人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第二章 2.1.3-2.1.4同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

2．1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2．1.4平面與平面之間的位置關(guān)系[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解直線與平面之間的三種位置關(guān)系，會(huì)用圖形語言和符號(hào)語言表示.2.了解平面與平面之間的兩種位置關(guān)系，會(huì)用符號(hào)語言和圖形語言表示．[知識(shí)鏈接]1．空間中兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、異面．2．異面直線所成角的范圍為(0°，90°]．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系定義圖形語言符號(hào)語言直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)a?α直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)a∩α＝A直線與平面平行沒有公共點(diǎn)a∥α2.兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)平面α與平面β平行α∥β沒有公共點(diǎn)平面α與平面β相交α∩β＝l有一條公共直線要點(diǎn)一直線與平面的位置關(guān)系例1以下命題(其中a，b表示直線，α表示平面)，①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α，則a∥b.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案A解析如圖所示在長(zhǎng)方體ABCDA′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①錯(cuò)誤；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′與B′C′相交，故②錯(cuò)誤；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③錯(cuò)誤；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′與BC異面，故④錯(cuò)誤．規(guī)律方法1.本題在求解時(shí)，常受思維定勢(shì)影響，誤以為直線在平面外就是直線與平面平行．2．判斷直線與平面位置關(guān)系的問題，其解決方式除了定義法外，還可以借助模型(如長(zhǎng)方體)和舉反例兩種行之有效的方法．跟蹤演練1下列命題：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；④若直線a∥b，直線b?α，那么直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．其中假命題的序號(hào)是________．答案①②③解析對(duì)于①，∵直線l雖與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內(nèi)，∴l(xiāng)不一定平行于α，∴①是假命題．對(duì)于②，∵直線a在平面α外包括兩種情況：a∥α和a與α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命題．對(duì)于③，∵直線a∥b，b?α，則只能說明a和b無公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，∴a不一定平行于α，∴③是假命題．對(duì)于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，∴a可以與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，∴④是真命題．要點(diǎn)二平面與平面的位置關(guān)系例2給出的下列四個(gè)命題中，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()①平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行；②平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行，則α與β平行；③平面α內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面β的距離相等，則α與β平行；④若兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是相交或重合．A．0B．1C．3D．4答案A解析如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分別取AA1、DD1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1是相交的，交線為A1D1，故命題①錯(cuò)．對(duì)于②，在正方體ABCDA1B1C1D1的面AA1D1D中，與平面A1B1C1D1平行的直線有無數(shù)條，但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直線A1D1，故②是錯(cuò)誤的．對(duì)于③，在正方體ABCDA1B1C1D1中，分別取AA1，DD1，BB1，CC1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距離相等，而△A1BC與平面EFHG相交，故③是錯(cuò)誤的．對(duì)于④，兩平面位置關(guān)系中不存在重合，若重合則為一個(gè)平面，故命題④錯(cuò)．規(guī)律方法1.判斷兩平面的位置關(guān)系或兩平面內(nèi)的線線，線面關(guān)系，我們常根據(jù)定義，借助實(shí)物模型“百寶箱”長(zhǎng)方體(或正方體)進(jìn)行判斷．2．反證法也用于相關(guān)問題的證明．跟蹤演練2如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能確定答案C解析如圖所示，由圖可知C正確．1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無數(shù)條直線不相交D．任意一條直線不相交答案D解析直線a∥平面α，則a與α無公共點(diǎn)，與α內(nèi)的直線當(dāng)然均無公共點(diǎn)．2．如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為()A．平行B．相交C．直線在平面內(nèi)D．平行或直線在平面內(nèi)答案D解析由面面平行的定義可知，若一條直線在兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線與另一個(gè)平面無公共點(diǎn)，所以與另一個(gè)平面平行．由此可知，本題中這條直線可能在其中一個(gè)平面內(nèi)．否則此直線與另一個(gè)平面平行(因?yàn)槿粢粭l直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交，則必然與另一個(gè)平面相交)．3．