第03講 二次根式的乘除法（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)+6類(lèi)熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（解析版）

第03講二次根式的乘除法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①二次根式的乘除法法則②積與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)③最簡(jiǎn)二次根式掌握二次根式的乘除法運(yùn)算法則，能夠熟練的對(duì)二次根式進(jìn)行乘除法運(yùn)算。掌握積與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，能夠熟練的運(yùn)用其化簡(jiǎn)。掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念知識(shí)點(diǎn)01二次根式的乘法法則二次根式的乘法法則：。拓展：【即學(xué)即練1】1．計(jì)算：＝．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：＝，故答案為：．知識(shí)點(diǎn)02積的算術(shù)平方根的性質(zhì)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的積。即。【即學(xué)即練1】2．化簡(jiǎn)．（1）．（2）?（a≥0）．（3）?．【分析】原式各項(xiàng)利用二次根式的乘法法則計(jì)算，化為最簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式＝＝6；（2）∵a≥0，∴原式＝＝|4a|＝4a；（3）原式＝6＝30．知識(shí)點(diǎn)03二次根式的除法法則二次根式的除法法則：拓展：【即學(xué)即練1】3．下列各式計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算．【解答】解：A、，不符合題意；B、，符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意；故選：B．知識(shí)點(diǎn)04商的算術(shù)平方根與分母有理化商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：分母有理化：，分子分母所乘的式子叫做分母的有理化因式?！炯磳W(xué)即練1】4．化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）÷．【分析】（1）直接進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）直接進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（3）先進(jìn)行加法運(yùn)算，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（4）先計(jì)算根號(hào)下的數(shù)值，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（5）先計(jì)算根號(hào)下的數(shù)值，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（6）先進(jìn)行除法運(yùn)算，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)；（7）先進(jìn)行除法運(yùn)算，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝＝；（4）原式＝＝；（5）原式＝＝；（6）原式＝＝2；（7）原式＝＝3．知識(shí)點(diǎn)05最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式滿(mǎn)足的三個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)不含開(kāi)方開(kāi)的盡的數(shù)。②根號(hào)下面不含分母。③分母里面不含根號(hào)?；?jiǎn)二次根式：利用積的算術(shù)平方根與商的算術(shù)平方根以及二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)?！炯磳W(xué)即練1】5．下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．【解答】解：A，B選項(xiàng)的被開(kāi)方數(shù)含有分母，故不符合題意；C選項(xiàng)，是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，＝2，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【即學(xué)即練2】6．把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，和分母有理化，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，和分母有理化，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【即學(xué)即練3】7．的一個(gè)有理化因式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)有理化因式的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：的有理化因式可以為．故選：A．【即學(xué)即練4】8．﹣的有理化因式可以是（）A．﹣ B．+ C． D．【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子，據(jù)此作答．【解答】解：+與﹣互為有理化因式．故選：B．【即學(xué)即練5】9．計(jì)算＝﹣﹣2．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)找出有理化因式，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：＝＝＝﹣﹣2．故答案為：﹣﹣2．知識(shí)點(diǎn)06二次根式的乘除混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算步驟：①將算式中的除法轉(zhuǎn)化成乘法。②將根號(hào)前面的系數(shù)和被開(kāi)方數(shù)分別相乘。③化成最簡(jiǎn)二次根式?！炯磳W(xué)即練1】10．計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)二次根式乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)二次根式乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）原式＝×＝；（2）原式＝3×8x2＝24x2＝24x2＝24x2?＝24y2．題型01最簡(jiǎn)二次根式的判斷【典例1】下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，我們把滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式分析即可．【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意．