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文檔簡(jiǎn)介

武漢大學(xué)教案

課程名稱(chēng):物理大地測(cè)量學(xué)

授課教師:羅志才

研究所:地球物理大地測(cè)量

單位:測(cè)繪學(xué)院

2011年3月

教學(xué)安排

1、教學(xué)目的

物理大地測(cè)量學(xué)是大地測(cè)量學(xué)的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)課程,其主要任務(wù)是研究地

球形狀及外部重力場(chǎng)。通過(guò)對(duì)本課程的學(xué)習(xí),要求學(xué)生掌握地球重力場(chǎng)的基本知

識(shí)、確定大地水準(zhǔn)面的理論和方法(包括大地測(cè)量學(xué)邊值問(wèn)題的基礎(chǔ)理論、Stokes

理論和Molodensky理論等)、地球重力場(chǎng)的相關(guān)應(yīng)用等,并為學(xué)生進(jìn)一?步研究

地球重力場(chǎng)及相關(guān)地球科學(xué)問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2、教學(xué)要求

熟悉“物理大地測(cè)量學(xué)的基本概念、研究?jī)?nèi)容及主要應(yīng)用領(lǐng)域”,

掌握“重力測(cè)量的基本原理、確定地球重力場(chǎng)的基本理論及相關(guān)的基

礎(chǔ)知識(shí)”,重點(diǎn)掌握“地球重力位理論和確定大地水準(zhǔn)面形狀的Stokes

理論”。

3、課程內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配

課程內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配表

內(nèi)容學(xué)時(shí)

概述2

重力測(cè)量原理5

位理論基礎(chǔ)10

正常重力場(chǎng)8

確定大地水準(zhǔn)面形狀的Stokes理論10

基于Moledensky理論確定地球形狀的基本原理5

地球重力場(chǎng)的應(yīng)用5

第一章概述

重點(diǎn)講授物理大地測(cè)量學(xué)的發(fā)展進(jìn)程、學(xué)科任務(wù)及內(nèi)容;簡(jiǎn)單介

紹該課程與本專(zhuān)業(yè)其它課程、地球物理學(xué)、地球動(dòng)力學(xué)、海洋學(xué)等相

關(guān)學(xué)科的關(guān)系,以及在國(guó)家經(jīng)濟(jì)建設(shè)、國(guó)防與軍事建設(shè)中的地位和作

用。

1、學(xué)科任務(wù)

物理大地測(cè)量是大地測(cè)量學(xué)科的重要分支之一,是構(gòu)成現(xiàn)代大地測(cè)量學(xué)科體

系的主要基礎(chǔ),其主要任務(wù)是用物理方法研究和確定地球形狀及其外部重力場(chǎng),

又稱(chēng)大地重力學(xué)。從哲學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,地球重力場(chǎng)與其它物理場(chǎng)一樣,是不以人

的意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在,是物質(zhì)的一種存在形式;從自然科學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,重

力場(chǎng)是地球最重要的物理特性,制約著在該行星上及其鄰近空間發(fā)生的一切物理

事件,引力是宇宙一切物質(zhì)存在的最普遍屬性,制約著宇宙的演化和發(fā)展。地球

重力場(chǎng)反映地球物質(zhì)的空間分布、運(yùn)動(dòng)和變化,確定地球重力場(chǎng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)及其

時(shí)間相依變化將為現(xiàn)代地球科學(xué)解決人類(lèi)面臨的資源、環(huán)境和災(zāi)害等緊迫課題提

供基礎(chǔ)地學(xué)信息。

2、發(fā)展進(jìn)程

18世紀(jì)中葉以前,人們單純采用幾何大地測(cè)量方法測(cè)定地球形狀。1743年

法國(guó)的克萊洛在其著作《地球形狀理論》中,假設(shè)地球內(nèi)部處于靜力平衡狀態(tài),

地球的質(zhì)量密度分布是從地球質(zhì)心向外,隨距離的增加而減小的。在這種假定下,

他認(rèn)為地球的外表面應(yīng)是一個(gè)水準(zhǔn)橢球,即橢球表面上各點(diǎn)的重力位相等,從而

論證了重力值(物理量)和地球扁率(兒何量)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,這一論證稱(chēng)為

克萊洛定理。這一定理奠定了用物理方法研究地球形狀的理論基礎(chǔ),形成了物理

大地測(cè)量學(xué)的核心內(nèi)容。

隨著大地測(cè)量觀測(cè)精度的提高,發(fā)現(xiàn)一些弧度測(cè)量的平差結(jié)果之間的矛盾遠(yuǎn)

遠(yuǎn)超過(guò)了觀測(cè)誤差。19世紀(jì)初,法國(guó)的拉普拉斯和德國(guó)的高斯、貝塞爾等都認(rèn)

