27.1 圓的確定（解析版）

27.1圓的確定1.理解并掌握圓及其基本元素弦、弧、圓心角等有關概念.2.能夠根據(jù)條件畫出圖形,在畫圖的過程中加深對圓及其基本元素的理解.知識點一圓的概念及表示方法1.圓的概念圓的描述性定義:如圖所示,在一個平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓.其固定的端點O叫做圓心,線段OA叫做半徑圓的集合性定義:將圓心為O、半徑為r的圓看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合圓的表示方法:以點0為圓心的圓,記作,讀作“圓O”注意“圓”指的是“圓周”(一條封閉的曲線),而不是圓面.確定一個圓的兩個因素:圓心和半徑.圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小.圓上任意兩點和圓心構(gòu)成的三角形是等腰三角形.半徑是線段.2.圓內(nèi)、圓外的概念在圓所在的平面上，以圓周為分界線，含圓心的部分叫做圓的內(nèi)部(簡稱圓內(nèi)),不含圓心的部分叫做圓的外部(簡稱圓外).以圓周為分界線所成的兩部分，分別叫做圓的內(nèi)部和外部，簡稱“圓內(nèi)”“圓外”.即學即練下列條件中，能確定一個圓的是（

）A．以點O為圓心 B．以2cmC．以點O為圓心，10cm長為半徑 D．經(jīng)過點【答案】C【分析】確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【詳解】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴C選項正確，故選：C．【點睛】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．知識點二點與圓的位置關系點與圓的位置關系點到圓心的距離d與半徑r數(shù)關系圖形推理過程點在圓內(nèi)點A在圓內(nèi)點在圓上d＝r點A在圓上點在圓外d＞r點A在圓外注意：符號“?”讀作“等價于”,表示這個符號兩邊的數(shù)學事實可由左邊推出右邊，也可由右邊推出左邊.即學即練如圖所示，已知矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm若以點A為圓心作⊙A，使B，C，A．3<r<4 B．4<r<5 C．3<r<5 D．4<r≤5【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長，進而得出點B，C，D與【詳解】解；連接AC，∵矩形ABCD中，AB=3，∴BC=AD=4，∴AC=A∵以點A為圓心作⊙A，使B∴⊙A的半徑r的取值范圍是：3故選：C．【點睛】此題主要考查了點與圓的位置關系，解決本題要注意點與圓的位置關系，要熟悉勾股定理，及點與圓的位置關系．判斷點和圓的位置關系的方法：要判斷點和圓的位置關系，只要求出這個點到圓心的距離d,再用d與圓的半徑R比較即可；反過來，若已知點與圓的位置關系，則點到圓心的距離d與圓的半徑R之間的數(shù)量關系也就隨之確定了.知識點三圓的確定條件依據(jù)作圖圓的個數(shù)過一個點作圓經(jīng)過一個點A作圓,只要以點A以外的任意一點為圓心，以這一點與點A的距離為半徑作圓就可以作出無數(shù)個過兩個點作圓經(jīng)過兩個點A，B作圓，只要以與點A,B距離相等的點為圓心，即以線段AB的垂直平分線上任意一點為圓心，以這一點與點A或點B的距離為半徑作圓就可以無數(shù)個過不在同一條直線上的三個點作圓經(jīng)過不在同一條直線上的三個點A，B,C作圓,圓心到這三個點的距離相等，因此，圓心在線段AB，BC的垂直平分線的交點O處,以0為圓心,線段OA(或OB,OC)為半徑可作出經(jīng)過A,B,C三個點的圓一個性質(zhì):不在同一條直線上的三個點確定一個圓.知識點四三角形的外接圓三角形的三個頂點不在同一直線上，因此三角形的三個頂點確定一個圓.1.三角形外接圓的有關概念經(jīng)過一個三角形各頂點的圓叫做這個三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做這個三角形的外心；這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。如果一個圓經(jīng)過一個多邊形的各頂點，那么這個圓叫做這個多邊形的外接圓，這個多邊形叫做這個圓的內(nèi)接多邊形.2.三角形外心的性質(zhì)三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，等于其外接圓的半徑.3.不同類型的三角形外心的位置特征銳角三角形：外心在三角形的內(nèi)部;直角三角形：外心在直角三角形斜邊的中點);鈍角三角形：外心在三角形的外部).三角形外接圓的作法：(1)作三角形兩邊的垂直平分線找出交點；(2)以交點為圓心，以圓心到三角形任一頂點的距離為半徑作圓.即學即練（2020上·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請用直尺和圓規(guī)作出Rt△ABC的外接圓，圓心為O（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）若AB＝6，∠A＝30°，請求出扇形AOC的面積．【答案】（1）見解析；（2）3π【分析】(1)用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線交于O，即可出Rt△ABC的外接圓；(2)根據(jù)AB=6，∠A=30°，即可求出扇形AOC的面積．【詳解】(1)如圖即為Rt△ABC的外接圓，圓心為O；(2)∵AB是直徑，∴，∵∠A=30°，∴∠B=90∠A=9030°=60°，∵AB=6，∠B=60°，∴圓O的半徑為3，圓心角∠AOC=120°，∴扇形AOC的面積為：=3π．答：扇形AOC的面積為3π．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖、含30度角的直角三角形、三角形的外接圓與外心、扇形面積的計算，解決本題的關鍵是掌握直角三角形的外心在斜邊中點．題型1圓的基本概念辨析例1（2022上·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期中）已知：在中，，則BC的值（

