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文檔簡(jiǎn)介
武漢大學(xué)教案
課程名稱(chēng):物理大地測(cè)量學(xué)
授課教師:羅志才
研究所:地球物理大地測(cè)量
單位:測(cè)繪學(xué)院
2011年3月
教學(xué)安排
1、教學(xué)目的
物理大地測(cè)量學(xué)是大地測(cè)量學(xué)的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)課程,其主要任務(wù)是研究地
球形狀及外部重力場(chǎng)。通過(guò)對(duì)本課程的學(xué)習(xí),要求學(xué)生掌握地球重力場(chǎng)的基本知
識(shí)、確定大地水準(zhǔn)面的理論和方法(包括大地測(cè)量學(xué)邊值問(wèn)題的基礎(chǔ)理論、Stokes
理論和Molodensky理論等)、地球重力場(chǎng)的相關(guān)應(yīng)用等,并為學(xué)生進(jìn)一?步研究
地球重力場(chǎng)及相關(guān)地球科學(xué)問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
2、教學(xué)要求
熟悉“物理大地測(cè)量學(xué)的基本概念、研究?jī)?nèi)容及主要應(yīng)用領(lǐng)域”,
掌握“重力測(cè)量的基本原理、確定地球重力場(chǎng)的基本理論及相關(guān)的基
礎(chǔ)知識(shí)”,重點(diǎn)掌握“地球重力位理論和確定大地水準(zhǔn)面形狀的Stokes
理論”。
3、課程內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配
課程內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配表
內(nèi)容學(xué)時(shí)
概述2
重力測(cè)量原理5
位理論基礎(chǔ)10
正常重力場(chǎng)8
確定大地水準(zhǔn)面形狀的Stokes理論10
基于Moledensky理論確定地球形狀的基本原理5
地球重力場(chǎng)的應(yīng)用5
第一章概述
重點(diǎn)講授物理大地測(cè)量學(xué)的發(fā)展進(jìn)程、學(xué)科任務(wù)及內(nèi)容;簡(jiǎn)單介
紹該課程與本專(zhuān)業(yè)其它課程、地球物理學(xué)、地球動(dòng)力學(xué)、海洋學(xué)等相
關(guān)學(xué)科的關(guān)系,以及在國(guó)家經(jīng)濟(jì)建設(shè)、國(guó)防與軍事建設(shè)中的地位和作
用。
1、學(xué)科任務(wù)
物理大地測(cè)量是大地測(cè)量學(xué)科的重要分支之一,是構(gòu)成現(xiàn)代大地測(cè)量學(xué)科體
系的主要基礎(chǔ),其主要任務(wù)是用物理方法研究和確定地球形狀及其外部重力場(chǎng),
又稱(chēng)大地重力學(xué)。從哲學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,地球重力場(chǎng)與其它物理場(chǎng)一樣,是不以人
的意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在,是物質(zhì)的一種存在形式;從自然科學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,重
力場(chǎng)是地球最重要的物理特性,制約著在該行星上及其鄰近空間發(fā)生的一切物理
事件,引力是宇宙一切物質(zhì)存在的最普遍屬性,制約著宇宙的演化和發(fā)展。地球
重力場(chǎng)反映地球物質(zhì)的空間分布、運(yùn)動(dòng)和變化,確定地球重力場(chǎng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)及其
時(shí)間相依變化將為現(xiàn)代地球科學(xué)解決人類(lèi)面臨的資源、環(huán)境和災(zāi)害等緊迫課題提
供基礎(chǔ)地學(xué)信息。
2、發(fā)展進(jìn)程
18世紀(jì)中葉以前,人們單純采用幾何大地測(cè)量方法測(cè)定地球形狀。1743年
法國(guó)的克萊洛在其著作《地球形狀理論》中,假設(shè)地球內(nèi)部處于靜力平衡狀態(tài),
地球的質(zhì)量密度分布是從地球質(zhì)心向外,隨距離的增加而減小的。在這種假定下,
他認(rèn)為地球的外表面應(yīng)是一個(gè)水準(zhǔn)橢球,即橢球表面上各點(diǎn)的重力位相等,從而
論證了重力值(物理量)和地球扁率(兒何量)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,這一論證稱(chēng)為
克萊洛定理。這一定理奠定了用物理方法研究地球形狀的理論基礎(chǔ),形成了物理
大地測(cè)量學(xué)的核心內(nèi)容。
隨著大地測(cè)量觀測(cè)精度的提高,發(fā)現(xiàn)一些弧度測(cè)量的平差結(jié)果之間的矛盾遠(yuǎn)
遠(yuǎn)超過(guò)了觀測(cè)誤差。19世紀(jì)初,法國(guó)的拉普拉斯和德國(guó)的高斯、貝塞爾等都認(rèn)
識(shí)到橢球面不足以代表地球表面。1849年,英國(guó)的斯托克斯提出了斯托克斯理
論,即在地球的外重力位水準(zhǔn)面上給定重力和重力位,已知地球離心力位,可以
求出這個(gè)外重力位水準(zhǔn)面的形狀和外部重力位,無(wú)須對(duì)地球內(nèi)部物質(zhì)分布作任何
假設(shè)。但為了求得唯一解,水準(zhǔn)面外部不能有質(zhì)量存在。斯托克斯理論是克萊洛
定理的進(jìn)一步發(fā)展。1873年,利斯廷提出用大地水準(zhǔn)面代表地球形狀,由此可
將斯托克斯理論用于研究大地水準(zhǔn)面形狀。但實(shí)際上由于大地水準(zhǔn)面外部存在大
陸,所以必須通過(guò)重力觀測(cè)值的歸算移去這些物質(zhì),這將使大地水準(zhǔn)面發(fā)生形變,
并且必須知道歸算范圍內(nèi)巖層密度分布的數(shù)據(jù),這是一個(gè)十分復(fù)雜而難以解決的
問(wèn)題。所以歸算問(wèn)題一直成為經(jīng)典的斯托克斯理論的障礙。盡管如此,斯托克斯
理論還是推動(dòng)了大地水準(zhǔn)面形狀的研究工作。
1945年,蘇聯(lián)的莫洛堅(jiān)斯基提出了用地面重力觀測(cè)來(lái)確定地球形狀的理論,