識(shí)到橢球面不足以代表地球表面。1849年,英國(guó)的斯托克斯提出了斯托克斯理

論,即在地球的外重力位水準(zhǔn)面上給定重力和重力位,已知地球離心力位,可以

求出這個(gè)外重力位水準(zhǔn)面的形狀和外部重力位,無(wú)須對(duì)地球內(nèi)部物質(zhì)分布作任何

假設(shè)。但為了求得唯一解,水準(zhǔn)面外部不能有質(zhì)量存在。斯托克斯理論是克萊洛

定理的進(jìn)一步發(fā)展。1873年,利斯廷提出用大地水準(zhǔn)面代表地球形狀,由此可

將斯托克斯理論用于研究大地水準(zhǔn)面形狀。但實(shí)際上由于大地水準(zhǔn)面外部存在大

陸,所以必須通過(guò)重力觀測(cè)值的歸算移去這些物質(zhì),這將使大地水準(zhǔn)面發(fā)生形變,

并且必須知道歸算范圍內(nèi)巖層密度分布的數(shù)據(jù),這是一個(gè)十分復(fù)雜而難以解決的

問(wèn)題。所以歸算問(wèn)題一直成為經(jīng)典的斯托克斯理論的障礙。盡管如此,斯托克斯

理論還是推動(dòng)了大地水準(zhǔn)面形狀的研究工作。

1945年,蘇聯(lián)的莫洛堅(jiān)斯基提出了用地面重力觀測(cè)來(lái)確定地球形狀的理論,

從而回避了長(zhǎng)期無(wú)法解決的歸算問(wèn)題。但是仍然存在資料?(重力數(shù)據(jù))不足的矛

盾。在平原或丘陵地區(qū)應(yīng)用經(jīng)典方法,雖然歸算在理論上不嚴(yán)密,但不足以影響

大地水準(zhǔn)面的計(jì)算精度。困難在于莫洛堅(jiān)斯基理論雖然嚴(yán)密,但在高山地區(qū)所需

要的數(shù)據(jù)眾多,當(dāng)時(shí)條件下很難滿足。

1964年瑞典的布耶哈默爾(A.Bjerhammer)應(yīng)用重力延拓方法,1969年丹麥

的克拉魯普(T.Krarup)和1973年奧地利的莫里茨(H.Moritz)應(yīng)用最小二乘擬合推

估的方法進(jìn)行解算,初步解決了上述困難(見(jiàn)地球形狀)。

1957年第一顆人造地球衛(wèi)星發(fā)射成功之后,才使物理大地測(cè)量學(xué)發(fā)展到一

個(gè)嶄新的階段。其標(biāo)志是開(kāi)創(chuàng)了衛(wèi)星重力探測(cè)時(shí)代,包括根據(jù)衛(wèi)星軌道攝動(dòng)理論,

觀測(cè)衛(wèi)星軌道攝動(dòng)確定低階位系數(shù);利用衛(wèi)星海洋雷達(dá)測(cè)高確定高精度高分辨率

海洋重力場(chǎng)模型和大地水準(zhǔn)面模型;GPS技術(shù)結(jié)合水準(zhǔn)測(cè)量直接測(cè)定大陸大地水

準(zhǔn)面;以及本世紀(jì)初利用衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星(如CHAMP和GRACE)和衛(wèi)星重力梯

度測(cè)量技術(shù)(如GOCE)可以確定全球更高精度和分辨率的靜態(tài)重力場(chǎng)模型和時(shí)

變重力場(chǎng)模型。衛(wèi)星重力探測(cè)技術(shù)的發(fā)展,突破了人們過(guò)去獲取重力場(chǎng)信息的局

限性,使得物理大地測(cè)量的研究從局部或區(qū)域性擴(kuò)展到全球,從測(cè)定靜態(tài)地球重

力場(chǎng)發(fā)展到測(cè)定時(shí)變重力場(chǎng),從而豐富了物理大地測(cè)量學(xué)的內(nèi)容,推動(dòng)了物理大

地測(cè)量學(xué)的發(fā)展。

3、學(xué)科內(nèi)容

物理大地測(cè)量學(xué)主要研究以下幾個(gè)方面的問(wèn)題:

(1)重力位理論:它是利用重力以及同重力有關(guān)的衛(wèi)星觀測(cè)資料確定地球

形狀及其外部重力場(chǎng)的理論基礎(chǔ),主要研究重力位函數(shù)的數(shù)學(xué)特性和物理特性。

(2)地球形狀及其外部重力場(chǎng)的基本理論:它主要是研究解算位理論邊值

問(wèn)題,例如按斯托克斯理論或莫洛堅(jiān)斯基理論或布耶哈默爾理論等解算,以此推

求大地水準(zhǔn)面形狀或真正地球形狀和地球外部重力場(chǎng)。

(3)全球性地球形狀:利用全球重力以及同重力有關(guān)的衛(wèi)星觀測(cè)資料,按

確定地球形狀及其外部重力場(chǎng)的基本理論,推求以地球質(zhì)心為中心的平均地球橢

球的參數(shù),以此建立全球大地坐標(biāo)系,并在此基礎(chǔ)上推求全球重力場(chǎng)模型、大地

水準(zhǔn)面差距、重力異常和重線偏差等。

(4)區(qū)域性地球形狀:按確定地球形狀及其外部重力場(chǎng)的基本理論,采用

局部地區(qū)的天文、大地和重力資料,將含有地球重力場(chǎng)影響的地面各種大地測(cè)量

數(shù)據(jù)(如天文經(jīng)緯度、方位角、水平角、高度角、距離和水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果)歸算到

局部大地坐標(biāo)系中,以此建立國(guó)家大地網(wǎng)和國(guó)家水準(zhǔn)網(wǎng)。利用地面重力資料、衛(wèi)

星測(cè)高資料、衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星數(shù)據(jù)及其他重力場(chǎng)信息,推求高精度高分辨率區(qū)域重

力場(chǎng)和大地水準(zhǔn)面模型。

(5)重力探測(cè)技術(shù):研究獲取地球重力場(chǎng)信息的技術(shù)和方法,包括地面重

力測(cè)量、海洋重力測(cè)量、航空重力測(cè)量、衛(wèi)星雷達(dá)測(cè)高、衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星、衛(wèi)星重

力梯度測(cè)量等的技術(shù)原理和數(shù)據(jù)處理方法,以及其它新的重力場(chǎng)信息獲取技術(shù)。

(6)地球重力場(chǎng)的地學(xué)解釋?zhuān)豪玫厍蛑亓?chǎng)信息研究地球的內(nèi)部結(jié)構(gòu),

解釋某些地球動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象等。

4、主要應(yīng)用領(lǐng)域

(1)測(cè)繪科學(xué)中的應(yīng)用:各種大地測(cè)量數(shù)據(jù)(如天文經(jīng)緯度、方位角、水

平角、高度角、距離和水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果)的歸算;推求地球橢球或參考橢球的參數(shù);

建立全球高程基準(zhǔn);GPS測(cè)定正高(或正常高);精密定位;衛(wèi)星精密定軌等。

(2)相關(guān)地球科學(xué)中的應(yīng)用:地球深部結(jié)構(gòu)及海洋洋流變化、固體地球均

衡響應(yīng)、冰后回彈、地幔和巖石圈密度變化、地球物理勘探、海洋洋流和大氣質(zhì)

量分布變化等。

(3)國(guó)防和軍事中的應(yīng)用:為建立高技術(shù)信息作戰(zhàn)平臺(tái)和現(xiàn)代軍事技術(shù)提

供高分辨率高精度地球重力場(chǎng)信息,應(yīng)用于偵察低軌航天器軌道的設(shè)計(jì)和軌道確

定、提高陸基遠(yuǎn)程戰(zhàn)略武器的打擊精度及生存能力、提高水下流動(dòng)戰(zhàn)略武器(潛

艇載戰(zhàn)略導(dǎo)彈)打擊精度、對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星的精密定軌等。

思考題

1、物理大地測(cè)量學(xué)的主要任務(wù)是什么?

