第2講-系統(tǒng)的數(shù)學模型2市公開課一等獎省賽課獲獎課件

《控制工程基礎》

BasisofControlEngineering

任課教師：李建民 電話 教學方式：講授為主

學習方式：聽課+自學三江學院機械工程學院第1頁第二章系統(tǒng)數(shù)學模型

教學要求：（教材第二章）主要內(nèi)容：Laplace變換；微分方程模型；系統(tǒng)模型線性化；傳遞函數(shù)模型、框圖和信號流圖模型及其化簡。基本要求：掌握控制模型建立、線性化、化簡方法。預期收獲：見教材第30頁三江學院機械工程學院第2頁2.1引言控制是使被控對象按照人們預定方式工作控制目標：y(t)r(t)控制器被控

對象預期輸出r(t)實際輸出y(t)比較器測量

裝置誤差

e(t)控制量

u(t)被測變量測量值控制要求：快、準、穩(wěn)三江學院機械工程學院第3頁2.1引言比較器：減法器（負反饋）；加法器（正反饋）控制器被控

對象預期輸出r(t)實際輸出y(t)誤差

e(t)控制量

u(t)+-測量裝置：測量系統(tǒng)輸出y(t)，用于反饋。y(t)e(t)=r(t)-y(t)研究控制系統(tǒng)，要從研究被控對象入手三江學院機械工程學院第4頁2.1引言被控對象:有什么共同特點？三江學院機械工程學院第5頁2.1引言被控對象:有什么共同特點？動三江學院機械工程學院第6頁2.1引言

數(shù)學上怎么來描述運動呢？動者：改變也。數(shù)學上用微分來描述運動位置速度加速度比如：三江學院機械工程學院第7頁2.1引言被控對象描述：

———微分方程（Maxwell）被控對象輸出x(t)輸入u(t)

微分方程及其解法理論是整個控制工程理論基礎。三江學院機械工程學院第8頁2.2拉普拉斯變換本講主要講課內(nèi)容：微分方程解思緒拉普拉斯變換定義常見函數(shù)拉普拉斯變換拉普拉斯變換性質拉普拉斯逆變換三江學院機械工程學院第9頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解1.微分方程解思緒（Laplace研究

）被控對象輸出x(t)輸入u(t)勻速運動方程，即（1）設x(t)表示位置，則那么，系統(tǒng)輸出x(t)為：其中ν為常數(shù)。三江學院機械工程學院第10頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解對于勻速運動：解：方程兩邊同時積分三江學院機械工程學院第11頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解被控對象輸出x(t)輸入u(t)其中，ɑ為常數(shù)。則，勻加速運動方程為：（2）仍設x(t)表示位置，當三江學院機械工程學院第12頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解對于勻加速運動：解：方程兩邊同時積分對得到方程，再次積分三江學院機械工程學院第13頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解一階微分方程（3）我們很輕易得到它解：三江學院機械工程學院第14頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解解：結構法[假設x(0)=1]，令顯然：x(t)看成是函數(shù)et定義：三江學院機械工程學院第15頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解et物理含義是微分方程解，無理數(shù)e能夠看成是我們這個宇宙本質參數(shù)。三江學院機械工程學院第16頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解二階微分方程（4）很輕易得到它解：三江學院機械工程學院第17頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解那么，采取結構法則非常困難，需要一個求解微分方程普通性解法。對于求解普通微分方程，如：………..三江學院機械工程學院第18頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解解：顯然，對于微分方程同時包含x(t)及x(t)微分項時，采取形式積分，將形成嵌套，無法正確解出x(t)。三江學院機械工程學院第19頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解顯然，問題并非出在積分上，而在于積分上、下限上，我們考慮下面積分形式：三江學院機械工程學院第20頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解那么，x(t)是什么呢？？？我們更關心上述函數(shù)在0~∞區(qū)間上積分：顯然，x(t)是一些連續(xù)時間函數(shù)，比如：三江學院機械工程學院第21頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解解：先看指數(shù)函數(shù)積分：顯然，對于指數(shù)函數(shù)而言x(t)與其積分是一一映射三江學院機械工程學院第22頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解解：再看不