從而回避了長(zhǎng)期無(wú)法解決的歸算問(wèn)題。但是仍然存在資料?(重力數(shù)據(jù))不足的矛
盾。在平原或丘陵地區(qū)應(yīng)用經(jīng)典方法,雖然歸算在理論上不嚴(yán)密,但不足以影響
大地水準(zhǔn)面的計(jì)算精度。困難在于莫洛堅(jiān)斯基理論雖然嚴(yán)密,但在高山地區(qū)所需
要的數(shù)據(jù)眾多,當(dāng)時(shí)條件下很難滿足。
1964年瑞典的布耶哈默爾(A.Bjerhammer)應(yīng)用重力延拓方法,1969年丹麥
的克拉魯普(T.Krarup)和1973年奧地利的莫里茨(H.Moritz)應(yīng)用最小二乘擬合推
估的方法進(jìn)行解算,初步解決了上述困難(見(jiàn)地球形狀)。
1957年第一顆人造地球衛(wèi)星發(fā)射成功之后,才使物理大地測(cè)量學(xué)發(fā)展到一
個(gè)嶄新的階段。其標(biāo)志是開(kāi)創(chuàng)了衛(wèi)星重力探測(cè)時(shí)代,包括根據(jù)衛(wèi)星軌道攝動(dòng)理論,
觀測(cè)衛(wèi)星軌道攝動(dòng)確定低階位系數(shù);利用衛(wèi)星海洋雷達(dá)測(cè)高確定高精度高分辨率
海洋重力場(chǎng)模型和大地水準(zhǔn)面模型;GPS技術(shù)結(jié)合水準(zhǔn)測(cè)量直接測(cè)定大陸大地水
準(zhǔn)面;以及本世紀(jì)初利用衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星(如CHAMP和GRACE)和衛(wèi)星重力梯
度測(cè)量技術(shù)(如GOCE)可以確定全球更高精度和分辨率的靜態(tài)重力場(chǎng)模型和時(shí)
變重力場(chǎng)模型。衛(wèi)星重力探測(cè)技術(shù)的發(fā)展,突破了人們過(guò)去獲取重力場(chǎng)信息的局
限性,使得物理大地測(cè)量的研究從局部或區(qū)域性擴(kuò)展到全球,從測(cè)定靜態(tài)地球重
力場(chǎng)發(fā)展到測(cè)定時(shí)變重力場(chǎng),從而豐富了物理大地測(cè)量學(xué)的內(nèi)容,推動(dòng)了物理大
地測(cè)量學(xué)的發(fā)展。
3、學(xué)科內(nèi)容
物理大地測(cè)量學(xué)主要研究以下幾個(gè)方面的問(wèn)題:
(1)重力位理論:它是利用重力以及同重力有關(guān)的衛(wèi)星觀測(cè)資料確定地球
形狀及其外部重力場(chǎng)的理論基礎(chǔ),主要研究重力位函數(shù)的數(shù)學(xué)特性和物理特性。
(2)地球形狀及其外部重力場(chǎng)的基本理論:它主要是研究解算位理論邊值
問(wèn)題,例如按斯托克斯理論或莫洛堅(jiān)斯基理論或布耶哈默爾理論等解算,以此推
求大地水準(zhǔn)面形狀或真正地球形狀和地球外部重力場(chǎng)。
(3)全球性地球形狀:利用全球重力以及同重力有關(guān)的衛(wèi)星觀測(cè)資料,按
確定地球形狀及其外部重力場(chǎng)的基本理論,推求以地球質(zhì)心為中心的平均地球橢
球的參數(shù),以此建立全球大地坐標(biāo)系,并在此基礎(chǔ)上推求全球重力場(chǎng)模型、大地
水準(zhǔn)面差距、重力異常和重線偏差等。
(4)區(qū)域性地球形狀:按確定地球形狀及其外部重力場(chǎng)的基本理論,采用
局部地區(qū)的天文、大地和重力資料,將含有地球重力場(chǎng)影響的地面各種大地測(cè)量
數(shù)據(jù)(如天文經(jīng)緯度、方位角、水平角、高度角、距離和水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果)歸算到
局部大地坐標(biāo)系中,以此建立國(guó)家大地網(wǎng)和國(guó)家水準(zhǔn)網(wǎng)。利用地面重力資料、衛(wèi)
星測(cè)高資料、衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星數(shù)據(jù)及其他重力場(chǎng)信息,推求高精度高分辨率區(qū)域重
力場(chǎng)和大地水準(zhǔn)面模型。
(5)重力探測(cè)技術(shù):研究獲取地球重力場(chǎng)信息的技術(shù)和方法,包括地面重
力測(cè)量、海洋重力測(cè)量、航空重力測(cè)量、衛(wèi)星雷達(dá)測(cè)高、衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星、衛(wèi)星重
力梯度測(cè)量等的技術(shù)原理和數(shù)據(jù)處理方法,以及其它新的重力場(chǎng)信息獲取技術(shù)。
(6)地球重力場(chǎng)的地學(xué)解釋?zhuān)豪玫厍蛑亓?chǎng)信息研究地球的內(nèi)部結(jié)構(gòu),
解釋某些地球動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象等。
4、主要應(yīng)用領(lǐng)域
(1)測(cè)繪科學(xué)中的應(yīng)用:各種大地測(cè)量數(shù)據(jù)(如天文經(jīng)緯度、方位角、水
平角、高度角、距離和水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果)的歸算;推求地球橢球或參考橢球的參數(shù);
建立全球高程基準(zhǔn);GPS測(cè)定正高(或正常高);精密定位;衛(wèi)星精密定軌等。
(2)相關(guān)地球科學(xué)中的應(yīng)用:地球深部結(jié)構(gòu)及海洋洋流變化、固體地球均
衡響應(yīng)、冰后回彈、地幔和巖石圈密度變化、地球物理勘探、海洋洋流和大氣質(zhì)
量分布變化等。
(3)國(guó)防和軍事中的應(yīng)用:為建立高技術(shù)信息作戰(zhàn)平臺(tái)和現(xiàn)代軍事技術(shù)提
供高分辨率高精度地球重力場(chǎng)信息,應(yīng)用于偵察低軌航天器軌道的設(shè)計(jì)和軌道確
定、提高陸基遠(yuǎn)程戰(zhàn)略武器的打擊精度及生存能力、提高水下流動(dòng)戰(zhàn)略武器(潛
艇載戰(zhàn)略導(dǎo)彈)打擊精度、對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星的精密定軌等。
思考題
1、物理大地測(cè)量學(xué)的主要任務(wù)是什么?