2、為什么要研究和確定地球重力場(chǎng)?

第二章重力測(cè)量原理

重點(diǎn)講授重力的定義、利用自由落體原理測(cè)定絕對(duì)重力、靜力法

測(cè)定相對(duì)重力(彈簧重力儀的原理)、當(dāng)前國(guó)際上及我國(guó)使用的重力

基準(zhǔn)及重力測(cè)量?jī)x器。

1、重力的定義

萬(wàn)有引力:質(zhì)量與質(zhì)量之間的一種相互吸引力,簡(jiǎn)稱(chēng)為引力,即

離心力:設(shè)坐標(biāo)系統(tǒng)繞Z軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng),則Q點(diǎn)(x,y,z)的離心力為:

,=9'(逐+動(dòng),離心力為慣性力,但不是物質(zhì)力,其方向垂直于自轉(zhuǎn)軸向外,

并且隨該點(diǎn)到自轉(zhuǎn)軸距離的增大而增大。

重力:G=F+P

狹義定義:地球所有質(zhì)量對(duì)任-質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的引力與該點(diǎn)相對(duì)于地球的平均角

速度及平均地極的離心力之合力。

廣義定義:宇宙間全部物質(zhì)對(duì)任一質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的引力和該點(diǎn)相對(duì)于地球的瞬時(shí)角

速度及瞬時(shí)地極的離心力之合力。

重力的單位:匕*/6‘=KU=10SM(Jb/=10*(jfJai

2、重力測(cè)量方式

(1)絕對(duì)重力測(cè)量:用儀器直接測(cè)定地面上某點(diǎn)的絕對(duì)重力值。地球表面上的

絕對(duì)重力值約在978~983Galo

(2)相對(duì)重力測(cè)量:用儀器測(cè)定地面上兩點(diǎn)之間的重力差值。地球表面上的最

大重力差約為5000mGalo

(3)固定臺(tái)站重力測(cè)量:觀測(cè)重力隨時(shí)間的變化。

(4)流動(dòng)站重力測(cè)量:觀測(cè)重力隨空間位置的變化。

3、重力測(cè)量原理

動(dòng)力法:觀測(cè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以測(cè)定重力,可應(yīng)用于絕對(duì)重力測(cè)量和相對(duì)重力測(cè)

量。

靜力法:它是觀測(cè)物體受力平衡,量測(cè)物體平衡位置受重力變化而產(chǎn)生的位移來(lái)

測(cè)定兩點(diǎn)的重力差,該方法只能用于相對(duì)重力測(cè)量。

重力測(cè)量類(lèi)型:陸地重力測(cè)量、海洋重力測(cè)量、航空(或機(jī)載)重力測(cè)量、衛(wèi)星

重力測(cè)量(地面跟蹤觀測(cè)衛(wèi)星軌道攝動(dòng)、衛(wèi)星雷達(dá)測(cè)高、衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星測(cè)量、衛(wèi)

星重力梯度測(cè)量)。

(1)自由落體測(cè)定絕對(duì)重力

自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為:

八品+…不。

這里,:是自由落體的下落距離;%是自由落體的起始高度;工是從起始高度起算

的下落時(shí)間;三是在起始高度上自由落體的下落初速度。

自由落體三位置法:

其中\(zhòng)=晶一,,芯=4-。,7i=h~h

對(duì)稱(chēng)自由運(yùn)動(dòng)的方法(上拋法):

毗-4)

U

8tf

重力3與觀測(cè)值去和,之間的精度關(guān)系:

A)。,

對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)微分可得,

竺=生+竺

kgI

應(yīng)用誤差傳播定理,得

一匐+的

若要求?,則按等影響原則,有

mt~±0.71x10r*jb

吟?±3.5x10^/

如果物體下落距離Anl?,下落時(shí)間則長(zhǎng)度測(cè)量誤差應(yīng)不超過(guò)1微米,

時(shí)間量測(cè)誤差不超過(guò)%5x10"。。

(2)振擺測(cè)定絕對(duì)重力

按理論力學(xué)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定理有:

JS—=MS

_如

其中'?為物理擺對(duì)固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;二為物理擺的擺動(dòng)角速度,即.=一了,

這里負(fù)號(hào)表示偏角7增加,角速度=減?。?為重力分量對(duì)固定軸的力矩,且

物理擺的運(yùn)動(dòng)方程為:

這里’=占,稱(chēng)為改化擺長(zhǎng)。

求解上述微分方程可得:

重力?與觀測(cè)值『和I之間的精度關(guān)系:

T2I2g

u

圖:的仔)'

0J

--Rf10

假定對(duì)的影響相等,并要求重精度為ImGal,即8,則擺動(dòng)周期的允許

觀測(cè)誤差為:

±3.5x10^7

改化擺長(zhǎng)的允許觀測(cè)誤差為:

鵬M*0.71xKrtZ

也就是說(shuō),如果要求重力測(cè)量達(dá)到ImGal的精度,則當(dāng)擺動(dòng)周期為1s時(shí),周期

的觀測(cè)誤差不得超過(guò)3.5x1046;當(dāng)改化擺長(zhǎng)為1m時(shí),其量測(cè)誤差不得超過(guò)1

微米。

(3)振擺測(cè)定相對(duì)重力

U

桁_g1=_班

這里a=o

(4)靜力法測(cè)定相對(duì)重力

垂直型彈簧重力儀:

