高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點強化 5 解析幾何 第12講 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)教學(xué)案 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)教學(xué)案

第12講圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)

考綱要求真題統(tǒng)計命題規(guī)律鎖定題型

分析近五年全國卷發(fā)現(xiàn)高

2017年I卷”;2017年D卷”；

考命題有以下規(guī)律：

掌握桶圓、拋物線的定義、幾何2017年HI卷I】。；2016年I卷T$,T；

10該突破點的內(nèi)容是高考每1.圓錐曲線的定

圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性

2016年D卷Tn；2016年DI卷T”；年的必考內(nèi)容，主要考查圓義、標(biāo)準(zhǔn)方程

質(zhì)，了解雙曲線的定義、幾何圖

2015年I卷T5；2015年D卷*；錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何2.圓錐曲線的幾何

形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何

2014年I卷T4,T；2014年D卷0；性質(zhì)，可單獨命題，也可與性質(zhì)

性質(zhì).10

圓、向量、不等式，函數(shù)等交

2013年I卷T4；2013年D卷1n

匯命題，難度中等.

題型1圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程

（對應(yīng)學(xué)生用書第40頁）

■核心知識儲備.........................................................

圓錐曲線的定義

⑴橢圓：I陽1+1圖|=2a（2a>|EK|）；

⑵雙曲線|［圖］一］陽I|=2a（2a<〃&）；

⑶拋物線：|陽=|掰，點戶不在直線，上，PM11于M.

■典題試解尋法.........................................................

22

【典題11（考查圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解）設(shè)雙曲線與橢圓/X+￡V=1相交且有共同的焦

點，其中一個交點的坐標(biāo)為（標(biāo)，4）,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

［思路分析］依據(jù)已知條件，得出雙曲線的焦點坐標(biāo)和雙曲線過點（標(biāo)，4）,利用

定義法、待定系數(shù)法或共焦點曲線系方程求解即可.

22

［解析］法一：（定義法）橢圓行X+￡V=1的焦點坐標(biāo)分別是（0,3）,（0,-3）.

2736

根據(jù)雙曲線的定義知，2a=|N標(biāo)—0z+4-32-

\1標(biāo)—02+［4——3］］=4,

解得a=2,又一甘=3,

22

所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為《V一三X=1.故選A.

45

法二：（待定系數(shù)法）橢圓藥+鉗=1的焦點坐標(biāo)分別是（0,3）,（0,-3）.

V2X2

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為4—N=lS>0,6>0）,

ab

則才+4=9.①

又點（3^，4）在雙曲線上，所以與一午=1.②

22

由①②解得d=4,而=5.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為《一卷=1.故選A.

45

X22V

法三：（共焦點的曲線系方程）設(shè)雙曲線的方程為萬一7+森-=1（27<4<36）,

27—A36—A

由于雙曲線過點（標(biāo)，4）,故*彳+1萬=1,解得4=32或4=0（舍去）.故

v2（1/001/

22

所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為《一卷=1.故選A.

45

［答案］A

【典題2】（考圓錐曲線定義的應(yīng)用）已知拋物線GV=8x的焦點為凡準(zhǔn)線為/,P是1

-A-?

上一點，0是直線件與拋物線C的一個交點，若Fy4FQ,則|明=（）

【導(dǎo)學(xué)號：07804086］

75

A.-B.3C.~D.2

ffIPO\3

［解析］如圖所示，因為77三4月0,所以至訐=不過點。作牝L/垂足為弘貝U第〃x

軸，

所以半=窄=|,所以|幽=3,由拋物線定義知|曲=|須1=3.

［答案］B

【典題3］（考查圓錐曲線的軌跡問題）（2017?福建泉州二模）在△/6C中，。是理的中點，

|8。=34，△板的周長為6+3也，若點7在線段4。上，且|"=2|7。|,建立合適

的平面直角坐標(biāo)系，求點7的軌跡￡的方程.

［解］以。為坐標(biāo)原點，8c為x軸，切的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系

xOy.依題意，得彳―羋，0）,0）.由|陽+|/。+|8。=6+3/，得|明

+\AC\=&,^\AB\+\AC\=&>\BC\,所以/的軌跡是以氏C為焦點，長軸長為6

z9Z

的橢圓(除去長軸端點).所以點/的軌跡方程為卷+等=15#±3).設(shè)/(劉，㈤,

yy

一1一1\xo=3x,

T(x,y),依題意。7=可如，所以(x,力=1(xo,㈤，即J代入/的軌跡方

JJ［％=3%

程/4=1(X*±3)，得一冬一十沁一=1(XW±1)，所以點T的軌跡E的方程

yyyy

為x+2y—1(0+1).

