第02講 等腰三角形中易漏解或多解的問題（拓展提升）（解析版）

第02講等腰三角形中易漏解或多解的問題（拓展提升）思維導(dǎo)圖核心考點聚焦1.求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯2.當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯3.求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯4.三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號：在中，AB＝AC，1.求等腰三角形的周長，要先考慮三角形的三邊是否能構(gòu)成三角形.2.等腰三角形中，底和腰不明確時，要分類討論，是多解問題.考點剖析考點一、求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯例題：已知一個等腰三角形的三邊長分別為，，，且為腰長．求這個等腰三角形的周長．【解析】①當(dāng)時，解得，則這個等腰三角形三條邊長分別為3、3、4，能構(gòu)成三角形，此時這個等腰三角形的周長為；②當(dāng)時，解，則這個等腰三角形三條邊長分別為1、2、1，不能構(gòu)成三角形（舍去）．綜上所述，這個等腰三角形的周長為10．【變式訓(xùn)練】1．已知等腰三角形的兩邊長分別是，，若，滿足，那么它的周長是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【解析】，，，，，解得：，，當(dāng)作腰時，三邊為3，3，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，當(dāng)作腰時，三邊為3，5，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，故選：C．2．等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A． B． C．或2 D．或【答案】D【解析】當(dāng)為腰長時，∵等腰的周長為20，∴的底邊長為：，∴“優(yōu)美比”為；當(dāng)為底邊長時，的腰長為：，∴“優(yōu)美比”為；故選D．考點二、當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯例題：等腰三角形的一個角的度數(shù)是，則它的底角的度數(shù)是．【答案】或【解析】當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r，則底角為，當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r，則底角為，故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．如果等腰三角形的一個角的度數(shù)為，那么其余的兩個角的度數(shù)是______．【答案】，或，【解析】①當(dāng)是頂角時，其余兩個角是底角且相等，則有：；②當(dāng)是底角時，則有：頂角為；故答案為：，或，．2．如圖，在中，，，點P在的三邊上運動，當(dāng)為等腰三角形時，頂角的度數(shù)是________．【答案】或或【解析】①如圖1，點P在上時，，頂角為，②∵，，∴，如圖2，點P在上時，若，頂角為，如圖3，若，則頂角為，若，則頂角為，綜上所述，頂角為或或．故答案為：或或．考點三、求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯例題：如圖，在長方形中，，，點是的中點，點在邊上運動，若△APE是腰長為的等腰三角形，則的長為．【答案】或或【解析】，為的中點，，四邊形是長方形，，，，有三種情況：，作的垂直平分線，交于，此時在的垂直平分線上，即，則，，即此種情況不存在；當(dāng)時，由勾股定理得：；當(dāng)時，有和兩種情況，過作于，由勾股定理得：，即；，所以的長是或或，故答案為：或或．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，已知：，，，動點從點出發(fā)，沿射線以的速度運動，設(shè)運動的時間為秒，連接，當(dāng)為等腰三角形時，的值為．【答案】或或【解析】在中，，由勾股定理得：，為等腰三角形，當(dāng)時，如圖所示，，則，即，當(dāng)時，如圖所示，，則，當(dāng)時，如圖所示，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得，，綜上所述：的值為或或，故答案為：或或．2．在中，，，，D是直線上的動點，若是等腰三角形，則的長度是．【答案】9或或3【解析】①如圖1，若是等腰三角形，當(dāng)是底邊時D在的延長線上，，，是直角三角形，，，，，，，．圖1②如圖2，當(dāng)為腰時，為另一個腰，所以，是直角三角形，，，，，．圖2③如圖3，當(dāng)是腰，為底時，，，，，，，，．圖3故答案為：9或或3考點四、三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯例題：在中，，邊上的中線把三角形的周長分成和的兩部分，求三角形各邊的長．【解析】如圖，

∵是邊上的中線，即，∴，若，則，又∵，聯(lián)立方程組:,解得：，三邊能夠組成三角形；若，則，又∵，聯(lián)立方程組,解得：，三邊能夠組成三角形；∴三角形的各邊長為或．【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個三角形的頂角為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】如圖1，三角形是銳角三角形時，

∵，∴頂角；如圖2，三角形是鈍角時，

∵，∴頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：D．2．在中，，是邊上的高，，則．【答案】或/或【解析】如圖，當(dāng)在內(nèi)時