M啊f)=F

u

M=gi-gi=-g=C%

m

其中C稱(chēng)為重力儀的格值。

扭絲型重力儀:

這種重力儀是根據(jù)石英絲的扭力矩與重力矩平衡的原理制成的。

礴=JM(gj8C肉

Ag=ga-?i=3(*ec-secA)

Mf

這里為T(mén)石英絲的扭力系數(shù);禺為擺桿受重力作用后扭絲產(chǎn)生的扭角變化;,為

擺桿的長(zhǎng)度(改化擺長(zhǎng)),?£為擺桿相對(duì)水平方向的偏角,陽(yáng)擺桿的質(zhì)量。

旋轉(zhuǎn)型彈簧重力儀:

的1一.Ml+4=x|g18sA

H叫一.2+0=.IgiM內(nèi)

U

其中耳=劣=0,fit=A?o,d。

扭絲型彈簧重力儀:

WYW+%=?|glcoiA

It

"=giSi=-z(fii-sj=CM

重力儀的特點(diǎn):(a)精度高;(b)觀測(cè)時(shí)間短;(c)成果計(jì)算簡(jiǎn)單;(d)體積小、

重量輕,適宜大范圍內(nèi)作業(yè),主要用于加密重力測(cè)量。

重力儀的靈敏度:重力儀的彈性系統(tǒng)對(duì)重力變化的敏感程度。

gM(加』㈤+MS.O=。

卜不■+而J石+3方+云|石+官法■石"菰■石+*=°

也4g

其中血是因重力變化而引起的位移變化,稱(chēng)為重力儀的靈敏度;石是溫度變

4g

化對(duì)觀測(cè)重力的影響,稱(chēng)為重力儀的溫度系數(shù);質(zhì)是氣壓對(duì)觀測(cè)重力的影響,

4g

稱(chēng)為重力儀的氣壓系數(shù);左是重力儀的傾斜對(duì)觀測(cè)重力的影響,稱(chēng)為重力儀的

傾斜靈敏度。

垂直型彈簧重力儀:~一辰=on石一萬(wàn)一1,

—=駕"CM/MGW=0.2/M/MGb/

dgllr

扭絲型重力儀:-8?A-M=0=>dg-MgftKkfl~g0當(dāng)2=『時(shí),

空=lZHal/=3*/JWOW空=0

;當(dāng)/=4時(shí),dg;當(dāng),=0?時(shí),%。

扭絲型彈簧重力儀:

dfiM

一=一一]甌

Sdfidfi

(5)外界因素對(duì)重力儀的影響

溫度影響:

(a)溫度補(bǔ)償(溫度補(bǔ)償重力儀)

dM

<fe^_g^-di

而一if

(M=M,(y+JU)

I招=《a+”)

g-g(a-㈤=勺

久=%(1+角),號(hào)稱(chēng)為溫度系數(shù)。

(b)恒溫裝置

(c)溫度改正

如。=4=-1

2"

氣壓影響:

3M

。=也=-厚

?必M

v哈1

加》=K4

氣壓變化只對(duì)擺桿的質(zhì)量有影響,長(zhǎng),稱(chēng)為重力儀的氣壓系數(shù),要減小重力儀的

氣壓系數(shù),則必須增大彈性系統(tǒng)擺桿的密度。

傾斜影響:

gMQ0AB.通=MgPcocAc8a

—=agoi,4g=g?i?

da

A#

Ag.=—

地磁影響:通常將彈性系統(tǒng)消磁或者把重力儀放在防磁設(shè)備中,以消除這種

影響。

(6)重力儀的零點(diǎn)飄移

重力儀的彈性系統(tǒng)(彈性體)在外力的作用下產(chǎn)生彈性疲乏現(xiàn)象,使得重力

儀在同一觀測(cè)點(diǎn)的讀數(shù)隨時(shí)間而連續(xù)變化,稱(chēng)為零點(diǎn)飄移,簡(jiǎn)稱(chēng)零飄或掉格。

假設(shè)零飄與時(shí)間成線性變化,則

(7)重力測(cè)量數(shù)據(jù)處理

兩點(diǎn)重力差的計(jì)算及精度估算:

經(jīng)零飄改正后,兩點(diǎn)的重力差為

Ag=C6-q)

精度估算:

若測(cè)線次數(shù)和儀器數(shù)較少,則按下式估算

若測(cè)線次數(shù)和儀器數(shù)較多,則按下面的方法估算:

Agv=Ag+x¥4-jfl+gj

其中加為重力差的真值;片為偶然誤差;工為第一半系統(tǒng)誤差;二,為第二半系

統(tǒng)誤差。

,=/一4

0=Ag.-Ain

重力網(wǎng)的平差:重力網(wǎng)的平差方法與水準(zhǔn)網(wǎng)的平差方法類(lèi)似,可以重力網(wǎng)中

各段重力差作為觀測(cè)值按條件平差方法進(jìn)行平差,以重力儀的讀數(shù)為觀測(cè)值按間

接平差的方法進(jìn)行平差。

4、重力基準(zhǔn)

(1)國(guó)際重力基準(zhǔn)

世界重力基點(diǎn):維也納系統(tǒng)(1900年)8=兜1290土UN和波茨坦系統(tǒng)

(1894-1904年)?=981274.20±。

國(guó)際重力基準(zhǔn)網(wǎng):1956年IAG決定建立世界一等重力網(wǎng)(FOWGN)、1967年

IAG決定在波茨坦絕對(duì)重力值中加上-14mGal作為新的國(guó)際重力基準(zhǔn)、1971年

IUGG決定采用IGSN71代替波茨坦國(guó)際重力基準(zhǔn),新的波茨坦國(guó)際重力基點(diǎn)的

值為唐=981260.19±O.OV?mOat。

(2)我國(guó)的重力基準(zhǔn)