若M∈平面α，M∈平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．不確定答案B解析∵M(jìn)∈平面α，M∈平面β，∴α與β相交于過點(diǎn)M的一條直線．4．α、β是兩個(gè)不重合的平面，下面說法正確的是()A．平面α內(nèi)有兩條直線a、b都與平面β平行，那么α∥βB．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β，那么α∥βC．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行，那么α∥β答案D解析A、B都不能保證α、β無公共點(diǎn)，如圖①；C中當(dāng)a∥α，a∥β時(shí)，α與β可能相交，如圖②；只有D說明α、β一定無公共點(diǎn)，故選D.5．下列命題：①兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合；②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為________．答案①②解析對(duì)于①，兩個(gè)平面相交，則有一條交線，也有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，借助于正方體ABCDA1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交，故②錯(cuò)誤．1.空間中直線與平面的位置關(guān)系有兩種分類方式2．判斷直線與平面及平面與平面位置關(guān)系常用定義和反證法．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．若a，b是異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是()A．b∥αB．相交C．b?αD．b?α、相交或平行答案D解析如圖所示，選D.2．直線a在平面γ外，則()A．a(chǎn)∥γB．a(chǎn)與γ至少有一個(gè)公共點(diǎn)C．a(chǎn)∩γ＝AD．a(chǎn)與γ至多有一個(gè)公共點(diǎn)答案D解析直線a在平面γ外，包括直線a與平面γ相交或平行兩層含義，故a與γ至多有一個(gè)公共點(diǎn)．3．如果平面α外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面α的距離都是a，則直線AB和平面α的位置關(guān)系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．AB?α答案C解析結(jié)合圖形可知選項(xiàng)C正確．4．以下四個(gè)命題：①三個(gè)平面最多可以把空間分成八部分；②若直線a?平面α，直線b?平面β，則“a與b相交”與“α與β相交”等價(jià)；③若α∩β＝l，直線a?平面α，直線b?平面β，且a∩b＝P，則P∈l；④若n條直線中任意兩條共面，則它們共面．其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①③答案D解析對(duì)于①，正確；對(duì)于②，逆推“α與β相交”推不出“a與b相交”，也可能a∥b；對(duì)于③，正確；對(duì)于④，反例：正方體的側(cè)棱任意兩條都共面，但這4條側(cè)棱卻不共面，故④錯(cuò)．所以正確的是①③.5．在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的六個(gè)表面與六個(gè)對(duì)角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1平行的平面共有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)答案B解析如圖所示，結(jié)合圖形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.6．若a與b異面，則過a與b平行的平面有________個(gè)．答案1解析當(dāng)a與b異面時(shí)，如圖，過a上任意一點(diǎn)M作b′∥b，則a與b′確定了唯一的平面α，且b∥α，故過a與b平行的平面有1個(gè)．7．已知一條直線與一個(gè)平面平行，求證：經(jīng)過這個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)．解已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求證：b?α.證明如右圖，∵a∥α，A∈α，∴A?a，∴由A和a可確定一個(gè)平面β，則A∈β，∴α與β相交于過點(diǎn)A的直線，設(shè)α∩β＝c，由a∥α知，a與α無公共點(diǎn)，而c?α，∴a與c無公共點(diǎn)．∵a?β，c?β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c，∴b與c重合．∴b?α.二、能力提升8．教室內(nèi)有一根直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線與直尺所在的直線()A．異面B．相交C．平行D．垂直答案D解析若尺子與地面相交，則C不正確；若尺子平行于地面，則B不正確；若尺子放在地面上，則A不正確．所以選D.9．如果空間的三個(gè)平面兩兩相交，則下列判斷正確的是________(填序號(hào))．①不可能只有兩條交線；②必相交于一點(diǎn)；③必相交于一條直線；④必相交于三條平行線．答案①解析空間的三個(gè)平面兩兩相交，可能只有一條交線，也可能有三條交線，這三條交線可能交于一點(diǎn)．10．下列命題正確的是________．①如果一條直線與一平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直；②若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b一定不相交；④若兩個(gè)平面α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．答案①③解析對(duì)于①，把一直角三角板的一直角邊放在桌面內(nèi)，讓另一直角邊抬起，即另一直角邊與桌面的位置關(guān)系是相交，可以得出在桌面內(nèi)與直角邊所在的直線平行的直線與另一直角邊垂直，∴命題①正確．對(duì)于②，α、β也可能相交，②不正確；對(duì)于③，若a與b相交，則α與β相交與條件矛盾，③正確；對(duì)于④，當(dāng)a與b重合時(shí)，a在β內(nèi)，當(dāng)a∥b時(shí)，a∥β，當(dāng)a與b相交時(shí)，a與β相交，④不正確．11.如圖，平面α、β、γ滿足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b、a與β的關(guān)系并證明你的結(jié)論．解a∥b，a∥β.證明如下：由α∩γ＝a知a?α且a?γ，由β∩γ＝b知b?β且b?γ，∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b無公共點(diǎn)．又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α與β無公共點(diǎn)．又a?α，∴a與β無公共點(diǎn)，∴a∥β.三、探究與創(chuàng)新12.如圖，已知平面α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．解平面ABC與β的交線與l相交．證明如下：∵AB與l不平行，且