）A．只有1個 B．可以有2個 C．可以有3個 D．無數(shù)個【答案】B【分析】如圖，過作于，再利用特殊角的三角函數(shù)值求解的長度，再以為圓心，為半徑畫弧，則弧與的兩個交點都為的位置，從而可得答案．【詳解】解：如圖，過作于，∴，∵，∴以為圓心，為半徑畫弧，則弧與的兩個交點都為的位置，∴的值有兩個．故選B．【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的應用，圓的基本性質(zhì)，熟練的畫出圖形解題是關鍵．舉一反三1（2020上·上海浦東新·九年級上海民辦建平遠翔學校校考階段練習）下列說法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧【答案】A【分析】利用圓的有關定義分別判斷即可．【詳解】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；D、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了圓的認識，解題的關鍵是了解圓的有關定義及性質(zhì)．舉一反三2（2019·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，則下列說法中正確的是（

）A．圓可以經(jīng)過點 B．點可以在圓的內(nèi)部C．點可以在圓的內(nèi)部 D．點可以在圓內(nèi)部【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出符合題意的示意圖，然后求解．【詳解】解：∵點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，∴點可以在圓的內(nèi)部，故A錯誤，B正確；∵過點的圓記為圓，∴點可以在圓的外部，故C錯誤；∵過點的圓記為圓，∴點可以在圓的外部，故D錯誤．故選B．【點睛】本題考查點與圓的位置關系，畫出適當?shù)妮o助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法，更有助于解題.題型2圓的確定例2（2021上·全國·九年級專題練習）下列條件中，不能確定一個圓的是（