中國(guó)曾在1957年建成第一個(gè)國(guó)家57重力基本網(wǎng),它的平均聯(lián)測(cè)精度為±0.2

X10-5ms-2o在1985年中國(guó)又新建了國(guó)家85重力基本網(wǎng),其平均聯(lián)測(cè)精度較之

“57網(wǎng)”提高一個(gè)數(shù)量級(jí),達(dá)到±20X10-8ms-2的精度,該網(wǎng)改正了波茨坦系統(tǒng)

的系統(tǒng)誤差,增測(cè)了絕對(duì)重力基準(zhǔn)點(diǎn),加大了基本點(diǎn)的密度。1999年在中國(guó)又

開(kāi)始了國(guó)家2000重力基本網(wǎng)的設(shè)計(jì)和施測(cè)工作,這個(gè)網(wǎng)覆蓋了中國(guó)的全部領(lǐng)土

(除臺(tái)灣外,包含南海海域和香港、澳門(mén)特別行政區(qū))。全網(wǎng)由133個(gè)點(diǎn)組成,

其中有17個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)(絕對(duì)重力點(diǎn))和116個(gè)基本點(diǎn)(相對(duì)重力聯(lián)測(cè)點(diǎn))。為便

于今后聯(lián)測(cè)和作為基本點(diǎn)的備用點(diǎn),對(duì)106個(gè)基本點(diǎn)每點(diǎn)布設(shè)了一個(gè)引點(diǎn)。重力

基準(zhǔn)點(diǎn)的觀測(cè)精度優(yōu)于土重力基本點(diǎn)的相對(duì)觀測(cè)精度優(yōu)于±10X

10fms々0平差后重力基本網(wǎng)的中誤差不大于土10X10-8ms2o

5、重力儀簡(jiǎn)介

(1)石英彈簧重力儀:ZSM石英彈簧助動(dòng)重力儀(我國(guó)自行研制);沃頓重力

儀(美國(guó)),其中標(biāo)準(zhǔn)型的精度為30微伽,大地型的精度為300微伽;CG-2重

力儀(加拿大),其中勘探型的精度為50-100微伽,大地型的精度為500微伽I。

(2)金屬?gòu)椈芍亓x:GS型(原西德)重力儀,GS-4至GS-15,我國(guó)常用的

有GS-11,GS-12和GS-15等;LaCoste&Romberg重力儀(美國(guó)),其測(cè)量精

度為10-20微伽,測(cè)程為7000mGal。

(3)超導(dǎo)重力儀

(4)絕對(duì)重力儀:FG-5,A-10

思考題

1、重力的定義是什么?

2、測(cè)定絕對(duì)重力和相對(duì)重力的原理是什么?

第三章位理論基礎(chǔ)

重點(diǎn)講授引力位的定義、質(zhì)點(diǎn)引力位、質(zhì)面(單層和雙層)引力

位、質(zhì)體引力位;均質(zhì)球?qū)印⑶驓ぜ扒蝮w、圓平面層等典型物體的引

力位及引力;引力位的性質(zhì);離心力位和重力位的定義及性質(zhì);位理

論邊值問(wèn)題的基本概念;格林公式在求解位理論邊值問(wèn)題、證明位理

論邊值問(wèn)題解的唯一性、重力法測(cè)定地球質(zhì)量等方面的應(yīng)用;Stokes

理論和Stokes問(wèn)題的基本概念。

1、質(zhì)點(diǎn)引力及引力位

萬(wàn)有引力定律:

尸t

令記">[="?,則上式等價(jià)于

引力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為:

x)=F-*,X

r,~,.①.2

&~(■㈤—y--

引力位:若存在一函數(shù):.,使得該函數(shù)的梯度等于力,則該函數(shù)稱(chēng)為位函數(shù)。

相應(yīng)于引力的位函數(shù)叫做引力位函數(shù),也簡(jiǎn)稱(chēng)為引力位。質(zhì)點(diǎn)引力位可用公式表

示如下:

2、質(zhì)點(diǎn)系的引力位

3、質(zhì)體的引力位

4、質(zhì)面的引力位

F-Gf亨jdS

單層位:

雙層位「=卿7+=嗎啥(*「=蜘(切

5、幾種典型物體的引力位與引力

(1)均質(zhì)球?qū)拥囊ξ慌c引力

匕=2@丁4=4Q身=G更

APP

4=皿/1,}=4fOfA=吟

(2)均質(zhì)球殼及球體的引力位與引力

匕=可與=4Q或超2火=白3(&3一硝=G。

耳吟+6

%=4fo或玄W=2MM(公-/=JG63-或)

匕=—誓)

醫(yī)=一料也夕

(3)平面層的引力位與引力

,=GJ—

1?,dm=ftpdpda

-=2MCWJ/+?R)

6、引力位的性質(zhì)

(1)正則性:

fanK=0fcn(pfO=CW^

臼唱。

(2)位的連續(xù)性:質(zhì)體引力位、單層引力位在全空間是連續(xù)的,雙層

位在穿過(guò)層面時(shí)不連續(xù)。

(3)位的一階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì):質(zhì)體引力位的一階導(dǎo)數(shù)在全空間是連續(xù)

的;單層引力位的一階導(dǎo)數(shù)在層面上是不連續(xù)的。

管①*"!出膽

(凱聯(lián)―梆

(4)調(diào)和性質(zhì):質(zhì)體引力位的二階導(dǎo)數(shù)在質(zhì)體表面是不連續(xù)的;并且

滿足如下的關(guān)系式:

._療,.aJF.

~點(diǎn)在質(zhì)體外部

4rGJ,F點(diǎn)在質(zhì)體內(nèi)部

7、離心力位和重力位

離心力位:"2〃,

重力位:,=.+Q

0.在甫體外部

性質(zhì)&Q=29*-4#M,砌體內(nèi)部

在前體外部

一的砌體內(nèi)部

離心力位和重力位不是調(diào)和函數(shù)!

