2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 一元二次方程1 認(rèn)識(shí)一元二次方程第2課時(shí) 一元二次方程的根及近似解教案 （新版）北師大版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章一元二次方程1認(rèn)識(shí)一元二次方程第2課時(shí)一元二次方程的根及近似解教案（新版）北師大版課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是北師大版2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章第一課時(shí)“一元二次方程的根及近似解”。具體內(nèi)容包括：

1.讓學(xué)生掌握一元二次方程的根的判別式，理解其含義及應(yīng)用。

2.引導(dǎo)學(xué)生掌握一元二次方程的求根公式，并能靈活運(yùn)用求解一元二次方程。

3.讓學(xué)生了解近似解的概念，學(xué)習(xí)用近似解法求解一元二次方程。

4.通過(guò)實(shí)例分析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)判斷一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根、有無(wú)實(shí)數(shù)近似解，并會(huì)選擇合適的方法求解。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：

1.學(xué)生需要掌握實(shí)數(shù)的性質(zhì)，如平方根、算術(shù)平方根等。

2.學(xué)生應(yīng)具備代數(shù)式的運(yùn)算能力，如合并同類項(xiàng)、分解因式等。

3.學(xué)生需了解實(shí)驗(yàn)操作的基本方法，如觀察、實(shí)驗(yàn)、分析等。

4.學(xué)生應(yīng)具備一定的解決問(wèn)題的能力，能在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用一元二次方程的根及近似解。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要包括：

1.邏輯推理：使學(xué)生能夠通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、分析等方法，推理出一元二次方程的根的判別式的含義及應(yīng)用，理解一元二次方程的求根公式，并能夠運(yùn)用近似解法求解實(shí)際問(wèn)題。

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)計(jì)算得到合理的解答。

3.直觀想象：通過(guò)圖示、實(shí)例等方式，幫助學(xué)生直觀地理解一元二次方程的根的判別式、求根公式及近似解法，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

4.數(shù)據(jù)分析：使學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)據(jù)分析的方法，判斷一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根、有無(wú)實(shí)數(shù)近似解，并選擇合適的方法求解。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了的相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，如平方根、算術(shù)平方根等；具備代數(shù)式的運(yùn)算能力，如合并同類項(xiàng)、分解因式等；同時(shí)，學(xué)生也有一定的解決問(wèn)題的能力，能在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用一元二次方程。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

九年級(jí)的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有著較為濃厚的興趣，尤其是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，他們表現(xiàn)出較強(qiáng)的學(xué)習(xí)動(dòng)力。在學(xué)習(xí)能力方面，學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)據(jù)分析的能力。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生偏好通過(guò)實(shí)例、圖示等方式直觀地理解數(shù)學(xué)概念，喜歡通過(guò)合作交流來(lái)解決問(wèn)題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)一元二次方程的根及近似解時(shí)，學(xué)生可能對(duì)判別式的含義及應(yīng)用、求根公式的記憶和運(yùn)用、近似解法的操作等方面感到困惑。特別是在理解一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根、有無(wú)實(shí)數(shù)近似解的判斷方法，以及選擇合適的方法求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到一定的困難。此外，如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以及如何在復(fù)雜情境中運(yùn)用一元二次方程的根及近似解，也是學(xué)生需要克服的挑戰(zhàn)。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章一元二次方程1認(rèn)識(shí)一元二次方程第2課時(shí)一元二次方程的根及近似解教案（新版）北師大版》的教材或?qū)W習(xí)資料，以便學(xué)生能夠跟隨教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的一系列圖片、圖表、視頻等多媒體資源。例如，可以準(zhǔn)備一些有關(guān)一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的案例圖片，以及展示一元二次方程求根過(guò)程的動(dòng)畫或視頻。此外，還可以準(zhǔn)備一些有關(guān)判別式、求根公式和近似解法的圖示或示意圖，以便在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行直觀展示和解釋。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果本節(jié)課涉及實(shí)驗(yàn)操作，需要提前準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)所需的器材，并確保其完整性和安全性。例如，可以準(zhǔn)備一些實(shí)際問(wèn)題情境的實(shí)驗(yàn)材料，如物理實(shí)驗(yàn)器材、幾何模型等，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作來(lái)更好地理解和應(yīng)用一元二次方程的根及近似解。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，對(duì)教室環(huán)境進(jìn)行布置?？梢栽O(shè)置分組討論區(qū)，供學(xué)生進(jìn)行小組討論和合作交流；設(shè)置實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，供學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作和觀察。此外，還可以在教室內(nèi)布置一些與本節(jié)課相關(guān)的問(wèn)題情境或?qū)嶋H應(yīng)用案例，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思考。

除了以上教學(xué)資源，還可以考慮利用網(wǎng)絡(luò)資源，如在線數(shù)學(xué)教育平臺(tái)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)網(wǎng)站等，為學(xué)生提供更多學(xué)習(xí)資料和練習(xí)題庫(kù)，以便學(xué)生能夠在課后進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和鞏固知識(shí)。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件或計(jì)算器等工具，進(jìn)行一元二次方程的求解和實(shí)驗(yàn)操作，提高他們的實(shí)踐能力和解決問(wèn)題的能力。五、教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，如PPT、視頻、文檔等，明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞“一元二次方程的根及近似解”課題，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解一元二次方程的根及近似解的知識(shí)點(diǎn)。