）A．圓心與半徑 B．直徑C．平面上的三個已知點 D．三角形的三個頂點【答案】C【分析】根據(jù)不在同一條直線上的三個點確定一個圓，已知圓心和直徑所作的圓是唯一的進行判斷即可得出答案．【詳解】解：A、已知圓心與半徑能確定一個圓，不符合題意；B、已知直徑能確定一個圓，不符合題意；C、平面上的三個已知點，不能確定一個圓，符合題意；D、已知三角形的三個頂點，能確定一個圓，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是分類討論．舉一反三1（2023上·江蘇·九年級專題練習）下列條件中能夠確定一個圓的是（）A．已知圓心B．已知半徑C．已知三個點D．過一個三角形的三個頂點【答案】D【分析】已知圓心和半徑所作的圓就是唯一的，不在同一直線上的三點確定一個圓．【詳解】解：確定一個圓的條件是圓心和半徑，過一個三角形的三個頂點即可確定一個圓，故選：D．【點睛】本題主要考查了確定圓的條件，根據(jù)不在一條直線上的三點確定一個圓是解題關鍵．舉一反三2（2021上·天津河西·九年級統(tǒng)考期末）下列說法錯誤的是（）A．已知圓心和半徑可以作一個圓B．經(jīng)過一個已知點A的圓能做無數(shù)個C．經(jīng)過兩個已知點A，B的圓能做兩個D．經(jīng)過不在同一直線上的三個點A，B，C只能做一個圓【答案】C【分析】根據(jù)確定圓的條件依次判斷即可．【詳解】解：A.已知圓心和半徑可以作一個圓，正確，不符合題意；B.經(jīng)過一個已知點A的圓能做無數(shù)個，正確，不符合題意；C.經(jīng)過兩個已知點A，B的圓能做無數(shù)個，錯誤，符合題意；D.經(jīng)過不在同一直線上的三個點A，B，C只能做一個圓，正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查確定圓的條件．注意過三點確定一個圓，要畫一個圓需要知道它的圓心和半徑．題型3點與圓的位置關系例3（2020上·上海青浦·九年級?？茧A段練習）在直角坐標平面中，，圓的半徑為4，那么點與圓的位置關系是（

）A．點在圓內(nèi) B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定【答案】C【分析】求得線段的長后與圓的半徑比較即可確定正確的選項．【詳解】解：，，，圓的半徑為4，點在圓外，故選：C．【點睛】考查了點與圓的位置關系，判斷點與圓的位置關系，也就是比較點與圓心的距離和半徑的大小關系．舉一反三1（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預測）矩形中，，，點在邊上，且，如果圓是以點為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

）

A．點，均在圓外 B．點在圓外，點在圓內(nèi)C．點在圓內(nèi)，點在圓外 D．點，均在圓內(nèi)【答案】C【分析】由，得到，，再根據(jù)勾股定理，在中計算出，在中計算出，則，然后根據(jù)點與圓的位置關系進行判斷．【詳解】解：如圖，

四邊形為矩形，，，，，，在中，，，，在中，，，，，點在圓內(nèi)，點在圓外．故選：．【點睛】本題考查了點與圓的位置：設的半徑為，點到圓心的距離，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi)．舉一反三2（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，矩形中，，，以A為圓心，r為半徑作，使得點D在圓內(nèi)，點C在圓外，則半徑r的取值范圍是．