8、位的邊值問(wèn)題

(1)邊值問(wèn)題的基本概念

涮府.邊界條件

第一類(lèi)邊界條件也稱(chēng)為狄里赫勒條件。即位在邊界上是已知的連續(xù)函數(shù),

Ms-/

其中士為物體的邊界面,,為已知函數(shù)。

第二類(lèi)邊界條件也稱(chēng)為牛曼條件。即位的法向?qū)?shù)在邊界上為已知函數(shù),

其中):為曲面三的外法向。

第三類(lèi)邊界條件也稱(chēng)為混合條件,在物理大地測(cè)量學(xué)中也稱(chēng)為司托克斯條

件,即

其中;、F為常數(shù)并且

附加條件:指有界性質(zhì)、周期性質(zhì)、連續(xù)性質(zhì)、銜接條件、正則性質(zhì)等等,

它們?cè)谀承┣闆r下對(duì)問(wèn)題的求解將帶來(lái)幫助;這些條件有時(shí)直接給出表達(dá)式,有

時(shí)被默認(rèn)存在;在物理大地測(cè)量學(xué)中,一般情況下前面三個(gè)性質(zhì)總認(rèn)為應(yīng)該被滿

足。

假設(shè)所討論的物體的邊界面E一般是封閉的曲面,調(diào)和函數(shù)存在的區(qū)域大多

被限制在一部分空間之中,或者是三所包圍的內(nèi)部區(qū)域,或者是它的外部。相應(yīng)

的邊值問(wèn)題分別稱(chēng)為內(nèi)部邊值問(wèn)題或外部邊值問(wèn)題。外部邊值問(wèn)題一般應(yīng)有解在

無(wú)窮遠(yuǎn)處的性質(zhì):正則性條件,該條件以保證解具有唯一性。例如:M=1和

'同時(shí)滿足和M,i,這里E為單位球面,顯然后者為正

則函數(shù)而前者不是,即只有后者為外部邊值問(wèn)題具有正則性質(zhì)的解。因此,外部

邊值問(wèn)題可寫(xiě)成為:

一■0

,a貳■/

faU"0

內(nèi)部邊值問(wèn)題可寫(xiě)成:

(AH-0

其中:常數(shù)工、:滿足這里的丁為已知函數(shù)。

位的邊值問(wèn)題是否有解存在?何種情況下求得的解有實(shí)際意義?這些問(wèn)題

就是數(shù)學(xué)上的所謂適定性;即如果邊值問(wèn)題存在唯一的、穩(wěn)定的解,則稱(chēng)該邊值

問(wèn)題是適定的。如果一個(gè)邊值問(wèn)題根本不存在解,花功夫去求解是毫無(wú)意義的;

如果求得的解不唯一,則必須設(shè)法給求得的解結(jié)合物理實(shí)際加上一些限制,去掉

那些不真實(shí)的解,使得解更符合實(shí)際;所謂穩(wěn)定,是指當(dāng)已知函數(shù)有微小的擾動(dòng)

時(shí),問(wèn)題的解只有微小的擾動(dòng)。如果解不穩(wěn)定,即已知函數(shù)存在微小誤差時(shí),方

程的解產(chǎn)生較大的誤差;因此,這給方程的求解等提出了更高的要求,否則將失

之毫厘,謬之千里。

(2)格林公式及其應(yīng)用

【彥+餐+當(dāng)便8傘?才+QM*,94■或84禺*)如

高斯公式::&方ai

內(nèi)部格林公式:

,唱;。嶗;&=唔

十%|用故=

第一格林公式:

-qMjJrfr=j(?i魯f祟口0

第二格林公式:

0,outsidether

rl.rflftraAYf\=2x,Mlhea

笛一格林八個(gè)J產(chǎn)A而f在,到O4k,Hdc&T

弟二格林公式:I*-VEE.J90fl>"***

外部格林公式:

J,4.+...%)枚=-卜.姜db+卜.芟/

第一格林公式:

盤(pán)=1向陽(yáng)M

ju富■的=f,程*1痂也8

=-

第二格林公式:

!扣1.!得琮鐘i

第三格林公式

0,outsidetheq

Pt=2x>onthea

4/r,uidetheq

格林公式的應(yīng)用:

(a)重力方法確定地球質(zhì)量

0.outsideIheq

得4Mb=-4=_27r.lxithea

在內(nèi)部第三格林公式中令》■1,則,-4/r.iui<fetheq

0,otibkfetheq

—2/r.onthe<r

得京b=-"=

在外部第三格林公式中令P?1,則“-4/r>iuicfetheq

則!R敕

在內(nèi)部第二格林公式中令"=1

取了=對(duì),將AJF=-4?M+力代入上式,則有:

=-4X3if+2aaT

Af=—^―[g^£r+-^-T

械?產(chǎn)一MJ

”=心J4的

若取Y”,則有4M7i

(b)邊值問(wèn)題解的唯一性分析

證明位理論第一邊值問(wèn)題的解是唯一的:假設(shè)解不是唯一的,則在二外有兩

個(gè)調(diào)和并在無(wú)窮遠(yuǎn)處正則的函數(shù)外和均同時(shí)滿足h上的邊界條件,記

丁=彳一%,則丁也是在:外調(diào)和并在無(wú)窮遠(yuǎn)處正則的函數(shù)。

將外部第一格林公式應(yīng)用于『,并在該式中令"=?=丁,則有

JpKT+DCT.nWr=-JT—d<r

根據(jù)條件在<內(nèi)八丁=0及在二面上力,二°,則上式為:

Jz)(r.7>#T=o

要使上式成立,則必須在二外任羞點(diǎn)上都滿足下列條件:

ararar?

即「為常數(shù)。又根據(jù)『是在無(wú)窮遠(yuǎn)處的正則函數(shù),則『只能等于零,亦即K=6,

這證明解是唯一的。

(c)用格林公式解外部邊值問(wèn)題

-4#=

將地球引力位應(yīng)用于外部第三格林公式,則有:

在外部第二格林公式中假設(shè)*="和為。中的調(diào)和函數(shù),則

峭-嘿”=。

基本公式:一疼-啜吟上

a=u--

格林函數(shù):I,4。=0

第一邊值問(wèn)題:

第二邊值問(wèn)題:

嗎|=0第acr

第三邊值問(wèn)題:1PdnV,fitA

(d)Poisson積分

o=J?_L_i

格林函數(shù):Pr*r

證明:①AG=0,②01.=。

(e)應(yīng)用于地球表面的重力位

在內(nèi)部第三格林公式中取二為地球重力位,,則有:

J=-4/rGj獷J牛

上式右邊第一個(gè)積分就屋I力位「,即''

-4"Gj*df=-4-歹=-4.JF+2#ra'(x,+J')

■?

