人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第一章 1.1 第2課時同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.認(rèn)識圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征.2.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．[知識鏈接](1)如圖①，在直角三角形ABC中，sinB＝eq\f(AC,AB)，cosB＝eq\f(BC,AB).(2)如圖②，圓內(nèi)接三角形ABC，AC過圓心，則∠B＝90°.①②③(3)如圖③，在△ABC中，DE∥BC，則eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC).[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．旋轉(zhuǎn)體(1)圓柱①定義：以矩形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱．②相關(guān)概念(圖1)．③表示法：圓柱用表示它的軸的字母表示，圖中圓柱表示為圓柱O′O.(2)圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐．②相關(guān)概念(圖2)．③表示法：圓錐用表示它的軸的字母表示，圖中圓錐表示為圓錐SO.(3)圓臺①定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺．②相關(guān)概念(圖3)．③表示法：圓臺用表示軸的字母表示，圖中圓臺表示為圓臺OO′.(4)球①定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球．②相關(guān)概念(圖4)．③表示法：球常用表示球心的字母表示，圖中的球表示為球O.2．簡單組合體(1)概念：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體．常見的簡單組合體大多是由具有柱、錐、臺、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組成的．(2)基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.要點一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1判斷下列各命題是否正確：(1)圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球．解(1)錯．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸．(2)錯．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示．(3)正確．(4)錯．應(yīng)為球面．規(guī)律方法1.圓柱、圓錐、圓臺和球都是一個平面圖形繞其特定邊(弦)旋轉(zhuǎn)而成的幾何體，必須準(zhǔn)確認(rèn)識各旋轉(zhuǎn)體對旋轉(zhuǎn)軸的具體要求．2．只有理解了各旋轉(zhuǎn)體的生成過程，才能明確由此產(chǎn)生的母線、軸、底面等概念，進而判斷與這些概念有關(guān)的命題的正誤．跟蹤演練1下列敘述中正確的個數(shù)是()①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．A．0B．1C．2D．3答案A解析①應(yīng)以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)才可以得到圓臺；③它們的底面為圓面；④用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可得到一個圓錐和一個圓臺．要點二簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征例2如圖所示，已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰．分別以AB，CD，AD為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征．解(1)以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺，如圖(1)所示．(2)以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐．如圖(2)所示．(3)以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個組合體，它是一個圓柱上部挖去一個圓錐．如圖(3)所示．規(guī)律方法1.平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，要過有關(guān)頂點向軸作垂線，然后想象所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成．2．必要時作模型培養(yǎng)動手能力．跟蹤演練2如圖(1)、(2)所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？解旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示．其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O5O4，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的．要點三有關(guān)幾何體的計算問題例3如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺O′O的母線長．解設(shè)圓臺的母線長為lcm，由截得圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得圓臺的上、下底面的半徑分別為r,4r.過軸SO作截面，如圖所示．則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.∴eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA).∴eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9(cm)，即圓臺的母線長為9cm.規(guī)律方法用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解．跟蹤演練3一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．解如圖，將圓臺恢復(fù)成圓錐后作其軸截面，設(shè)圓臺的高為hcm，截得該圓臺的圓錐的母線為xcm，由條件可得圓臺上底半徑r′＝2cm，下底半徑r＝5cm.(1)由勾股定理得h＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)設(shè)圓錐的母線長為x，由三角形相似得：eq\f(x－12,x)＝eq\f(2,5)，解得x＝20(cm)．答：(1)圓臺的高為3eq\r(15)cm，(2)截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.1．下列幾何體是臺體的是()答案D解析臺體包括棱臺和圓臺兩種，A的錯誤在于四條側(cè)棱沒有交于一點，B的錯誤在于截面與圓錐底面不平行．