甘肅省武威八中2021-2022學(xué)年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a2．已知復(fù)數(shù)滿足，(為虛數(shù)單位)，則()A． B． C． D．33．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，若在中，，則（）A． B． C． D．4．已知為非零向量，“”為“”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－136．下圖中的圖案是我國(guó)古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A． B． C． D．7．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)等于（）A． B．1 C． D．28．已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．32010．已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A． B． C． D．12．某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍，為了更好地對(duì)比該?？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結(jié)論正確的是（）.A．與2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加B．與2016年相比，2019年一本達(dá)線人數(shù)減少C．與2016年相比，2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.3倍D．2016年與2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，已知，則數(shù)列的的前項(xiàng)和為__________.14．若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則______，含項(xiàng)的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.15．設(shè)實(shí)數(shù)，若函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值為______.16．如圖，在等腰三角形中，已知，，分別是邊上的點(diǎn)，且,其中且，若線段的中點(diǎn)分別為，則的最小值是_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，過頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn)（不在棱的端點(diǎn)處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求長(zhǎng).18．（12分）已知矩陣,二階矩陣滿足.（1）求矩陣;（2）求矩陣的特征值．19．（12分）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，且拋物線上點(diǎn)處的切線與圓相切于點(diǎn)（1）當(dāng)直線的方程為時(shí)，求拋物線的方程；（2）當(dāng)正數(shù)變化時(shí)，記分別為的面積，求的最小值．20．（12分）為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件，根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖，若尺寸落在區(qū)間之外，則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件，其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求樣本平均數(shù)的大小；（2）若一個(gè)零件的尺寸是100cm，試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.21．（12分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生，調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統(tǒng)計(jì)情況如下表：同意不同意合計(jì)男生a5女生40d合計(jì)100（1）求a，d的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說明理由；（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查，記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522．（10分）某公司為了鼓勵(lì)運(yùn)動(dòng)提高所有用戶的身體素質(zhì)，特推出一款運(yùn)動(dòng)計(jì)步數(shù)的軟件，所有用戶都可以通過每天累計(jì)的步數(shù)瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”，統(tǒng)計(jì)了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù)，規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，步數(shù)在8000以下的為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個(gè)用戶，得到如下列聯(lián)表：運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)男3560女26總計(jì)100（1）（i）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（ii）據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否有的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”？（2）將頻率視作概率，從該公司的所有人“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”中任意抽取3個(gè)用戶，求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期望.附：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】，故，故選A.3．D【解析】

根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)，求導(dǎo)，則，在上是增函數(shù)，再根據(jù)在中，，得到，，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到，再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以，在上是增函數(shù)，在中，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，且，所以，即，所以，即故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.4．B【解析】

由數(shù)量積的定義可得,為實(shí)數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷；再根據(jù)判斷,由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以；若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.5．B【解析】

由題得，，解得，，計(jì)算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.6．C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．7．B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的的值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有.8．B【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價(jià)于，因此選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.9．C【解析】

首先把看作為一個(gè)整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識(shí)的考查．11．B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得，即可得到，代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．12．A【解析】

設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，通過簡(jiǎn)單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，2016年高考不上線人數(shù)為，2019年不上線人數(shù)為，故A正確；2016年高考一本人數(shù)，2019年高考一本人數(shù)，故B錯(cuò)誤；2019年二本達(dá)線人數(shù)，2016年二本達(dá)線人數(shù)，增加了倍，故C錯(cuò)誤；2016年藝體達(dá)線人數(shù)，2019年藝體達(dá)線人數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用，考查學(xué)生識(shí)圖的能力，是一道較為簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)類的題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，得到，再由求解．【詳解】解：由，得，，則數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬于中檔題．14．【解析】的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，，，項(xiàng)的系數(shù)是，故答案為（1），（2）.15．【解析】

根據(jù)，則當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由，轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因?yàn)?，又?dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由等價(jià)于，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，則，又，得，因此的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16．【解析】

根據(jù)條件及向量數(shù)量積運(yùn)算求得,連接,由三角形中線的性質(zhì)表示出.根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式表示出,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】根據(jù)題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數(shù)量積運(yùn)算可知線段的中點(diǎn)分別為則由向量減法的線性運(yùn)算可得所以因?yàn)?代入化簡(jiǎn)可得因?yàn)樗援?dāng)時(shí),取得最小值因而故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,向量的線性運(yùn)算及模的求法,二次函數(shù)最值的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】

（1）由平面與平面沒有交點(diǎn)，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（2）由四邊形是平行四邊形，且，則不可能是矩形，所以與不垂直；（3）先證，可得為的中點(diǎn)，從而得出是的中點(diǎn)，可得.【詳解】（1）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個(gè)平面沒有交點(diǎn)，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（2）因?yàn)?，兩點(diǎn)不在棱的端點(diǎn)處，所以，又四邊形是平行四邊形，，則不可能是矩形，所以與不垂直；（3）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若四邊形為菱形，則，易證，所以，即為的中點(diǎn)，因此，且，所以是的中位線，則是的中點(diǎn)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題，和線段長(zhǎng)的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.18．（1）（2）特征值為或．【解析】

（1）先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.（2）令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值．【詳解】解：（1）設(shè)矩陣由題意,因?yàn)?所以,即所以,（2）矩陣的特征多項(xiàng)式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.19．（1）x2=4y．（2）.【解析】試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求導(dǎo)y′=，因?yàn)橹本€PQ的斜率為1，所以=1且x0--√2=0，解得p=2，所以拋物線C1的方程為x2=4y．（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，∴OQ的方程為y=-x根據(jù)切線與圓切，得d=r，即，化簡(jiǎn)得x04=4x02+4p2，由方程組，解得Q（，），所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=點(diǎn)F（0，）到切線PQ的距離是d=，所以S1==，S2=，而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，所以==+1≥2+1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，即x02=4+2，此時(shí)，p=．所以的最小值為2+1．考點(diǎn)：求拋物線的方程，與拋物線有關(guān)的最值問題.20．（1）66.5（2）屬于【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解；（2）求出，即可判斷得解.【詳解】（1）（2）所以該零件屬于“不合格”的零件【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21．（1）,有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)；（2）詳見解析.【解析】

（1）