［類題通法］

1.求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計算”

1定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.

2計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的4,夕或口另外，當(dāng)焦點位置無法確定

時，拋物線常設(shè)為爐=2ax或x?=2ayaWO,橢圓常設(shè)為勿*2+〃/=1m>0,n

>0,雙曲線常設(shè)為0小一〃/2=10A>0.

2.轉(zhuǎn)化法

利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.

■對點即時訓(xùn)練.........................................................

1.已知雙曲線F—0=1(a>0,6>0)的離心率為2,它的兩條漸近線與拋物線/=2px(p>

ab

0)的準(zhǔn)線分別交于46兩點，。為坐標(biāo)原點.若△/仍的面積為十，則拋物線的準(zhǔn)線方

程為()

A.x=~2B.x=2

C.x=lD.x=~l

D［因為e=(=2,所以c=2a,b=/a,雙曲線的漸近線方程為p=±十x.又拋物

線的準(zhǔn)線方程為x=一多聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程得

P—在△/神中，恒引=/口點。到/方的距離為與所

29

以;?娟〃?蘇=/,所以0=2,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—1,故選D.］

V/fff

2.設(shè)橢圓元+瑞=1的左、右焦點分別為￡,七點戶在橢圓上，且滿足期?PFz=9,則|用

?I抬I的值為()

【導(dǎo)學(xué)號：07804087]

A.8B.10

C.12D.15

Y2V2

D[因為戶是橢圓生十而=1上一點，F(xiàn)1,A分別是橢圓的左、右焦點，所以I陽1+

1612

I必1=8,|月砌=4.因為必；?必=9,所以|陽|?|陽IcosNA咫=9.因為|￡砌2

=|用「+|圖「―2|陽|?\PF2\?cos/月必=(|掰|+|必|-一2|必|?|陽|一

2|陽|?|必|cos/月抬，所以64—2|陽|?|必-18=16.所以?\PF2\=15.

故選D.]

■題型強化集訓(xùn)

（見專題限時集訓(xùn)Ti、T2>T懿T9、Ti。、TH,Tia）

題型2圓錐曲線的幾何性質(zhì)

（對應(yīng)學(xué)生用書第41頁）

■核心知識儲備

1.橢圓、雙曲線中，a,b,。之間的關(guān)系

（1）在橢圓中：a^lf+c,離心率為

⑵在雙曲線中：餐抖說離心率為e=?

221

2.雙曲線土方=l（a>。，心。）的漸近線方程為尸土/.

注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系.

■典題試解尋法.........................

【典題1]（考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)）已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢雪+>

1（a>6>0）的焦點與頂點，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方

形，則橢圓的離心率為（）

11

3-B.2-

C應(yīng)D也

23

22橢圓與雙曲線的關(guān)系

XV

［思路分析］-+^=l(a>A>0)—?

ab

對稱性

雙曲線的方程一雙曲線的漸近線一?橢圓的離心率.

［解析］設(shè)橢圓的左、右焦點分別為R(—c,0),兆(c,0),則由題意可知雙曲線的方

22,

程為今一春=1,其漸近線方程為y=±r因為雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)

cbc

成的四邊形恰為正方形，所以由橢圓的對稱性可知，漸近線的方程為y=+x,即b

=c,所以a=N方+d=地c,故橢圓的離心率6=坐，故選C.

［答案］C

1/

【典題2］(考查拋物線的幾何性質(zhì))已知拋物線G：Y(p>0)的焦點與雙曲線G：y

-y=l的右焦點的連線交G于點〃若G在點〃處的切線平行于C的一條漸近線，則p

=()

【導(dǎo)學(xué)號：07804088］

AgB幽

A.3氏3

C.半D.小

［思路分析］先由拋物線的焦點坐標(biāo)與雙曲線的焦點坐標(biāo)得出直線方程,再對拋物線

方程求導(dǎo)，設(shè)點〃的坐標(biāo)為(劉，為),代入即可求得過點〃的切線方程的斜率，結(jié)合

a在點〃處的切線平行于G的一條漸近線以及點〃在拋物線上可得點〃的坐標(biāo)，把點

〃的坐標(biāo)代入直線方程，求解即可.

［解析］由題意知，拋物線的焦點坐標(biāo)為(0,習(xí)，雙曲線的右焦點坐標(biāo)為(2,0),所

以上述兩點連線的方程為搟+紅=1.

2p

易知雙曲線的漸近線方程為y=士羋*對函數(shù)了=；后求導(dǎo)，得，=lx設(shè)欣荀，

32夕p

%),則28=坐，即劉=乎。，代入拋物線方程得%=小，即華0,由于點〃

在直線日+空=1上，所以坐p+2x5=i,解得"=2=邛^.故選c.

