數(shù)列的概念第二課時教學(xué)設(shè)計-（人教A版（2019）選擇性必修第二冊）

《4.1數(shù)列的概念（2）》教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)內(nèi)容數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系

（二）教材分析

1.教材來源本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》

2.地位與作用數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是一種離散型函數(shù)，在日常

生活中有著重要的應(yīng)用.學(xué)習(xí)數(shù)列對深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極地意義，數(shù)列是以后學(xué)習(xí)極限的基礎(chǔ)，因此,

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置

（三）學(xué)情分析

1.認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生對數(shù)列的概念有一定的認(rèn)識

2.認(rèn)知障礙：學(xué)生主動自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)歷辨析、抽象、概括等過程，影響概念學(xué)習(xí)過程的因素

又是多樣的，所以，數(shù)列特征的感知和描述，函數(shù)意義的概括和理解，有一定的難度。

（四）教學(xué)目標(biāo)

1.知識目標(biāo)：

@1.理解數(shù)列遞推公式的含義，會用遞推公式解決有關(guān)問題.

②會利用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系求通項公式.

能力目標(biāo)：通過遞推公式與前n項和公式推導(dǎo)通項公式的過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力

素養(yǎng)目標(biāo)：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理能力

（五）教學(xué)重難點：

1.重點：數(shù)列遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系

2.難點：用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系求通項公式

（六）教學(xué)思路與方法

教學(xué)過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知識階段

（七）課前準(zhǔn)備

多媒體

（A）教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)：新課引入

教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖

一、復(fù)習(xí)舊知

1.數(shù)列｛飆｝的通項公式為斯=3（九一1）（〃+1）,

通過課前小測，進(jìn)步深化學(xué)生對數(shù)列

概念的理解和運用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽

貝〃5=（）

用大約3分鐘象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

A.10B.12時間讓學(xué)生自

C.14D.16行完成，老師

展示答案

B解析：由題意，通項公式為〃〃=3（〃-1）（幾

+1),則的=；x(5—1)x(5+1)=12.故選B.

2.由數(shù)列前四項：彳3，1,539,…，則通

2o8

項公式%=______.

空【詳解】由題意，該數(shù)列前四項可變?yōu)椋?/p>

245_6_

，，，，?…，

24816

由此可歸納得到數(shù)列的通項公式%=妥〃+2.

教學(xué)環(huán)節(jié)：新知探究

教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖

例4.圖中的一系列三角形圖案稱為謝賓斯

引導(dǎo)學(xué)生觀

基三角形，在圖中4個大三角形中，著色的察，找圖中三

三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，角形個數(shù)與位

置(序號)的

寫出這個數(shù)列的通項公式關(guān)系，讓學(xué)生

討論回答

▲A盒

通過具體問題的思考和分析，幫

助學(xué)生認(rèn)識數(shù)列中的遞推公式。發(fā)展

(1)(2)(3)

學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素

解：在圖中(1)(2)(3)(4)中，著色

養(yǎng)。

三角形個數(shù)依次為1,3,9,27

即所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)累，指數(shù)

為序號減1,因此這個數(shù)列的通項公式是

an=3"T

換個角度觀察圖中的4個圖形，可以發(fā)

現(xiàn)的=1,且每個圖形中的著色三角形都在

下一個圖形中分裂為3個著色小三角形和1

個無色小三角形，于是從第2個圖形開始，

每個圖形中著色三角形的個數(shù)都是前一個圖

形中著色三角形個數(shù)的三倍，這樣，例4中

的數(shù)列的前4項滿足

=1,Q，2=。3=3a之。4=3a3

由此猜測，這個數(shù)列滿足公式觀察相鄰圖形

關(guān)系，得出結(jié)

|1,n=1

論

⑶…幾>2

通項公式和遞推公式的區(qū)別

通項公式直接反映了。與〃之間的關(guān)系，即已

n

知n的值，就可代入通項公式求得該項的值

a;遞推關(guān)系則是間接反映數(shù)列的式子，它是

n

數(shù)列任意兩個（或多個）相鄰項之間的推導(dǎo)關(guān)強(qiáng)化遞推公式推數(shù)列的項，培養(yǎng)學(xué)生

運算的素養(yǎng)