故選：A．【變式1】下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．【解答】解：A、故該選項(xiàng)不符合題意；B、原式＝3，故該選項(xiàng)不符合題意；C、原式是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；D、原式＝＝|a+1|，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式2】下列各式：①，②，③，④中，最簡(jiǎn)二次根式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式的概念分析得出答案．【解答】解：①是最簡(jiǎn)二次根式；②＝，不是最簡(jiǎn)二次根式；③＝2，不是最簡(jiǎn)二次根式；④＝，不是最簡(jiǎn)二次根式；最簡(jiǎn)二次根式有1個(gè)，故選：A．【變式3】下列二次根式中：，，，，，屬于最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解答】解：、是最簡(jiǎn)二次根式，＝＝|x﹣1|，＝，＝12不是最簡(jiǎn)二次根式，故選：B．題型02分母有理化因式【典例1】下列二次根式中，與互為有理化因式的是（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)有理化因式的定義得出答案．【解答】解：∵，∴二次根式的有理化因式是：．故選：A．【變式1】下列式子中，是的有理化因式的是（）A． B． C． D．【分析】利用平方差公式和有理化因式的意義解答即可．【解答】解：∵（）（a﹣b）＝a2x﹣b2y，∴的有理化因式為a﹣b．故選：A．【變式2】已知a＝，b＝2+，則a，b的關(guān)系是（）A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式【分析】求出a與b的值即可求出答案．【解答】解：∵a＝＝+2，b＝2+，∴a＝b，故選：A．題型03二次根式的化簡(jiǎn)【典例1】將化成最簡(jiǎn)二次根式為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義解答即可．【解答】解：＝2．故選：C．【變式1】將化成最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：＝＝＝．故選：A．【變式2】若xy＜0，則化簡(jiǎn)后的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義可得出y≥0，再由xy＜0，得出x＜0，y＞0，從而化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵x2y≥0，∴y≥0，∵xy＜0，∴x＜0，y＞0，∴＝﹣x．故選：D．【變式3】化簡(jiǎn)二次根式（x＜0），得（）A． B． C． D．【分析】先把被開(kāi)方數(shù)的分母變成平方的形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)開(kāi)出來(lái)即可．【解答】解：∵x＜0，∴＝＝﹣，故選：C．【變式4】化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．2+ B．2﹣ C．﹣2+ D．﹣2﹣【分析】分子和分母都乘以2+，再求出即可．【解答】解：原式＝＝＝2+．故選：A．題型04二次根式的還原型化簡(jiǎn)【典例1】化簡(jiǎn)二次根式得（）A． B． C． D．【分析】先判斷出3﹣x＞0，再由二次根式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵二次根式有意義，∴3﹣x＞0，＝＝＝＝故選：C．【變式1】把（a﹣b）（a＜b）化成最簡(jiǎn)二次根式，正確的是（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（a﹣b）得a﹣b＜0，（a﹣b）＝﹣＝﹣，故選：C．【變式2】已知xy＞0，化簡(jiǎn)代數(shù)式結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義即被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，結(jié)合已知xy＞0判斷出x＜0，y＜0，然后化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵xy＞0，∴x≠0，y≠0，∴，∵x2＞0，∴y＜0，∴x＜0，∴，故選：D．【變式3】化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：由題意可得：m﹣1＜0，則原式＝﹣＝﹣，故選：B．題型05利用二次根式的化簡(jiǎn)求值【典例1】已知是整數(shù)，非負(fù)整數(shù)n的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．0【分析】根據(jù)是整數(shù)，得到2n是完全平方數(shù)，再利用二次根式有意義的條件即可得到答案．【解答】解：∵，且是整數(shù)，∴是整數(shù)，即2n是完全平方數(shù)，∴2n≥0，∴n的最小非負(fù)整數(shù)值為0，故選：D．【變式1】若是整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先將54寫(xiě)成平方數(shù)乘以非平方數(shù)的形式，再根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)即可確定出a的最小整數(shù)值．【解答】解：；由是整數(shù)，得a最小值為6，故選：C．【變式2】已知是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．11【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得被開(kāi)方數(shù)是16，進(jìn)而求出答案．【解答】解：若是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是4，故選：B．【變式3】已知是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】根據(jù)是正整數(shù)和n最大得出2023﹣n＝1，再求出n即可．【解答】解：∵是正整數(shù)，n為最大值，∴2023﹣n＝1，解得：n＝2022，故選：A．題型06二次根式的乘除運(yùn)算【典例1】計(jì)算÷×的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝＝＝，故選：D．【變式1】下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義和性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：A．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．，故該選項(xiàng)正確；C．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【變式2】計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）×＝2÷3×3＝2×＝2；（2）×＝÷×＝＝＝1；（3）×4÷（）＝＝3＝3×6＝18．【變式3】計(jì)算：．