2、為什么要研究和確定地球重力場(chǎng)?
第二章重力測(cè)量原理
重點(diǎn)講授重力的定義、利用自由落體原理測(cè)定絕對(duì)重力、靜力法
測(cè)定相對(duì)重力(彈簧重力儀的原理)、當(dāng)前國(guó)際上及我國(guó)使用的重力
基準(zhǔn)及重力測(cè)量?jī)x器。
1、重力的定義
萬(wàn)有引力:質(zhì)量與質(zhì)量之間的一種相互吸引力,簡(jiǎn)稱(chēng)為引力,即
離心力:設(shè)坐標(biāo)系統(tǒng)繞Z軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng),則Q點(diǎn)(x,y,z)的離心力為:
,=9'(逐+動(dòng),離心力為慣性力,但不是物質(zhì)力,其方向垂直于自轉(zhuǎn)軸向外,
并且隨該點(diǎn)到自轉(zhuǎn)軸距離的增大而增大。
重力:G=F+P
狹義定義:地球所有質(zhì)量對(duì)任-質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的引力與該點(diǎn)相對(duì)于地球的平均角
速度及平均地極的離心力之合力。
廣義定義:宇宙間全部物質(zhì)對(duì)任一質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的引力和該點(diǎn)相對(duì)于地球的瞬時(shí)角
速度及瞬時(shí)地極的離心力之合力。
重力的單位:匕*/6‘=KU=10SM(Jb/=10*(jfJai
2、重力測(cè)量方式
(1)絕對(duì)重力測(cè)量:用儀器直接測(cè)定地面上某點(diǎn)的絕對(duì)重力值。地球表面上的
絕對(duì)重力值約在978~983Galo
(2)相對(duì)重力測(cè)量:用儀器測(cè)定地面上兩點(diǎn)之間的重力差值。地球表面上的最
大重力差約為5000mGalo
(3)固定臺(tái)站重力測(cè)量:觀測(cè)重力隨時(shí)間的變化。
(4)流動(dòng)站重力測(cè)量:觀測(cè)重力隨空間位置的變化。
3、重力測(cè)量原理
動(dòng)力法:觀測(cè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以測(cè)定重力,可應(yīng)用于絕對(duì)重力測(cè)量和相對(duì)重力測(cè)
量。
靜力法:它是觀測(cè)物體受力平衡,量測(cè)物體平衡位置受重力變化而產(chǎn)生的位移來(lái)
測(cè)定兩點(diǎn)的重力差,該方法只能用于相對(duì)重力測(cè)量。
重力測(cè)量類(lèi)型:陸地重力測(cè)量、海洋重力測(cè)量、航空(或機(jī)載)重力測(cè)量、衛(wèi)星
重力測(cè)量(地面跟蹤觀測(cè)衛(wèi)星軌道攝動(dòng)、衛(wèi)星雷達(dá)測(cè)高、衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星測(cè)量、衛(wèi)
星重力梯度測(cè)量)。
(1)自由落體測(cè)定絕對(duì)重力
自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為:
八品+…不。
這里,:是自由落體的下落距離;%是自由落體的起始高度;工是從起始高度起算
的下落時(shí)間;三是在起始高度上自由落體的下落初速度。
自由落體三位置法:
其中\(zhòng)=晶一,,芯=4-。,7i=h~h
對(duì)稱(chēng)自由運(yùn)動(dòng)的方法(上拋法):
毗-4)
U
8tf
重力3與觀測(cè)值去和,之間的精度關(guān)系:
A)。,
對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)微分可得,
竺=生+竺
kgI
應(yīng)用誤差傳播定理,得
一匐+的
若要求?,則按等影響原則,有
mt~±0.71x10r*jb
吟?±3.5x10^/
如果物體下落距離Anl?,下落時(shí)間則長(zhǎng)度測(cè)量誤差應(yīng)不超過(guò)1微米,
時(shí)間量測(cè)誤差不超過(guò)%5x10"。。
(2)振擺測(cè)定絕對(duì)重力
按理論力學(xué)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定理有:
JS—=MS
_如
其中'?為物理擺對(duì)固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;二為物理擺的擺動(dòng)角速度,即.=一了,
這里負(fù)號(hào)表示偏角7增加,角速度=減?。?為重力分量對(duì)固定軸的力矩,且
物理擺的運(yùn)動(dòng)方程為:
這里’=占,稱(chēng)為改化擺長(zhǎng)。
求解上述微分方程可得:
重力?與觀測(cè)值『和I之間的精度關(guān)系:
T2I2g
u
圖:的仔)'
0J
--Rf10
假定對(duì)的影響相等,并要求重精度為ImGal,即8,則擺動(dòng)周期的允許
觀測(cè)誤差為:
±3.5x10^7
改化擺長(zhǎng)的允許觀測(cè)誤差為:
鵬M*0.71xKrtZ
也就是說(shuō),如果要求重力測(cè)量達(dá)到ImGal的精度,則當(dāng)擺動(dòng)周期為1s時(shí),周期