系，要求。，需將與之聯(lián)系的各項依次求出.

n

例5.設(shè)數(shù)列｛aj的首項為4=1,遞推公式為

1

=

anl^-----(n>2),

an-l

寫出這個數(shù)列的前5項讓學(xué)生自行遞

解析:由題意可知推，得出答案

a\-\

。2=1+2=2,

%

113

=H■—=--

2

115

6/4-1+—=-

3

118

45=1+—=T

。245

二、數(shù)列的通項與前〃項和

1.數(shù)列｛a｝從第1項起到第n項止的各項之

n通過數(shù)列的通項與前n項和的認(rèn)

識，幫助學(xué)生理解

和，稱為數(shù)列｛a｝的前n項和，記作S,即

nn

S-a+Q+…+Q.如果數(shù)列｛Q｝的前n項和S

n\2nnn

與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式通過具體問題引出通項公式與遞推

公式之間的關(guān)系

子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n

項和公式.

思考：已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=n2+n,你能

求出求數(shù)列｛an｝的通項公式嗎？

解：=S1=2

22

an=sn—sn_^=n+n-[(n-1)+(n-1)]=2n(n2

2)

并且n=l時，a1=2x1=2,依然成立。

所以數(shù)列通項公式為：冊=2n(

2°，兀=1，

強(qiáng)調(diào)(1)已知數(shù)列｛a｝的前〃項和S,求a，一般

nnn

使用公式a=S-S(〃22),

nnn-\

*

但必須注意它成立的條件(〃22且).

(2)由S-S求得的a,若當(dāng)”=1時,a的值不

nn-1n1

等于s的值，

1強(qiáng)化已知前n項和求通項，幫助學(xué)生

則數(shù)列的通項公式應(yīng)采用分段表示，即課堂掌握。

JSi,7l=1,

斯&Sze>2.

2

練習(xí)：已知數(shù)列｛a｝的前"項和S=〃+2,求

nn

數(shù)列｛a｝的通項公式.

n

解:〃=S=1+2=3,①

11

22

而〃22時,〃=S-S=(n+2)-[(n-l)+2]=2n-l.

nnn-1

②

在②中，當(dāng)〃=1時,2X1-1=1,故〃不適合②式.

1

.:數(shù)列｛。｝的通項公式為斯?

教學(xué)環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)

1.已知數(shù)列5，則該數(shù)列通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過

的第3項等于()學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運

135

A.lB.-C.-D.-算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模

448

讓學(xué)生自行完的核心素養(yǎng)。

解析:〃2=；〃1+；=1,的=；〃2+告=--

222244成，通過展臺

答案:C投影展示

2.已知數(shù)列{a},a=ma且

nn-1n

a=3,a=5,則實數(shù)m等于()

23

A.OB.12C.2

D.5

解析:由題意，得〃=ma+1,即3=5m+1,解得

23

2

m=".

答案:B

2

3.若數(shù)列｛Q｝的通項公式為〃=-2n+25〃,則

nn

數(shù)列｛a｝的各項中最大項是()

n

A.第4項B.第5項C.第6項

D.第7項

2

解析:因為an--2n+25n--2(n-+罷，且n

GN*,

所以當(dāng)"=6時，斯的值最大,即最大項是第6

項.

答案:C

4.已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S,且

nn

*

S=n-5a+23,"GN，則數(shù)列｛a｝的通項公式

nnn

a=()

n

A.3x(|)%B.3x(|)Z

C3xOD.3X(A

解析:當(dāng)n=l時,〃I=1-5QI+23,解得〃i=4.

當(dāng)n>2時=〃-5Q〃+23-(〃-1-5Q〃-I+23),

51

即an=-anA+-,

即斯故數(shù)列｛斯-1｝是以3為首項1

66

為公比的等比數(shù)列，

zr\M-1zr\?1-1

則斯-