存

在我們目標是建立x(t)與其積分之間一一映射，顯然單純采取形式，難于到達目標。怎么辦？三江學院機械工程學院第23頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解

Laplace經(jīng)過7年研究得到重大發(fā)覺：x(t)與其積分之間是一一映射。而參數(shù)s作用僅僅是使上述積分收斂。比如：三江學院機械工程學院第24頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解利用這個發(fā)覺，就能解線性微分方程了解：三江學院機械工程學院第25頁函數(shù)f(t)拉氏變換當t<0,f(t)=0拉氏積分運算符復變量2.2拉普拉斯變換及微分方程解2.拉普拉斯變換定義三江學院機械工程學院第26頁

單邊、線性變換、可逆、不追求數(shù)學細節(jié)，如收斂條件等。一一映射2.2拉普拉斯變換及微分方程解能夠證實：f(t)和F(s)將形成一一映射三江學院機械工程學院第27頁那么參數(shù)S是什么？？？？

F(S)又是什么呢？？？？三江學院機械工程學院第28頁2.2拉普拉斯變換及微分方程解(1)s是復變量：在求取拉普拉斯變換時，s唯一作用是使拉普拉斯積分收斂，能夠看成常數(shù)。比如：三江學院機械工程學院第29頁2

拉普拉斯變換(2)F(s)是復函數(shù)：比如：三江學院機械工程學院第30頁當時，有2

拉普拉斯變換(3)f(t)是實函數(shù)，且滿足：三江學院機械工程學院第31頁2

拉普拉斯變換補充一個定理：尤拉定理尤拉定理能夠用泰勒展開加以證實三江學院機械工程學院第32頁尤拉定理證實有：所以：而：改寫所以三江學院機械工程學院第33頁利用拉普拉斯變換解微分方程思緒解：對微分方程每一項進行拉普拉斯變換：得到關于X(s)代數(shù)方程：解出X(s),再進行拉普拉斯逆變換，得到x(t)三江學院機械工程學院第34頁3常見函數(shù)拉普拉斯變換1)指數(shù)函數(shù)2)階躍函數(shù)(t)3)斜坡函數(shù)4)正弦函數(shù)5)脈沖函數(shù)2.2拉普拉斯變換及微分方程解三江學院機械工程學院第35頁1)指數(shù)函數(shù)3常見函數(shù)拉普拉斯變換A0t三江學院機械工程學院第36頁2)階躍函數(shù)3常見函數(shù)拉普拉斯變換t0A單位階躍函數(shù)三江學院機械工程學院第37頁3常見函數(shù)拉普拉斯變換t0A能夠把階躍函數(shù)看成是a=0指數(shù)函數(shù)三江學院機械工程學院第38頁3)斜坡函數(shù)3常見函數(shù)拉普拉斯變換t0At三江學院機械工程學院第39頁3)斜坡函數(shù)拉普拉斯變換3常見函數(shù)拉普拉斯變換(1)把s看成常數(shù)，則考慮下面函數(shù)微分(2)對上式積分，得(3)整理，得三江學院機械工程學院第40頁4)正弦函數(shù)3常見函數(shù)拉普拉斯變換t0A三江學院機械工程學院第41頁4)正弦函數(shù)拉普拉斯變換3常見函數(shù)拉普拉斯變換關鍵是利用尤拉定理：三江學院機械工程學院第42頁5)脈沖函數(shù)3常見函數(shù)拉普拉斯變換0

(t)函數(shù)不是物理可實現(xiàn)三江學院機械工程學院第43頁1)f(t)與相乘4拉普拉斯變換性質0衰減正弦函數(shù)衰減余弦函數(shù)三江學院機械工程學院第44頁4拉普拉斯變換性質證實：由Laplace變換定義，有所以：三江學院機械工程學院第45頁2)實微分定理4拉普拉斯變換性質一一映射實復三江學院機械工程學院第46頁函數(shù)f(t)微分拉普拉斯變換為： 式中f(0)是f(t)在t=0時值。4拉普拉斯變換性質三江學院機械工程學院第47頁實微分定理證實：(1)把s看成常數(shù)，考慮下面函數(shù)微分：