的觀測(cè)誤差不得超過(guò)3.5x1046;當(dāng)改化擺長(zhǎng)為1m時(shí),其量測(cè)誤差不得超過(guò)1
微米。
(3)振擺測(cè)定相對(duì)重力
U
或
桁_g1=_班
這里a=o
(4)靜力法測(cè)定相對(duì)重力
垂直型彈簧重力儀:
M啊f)=F
u
M=gi-gi=-g=C%
m
其中C稱(chēng)為重力儀的格值。
扭絲型重力儀:
這種重力儀是根據(jù)石英絲的扭力矩與重力矩平衡的原理制成的。
礴=JM(gj8C肉
Ag=ga-?i=3(*ec-secA)
Mf
這里為T(mén)石英絲的扭力系數(shù);禺為擺桿受重力作用后扭絲產(chǎn)生的扭角變化;,為
擺桿的長(zhǎng)度(改化擺長(zhǎng)),?£為擺桿相對(duì)水平方向的偏角,陽(yáng)擺桿的質(zhì)量。
旋轉(zhuǎn)型彈簧重力儀:
的1一.Ml+4=x|g18sA
H叫一.2+0=.IgiM內(nèi)
U
其中耳=劣=0,fit=A?o,d。
扭絲型彈簧重力儀:
WYW+%=?|glcoiA
It
"=giSi=-z(fii-sj=CM
重力儀的特點(diǎn):(a)精度高;(b)觀測(cè)時(shí)間短;(c)成果計(jì)算簡(jiǎn)單;(d)體積小、
重量輕,適宜大范圍內(nèi)作業(yè),主要用于加密重力測(cè)量。
重力儀的靈敏度:重力儀的彈性系統(tǒng)對(duì)重力變化的敏感程度。
gM(加』㈤+MS.O=。
卜不■+而J石+3方+云|石+官法■石"菰■石+*=°
也4g
其中血是因重力變化而引起的位移變化,稱(chēng)為重力儀的靈敏度;石是溫度變
4g
化對(duì)觀測(cè)重力的影響,稱(chēng)為重力儀的溫度系數(shù);質(zhì)是氣壓對(duì)觀測(cè)重力的影響,
4g
稱(chēng)為重力儀的氣壓系數(shù);左是重力儀的傾斜對(duì)觀測(cè)重力的影響,稱(chēng)為重力儀的
傾斜靈敏度。
垂直型彈簧重力儀:~一辰=on石一萬(wàn)一1,
—=駕"CM/MGW=0.2/M/MGb/
dgllr
扭絲型重力儀:-8?A-M=0=>dg-MgftKkfl~g0當(dāng)2=『時(shí),
空=lZHal/=3*/JWOW空=0
;當(dāng)/=4時(shí),dg;當(dāng),=0?時(shí),%。
扭絲型彈簧重力儀:
dfiM
一=一一]甌
Sdfidfi
(5)外界因素對(duì)重力儀的影響
溫度影響:
(a)溫度補(bǔ)償(溫度補(bǔ)償重力儀)
dM
<fe^_g^-di
而一if
(M=M,(y+JU)
I招=《a+”)
g-g(a-㈤=勺
久=%(1+角),號(hào)稱(chēng)為溫度系數(shù)。
(b)恒溫裝置
(c)溫度改正
如。=4=-1
2"
氣壓影響:
3M
。=也=-厚
?必M
v哈1
加》=K4
氣壓變化只對(duì)擺桿的質(zhì)量有影響,長(zhǎng),稱(chēng)為重力儀的氣壓系數(shù),要減小重力儀的
氣壓系數(shù),則必須增大彈性系統(tǒng)擺桿的密度。
傾斜影響:
gMQ0AB.通=MgPcocAc8a
—=agoi,4g=g?i?
da
A#
Ag.=—
地磁影響:通常將彈性系統(tǒng)消磁或者把重力儀放在防磁設(shè)備中,以消除這種
影響。
(6)重力儀的零點(diǎn)飄移
重力儀的彈性系統(tǒng)(彈性體)在外力的作用下產(chǎn)生彈性疲乏現(xiàn)象,使得重力
儀在同一觀測(cè)點(diǎn)的讀數(shù)隨時(shí)間而連續(xù)變化,稱(chēng)為零點(diǎn)飄移,簡(jiǎn)稱(chēng)零飄或掉格。
假設(shè)零飄與時(shí)間成線性變化,則
(7)重力測(cè)量數(shù)據(jù)處理
兩點(diǎn)重力差的計(jì)算及精度估算:
經(jīng)零飄改正后,兩點(diǎn)的重力差為
Ag=C6-q)
精度估算:
若測(cè)線次數(shù)和儀器數(shù)較少,則按下式估算
若測(cè)線次數(shù)和儀器數(shù)較多,則按下面的方法估算:
Agv=Ag+x¥4-jfl+gj
其中加為重力差的真值;片為偶然誤差;工為第一半系統(tǒng)誤差;二,為第二半系
統(tǒng)誤差。
,=/一4
0=Ag.-Ain
重力網(wǎng)的平差:重力網(wǎng)的平差方法與水準(zhǔn)網(wǎng)的平差方法類(lèi)似,可以重力網(wǎng)中
各段重力差作為觀測(cè)值按條件平差方法進(jìn)行平差,以重力儀的讀數(shù)為觀測(cè)值按間
接平差的方法進(jìn)行平差。
4、重力基準(zhǔn)
(1)國(guó)際重力基準(zhǔn)
世界重力基點(diǎn):維也納系統(tǒng)(1900年)8=兜1290土UN和波茨坦系統(tǒng)
(1894-1904年)?=981274.20±。
國(guó)際重力基準(zhǔn)網(wǎng):1956年IAG決定建立世界一等重力網(wǎng)(FOWGN)、1967年
IAG決定在波茨坦絕對(duì)重力值中加上-14mGal作為新的國(guó)際重力基準(zhǔn)、1971年
IUGG決定采用IGSN71代替波茨坦國(guó)際重力基準(zhǔn),新的波茨坦國(guó)際重力基點(diǎn)的
值為唐=981260.19±O.OV?mOat。
(2)我國(guó)的重力基準(zhǔn)
中國(guó)曾在1957年建成第一個(gè)國(guó)家57重力基本網(wǎng),它的平均聯(lián)測(cè)精度為±0.2