整理得:

aaa

[pt-4冷爐+2??(x4-/)=

ar?ar

在地球表面上,代?2*。顧及‘-一方"-不",這里,:為曲面:上;點(diǎn)處的法向,

而它是過(guò)F點(diǎn)處的重力等位面(在該點(diǎn)處)的法向。最后得到:

2斤郎=2#緲+J嚀+%景;)]盤(pán)+2叫牛

這是一個(gè)關(guān)于重力位*的積分方程,該式在莫洛金斯基理論上甚為重要。

⑴應(yīng)用于水準(zhǔn)面

若二是水準(zhǔn)面,或者說(shuō)在:上有7-“;此時(shí),公式化為

當(dāng)計(jì)算點(diǎn)位于地球面(水準(zhǔn)面)外時(shí),A-0,上式變?yōu)?/p>

4RF=+7)+信數(shù)+0[與

不難看出,引力位為:

展工隹db+史j1竺

當(dāng)計(jì)算點(diǎn)位于地球面(水準(zhǔn)面)內(nèi)時(shí),居?七,上式變?yōu)?/p>

4"呢=勿"9+j,)+J苧痣+加,庠

(g)Stokes定理與Stokes問(wèn)題

Stokes定理:英國(guó)物理學(xué)家司托克斯1849年提出的,即若已知?個(gè)水準(zhǔn)面

形狀聶5面上的位悵(或它內(nèi)部所包含的物質(zhì)的總質(zhì)量M)及該物體繞某一

固定軸的旋轉(zhuǎn)角速度二,則該水準(zhǔn)面上及其外部空間任意點(diǎn)的重力位都可唯一確

定,并且不需要知道物體內(nèi)的質(zhì)量分布情況。

Stokes問(wèn)題:已知水準(zhǔn)面上的重力M和重力位P(或地球的總質(zhì)量”),以

及地球的自轉(zhuǎn)角速度工,需求定水準(zhǔn)面的形狀E及其外部的重力位。

思考題

1、設(shè)r為向經(jīng),求半經(jīng)為三、密度為'J12-10A-的球體對(duì)外部任意一點(diǎn)的引

力位及引力。

2、求半經(jīng)為三、高度為三的均質(zhì)圓柱體對(duì)內(nèi)部和外部任意一點(diǎn)的引力位及引力。

3、證明位理論外部第二邊值問(wèn)題的解是唯一的。

4、地球引力位有何性質(zhì)?

第四章正常重力場(chǎng)

重點(diǎn)講授引進(jìn)地球正常重力場(chǎng)的目的意義及基本要求;地球重力

位的球函數(shù)展開(kāi)式及其零階項(xiàng)、一階項(xiàng)和二階項(xiàng)的物理意義;利用

Laplace方法和Stokes方法確定地球正常重力場(chǎng)的基本原理;實(shí)用正

常重力公式及正常重力場(chǎng)的基本性質(zhì)。

1、為什么要引進(jìn)正常重力場(chǎng)?

r=/J—

.r2,地球形狀和地球的密度未知!

確定地球正常重力場(chǎng)的主要意義在于:將地球重力場(chǎng)的求解歸結(jié)為擾動(dòng)場(chǎng)或

異常重力場(chǎng)(微小量)的求解,保證了其解的存在性,并方便求解。

基本要求:

■應(yīng)盡量地符合地球外部的重力場(chǎng),即不改變地球外部的重力和重力

位;

■應(yīng)盡量不改變大地水準(zhǔn)面的形狀;

■不改變地球重力場(chǎng)的總質(zhì)量M和旋轉(zhuǎn)角速度二;

■橢球體表面:為水準(zhǔn)面,且外部沒(méi)有物質(zhì)存在;

■地球質(zhì)心與橢球中心重合。

2、重力位的球函數(shù)展開(kāi)式

(1)矩的概念

J產(chǎn)加

質(zhì)體的多階矩定義為:,

零階矩:!-,表示質(zhì)體的總質(zhì)量;

\xdm=XnM

.

KK

一階矩:d,質(zhì)體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的一階矩分別等于

質(zhì)體質(zhì)心的三個(gè)坐標(biāo)與質(zhì)體質(zhì)量的乘積。

[/&=+y*

二階矩:)1,質(zhì)體對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(慣性

矩)。

質(zhì)體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:!I,!,!

J.=+

K

J,=k'+zM=8

B

a

Jr=J(x+/)A?=(7

質(zhì)體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

對(duì)于坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間存在以下關(guān)系:

離心矩或慣性積:

J.=JD

?

=bodb?=E

?

J_=fzxdm=P

慣性橢球和主慣性軸:

質(zhì)體對(duì)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的任意軸2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

1/"'&=J.C8'a+J^coaN/y+J^cofiy—Z^cof^cosy-ZJ.coiycosa-4.cosacos,

0K=*

設(shè)事.,則B?a=M4,8?2=川〃,B?,=.也

11

J.,4-Jpr+J1X-2JR^-2J-?-2J<JQr=l

(2)地球引力位的展開(kāi)式

V=GJ%T

\IffD,AD,4I

—fj(co?―3;-二-D?41

rZip^非㈤匹8療,器(g麗=1,

片?8叼=CMfF

,二.比解紀(jì)(8'?

d(C8S*

1宮匕=Z多!

?=一[----

。?P,4=",將地球作為均質(zhì)球體看待!

外=g[3H(8?MrfE=M■[科COf/T

P\一:,與地球質(zhì)心坐標(biāo)有關(guān)!