【分析】利用二次根式的乘除法則及性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：原式＝b?（﹣a）÷＝b?（﹣a）?＝﹣（b?a?）?（??）＝﹣a?a＝﹣a2．1．下列各式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可．【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、原式＝a|b|，不符合題意；C、原式＝2，不符合題意；D、原式＝，不符合題意．故選：A．2．將化成最簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式定義進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：＝＝×＝5．故選：A．3．下列等式不成立的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：A．÷＝2，故此選項(xiàng)不合題意；B．×＝6，故此選項(xiàng)不合題意；C．＝2，故此選項(xiàng)不合題意；D．＝，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．4．下列各等式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、4×2＝40，故A不符合題意；B、4×3＝12，故B不符合題意；C、3×4＝12，故C不符合題意；D、4×2＝8，故D符合題意；故選：D．5．的有理化因式是（）A． B． C． D．【分析】找出所求有理化因式即可．【解答】解：的有理數(shù)因式是，故選：A．6．若a＝1+，b＝，則a與b的關(guān)系是（）A．互為相反數(shù) B．互為倒數(shù) C．相等 D．互為負(fù)倒數(shù)【分析】把b＝的分子分母同乘（1+），進(jìn)一步化簡(jiǎn)與a比較得出結(jié)論即可．【解答】解：b＝＝＝﹣（1+），a＝1+，∴a與b互為相反數(shù)．故選：A．7．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②?＝1，③÷＝﹣b，其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】先根據(jù)題意判斷出a，b的符號(hào)，再對(duì)各小題進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴①＝，原計(jì)算錯(cuò)誤；②?＝＝1，正確；③÷＝＝＝﹣b，正確．故選：B．8．在將式子（m＞0）化簡(jiǎn)時(shí)，小明的方法是：；小亮的方法是：；小麗的方法是：．則下列說(shuō)法正確的是（）A．小明、小亮的方法正確，小麗的方法不正確 B．小明、小麗的方法正確，小亮的方法不正確 C．小明、小亮、小麗的方法都正確 D．小明、小麗、小亮的方法都不正確【分析】小明的方法為原式分子分母乘以有理化因式，化簡(jiǎn)得到結(jié)果；小亮的方法為將分子利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，約分即可得到結(jié)果；小麗得方法為分子利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，再利用二次根式除法法則逆運(yùn)算變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：在將式子（m＞0）化簡(jiǎn)時(shí)，小明的方法是：＝＝＝，正確；小亮的方法是：＝＝，正確；小麗的方法是：＝＝＝，正確，則小明、小亮、小麗的方法都正確．故選：C．9．若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．3 B．7 C．9 D．63【分析】因?yàn)槭钦麛?shù)，且＝3，則7n是完全平方數(shù)，滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)n為7．【解答】解：∵＝3，且是整數(shù)；∴3是整數(shù)，即7n是完全平方數(shù)；∴n的最小正整數(shù)值為7．故選：B．10．若x＝，y＝5﹣，則x?y的值為（）A．5﹣5 B．5﹣5 C．5﹣2 D．﹣【分析】根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算即可求出答案．【解答】解：原式＝（5﹣）＝5﹣5，故選：A．11．下列各式，，，中，是最簡(jiǎn)二次根式的有．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：＝，不是最簡(jiǎn)二次根式；是最簡(jiǎn)二次根式；＝3，不是最簡(jiǎn)二次根式；＝＝，不是最簡(jiǎn)二次根式；所以最簡(jiǎn)二次根式有．故答案為：．12．計(jì)算：÷×＝．【分析】利用二次根式的乘除法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝＝＝，故答案為：．13．若最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式相等，則m+n＝8．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義可得n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，從而可得n＝3，m＝5，然后代入式子中，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式相等，∴n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，解得：n＝3，m＝5，∴m+n＝8，故答案為：8．14．已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)可知m有最小值3×7＝21．設(shè)n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)，則n的最小值為2．【分析】根據(jù)n為正整數(shù)，是大于1的整數(shù)，先求出n的值可以為2、8、32，128，再結(jié)合是大于1的整數(shù)來(lái)求解．【解答】解：∵，是大于1的整數(shù)，∴．∵n為正整數(shù)，∴n的值可以為2、8、32，128，n的最小值是2，故答案為：2．15．已知m＝，n＝，則（m﹣1）?（n﹣1）＝﹣2．【分析】先化簡(jiǎn)m、n，求出m+n、mn，再將所求式子變形，代入即可算得答案．【解答】解：∵m＝＝＝，n＝＝＝，∴mn＝1．m+n＝2，∴（m﹣1）?（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1＝1﹣2+1＝﹣2．故答案為：﹣2．16．計(jì)算：（1）；（2）．（3）．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算即可求出答案．根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案．（3）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝××（﹣27）＝××（﹣27）＝×（﹣27）＝﹣45．（2）原式＝×÷（﹣）＝÷（﹣）＝×（﹣）＝﹣．（3）＝＝＝＝＝．17．（1）若＝﹣1﹣x，則x的取值范圍為x≤﹣1；（2）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)﹣|c﹣a|+．【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出﹣