X10-5ms-2o在1985年中國(guó)又新建了國(guó)家85重力基本網(wǎng),其平均聯(lián)測(cè)精度較之
“57網(wǎng)”提高一個(gè)數(shù)量級(jí),達(dá)到±20X10-8ms-2的精度,該網(wǎng)改正了波茨坦系統(tǒng)
的系統(tǒng)誤差,增測(cè)了絕對(duì)重力基準(zhǔn)點(diǎn),加大了基本點(diǎn)的密度。1999年在中國(guó)又
開(kāi)始了國(guó)家2000重力基本網(wǎng)的設(shè)計(jì)和施測(cè)工作,這個(gè)網(wǎng)覆蓋了中國(guó)的全部領(lǐng)土
(除臺(tái)灣外,包含南海海域和香港、澳門(mén)特別行政區(qū))。全網(wǎng)由133個(gè)點(diǎn)組成,
其中有17個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)(絕對(duì)重力點(diǎn))和116個(gè)基本點(diǎn)(相對(duì)重力聯(lián)測(cè)點(diǎn))。為便
于今后聯(lián)測(cè)和作為基本點(diǎn)的備用點(diǎn),對(duì)106個(gè)基本點(diǎn)每點(diǎn)布設(shè)了一個(gè)引點(diǎn)。重力
基準(zhǔn)點(diǎn)的觀測(cè)精度優(yōu)于土重力基本點(diǎn)的相對(duì)觀測(cè)精度優(yōu)于±10X
10fms々0平差后重力基本網(wǎng)的中誤差不大于土10X10-8ms2o
5、重力儀簡(jiǎn)介
(1)石英彈簧重力儀:ZSM石英彈簧助動(dòng)重力儀(我國(guó)自行研制);沃頓重力
儀(美國(guó)),其中標(biāo)準(zhǔn)型的精度為30微伽,大地型的精度為300微伽;CG-2重
力儀(加拿大),其中勘探型的精度為50-100微伽,大地型的精度為500微伽I。
(2)金屬?gòu)椈芍亓x:GS型(原西德)重力儀,GS-4至GS-15,我國(guó)常用的
有GS-11,GS-12和GS-15等;LaCoste&Romberg重力儀(美國(guó)),其測(cè)量精
度為10-20微伽,測(cè)程為7000mGal。
(3)超導(dǎo)重力儀
(4)絕對(duì)重力儀:FG-5,A-10
思考題
1、重力的定義是什么?
2、測(cè)定絕對(duì)重力和相對(duì)重力的原理是什么?
第三章位理論基礎(chǔ)
重點(diǎn)講授引力位的定義、質(zhì)點(diǎn)引力位、質(zhì)面(單層和雙層)引力
位、質(zhì)體引力位;均質(zhì)球?qū)印⑶驓ぜ扒蝮w、圓平面層等典型物體的引
力位及引力;引力位的性質(zhì);離心力位和重力位的定義及性質(zhì);位理
論邊值問(wèn)題的基本概念;格林公式在求解位理論邊值問(wèn)題、證明位理
論邊值問(wèn)題解的唯一性、重力法測(cè)定地球質(zhì)量等方面的應(yīng)用;Stokes
理論和Stokes問(wèn)題的基本概念。
1、質(zhì)點(diǎn)引力及引力位
萬(wàn)有引力定律:
尸t
令記">[="?,則上式等價(jià)于
引力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為:
x)=F-*,X
r,~,.①.2
&~(■㈤—y--
引力位:若存在一函數(shù):.,使得該函數(shù)的梯度等于力,則該函數(shù)稱(chēng)為位函數(shù)。
相應(yīng)于引力的位函數(shù)叫做引力位函數(shù),也簡(jiǎn)稱(chēng)為引力位。質(zhì)點(diǎn)引力位可用公式表
示如下:
2、質(zhì)點(diǎn)系的引力位
3、質(zhì)體的引力位
4、質(zhì)面的引力位
F-Gf亨jdS
單層位:
雙層位「=卿7+=嗎啥(*「=蜘(切
5、幾種典型物體的引力位與引力
(1)均質(zhì)球?qū)拥囊ξ慌c引力
匕=2@丁4=4Q身=G更
APP
4=皿/1,}=4fOfA=吟
(2)均質(zhì)球殼及球體的引力位與引力
匕=可與=4Q或超2火=白3(&3一硝=G。
耳吟+6
%=4fo或玄W=2MM(公-/=JG63-或)
匕=—誓)
醫(yī)=一料也夕
(3)平面層的引力位與引力
,=GJ—
1?,dm=ftpdpda
-=2MCWJ/+?R)
6、引力位的性質(zhì)
(1)正則性:
fanK=0fcn(pfO=CW^
臼唱。
(2)位的連續(xù)性:質(zhì)體引力位、單層引力位在全空間是連續(xù)的,雙層
位在穿過(guò)層面時(shí)不連續(xù)。
(3)位的一階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì):質(zhì)體引力位的一階導(dǎo)數(shù)在全空間是連續(xù)
的;單層引力位的一階導(dǎo)數(shù)在層面上是不連續(xù)的。
管①*"!出膽
(凱聯(lián)―梆
(4)調(diào)和性質(zhì):質(zhì)體引力位的二階導(dǎo)數(shù)在質(zhì)體表面是不連續(xù)的;并且
滿足如下的關(guān)系式:
._療,.aJF.
~點(diǎn)在質(zhì)體外部
4rGJ,F點(diǎn)在質(zhì)體內(nèi)部
7、離心力位和重力位
離心力位:"2〃,
重力位:,=.+Q
0.在甫體外部
性質(zhì)&Q=29*-4#M,砌體內(nèi)部
在前體外部
一的砌體內(nèi)部
離心力位和重力位不是調(diào)和函數(shù)!