如圖，當(dāng)在外時

故答案為或過關(guān)檢測一、單選題1．若等腰三角形有一個角是，則它的底角是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】當(dāng)為底角時：，滿足題意；當(dāng)是頂角時：它的底角的度數(shù)是；綜上：等腰三角形的底角度數(shù)為或；故選D．2．一個等腰三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，則這個三角形的底角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】①當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時，設(shè)頂角為x，則底角為，則：，解得：，所以底角為；②當(dāng)頂角是底角的2倍時，設(shè)底角為y，則頂角為，則：，解得：，所以底角為；綜上所述，底角的度數(shù)為：或．故選：A．3．一個等腰三角形的周長為，只知其中一邊的長為，則這個等腰三角形的腰長為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】若為等腰三角形的腰長，則底邊長為：，此時三角形的三邊長分別為，，，符合三角形的三邊關(guān)系；若為等腰三角形的底邊，則腰長為：，此時三角形的三邊長分別為，，，符合三角形的三邊關(guān)系；該等腰三角形的腰長為或，故選：D．4．已知實數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．17 B．13 C．13或17 D．以上答案均不對【答案】A【解析】∵，∴，，∴，，∵以x，y的值為兩邊長的等腰三角形，∴若以x的值為腰長，則構(gòu)不成三角形，故排除，∴等腰三角形的腰長為7，底邊長為3，故此三角形的周長為：．故選：A．二、填空題5．已知等腰三角形的一個外角是，則其底角的度數(shù)為．【答案】或【解析】∵等腰三角形的一個外角是，∴與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為，①當(dāng)80度為頂角時，底角的度數(shù)為，②當(dāng)80度為底角時，此時頂角的度數(shù)為，滿足題意；故答案為：或．6．如圖，B是射線上動點，，若為等腰三角形，則的度數(shù)可能是．【答案】，或【解析】當(dāng)是頂角時，，∴；當(dāng)是底角，是頂角時，∴；當(dāng)、都是底角時，∴；綜上，的度數(shù)可能是，或，故答案為：，或．7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若以為腰作等腰三角形，則在軸上滿足條件的點坐標(biāo)是【答案】或或【解析】根據(jù)題意，作圖如下，∵，，∴，在中，，以為腰作等腰三角形，①，則是以為腰作等腰三角形，∴；②，則是以為腰作等腰三角形，∴AC2=5，且，∴，則；③，則是以為腰作等腰三角形，∴，∴，則，綜上所述，點坐標(biāo)是或或，故答案為：或或．8．在中，，點在邊上，若直線將分割成一個直角三角形和一個等腰三角形，則的度數(shù)是．

【答案】或或【解析】如圖1中，當(dāng)，時，滿足條件．

如圖2中，當(dāng)，時，可得，．

如圖3中，當(dāng)，時，，

，故答案為：或或．三、解答題9．如圖，中，，，，若動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，設(shè)運動的時間為秒．(1)當(dāng)時，求的面積．(2)當(dāng)為何值時，把的面積分成相等的兩部分，并求出此時的長；(3)當(dāng)為何值時，為等腰三角形？【解析】（1）解：當(dāng)時，，的面積為，故答案為：．（2）解：中，，，，根據(jù)中線的性質(zhì)可知，點在中點時，把的面積分成相等的兩部分，∴解得：，此時；（3）解：為等腰三角形時，分三種情況：①如果，點在上，此時秒；如果，點在上，作邊上的高，∵∴∴∴∴∴秒②如果，那么點在上，，此時秒；③如果，那么點在的垂直平分線與的交點處，如圖∵，∴，又∵∴∴，∴,即在的中點，此時，秒；綜上可知，當(dāng)秒或秒或秒或秒時，為等腰三角形．10．定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個三角形的“三等腰線”．如圖（1），是的“雙等腰線”，、是的“三等腰線”．

(1)請在圖（2）中，作出的“雙等腰線”，并標(biāo)注相等角的度數(shù)

①，

②，．(2)直角三角形的______就是它的“雙等腰線”(3)已知中，，和分別是的“三等腰線”，點在邊上，點在邊上，且，，請根據(jù)題意寫出度數(shù)的所有可能的值______．【詳解】（1）解：