-思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：針對(duì)預(yù)習(xí)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問(wèn)。

-提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問(wèn)題等）提交至平臺(tái)或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)、微信群等，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解本節(jié)課的主題，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過(guò)故事、案例或視頻等方式，引出一元二次方程的根及近似解課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解一元二次方程的根的判別式、求根公式和近似解法，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握一元二次方程的根及近似解技能。

-解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問(wèn)，進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽講并思考：認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問(wèn)題。

-參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，體驗(yàn)一元二次方程的根及近似解的應(yīng)用。

-提問(wèn)與討論：針對(duì)不懂的問(wèn)題或新的想法，勇敢提問(wèn)并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過(guò)詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解一元二次方程的根及近似解的知識(shí)點(diǎn)。

-實(shí)踐活動(dòng)法：設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握一元二次方程的根及近似解技能。

-合作學(xué)習(xí)法：通過(guò)小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解一元二次方程的根及近似解的知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)技能。

-通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力。

-通過(guò)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：提供與一元二次方程的根及近似解相關(guān)的拓展資源，如書籍、網(wǎng)站、視頻等，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的關(guān)于一元二次方程的根及近似解的知識(shí)點(diǎn)和技能。

-通過(guò)拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和思維方式。

-通過(guò)反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。六、知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是北師大版2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章第一課時(shí)“一元二次方程的根及近似解”。以下是本節(jié)課需要掌握的知識(shí)點(diǎn)：

1.一元二次方程的根的判別式：

-了解一元二次方程的根的判別式的定義和表達(dá)式。

-掌握如何利用判別式判斷一元二次方程的根的情況，包括判斷有無(wú)實(shí)數(shù)根、有無(wú)實(shí)數(shù)近似根。

2.一元二次方程的求根公式：

-掌握一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過(guò)程。

-能夠運(yùn)用求根公式求解一元二次方程，并理解其應(yīng)用范圍和限制。

3.一元二次方程的近似解法：

-了解近似解法的概念和原理。

-掌握利用近似解法求解一元二次方程的方法，并能夠判斷近似解的準(zhǔn)確性。

4.一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：

-能夠?qū)⒁辉畏匠虘?yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，建立數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)計(jì)算得到合理的解答。

5.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：

-掌握一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，能夠根據(jù)根的情況判斷方程的系數(shù)。

6.一元二次方程的圖像解析：

-了解一元二次方程的圖像特點(diǎn)，包括開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等。

-能夠通過(guò)觀察圖像來(lái)判斷一元二次方程的根的情況。七、典型例題講解1.例題1：求解一元二次方程的根

已知方程：x^2-4x+3=0

（1）求解方程的根。

（2）判斷方程的根的情況，有無(wú)實(shí)數(shù)根、有無(wú)實(shí)數(shù)近似根。

解：

（1）利用求根公式：

x=(4±√(4^2-4*1*3))/(2*1)

x=(4±√(16-12))/2

x=(4±√4)/2

x=(4±2)/2

x=2±1

所以，方程的根為x1=2,x2=1。

（2）判別式：Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4*1*3=16-12=4

因?yàn)棣?gt;0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

答案：方程的根為x1=2,x2=1，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

2.例題2：求解一元二次方程的近似解

已知方程：x^2-5x+6=0

（1）求解方程的近似根。

（2）判斷方程的根的情況，有無(wú)實(shí)數(shù)根、有無(wú)實(shí)數(shù)近似根。

解：

（1）利用求根公式：

x=(5±√(5^2-4*1*6))/(2*1)

x=(5±√(25-24))/2

x=(5±√1)/2

x=(5±1)/2

所以，方程的近似根為x1≈2.5,x2≈1.5。

（2）判別式：Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4*1*6=25-24=1

因?yàn)棣?gt;0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

答案：方程的近似根為x1≈2.5,x2≈1.5，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

3.例題3：應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題

某商品的進(jìn)價(jià)為每件80元，銷售價(jià)為每件100元。若銷售10件，則總利潤(rùn)為300元。求銷售量與總利潤(rùn)之間的關(guān)系。

