初中函數(shù)總復(fù)習(xí)及練習(xí)

函數(shù)的基本概念

1、常量和變量：在變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫做常量，可以取不同數(shù)值的量叫做變量。

2、函數(shù)：⑴定義：一般的，設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變

量y都有唯丁的值與它對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。其中x是自變量，y是因變量。

⑵函數(shù)的表示方法：列表法、圖象法和解析法。

⑶自變量取使函數(shù)關(guān)系式有意義的值，叫做自變量的取值范圍。

①函數(shù)的解析式是整式時(shí)，自變量可以取全體實(shí)數(shù)；

②函數(shù)的解析式是分式時(shí)，自變量的取值要使分母不為0；

③函數(shù)的解析式是二次根式時(shí)，自變量的取值要使被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；

④對(duì)實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，要使實(shí)際問題有意義。

平面直角坐標(biāo)系

1、坐標(biāo)平面上的任意一點(diǎn)p的坐標(biāo)，都和惟一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)

---■對(duì)應(yīng)；其中，。為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)坐標(biāo)；

2、x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)等于0；y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)等于0；p

坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限;?,、

h______P(a,b)

3、四個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)具有如下特征：bOe

象限橫坐標(biāo)X縱坐標(biāo)y

第一象限正正

第二象限負(fù)正

第三象限負(fù)負(fù)

第四象限正負(fù)

4、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P伍力)，則

(1)點(diǎn)P到x軸的距離為例；⑵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|小

5、平行直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

(1)在與x軸平行的直線上，所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等；

tY

AB點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)都等于加；

—?---\m?---

X

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等;

D的橫坐標(biāo)都等于〃;

a)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為々(嘰-“)，即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù);

b)點(diǎn)P(m,〃)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為馬(-M〃)，即縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù);

C)點(diǎn)P。％”)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為舄(-私-〃)，即橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù);

xy

舄n?P

I

I

I-m

^7n1OmX

b-—n

關(guān)于X軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

7、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征:

a)若點(diǎn)P(m,n)在第一、三象限的角平分線上,則，“=〃，即橫、縱坐標(biāo)相等；

b)若點(diǎn)P(根,〃)在第二、四象限的角平分線上,則即橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù);

y

在第一、三象限的角平分線上在第二、四象限的角平分線上

函數(shù)的基本概念及直角坐標(biāo)系練習(xí)

一、選擇題：

1、下列各點(diǎn)中，在第二象限的點(diǎn)是()

A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)

2、已知點(diǎn)M(—2,b)在第三象限，那么點(diǎn)N(b,2)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3、若點(diǎn)P(a,b)在第四象限，則點(diǎn)M(b-a,a-b)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4、已知點(diǎn)P(a,b),且ab>0,a+b<0,則點(diǎn)P在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5、如果點(diǎn)P(a,b)在第二象限內(nèi)，那么點(diǎn)P(ab,a-b)在()

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限

6、若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足xy=0(xWy),則點(diǎn)P在()

A.原點(diǎn)上B.x軸上C.y軸上D.x軸上或y軸上

7、平面直角坐標(biāo)中，和有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)的是()

A.x軸上的所有點(diǎn)B.y軸上的所有點(diǎn)C.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的所有點(diǎn)D.x軸和y軸上的所有點(diǎn)

8、將點(diǎn)A(-4,2)向上平移3個(gè)單位長度得到的點(diǎn)B的坐標(biāo)是()

A.(-1,2)B.(-1,5)C.(-4,-1)D.(-4,5)

9、線段CD是由線段AB平移得到的，點(diǎn)A(-1,4)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C(4,7),則點(diǎn)B(-4,-1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D

的坐標(biāo)為()

A.(2,9)B.(5,3)C.(1,2)D.(-9,-4)

10、點(diǎn)P(m+3,m+1)在x軸上，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(0,-2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,-4)

11、點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是-3,且到x軸的距離為5,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(5,-3)或(-5,-3)B.(-3,5)或(-3,-5)C.(-3,5)D.(-3,-5)