【答案】【分析】首先利用勾股定理得出的長，利用以A為圓心，r為半徑作，使得點D在圓內(nèi)，點C在圓外，得出r的取值范圍即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵矩形矩形中，，，∴，∵以A為圓心，r為半徑作，使得點D在圓內(nèi)，點C在圓外，∴半徑r的取值范圍是：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系以及勾股定理，利用圖形得出r的取值范圍是解題關鍵．題型4三角形的外接圓例4（2014·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列命題中，錯誤的是（）A．三角形重心是三條中線交點 B．三角形外心到各頂點距離相等C．三角形內(nèi)心到各邊距離相等 D．等腰三角形重心、內(nèi)心、外心重合【答案】D【詳解】試題分析：A、三角形的重心是三條中線的交點，正確；B、三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，到各頂點的距離相等，故正確；C、三角形的內(nèi)心是三角平分線的交點，到各邊的距離相等，故正確；D、等邊三角形的重心、內(nèi)心和外心才重合，故錯誤，故選D．考點：命題與定理．舉一反三1（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）如果正三角形的邊心距是2，那么它的外接圓半徑是．【答案】4【分析】利用解直角三角形的知識即可求解．【詳解】根據(jù)題意作圖如下，根據(jù)題意有：在正△ABC中，邊心距OD=2，OB為正△ABC外接圓半徑，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠OBD=∠ABD=，且∠ODB=90°，∴在Rt△ABC中，，即其外接圓半徑r為4，故答案為：4．【點睛】本題考查了邊心距的含義、解直角三角形、正三角形的性質(zhì)等知識，理解邊心距的含義是解答本題的關鍵．舉一反三2（2020·上海徐匯·統(tǒng)考二模）已知正三角形ABC外接圓的半徑長為R，那么的周長是．（用含R的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理以及相關角度求算邊長，再算周長．【詳解】如圖：作于∵∴∴∴∴周長為：故答案為：【點睛】本題考查三角形的外接圓，掌握相關的角度轉(zhuǎn)化是解題關鍵．舉一反三3（2018上·江蘇蘇州·九年級蘇州草橋中學階段練習）是直徑為的圓內(nèi)接等腰三角形，如果此三角形的底邊，則的面積為．【答案】或平方厘米【分析】已知△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，若過A作底邊BC的垂線AD，則AD所在直線必過圓心O；在Rt△OBD中，由勾股定理可求出OD的長，進而可求出△AOB的面積．需注意本題的△ABC分銳角和鈍角三角形兩種情況．【詳解】解：（1）如圖①，過A作AD⊥BC于D，則AD必過點O．連接OB．Rt△OBD中，OB=5cm，BD=4cm．由勾股定理，得：OD==3cm，則AD=OA+OD=8cm，S△ABC=BC?AD=32（cm2）．（2）如圖②；同（1）可求得OD=3cm，則AD=OA﹣OD=2cm，S△ABC=BC?AD=8（cm2）．所以△ABC的面積是32或8平方厘米．故答案為：32或8平方厘米．【點睛】本題考查了三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識的綜合應用．舉一反三4（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知外接圓的圓心O在高AD上，點E在BC延長線上，．(1)求證：；(2)當，時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)題意得到AD垂直平分BC，得到AB=AC，則∠B=∠ACB，再證明EC=AC，得到∠AEC=∠CAE，即可利用三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）先求出∠BAO=30°，從而求出∠BOD=60°，然后解直角三角形求出BD，AB的長即可得到答案．【詳解】（1）解：∵△ABC的外接圓圓心在高AD上，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EC=AB，∴EC=AC，∴∠AEC=∠CAE，∵∠ACB=∠AEC+∠CAE，∴∠B=∠AEC+∠CAE=2∠AEC；（2）解：連接OB，∵，∴∠BAO=30°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OAB=30°，∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=60°，∴，∴，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求度數(shù)，解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等等，確定AB=AC是解題的關鍵．一、單選題1．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，已知及其所在平面內(nèi)的個點．如果半徑為，那么到圓心距離為的點可能是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【分析】根據(jù)點與圓的位置關系即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，半徑為，如圖所示，連接，∴，∴到圓心距離為的點可能是點，故選：．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關系，理解并掌握點到圓心的線段與圓的半徑的大小關系是解題的關鍵．2．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，點在對角線上，圓經(jīng)過點．如果矩形有兩個頂點在圓O內(nèi)，那么圓O的半徑長r的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，連接，交于點F，作于點E，求得，再根據(jù)圓的運動過程，判斷出r的取值范圍即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴∵，∴∴由勾股定理得，，連接，交于點F，作于點E，

