意用表不）.

留意：（1）.向量:與起點無關.用有向線段表示向量時,起點可以取任

意位置.數(shù)學中的向量也叫自由向量.

（2）.有向線段與向量的區(qū)分：

有向線段：三要素：起點、大小、方向。

向量:可選任意點作為向量的起點、有大小、有方向。

4.向量的模

向量的大小，就是向量的長度（或模），記作或記作。

思索：向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負數(shù)嗎？

【答案】可以為0,1,不能為負數(shù)。

5.零向量：長度為0的向量，記作.

單位向量：長度等于1個單位的向量.

說明：（1）零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.

故零向量的方向是任意的，單位向量的方向詳細而定.

（2）留意：向量是不能比擬大小的，但向量的模（是正數(shù)或零）是可

以進行大小比擬的.

例1.在圖中，分別用向量表示A地至B、C

兩地的位移，并依據(jù)圖中的比例尺，并求出

A地至B、C兩地的實際距離（精確到1km）

解：荏表示A地至B地的位移，且I獲I*

前表示A地至C地的位移，且|衣1%.提高思索，引入特殊

的向量，增加對概念

（三）.相等向量與共線向量的理解，提高同學分

析問題的力量。

思索1：向量由其模和方向所確定.對于兩個向量，就其模等與不

等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？

【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；

1.平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②

我們規(guī)定o與任一向量平行.

說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定

義；(2)向量a、bc平行，記作a〃6〃c.通過例題進一步理

解向量的概念，提高

2.相等向量定義：

同學用向量解決問

長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

題的力量。

說明：(1)向量a與6相等，記作a=b；(2)零向量與零向量相

等；(3)任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，

并且與有向線段也早點下去

3.共線向量與平行向量關系：

平行向量就是共線向量，這是由于任一組平行向量都可移到同始

終線上(與尊耳繾鏗的舉虛無巧)..

通過思索，引入平行

a

-------?

向量，提高同學的理

bcba_______

cCOAB解問題的力量.

說明：(1)平行向量可以在同始終線上，要區(qū)分于兩平行線的位置關

系；(2)共線向量可以相互平行，要區(qū)分于在同始終線上的線段的位

置關系.

牛刀小試；

填空：

(1)平行向量是否肯定方向相同？()

(2)不相等的向量是否肯定不平行？()

(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？()

(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？()

(5)假設兩個向量在同始終線上，那么這兩個向量肯定是什么

向量？()

(6)兩個非零向量相等的當且僅當什么？()

(7)共線向量肯定在同始終線上嗎？()

【答案】(1)不肯定(2)不肯定(3零向量

(4)零向量(5)平行向量(6)長度相等且方向相同

(7)不肯定

例2.如圖，設0是正六邊形ABCDEF的中心，

K------X

/\/\

(I)寫出圖中的共線向量；W

(2)分別寫出圖中與向量、、相等的向量.

解：(1)OA,CB.DO.屋是共線向量；

OB,DC,EO.俞是共線向貴，

OC,AB.ED,用是共線向量.

(2)OA=CB=DO；

OB=DC=W；

OC=AB=ED=FO.

通過練習，進一步穩(wěn)

固所學的向量有關

學問，提高同學解決

問題的力量。

通過例題的講解，讓

同學進一步理解共

線向量、相等向量,

提高同學解決與分

析問題的力量。

三、達標檢測

1.以下說法中正確的個數(shù)是（）

①身高是一個向量；

②NA08的兩條邊都是向量；通過練習穩(wěn)固本節(jié)

所學學問，提高同學

③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；

解決問題的力量，感

④物理學中的加速度是向量.悟其中蘊含的數(shù)學

思想，增加同學的應

A.0B.1

用意識。

C.2D.3

【解析】只有④中物理學中的加速度既有大小又有方向是向

量，①②③錯誤.④正確.

【答案】B

2.在以下推斷中，正確的選項是（）

①長度為0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③單位向量的長度都相等；

④單位向量都是同方向；

⑤任意向量與零向量都共線.

A.①@③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

【解析】由定義知①正確，②由于零向量的方向是任意的，故

兩個零向量的方向是否相同不確定，故不正確.明顯③、⑤正確，④

不正確，應選D.

【答案】D

3.設e,，e2是兩個單位向量，那么以下結論中正確的選項是（）

A.ei—e2B.ei//62

C.\ei\^\e2\D.以上都不對

【解析】單位向量的模都等于1個單位，故C正確.

【答案】C

4.在以下命題中：①平行向量肯定相等；②不相等的向量肯定不平

行；③共線向量肯定相等：④相等向量肯定共線；⑤長度相等的向量

是相等向量；⑥平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向量.正確

的命題是________.

【解析】由向量的相關概念可知④⑥正確.

【答案】④⑥

5.如下圖，四邊形A8C。是平行四邊形，四邊形A8CE是矩形，找出

與向量Q相等的向量.

【解】由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形,知虎，

應）與布的長度相等且方向相同，所以與向量前相等的向量為求和

ED.

四、小結通