12、已知點(diǎn)P(x,y)在第四象限，且|x|=3,|y|=5,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(-3,5)B.(5,-3)C.(3,-5)D.(-5,3)

13、點(diǎn)P(x,y)位于x軸下方，y軸左側(cè)，且忖=2，例=4,點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(4,2)B.(-2,-4)C.(一4,-2)D.(2,4)

14、點(diǎn)P(0,-3),以P為圓心，5為半徑畫圓交y軸負(fù)半軸的坐標(biāo)是()

A.(8,0)B.(0,-8)C.(0,8)D.(-8,0)

15、點(diǎn)E(a,b)到x軸的距離是4,到y(tǒng)軸距離是3,則有()

A.a=3,b=4B.a=±3,b=+4C.a=4,b=3D.a=±4,b=±3

16、將某圖形的橫坐標(biāo)都減去2,縱坐標(biāo)保持不變，則該圖形()

A.向右平移2個(gè)單位B.向左平移2個(gè)單位C.向上平移2個(gè)單位D.向下平移2個(gè)單位

17、如果點(diǎn)M到x軸和y軸的距離相等，則點(diǎn)M橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系是()

A.相等B.互為相反數(shù)C.互為倒數(shù)D.相等或互為相反數(shù)

18、已知正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,1),B(5,1),D(2,4),現(xiàn)將該正方形向下平移3個(gè)單

位長度，再向左平移4個(gè)單位長度，得到正方形ABCD,則C，點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(5,4)B.(5,1)C.(1,1)D.(-1,-1)

19、若點(diǎn)M在第一、三象限的角平分線上，且點(diǎn)M到x軸的距離為2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是()

A.(2,2)B.(-2,-2)C.(2,2)或(-2,-2)D.(2,-2)或(-2,2)

20、已知P(0,a)在y軸的負(fù)半軸上，貝Q(-/—1,一。+1)在()

A、y軸的左邊，x軸的上方B、y軸的右邊，x軸的上方

C、y軸的左邊，x軸的下方D、y軸的右邊，x軸的下方

21、三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-4,-1),B(1,1),C(-1,4),將三角形ABC向右平移2

個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，則平移后三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(2,2),(3,4),(1,7)B.(-2,2),(4,3),(1,7)

C.(-2,2),(3,4),(1,7)D.(2,-2),(3,3),(1,7)

22、已知AABC的面積為3,邊BC長為2,以B原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為()

A、3B、-3C、6D、±3

23、點(diǎn)M(a,a-1)不可能在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題：

1、在電影票上，如果將“8排4號(hào)”記作(8,4),那么(10,15)表示?

2、點(diǎn)A(-3,5)在第象限，到x軸的距離為,到y(tǒng)軸的距離為；關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)

坐標(biāo)為，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為,關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為o

3、已知x軸上點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是3,則點(diǎn)P坐標(biāo)是o

4、一只螞蟻由(0,0)先向上爬4個(gè)單位長度，再向右爬3個(gè)單位長度，再向下爬2個(gè)單位長度后，它

所在位置的坐標(biāo)是o

5、點(diǎn)P(m+3,m+1)在x軸上，則m=,點(diǎn)P坐標(biāo)為。

6、已知點(diǎn)P(m,2m—1)在y軸上，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是。

7、一個(gè)長方形在平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,—1)、(-1,2)、(3,-1),則第四個(gè)頂點(diǎn)

的坐標(biāo)為_________

8、已知點(diǎn)A(2,-3),線段AB與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)可以是(寫出一個(gè)即可)

9、點(diǎn)E與點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)不同，則直線EF與y軸的關(guān)系是

10、直線a平行于x軸，且過點(diǎn)(-2,3)和(5,y),則y=

11、若P(x,y)是第四象限內(nèi)的點(diǎn)，且忖=2,3=3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

12、已知點(diǎn)P在第二象限，它的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和為1,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(寫出一個(gè)點(diǎn)即可).

13、已知：A(3,1),B(5,0),E(3,4),則4ABE的面積為.

14、點(diǎn)A(1-a,5),B(3,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a+b=.