∵∴點O從點D開始向B移動，移到E時，的長度從1減到，再移到點F，此時，在這一范圍內(nèi)，，,∴當時，A，B都在圓外，不滿足條件；當點O從點F移到點B時，，此時，，，∴當時，滿足兩點在圓內(nèi)的條件；當，即，點O在點F的位置，，此時四點都在圓上，不滿足條件；當，即，點O在點B的位置，此時，，A和B在圓內(nèi)，點D在圓外，滿足條件，故r的取值范圍是：．故選：B．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系，正確進行分類討論是解答本題的關鍵．3．（2017上·浙江寧波·九年級階段練習）若所在平面內(nèi)一點P到上的點的最大距離為a，最小距離為b（），則此圓的半徑為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】點P可能在圓內(nèi)，也可能在圓外；當點P在圓內(nèi)時，直徑為最大距離與最小距離的和；當點P在圓外時，直徑為最大距離與最小距離的差；再分別計算半徑．【詳解】解：若所在平面內(nèi)一點P到上的點的最大距離為a，最小距離為b，若這個點在圓的內(nèi)部或在圓上時，圓的直徑為，因而半徑為；當此點在圓外時，圓的直徑是，因而半徑是；故選C．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，培養(yǎng)學生分類的思想及對點P到圓上最大距離、最小距離的認識．4．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在直角坐標平面內(nèi)，如果點在以為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，那么a的取值范圍是（）A． B． C． D．．【答案】C【分析】由點在以為圓心，2為半徑的圓內(nèi)知，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點在以為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，∴，則，解得，故選：C．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關系，點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離，則有①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)．二、填空題5．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）已知矩形，，，以點為圓心，為半徑畫圓，那么點的位置是在．【答案】外【分析】由矩形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理得，可知點到圓心的距離大于的半徑，則點在外，于是得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，的半徑為，且，點到圓心的距離大于的半徑，點在外，故答案為：外．【點睛】此題重點考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，根據(jù)勾股定理求出的長是解題的關鍵．6．（2022上·河北保定·九年級校考期末）已知A為⊙O外一點，若點A到⊙O上的點的最短距離為2，最長距離為4，則⊙O的半徑為．【答案】1【分析】畫出圖形，先表示距離，再確定最值條件．【詳解】解：如圖：連接AO并延長交圓O于點B，C兩點，點A到⊙O上的點的最短距離線段AB的長，最長距離為線段AC的長度．設圓的半徑為r，則：BC＝2r＝AC?AB＝4?2＝2，∴r＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查求圓的半徑，確定A到圓上的點的最大距離和最小距離對應的線段是求解本題的關鍵．7．（2020上·上海靜安·九年級上海市民辦揚波中學校考期中）如圖，在半徑為2的扇形中，，點C是弧上的一個動點（不與點A、B重合），，，垂足分別為點D、E．設，的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關系式．

【答案】【分析】連接，過點D作于H，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到，，，，進而求得，，然后利用勾股定理求得，，，則，由求解即可．【詳解】解：連接，過點D作于H，

∵，，，∴，，，，∵，∴，，∴，在中，，，∴，且，在中，，∴，在中，，∴，則，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線性質(zhì)、圓的基本知識等知識，綜合性較強，難度適中．8．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，我們定義點的“關聯(lián)點”為．如果已知點在直線上，點在的內(nèi)部，的半徑長為（如圖所示），那么點的橫坐標的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)點在直線上，可求得點的“關聯(lián)點”為，根據(jù)點與圓的位置關系可得，根據(jù)勾股定理即可得答案．【詳解】解：∵點A在直線上，∴，∴，，∴點的“關聯(lián)點”為，當時，，此時點在上，整理得，解得：，∵點在的內(nèi)部，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形，點與圓的位置關系及解一元二次方程，點在圓內(nèi)，；點在圓上，，點在圓外，，正確得出點坐標，熟練掌握點與圓點位置關系是解題關鍵．9．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標系中，已知點、點，的半徑為5，點C是上的動點，點P是線段的中點，那么長的取值范圍是．【答案】【分析】如圖，在y軸上取一點，連接，，由勾股定理求出，由三角形中位線定理求，當C在線段上時，的長度最小值，當C在線段延長線上時，的長度最大值，即可求解．【詳解】解：如圖，在y軸上取一點，連接，，∵，，∴，，∴，∵點P是的中點，∴，∵，，∴是的中位線，∴，當C在線段上時，的長度最小值為：，當C在線段延長線上時，的長度最