4拉普拉斯變換性質(2)對上式積分，得：所以，有三江學院機械工程學院第48頁利用拉普拉斯變換解微分方程思緒解：對微分方程每一項進行拉普拉斯變換：得到關于X(s)代數(shù)方程：解出X(s),再進行拉普拉斯逆變換，得到x(t)三江學院機械工程學院第49頁3)終值定理 若f(t)拉普拉斯變換為F(s)而且存在，則4拉普拉斯變換性質三江學院機械工程學院第50頁

終值定理證實(1)由實微分定理，有(2)把s看成常數(shù)，并令其趨近于0，有(3)所以，有三江學院機械工程學院第51頁例1：已知時間函數(shù)f(t)拉普拉斯變換F(s)為試求值

4拉普拉斯變換性質三江學院機械工程學院第52頁4)初值定理

假如f(t)拉普拉斯變換為F(s)，而且存在，則4拉普拉斯變換性質三江學院機械工程學院第53頁

初值定理證實(1)由實微分定理，有(2)把s看成常數(shù)，并令其趨近于

，有(3)所以，有三江學院機械工程學院第54頁例2：已知時間函數(shù)f(t)拉普拉斯變換F(s)為試求值

4拉普拉斯變換性質三江學院機械工程學院第55頁5)復微分定理4拉普拉斯變換性質一一映射實復三江學院機械工程學院第56頁復微分定理:假如f(t)是能夠進行拉普拉斯變換話，則除了在F(s)極點以外，有4拉普拉斯變換性質式中。

三江學院機械工程學院第57頁復微分定理證實:4拉普拉斯變換性質（2）上式兩邊，對s求微分，有（1）有拉普拉斯變換，有:（3）即

三江學院機械工程學院第58頁復微分定理應用：4拉普拉斯變換性質1）2）3）4）三江學院機械工程學院第59頁例3：求下面函數(shù)拉普拉斯變換：4拉普拉斯變換性質解法一：三江學院機械工程學院第60頁例3：求下面函數(shù)拉普拉斯變換：4拉普拉斯變換性質解法二三江學院機械工程學院第61頁6)卷積積分（僅要求了解）以下積分，稱為卷積積分4拉普拉斯變換性質則：三江學院機械工程學院第62頁

對于任何時間連續(xù)時間函數(shù)來說，它與拉普拉斯變換之間保持唯一對應關系。

2.2拉普拉斯變換及微分方程解一一對應f(t)F(s)三江學院機械工程學院第63頁5拉普拉斯反變換

部分分式展開法：把F(s)拆解成很多簡單項和，而簡單項拉普拉斯逆變換輕易得到三江學院機械工程學院第64頁5拉普拉斯反變換1）只包含不一樣極點F(s)部分分式展開例4：求以下函數(shù)拉普拉斯反變換三江學院機械工程學院第65頁5拉普拉斯反變換部分分式展開系數(shù)求法：系數(shù)求法一：對應系數(shù)相等這種方法缺點在于，對于極點較多情況，計算復雜，比如三江學院機械工程學院第66頁5拉普拉斯反變換部分分式展開系數(shù)求法：系數(shù)求法二：留數(shù)展開1）兩邊同時乘以s，有2）令s為0，有三江學院機械工程學院第67頁5拉普拉斯反變換部分分式展開系數(shù)求法：系數(shù)求法二：留數(shù)展開3）兩邊同時乘以s+1，有4）令s=-1，有三江學院機械工程學院第68頁5拉普拉斯反變換例5：求以下函數(shù)反拉普拉斯變換三江學院機械工程學院第69頁對于只包含不一樣極點F(s)部分分式展開5拉普拉斯反變換三江學院機械工程學院第70頁例6：求以下函數(shù)拉普拉斯反變換5拉普拉斯反變換

假如分子階次大于分母階次，則能夠采取長除法進行化簡三江學院機械工程學院第71頁所以：5拉普拉斯反變換假如實函數(shù)f(t)在物理上是可實現(xiàn)，則其Laplace變換F(s)分子階次必小于分母階次三江學院機械工程學院第72頁例7：求以下函數(shù)反拉普拉斯變換5拉普拉斯反變換對于特征根為復數(shù)情況