C是棱錐，結(jié)合棱臺和圓臺的定義可知D正確．2．下圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()答案D解析組合體上半部分是圓錐，下半部分是一個圓臺，因此應(yīng)該是由上半部分為三角形，下半部分為梯形的平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的，觀察四個選項得D正確．3．下面幾何體的截面一定是圓面的是()A．圓臺B．球C．圓柱D．棱柱答案B解析截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球．4．下列命題：①通過圓臺側(cè)面上一點，有無數(shù)條母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線相互平行．其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②④答案D解析①③錯誤，②④正確．5．一個圓錐的母線長為20cm，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為________cm.答案10eq\r(3)解析h＝20cos30°＝10eq\r(3)(cm)．1.圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示．2．處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想．3．處理組合體問題常采用分割思想．4．重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何量中的特殊作用，切實體會空間幾何平面化的思想．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．正方形繞其一條對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是()A．圓柱B．圓錐C．圓臺D．兩個圓錐答案D解析連接正方形的兩條對角線知對角線互相垂直，故繞對角線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個圓錐．2.如圖所示是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的軸對稱平面圖形，若將它繞軸旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是()A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體B．該組合體仍然關(guān)于軸對稱C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點D．該組合體中的球和半球只有一個公共點答案A3．過球面上任意兩點A、B作大圓，可能的個數(shù)是()A．有且只有一個B．一個或無窮多個C．無數(shù)個D．以上均不正確答案B解析當(dāng)過A，B的直線經(jīng)過球心時，經(jīng)過A，B的截面所得的圓都是球的大圓，這時過A，B作球的大圓有無數(shù)個；當(dāng)直線AB不經(jīng)過球心O時，經(jīng)過A，B，O的截面就是一個大圓，這時只能作出一個大圓．4.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個組合體，其結(jié)構(gòu)特征是()A．一個棱柱中挖去一個棱柱B．一個棱柱中挖去一個圓柱C．一個圓柱中挖去一個棱錐D．一個棱臺中挖去一個圓柱答案B解析一個六棱柱挖去一個等高的圓柱．5．一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，如圖所示，則截面可能的圖形是()A．①③B．②④C．①②③D．②③④答案C解析當(dāng)截面平行于正方體的一個側(cè)面時得③，當(dāng)截面過正方體的體對角線時得②，當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過對角線時得①，但無論如何都不能截出④.6．若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是________．答案2eq\r(2)解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(42－r2).所以由題意可知eq\f(1,2)·2r·h＝req\r(42－r2)＝8，∴r2＝8，∴h＝2eq\r(2).7．如圖所示，幾何體可看作由什么圖形旋轉(zhuǎn)360°得到？畫出平面圖形和旋轉(zhuǎn)軸．解先畫出幾何體的軸，然后再觀察尋找平面圖形．旋轉(zhuǎn)前的平面圖形如下：二、能力提升8．一個正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，作正方體的對角面，所得截面圖形是下圖中的()答案B解析由組合體的結(jié)構(gòu)特征知，球只與正方體的上、下底面相切，而與兩側(cè)棱相離，故正確答案為B.9．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的截面，則截面的面積與球的一個大圓面積之比為()A．1∶4B．1∶2C．3∶4D．2∶3答案C10．已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個球的半徑是()A．4B．3C．2D．0.5答案B解析如圖所示，∵兩個平行截面的面積分別為5π、8π，∴兩個截面圓的半徑分別為r1＝eq\r(5)，r2＝2eq\r(2).∵球心到兩個截面的距離d1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))，d2＝eq\r(R2－r\o\al(2,2))，∴d1－d2＝eq\r(R2－5)－eq\r(R2－8)＝1，∴R2＝9，∴R＝3.11．在半徑為13的球面上有A、B、C三點，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，則球心到經(jīng)過這三個點的截面的距離為________．答案12解析由線段的長度知△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的半徑r＝eq\f(AB,2)＝5，所以d＝eq\r(R2－r2)＝12.12.一個圓錐的高為2，母線與軸的夾角為30°，求圓錐的母線長以及圓錐的軸截面的面積(如圖)．解母線長l＝eq\f(2,cos30°)＝eq\f(4\r(3),3)，底面半徑r＝2·tan30°＝eq\f(2\r(3),3)，所以S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(3),3)×2＝eq\f(4\r(3),3)，即圓錐的軸截面的面積是eq\f(4\r(3),3).三、探究與創(chuàng)新13.如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個點，且SM＝x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A.求：(1)繩子的最短長度的平方f(x)；(2)繩子最短時，頂點到繩子的最短距離；(3)f(x)的最大值．解將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA′的長度L就是圓O的周長，∴L＝2πr＝2π.∴∠ASM＝eq\f(L,2πl(wèi))×360°＝eq\f(2π,2π×4)×360°＝90°.(1)由題意知繩子長度的最小值為展開圖中的AM，其值為AM＝eq\r(x2＋16