2p6p6勺33

［答案］C

［類題通法］

確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程

組或不等式組，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉力得到a,c的關(guān)系式.建立關(guān)于a,

b,c的方程組或不等式組，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐

標(biāo)的范圍等.

提醒：求橢圓、雙曲線的離心率，常利用方程思想及整體代入法，該思想及方法利用

待定系數(shù)法求方程時經(jīng)常用到.

■對點即時訓(xùn)練.........................................................

X2V2

1.已知橢圓p+S=l(a>A>0),4夕為橢圓上的兩點，線段/8的垂直平分線交X軸于點

ab

D［設(shè)Z(xi,yi),BQ,乃)，XiW如

<9Jao99,99

-X\—X2=X1一%+%一度,

0

即<)k=l}—^2Xx,

a

u

2—j22

y2—b2X2，

Va

所以富(荀一至)=@2!小一危,

5a

所以廿=X\~\~X2.

2才

又一aWx\Wa,—aWxWa,為#照，所以一2aVxi+x2<2a,則^~吉_6-<2a,即

A2*4A1/5

-<7,所以—>￡.又0<8<1，所以A晉VeVL]

a555

xy

2.已知雙曲線「一￡=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為白，內(nèi)，傾斜角為J丁I的直線/過

ab2

否且與雙曲線交于瓶硒點，且△笈仞V是等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為.

_________22

y=±y12x[由題意知，F(xiàn)^c,0）,c=、j才+中,設(shè)M（c,而）,由（一|=1得向=

（2、r4?2c\/2

9x（]—1J=/|勿|=：.因為△內(nèi)仞V是等邊三角形，所以2c=十|"|,即不=￡=

ac

又a-\-l}=c,

所以9=24，

雙曲線的漸近線方程為尸+4,

故雙曲線的漸近線方程為y=±第x.]

■題型強化集訓(xùn)

（見專題限時集訓(xùn)丁3、4、丁5、丁6、丁7、T*T14）

三年真題I驗收復(fù)習(xí)效果

（對應(yīng)學(xué)生用書第42頁）

xy

1.（2017?全國III卷）己知雙曲線a7=l（a>0,6>0）的一條漸近線方程

622

為y=+x,且與橢圓/+5=1有公共焦點，則C的方程為（）碼上掃一掃

看精彩微課

x2y2

B.———=1

45

B[由y=^x可得①

x2V2

由橢圓記+§=1的焦點為(3,0),(—3,0),

可得一+9=9.②

由①②可得才=4,8=5.

22

所以c的方程為丁X一卷V=1.

T0

故選B.]

22

2.(2016?全國I卷)已知方程=X-一至VJ=1表示雙曲線，且該雙曲線兩

m-vn6m-n

焦點間的距離為4,則〃的取值范圍是()

看精彩微課

A.(―1,3)B.(―1,

C.(0,3)D.(0,/)

m+〃>0,

A[若雙曲線的焦點在x軸上，則

3宿一n>0.

1+;7>0,

又?.?(/+〃)+(3福一〃)=4,，B=1,；

3—77>0,

.,.-1<72<3.

若雙曲線的焦點在P軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

yA-2/一3方>0,

n—3/n—in—n，[—a—n>Q,

即ri>3而且水一幫，此時n不存在.故選A.]

3.(2016?全國I卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于48兩點，交。的

準(zhǔn)線于〃，￡兩點.已知|羽=4斕，|龐|=2*，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離

看精彩微課

為()

【導(dǎo)學(xué)號：07804089)

A.2B.4

C.6D.8

B[設(shè)拋物線的方程為y=2,x(4>0),圓的方程為第+/=/

?：\AB\=4y[2,\DE\=2y[5,

拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—g,

.,?不妨設(shè)《，2⑹，彳一早?。?/p>

:點/g,2也），/^―|,在圓系+/=行上，

ri6,2

—+8=r,

P16n

?X2+8=y+5,，夕=4（負(fù)值舍去）.

p,P4

匕+5=八2

???C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.]

4.（2015?全國I卷）已知加xo,㈤是雙曲線C：萬一爐=1上的一點，F(xiàn)i,￡是。的兩個焦

點，若姐?啰V0,則內(nèi)的取值范圍是（）

A.fJ1

22m2y[3

C.D.

3'3

A[由題意知己=隹，6=1,c=/，；?R（一十,0）,￡（（，0）,???姐=（一/一

XQ,—JO),MR=Ni—Xo,—yo).

WO,???（一/一劉）（（一加+旅0,

即Ao—3+Jb<0.