解：

設(shè)銷售量為x件，總利潤(rùn)為y元。

根據(jù)題意，銷售價(jià)為100元，進(jìn)價(jià)為80元，所以每件商品的利潤(rùn)為100-80=20元。

銷售10件的總利潤(rùn)為300元，所以有：

10*20=y

200=y

又因?yàn)殇N售量與總利潤(rùn)之間的關(guān)系為：

y=20x-8000

將y=200代入上式，得到：

200=20x-8000

解得：

x=(200+8000)/20

x=8200/20

x=410

所以，銷售量與總利潤(rùn)之間的關(guān)系為：當(dāng)銷售量大于410件時(shí)，總利潤(rùn)將增加。

答案：銷售量與總利潤(rùn)之間的關(guān)系為：當(dāng)銷售量大于410件時(shí)，總利潤(rùn)將增加。

4.例題4：求解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

已知方程：x^2-4x+3=0

（1）求解方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

解：

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有：

x1+x2=4

x1*x2=3

將方程的根代入上式，得到：

2+1=4

2*1=3

解得：

x1=2,x2=1

答案：方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=4,x1*x2=3。

5.例題5：求解一元二次方程的圖像解析

已知方程：x^2-5x+6=0

（1）求解方程的圖像解析。

解：

根據(jù)一元二次方程的圖像特點(diǎn)，有：

開口向上，對(duì)稱軸為x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)。

其中，h=-b/2a，k=f(h)=4h-6。

將方程的系數(shù)代入上式，得到：

h=-(-5)/2*1=2.5

k=4*2.5-6=-0.5

所以，方程的圖像解析為：開口向上，對(duì)稱軸為x=2.5，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,-0.5)。

答案：方程的圖像解析為：開口向上，對(duì)稱軸為x=2.5，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,-0.5)。八、內(nèi)容邏輯關(guān)系1.知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系

-一元二次方程的根的判別式與求根公式之間的關(guān)系：判別式用于判斷方程的根的情況，而求根公式用于求解方程的具體根。

-一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系：方程的根與系數(shù)之間存在特定的關(guān)系，即根的和等于系數(shù)的相反數(shù)除以系數(shù)的和，根的積等于常數(shù)項(xiàng)。

-一元二次方程的圖像解析與根的關(guān)系：方程的圖像解析可以幫助我們更好地理解方程的根的情況，反之，方程的根也可以幫助我們更好地理解方程的圖像解析。

2.詞之間的邏輯關(guān)系

-“判別式”與“求根公式”：判別式用于判斷方程的根的情況，而求根公式用于求解方程的具體根。

-“根與系數(shù)”：方程的根與系數(shù)之間存在特定的關(guān)系，即根的和等于系數(shù)的相反數(shù)除以系數(shù)的和，根的積等于常數(shù)項(xiàng)。

-“圖像解析”與“根”：方程的圖像解析可以幫助我們更好地理解方程的根的情況，反之，方程的根也可以幫助我們更好地理解方程的圖像解析。

3.句之間的邏輯關(guān)系

-“一元二次方程的根的判別式用于判斷方程的根的情況，而求根公式用于求解方程的具體根。”這句話說(shuō)明了判別式和求根公式之間的關(guān)系。

-“方程的根與系數(shù)之間存在特定的關(guān)系，即根的和等于系數(shù)的相反數(shù)除以系數(shù)的和，根的積等于常數(shù)項(xiàng)?！边@句話說(shuō)明了根與系數(shù)之間的關(guān)系。

-“方程的圖像解析可以幫助我們更好地理解方程的根的情況，反之，方程的根也可以幫助我們更好地理解方程的圖像解析。”這句話說(shuō)明了圖像解析與根之間的關(guān)系。

板書設(shè)計(jì)：

1.一元二次方程的根的判別式與求根公式之間的關(guān)系：

判別式：Δ=b^2-4ac

求根公式：x=(b±√Δ)/(2a)

2.一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系：

根的和：x1+x2=-b/a

根的積：x1*x2=c/a

3.一元二次方程的圖像解析與根的關(guān)系：

圖像解析：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)

根的情況：實(shí)數(shù)根、近似根作業(yè)布置與反饋-請(qǐng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)，求解以下一元二次方程的根及近似根：

-方程1：x^2-5x+6=0

-方程2：x^2-7x+8=0

-請(qǐng)學(xué)生利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求解以下方程的根與系數(shù)的關(guān)系：

-方程3：x^2-4x+3=0

-方程4：x^2-6x+5=0

-請(qǐng)學(xué)生利用一元二次方程的圖像解析，求解以下方程的圖像解析：

-方程5：x^2-5x+6=0

-方程6：x^2-7x+8=0

2.作業(yè)反饋：

-對(duì)于方程求根的作業(yè)，及時(shí)批改并反饋，指出學(xué)生在解方程過(guò)程中的錯(cuò)誤，如判別式的計(jì)算錯(cuò)誤、求根公式的應(yīng)用錯(cuò)誤等，并給出改進(jìn)建議。

-對(duì)于方程根與系數(shù)關(guān)系的作業(yè)，及時(shí)批改并反饋，指出學(xué)生在理解和應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系時(shí)的錯(cuò)誤，如錯(cuò)誤的根的求解、錯(cuò)誤的系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用等，并給出改進(jìn)建議。

-對(duì)于方程圖像解析的作業(yè)，及時(shí)批改并反饋，指出學(xué)生在理解和應(yīng)用圖像解析時(shí)的錯(cuò)誤，如錯(cuò)誤的圖像開口方向判斷、錯(cuò)誤的圖像對(duì)稱軸和頂點(diǎn)計(jì)算等，并給出改進(jìn)建議。

-對(duì)于學(xué)生的作業(yè)，及時(shí)批改并反饋，指出學(xué)生在理解和應(yīng)用一元二次方程的根及近似解時(shí)