8、位的邊值問(wèn)題
(1)邊值問(wèn)題的基本概念
涮府.邊界條件
第一類(lèi)邊界條件也稱(chēng)為狄里赫勒條件。即位在邊界上是已知的連續(xù)函數(shù),
即
Ms-/
其中士為物體的邊界面,,為已知函數(shù)。
第二類(lèi)邊界條件也稱(chēng)為牛曼條件。即位的法向?qū)?shù)在邊界上為已知函數(shù),
即
其中):為曲面三的外法向。
第三類(lèi)邊界條件也稱(chēng)為混合條件,在物理大地測(cè)量學(xué)中也稱(chēng)為司托克斯條
件,即
唔
其中;、F為常數(shù)并且
附加條件:指有界性質(zhì)、周期性質(zhì)、連續(xù)性質(zhì)、銜接條件、正則性質(zhì)等等,
它們?cè)谀承┣闆r下對(duì)問(wèn)題的求解將帶來(lái)幫助;這些條件有時(shí)直接給出表達(dá)式,有
時(shí)被默認(rèn)存在;在物理大地測(cè)量學(xué)中,一般情況下前面三個(gè)性質(zhì)總認(rèn)為應(yīng)該被滿
足。
假設(shè)所討論的物體的邊界面E一般是封閉的曲面,調(diào)和函數(shù)存在的區(qū)域大多
被限制在一部分空間之中,或者是三所包圍的內(nèi)部區(qū)域,或者是它的外部。相應(yīng)
的邊值問(wèn)題分別稱(chēng)為內(nèi)部邊值問(wèn)題或外部邊值問(wèn)題。外部邊值問(wèn)題一般應(yīng)有解在
無(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì):正則性條件,該條件以保證解具有唯一性。例如:M=1和
'同時(shí)滿足和M,i,這里E為單位球面,顯然后者為正
則函數(shù)而前者不是,即只有后者為外部邊值問(wèn)題具有正則性質(zhì)的解。因此,外部
邊值問(wèn)題可寫(xiě)成為:
一■0
,a貳■/
faU"0
內(nèi)部邊值問(wèn)題可寫(xiě)成:
(AH-0
其中:常數(shù)工、:滿足這里的丁為已知函數(shù)。
位的邊值問(wèn)題是否有解存在?何種情況下求得的解有實(shí)際意義?這些問(wèn)題
就是數(shù)學(xué)上的所謂適定性;即如果邊值問(wèn)題存在唯一的、穩(wěn)定的解,則稱(chēng)該邊值
問(wèn)題是適定的。如果一個(gè)邊值問(wèn)題根本不存在解,花功夫去求解是毫無(wú)意義的;
如果求得的解不唯一,則必須設(shè)法給求得的解結(jié)合物理實(shí)際加上一些限制,去掉
那些不真實(shí)的解,使得解更符合實(shí)際;所謂穩(wěn)定,是指當(dāng)已知函數(shù)有微小的擾動(dòng)
時(shí),問(wèn)題的解只有微小的擾動(dòng)。如果解不穩(wěn)定,即已知函數(shù)存在微小誤差時(shí),方
程的解產(chǎn)生較大的誤差;因此,這給方程的求解等提出了更高的要求,否則將失
之毫厘,謬之千里。
(2)格林公式及其應(yīng)用
【彥+餐+當(dāng)便8傘?才+QM*,94■或84禺*)如
高斯公式::&方ai
內(nèi)部格林公式:
,唱;。嶗;&=唔
十%|用故=
第一格林公式:
-qMjJrfr=j(?i魯f祟口0
第二格林公式:
0,outsidether
rl.rflftraAYf\=2x,Mlhea
笛一格林八個(gè)J產(chǎn)A而f在,到O4k,Hdc&T
弟二格林公式:I*-VEE.J90fl>"***
外部格林公式:
J,4.+...%)枚=-卜.姜db+卜.芟/
第一格林公式:
盤(pán)=1向陽(yáng)M
ju富■的=f,程*1痂也8
=-
第二格林公式:
!扣1.!得琮鐘i
第三格林公式
0,outsidetheq
Pt=2x>onthea
4/r,uidetheq
格林公式的應(yīng)用:
(a)重力方法確定地球質(zhì)量
0.outsideIheq
得4Mb=-4=_27r.lxithea
在內(nèi)部第三格林公式中令》■1,則,-4/r.iui<fetheq
0,otibkfetheq
—2/r.onthe<r
得京b=-"=
在外部第三格林公式中令P?1,則“-4/r>iuicfetheq
則!R敕
在內(nèi)部第二格林公式中令"=1
取了=對(duì),將AJF=-4?M+力代入上式,則有:
=-4X3if+2aaT
Af=—^―[g^£r+-^-T
械?產(chǎn)一MJ
”=心J4的
若取Y”,則有4M7i
(b)邊值問(wèn)題解的唯一性分析
證明位理論第一邊值問(wèn)題的解是唯一的:假設(shè)解不是唯一的,則在二外有兩
個(gè)調(diào)和并在無(wú)窮遠(yuǎn)處正則的函數(shù)外和均同時(shí)滿足h上的邊界條件,記
丁=彳一%,則丁也是在:外調(diào)和并在無(wú)窮遠(yuǎn)處正則的函數(shù)。
將外部第一格林公式應(yīng)用于『,并在該式中令"=?=丁,則有
JpKT+DCT.nWr=-JT—d<r
根據(jù)條件在<內(nèi)八丁=0及在二面上力,二°,則上式為:
Jz)(r.7>#T=o
要使上式成立,則必須在二外任羞點(diǎn)上都滿足下列條件:
ararar?
即「為常數(shù)。又根據(jù)『是在無(wú)窮遠(yuǎn)處的正則函數(shù),則『只能等于零,亦即K=6,
這證明解是唯一的。
(c)用格林公式解外部邊值問(wèn)題
-4#=
將地球引力位應(yīng)用于外部第三格林公式,則有:
在外部第二格林公式中假設(shè)*="和為。中的調(diào)和函數(shù),則
峭-嘿”=。
基本公式:一疼-啜吟上
a=u--
格林函數(shù):I,4。=0
第一邊值問(wèn)題:
第二邊值問(wèn)題:
嗎|=0第acr
第三邊值問(wèn)題:1PdnV,fitA
(d)Poisson積分
o=J?_L_i
格林函數(shù):Pr*r
證明:①AG=0,②01.=。
(e)應(yīng)用于地球表面的重力位
在內(nèi)部第三格林公式中取二為地球重力位,,則有:
J=-4/rGj獷J牛
上式右邊第一個(gè)積分就屋I力位「,即''
-4"Gj*df=-4-歹=-4.JF+2#ra'(x,+J')
■?
