廣東省五校陽春一中肇慶一中真光中學(xué)2022年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正項等比數(shù)列中，存在兩項，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．2．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對任意都有零點(diǎn)；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．3．如圖所示，矩形的對角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）．A． B． C． D．4．設(shè)，集合，則（）A． B． C． D．5．某個命題與自然數(shù)有關(guān)，且已證得“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”．現(xiàn)已知當(dāng)時，該命題不成立，那么（）A．當(dāng)時，該命題不成立 B．當(dāng)時，該命題成立C．當(dāng)時，該命題不成立 D．當(dāng)時，該命題成立6．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加7．已知△ABC中，．點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A．2 B． C． D．8．某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．909．（）A． B． C． D．10．將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．12．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則方程的最小實根的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線與相交于兩點(diǎn)，與軸相交于.若，則雙曲線的離心率為_________.14．已知的展開式中含有的項的系數(shù)是，則展開式中各項系數(shù)和為______.15．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點(diǎn)為Q，曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．16．已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明:.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于Q，線段PQ的中點(diǎn)為M.直線AM與直線交于點(diǎn)N，D為線段BN的中點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.19．（12分）如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝60°．（1）求BC的長度；（2）在線段BC上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問點(diǎn)P在何處時，α+β最??？20．（12分）已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）過點(diǎn)P(-4,0)的動直線l與拋物線相交于D、E兩點(diǎn)，已知當(dāng)l的斜率為時，.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.22．（10分）在四邊形中，，；如圖，將沿邊折起，連結(jié)，使，求證：（1）平面平面；（2）若為棱上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號，所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】，，或（舍）.，，.當(dāng)，時；當(dāng)，時；當(dāng)，時，，所以最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當(dāng)直線和直線互相垂直時，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當(dāng)時，沒有零點(diǎn)，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3．A【解析】

由平面向量基本定理，化簡得，所以，即可求解，得到答案．【詳解】由平面向量基本定理，化簡，所以，即，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡得到是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，數(shù)基礎(chǔ)題．4．B【解析】

先化簡集合A,再求.【詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.5．C【解析】

寫出命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時該命題不成立，則當(dāng)時該命題也不成立”，由于當(dāng)時，該命題不成立，則當(dāng)時，該命題也不成立，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應(yīng)用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價性進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.6．C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較，故A、B、D選項錯誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩，C選項正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值．【詳解】以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，由，可得，即，則，當(dāng)時，的最小值為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率，再結(jié)合支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學(xué)的頻率為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【詳解】．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．10．B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，此時與函數(shù)的圖象重合，則，即，，當(dāng)時，取得最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵．11．B【解析】

利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算，化簡求得，再求得【詳解】，故.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實根的范圍結(jié)合此時的，通過計算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時，，所以，故當(dāng)時，，所以，而，所以，又當(dāng)時，的極大值為1，所以當(dāng)時，的極大值為，設(shè)方程的最小實根為，，則，即，此時令，得，所以最小實根為411.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由已知可得，結(jié)合雙曲線的定義可知，結(jié)合，從而可求出離心率.【詳解】解：,，又，則.，，，即解得，即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系，分析出.關(guān)于圓錐曲線的問題，一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì)，可大大減少計算量.14．1【解析】

由二項式定理及展開式通項公式得：，解得，令得：展開式中各項系數(shù)和，得解．【詳解】解：由的展開式的通項，令，得含有的項的系數(shù)是，解得，令得：展開式中各項系數(shù)和為，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二項式定理及展開式通項公式，屬于中檔題．15．【解析】

計算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當(dāng)t＞1時，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.16．【解析】

設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)，計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為，則設(shè)雙曲線方程為：，代入點(diǎn)，則.故雙曲線方程為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線，設(shè)雙曲線方程為是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）當(dāng)時，求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及二階導(dǎo)函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）令求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，結(jié)合有兩個極值點(diǎn)，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），，又，所以在單增，從而當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當(dāng)時，所以當(dāng)時，有一個極值點(diǎn)，當(dāng)時，有兩個極值點(diǎn)，當(dāng)時，沒有極值點(diǎn)，綜上因為是的兩個極值點(diǎn)，所以不妨設(shè)，得，因為在遞減，且，所以又所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.18．（1）（2）點(diǎn)在以為直徑的圓上【解析】

（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，則，，求出直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)，下面結(jié)合點(diǎn)在橢圓上證出，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上．【詳解】（1）由題意可知，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點(diǎn)，，則，，直線的斜率為，直線的方程為：，令得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，又點(diǎn)，在橢圓上，，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及平面向量的基本知識，屬于中檔題．19．（1）；（2）當(dāng)BP為cm時，α+β取得最小值．【解析】

（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設(shè)BC＝x，根據(jù)得到，解得答案.（2）設(shè)BP＝t，則，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到最值.【詳解】（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設(shè)BC＝x，則，化簡得，解之得，或（舍），（2）設(shè)BP＝t，則，，設(shè)，，令f'（t）＝0，因為，得，當(dāng)時，f'（t）＜0，f（t）是減函數(shù)；當(dāng)時，f'（t）＞0，f（t）是增函數(shù)，所以，當(dāng)時，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，因為恒成立，所以f（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，因為y＝tanx在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，α+β取得最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.20．（1）見解析；（2）．【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，可得出，由此能證明平面；（2）由，得平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，就是到平面的距離，也就是點(diǎn)到平面的距離，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，則且，、均垂直于平面，且，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面；（2）由，平面，平面，平面，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，平面，平面，，，，平面，即就是到平面的距離，也就是點(diǎn)到平面的距離，設(shè)，則到平面的距離，，因此，直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．21．；【解析】

根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合,即可求出拋物線C的方程；設(shè)，的中點(diǎn)為，把直線l方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求出的取值范圍,