匕=4?C036+4血&C031+6;血&的㈤

其中

A=可"C8*=OMZ,4=可Vffa?MT=GMXt

K

B1=句一―。血lUr=CHfl;

如果將坐標(biāo)原點(diǎn)選在地球質(zhì)心,則4=6=聞=。,即4=。。

co?8-》十段(33^cos^cosX)4-用{3a88$e2為4-右(3a'9CM21)

+用。向‘8』絢

與地球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)!

舄"引收’+/ME+與低/+/“一可以/+/“丁=父管一3

^=af&VdT=aF

典=—\^VdT=GD

a=綱--/Me"-冷

q:q

如果將坐標(biāo)軸選在地球的主慣性軸上,則舄=用=工=。;如果地球是一

個(gè)旋轉(zhuǎn)體,即赤道是圓,則/=6,&=0。

地球引力位的球函數(shù)展開(kāi)式為:

,二£占1月(8通+為(£CMJU+級(jí)向場(chǎng)斗(8?與|

3TI3J

3、正常重力場(chǎng)的確定

(1)Laplace方法

將地球的重力位展開(kāi)成球函數(shù)級(jí)數(shù)形式,然后在該展開(kāi)式中取最大的前

兒項(xiàng)作為正常重力位,取多少項(xiàng)視精度而定。

在引力位的球函數(shù)展開(kāi)式中只取前三項(xiàng)來(lái)表示地球的正常引力位,并將

坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在地球質(zhì)心,坐標(biāo)軸為地球的主慣性軸,則正常重力位為:

…卦稔。-33物+寒血沙

水準(zhǔn)橢球體

設(shè)點(diǎn)地球赤道上的離心力與重力的比值,即&;令“=W,稱(chēng)為

地球形狀參數(shù),則有:

U=(7當(dāng)1+乳-30%垮.

P“}

在地球赤道上,0=90",P=a,則有:

U9=G—

正常位水準(zhǔn)面的方程式為:

1+—Q-3co*'^)4--sii'&

p-a-----------------

1+"

32

將上式展開(kāi)成級(jí)數(shù),僅顧及扁率級(jí)精度,則有:

p=d(l4--(1—————

3232

=41-3+3?0?1&]

在顧及地球扁率級(jí)精度情況下,上式為旋轉(zhuǎn)橢球體。

正常重力公式

dUQUGMr._小.JJ

,=---例----,[I3co?0)-qsn8]

3^dpfir

GM\35a1

顧及地球扁率級(jí)精度情況下,F(xiàn)l22J

Otf3OM

當(dāng)8=90"時(shí),"=r0+"一5°);當(dāng)8=0"時(shí),"=

i+a--q2

q

則有2o

P----------fi=-a-a

定義Y.為重力扁率,則2,,稱(chēng)為克萊饒定理。

顧及二級(jí)量的正常重力公式為:

確定正常重力場(chǎng)的參數(shù)

%GM(Q、a4)、G、工、B、J

只要知道其中四個(gè)參數(shù),就能確定正常重力場(chǎng)。

■=尊"/+》Gif="iQ-a+gq)

(2)Stokes方法

選擇一個(gè)形狀和大小已知的質(zhì)體(如旋轉(zhuǎn)橢球體),要求其表面為重力位水

準(zhǔn)面,其外部的重力位和重力盡量與實(shí)際地球的外部重力位和重力接近,并已知

該質(zhì)體的旋轉(zhuǎn)角速度和質(zhì)量或其表面的重力位,根據(jù)Stokes定理可唯一確定該

質(zhì)體外部的重力位和重力,該質(zhì)體所產(chǎn)生的重力場(chǎng)稱(chēng)為按Stokes方法確定的地

球正常重力場(chǎng)。

&r=o

Im,=0

該邊值問(wèn)題的解可用橢球諧函數(shù)表示,橢球外部的引力位可表示為:

入£2——盧Ja>>切

-

U--------tan

正常橢球外部的重力位用=、八-、M四個(gè)參數(shù)確定,這與司托克斯定理結(jié)果

一致。且。o

橢球面上的正常重力值、可用下面的公式求得:

_cos2B+2>/psin2B

九a2cos2B4-Z>2sin2B

乃二治卜+^-存-**/9a2a-a')向i丑產(chǎn)

<xfi

%=%(1+2事26-4-12為,氏==十彳

3/+獷一卻+內(nèi)%力

-(3+?A)e4g9-V-]

克萊饒定理:L

若顧及扁率平方級(jí)各項(xiàng),則有:2,'35」

橢球面上的正常重力值■的實(shí)用公式:

卡西尼公式(1930):。=處&049(1+0.005288a”-0.0000059a12協(xié)Gal

297,=0.003467826,Y,=978.CM9GWa=637838?n

赫爾默特公式(1901T909):

%=97ao30cl+0.0053021B-0.00000728)Gal

5

WGS84橢球參數(shù):0=7.2MH5X10-rad/s,GM=3.986005*10MlM%",

J,=1082.63x10^,a=6378137斯,4=-必力

0=978103籌8(1+0.0053gzA-0.00000583")Gal

4、正常重力場(chǎng)的性質(zhì)

(1)正常位水準(zhǔn)面是向兩極收斂的;

仆-空

(2)在同一緯度上,相鄰兩正常位水準(zhǔn)面之間的距離相等,r;

(3)正常重力線是一根在子午面內(nèi)向兩極彎曲的平面曲線。

歹=則+京4殳絲包

⑷正常引力位的球函數(shù)展開(kāi)式:-P士尸

思考題

1、引進(jìn)正常重力場(chǎng)的目的是什么?

2、地球重力位的球函數(shù)展開(kāi)式中零階項(xiàng)、一階項(xiàng)和二階項(xiàng)的物理意義是什么?

3、基于Stokes方法和Laplace方法確定正常重力場(chǎng)有何區(qū)別?

4、正常重力場(chǎng)有何性質(zhì)?

5、如何確定正常重力場(chǎng)?

第五章確定大地水準(zhǔn)面形狀的Stokes理論

重點(diǎn)講授大地水準(zhǔn)面的定義及性質(zhì);擾動(dòng)位、大地水準(zhǔn)面高、垂

線偏

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