整理得:
aaa
[pt-4冷爐+2??(x4-/)=
ar?ar
在地球表面上,代?2*。顧及‘-一方"-不",這里,:為曲面:上;點(diǎn)處的法向,
而它是過(guò)F點(diǎn)處的重力等位面(在該點(diǎn)處)的法向。最后得到:
2斤郎=2#緲+J嚀+%景;)]盤(pán)+2叫牛
這是一個(gè)關(guān)于重力位*的積分方程,該式在莫洛金斯基理論上甚為重要。
⑴應(yīng)用于水準(zhǔn)面
若二是水準(zhǔn)面,或者說(shuō)在:上有7-“;此時(shí),公式化為
當(dāng)計(jì)算點(diǎn)位于地球面(水準(zhǔn)面)外時(shí),A-0,上式變?yōu)?/p>
4RF=+7)+信數(shù)+0[與
不難看出,引力位為:
展工隹db+史j1竺
當(dāng)計(jì)算點(diǎn)位于地球面(水準(zhǔn)面)內(nèi)時(shí),居?七,上式變?yōu)?/p>
4"呢=勿"9+j,)+J苧痣+加,庠
(g)Stokes定理與Stokes問(wèn)題
Stokes定理:英國(guó)物理學(xué)家司托克斯1849年提出的,即若已知?個(gè)水準(zhǔn)面
形狀聶5面上的位悵(或它內(nèi)部所包含的物質(zhì)的總質(zhì)量M)及該物體繞某一
固定軸的旋轉(zhuǎn)角速度二,則該水準(zhǔn)面上及其外部空間任意點(diǎn)的重力位都可唯一確
定,并且不需要知道物體內(nèi)的質(zhì)量分布情況。
Stokes問(wèn)題:已知水準(zhǔn)面上的重力M和重力位P(或地球的總質(zhì)量”),以
及地球的自轉(zhuǎn)角速度工,需求定水準(zhǔn)面的形狀E及其外部的重力位。
思考題
1、設(shè)r為向經(jīng),求半經(jīng)為三、密度為'J12-10A-的球體對(duì)外部任意一點(diǎn)的引
力位及引力。
2、求半經(jīng)為三、高度為三的均質(zhì)圓柱體對(duì)內(nèi)部和外部任意一點(diǎn)的引力位及引力。
3、證明位理論外部第二邊值問(wèn)題的解是唯一的。
4、地球引力位有何性質(zhì)?
第四章正常重力場(chǎng)
重點(diǎn)講授引進(jìn)地球正常重力場(chǎng)的目的意義及基本要求;地球重力
位的球函數(shù)展開(kāi)式及其零階項(xiàng)、一階項(xiàng)和二階項(xiàng)的物理意義;利用
Laplace方法和Stokes方法確定地球正常重力場(chǎng)的基本原理;實(shí)用正
常重力公式及正常重力場(chǎng)的基本性質(zhì)。
1、為什么要引進(jìn)正常重力場(chǎng)?
r=/J—
.r2,地球形狀和地球的密度未知!
確定地球正常重力場(chǎng)的主要意義在于:將地球重力場(chǎng)的求解歸結(jié)為擾動(dòng)場(chǎng)或
異常重力場(chǎng)(微小量)的求解,保證了其解的存在性,并方便求解。
基本要求:
■應(yīng)盡量地符合地球外部的重力場(chǎng),即不改變地球外部的重力和重力
位;
■應(yīng)盡量不改變大地水準(zhǔn)面的形狀;
■不改變地球重力場(chǎng)的總質(zhì)量M和旋轉(zhuǎn)角速度二;
■橢球體表面:為水準(zhǔn)面,且外部沒(méi)有物質(zhì)存在;
■地球質(zhì)心與橢球中心重合。
2、重力位的球函數(shù)展開(kāi)式
(1)矩的概念
J產(chǎn)加
質(zhì)體的多階矩定義為:,
零階矩:!-,表示質(zhì)體的總質(zhì)量;
\xdm=XnM
.
KK
一階矩:d,質(zhì)體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的一階矩分別等于
質(zhì)體質(zhì)心的三個(gè)坐標(biāo)與質(zhì)體質(zhì)量的乘積。
[/&=+y*
二階矩:)1,質(zhì)體對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(慣性
矩)。
質(zhì)體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:!I,!,!
J.=+
K
J,=k'+zM=8
B
a
Jr=J(x+/)A?=(7
質(zhì)體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:
對(duì)于坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間存在以下關(guān)系:
離心矩或慣性積:
J.=JD
?
=bodb?=E
?
J_=fzxdm=P
慣性橢球和主慣性軸:
質(zhì)體對(duì)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的任意軸2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:
1/"'&=J.C8'a+J^coaN/y+J^cofiy—Z^cof^cosy-ZJ.coiycosa-4.cosacos,
0K=*
設(shè)事.,則B?a=M4,8?2=川〃,B?,=.也
11
J.,4-Jpr+J1X-2JR^-2J-?-2J<JQr=l
(2)地球引力位的展開(kāi)式
V=GJ%T
\IffD,AD,4I
—fj(co?―3;-二-D?41
rZip^非㈤匹8療,器(g麗=1,
片?8叼=CMfF
,二.比解紀(jì)(8'?
d(C8S*
1宮匕=Z多!
?=一[----
。?P,4=",將地球作為均質(zhì)球體看待!
外=g[3H(8?MrfE=M■[科COf/T
P\一:,與地球質(zhì)心坐標(biāo)有關(guān)!
匕=4?C036+4血&C031+6;血&的㈤
其中
A=可"C8*=OMZ,4=可Vffa?MT=GMXt
K
B1=句一―。血lUr=CHfl;
如果將坐標(biāo)原點(diǎn)選在地球質(zhì)心,則4=6=聞=。,即4=。。
co?8-》十段(33^cos^cosX)4-用{3a88$e2為4-右(3a'9CM21)
+用。向‘8』絢
與地球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)!
舄"引收’+/ME+與低/+/“一可以/+/“丁=父管一3
^=af&VdT=aF
典=—\^VdT=GD
a=綱--/Me"-冷
q:q
如果將坐標(biāo)軸選在地球的主慣性軸上,則舄=用=工=。;如果地球是一
個(gè)旋轉(zhuǎn)體,即赤道是圓,則/=6,&=0。
地球引力位的球函數(shù)展開(kāi)式為:
,二£占1月(8通+為(£CMJU+級(jí)向場(chǎng)斗(8?與|
3TI3J
3、正常重力場(chǎng)的確定
(1)Laplace方法
將地球的重力位展開(kāi)成球函數(shù)級(jí)數(shù)形式,然后在該展開(kāi)式中取最大的前
兒項(xiàng)作為正常重力位,取多少項(xiàng)視精度而定。
在引力位的球函數(shù)展開(kāi)式中只取前三項(xiàng)來(lái)表示地球的正常引力位,并將
坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在地球質(zhì)心,坐標(biāo)軸為地球的主慣性軸,則正常重力位為:
…卦稔。-33物+寒血沙
水準(zhǔn)橢球體
設(shè)點(diǎn)地球赤道上的離心力與重力的比值,即&;令“=W,稱(chēng)為
地球形狀參數(shù),則有:
U=(7當(dāng)1+乳-30%垮.
P“}
在地球赤道上,0=90",P=a,則有:
U9=G—
正常位水準(zhǔn)面的方程式為:
1+—Q-3co*'^)4--sii'&
p-a-----------------
1+"
32
將上式展開(kāi)成級(jí)數(shù),僅顧及扁率級(jí)精度,則有:
p=d(l4--(1—————
3232
=41-3+3?0?1&]
在顧及地球扁率級(jí)精度情況下,上式為旋轉(zhuǎn)橢球體。
正常重力公式
dUQUGMr._小.JJ
,=---例----,[I3co?0)-qsn8]
3^dpfir
GM\35a1
顧及地球扁率級(jí)精度情況下,F(xiàn)l22J
Otf3OM
當(dāng)8=90"時(shí),"=r0+"一5°);當(dāng)8=0"時(shí),"=
i+a--q2
q
則有2o
P----------fi=-a-a
定義Y.為重力扁率,則2,,稱(chēng)為克萊饒定理。
顧及二級(jí)量的正常重力公式為:
確定正常重力場(chǎng)的參數(shù)
%GM(Q、a4)、G、工、B、J
只要知道其中四個(gè)參數(shù),就能確定正常重力場(chǎng)。
■=尊"/+》Gif="iQ-a+gq)
(2)Stokes方法
選擇一個(gè)形狀和大小已知的質(zhì)體(如旋轉(zhuǎn)橢球體),要求其表面為重力位水
準(zhǔn)面,其外部的重力位和重力盡量與實(shí)際地球的外部重力位和重力接近,并已知
該質(zhì)體的旋轉(zhuǎn)角速度和質(zhì)量或其表面的重力位,根據(jù)Stokes定理可唯一確定該
質(zhì)體外部的重力位和重力,該質(zhì)體所產(chǎn)生的重力場(chǎng)稱(chēng)為按Stokes方法確定的地
球正常重力場(chǎng)。
&r=o
Im,=0
該邊值問(wèn)題的解可用橢球諧函數(shù)表示,橢球外部的引力位可表示為:
入£2——盧Ja>>切
-
U--------tan
正常橢球外部的重力位用=、八-、M四個(gè)參數(shù)確定,這與司托克斯定理結(jié)果
一致。且。o
橢球面上的正常重力值、可用下面的公式求得:
_cos2B+2>/psin2B
九a2cos2B4-Z>2sin2B
乃二治卜+^-存-**/9a2a-a')向i丑產(chǎn)
<xfi
%=%(1+2事26-4-12為,氏==十彳
3/+獷一卻+內(nèi)%力
-(3+?A)e4g9-V-]
克萊饒定理:L
若顧及扁率平方級(jí)各項(xiàng),則有:2,'35」
橢球面上的正常重力值■的實(shí)用公式:
卡西尼公式(1930):。=處&049(1+0.005288a”-0.0000059a12協(xié)Gal
297,=0.003467826,Y,=978.CM9GWa=637838?n
赫爾默特公式(1901T909):
%=97ao30cl+0.0053021B-0.00000728)Gal
5
WGS84橢球參數(shù):0=7.2MH5X10-rad/s,GM=3.986005*10MlM%",
J,=1082.63x10^,a=6378137斯,4=-必力
0=978103籌8(1+0.0053gzA-0.00000583")Gal
4、正常重力場(chǎng)的性質(zhì)
(1)正常位水準(zhǔn)面是向兩極收斂的;
仆-空
(2)在同一緯度上,相鄰兩正常位水準(zhǔn)面之間的距離相等,r;
(3)正常重力線是一根在子午面內(nèi)向兩極彎曲的平面曲線。
歹=則+京4殳絲包
⑷正常引力位的球函數(shù)展開(kāi)式:-P士尸
思考題
1、引進(jìn)正常重力場(chǎng)的目的是什么?
2、地球重力位的球函數(shù)展開(kāi)式中零階項(xiàng)、一階項(xiàng)和二階項(xiàng)的物理意義是什么?
3、基于Stokes方法和Laplace方法確定正常重力場(chǎng)有何區(qū)別?
4、正常重力場(chǎng)有何性質(zhì)?
5、如何確定正常重力場(chǎng)?
第五章確定大地水準(zhǔn)面形狀的Stokes理論
重點(diǎn)講授大地水準(zhǔn)面的定義及性質(zhì);擾動(dòng)位、大地水準(zhǔn)面高、垂
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