15、已知點(diǎn)P(m,n)到x軸的距離為3,到y(tǒng)軸的距離等于5,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是。

16、已知點(diǎn)P的坐標(biāo)(2—a,3a+6),且點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

17、已知點(diǎn)A(3a+5,a-3)在二、四象限的角平分線上，則a=.

18、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)(l-2a,a-2)在第三象限的角平分線上，則a=—，點(diǎn)的坐標(biāo)為。

19、已知點(diǎn)P(0,a)在y軸的負(fù)半軸上,則點(diǎn)Q(-q2_i,_a+l)在第_象限.

20、將點(diǎn)P(-3,y)向下平移3個(gè)單位,向左平移2個(gè)單位后得到點(diǎn)Q(x,-1),則xy二________

21、一天上午8時(shí)，小華去縣城購物，到下午14時(shí)返回家，結(jié)合圖象回答：

(1)小華何時(shí)第一次休息？

(2)小華離家最遠(yuǎn)的距離時(shí)多少？p(千米)

(3)返回時(shí)平均速度是多少？

(4)請(qǐng)你描述一下小華購物的情況.

8910111213141516"時(shí))

初中所學(xué)的函數(shù)

1、正比例函數(shù)：

(1)、正比例函數(shù)的定義：形如y=kx伏。0)的形式。自變量與函數(shù)之間是上倍的關(guān)系

一般情況下，x當(dāng)作自變量，y作為函數(shù)

(2)、正比例函數(shù)的性質(zhì)

①正比例函數(shù)產(chǎn)kx的圖象是經(jīng)過(0,0),(1,k)的一條直線。

②當(dāng)上>0時(shí)，圖象從左到右是上升的趨勢(shì)，也即是y隨x的增大而增大。過一、三象限。

③當(dāng)左<0時(shí)，圖象從左到右是下降的趨勢(shì)，也即是y隨x的增大而減小。過二、四象限。

2、一次函數(shù)

(1)、一次函數(shù)的定義：形如y=+為常數(shù)，且左。0)的形式；自變量與常量的乘積，再加上

一個(gè)常量的形式。

(2)、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系

y=kx(k0)y=fcr+b(4,b為常數(shù)，且左。0)

屬于上

正比例?A一次函數(shù)

?不屬于

(3)、一次函數(shù)的圖象性質(zhì)

b>0

①一次函數(shù)產(chǎn)kx+b的圖象是經(jīng)過(0,b)(―k/b,0)的一條直線，也可由產(chǎn)kx平移得到

②當(dāng)k〉0時(shí)，y隨x的增大而增大，b〉0時(shí)，圖象過第一、二、三象限，b〈0時(shí)，圖象過一、三、四象限

③當(dāng)k〈0時(shí)，y隨x的增大而減小，b〉0時(shí)，圖象過第一、二、四象限，b〈0時(shí)，圖象過二、一三、四象限

注意:一次函數(shù)產(chǎn)1?+13(1<=0)中的待定系數(shù)有兩個(gè)k和b,因此要確定一次函數(shù)的解析式需x、y的兩組

條件，列出一個(gè)方程組，從而求出k和b。

一次函數(shù)練習(xí)

1、小華用500元去購買單價(jià)為3元的一種商品，剩余的錢y（元）與購買這種商品的件數(shù)x（件）之間的

函數(shù)關(guān)系是，x的取值范圍是；

X

2、函數(shù)y=—的自變量x的取值范圍是

Jx+3

3、一根彈簧原長13厘米，它所掛的重物不能超過16千克，并且每掛重量1千克時(shí)，彈簧

就伸長0.5厘米。①寫出掛重后彈簧的長y（厘米）與掛重x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；②求自變量

的取值范圍。

4、如圖，在邊長為4的正方形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA上順次截取AP=BQ=CR

=DH,得到正方形PQRH,求正方形PQRH的面積S和AP的長度x之間的函數(shù)關(guān)系式

和自變量x的取值范圍。?

5、如圖，在直角梯形ABCD中，AB=22,CD=10,AD=16。①在斜腰BC上任取一點(diǎn)P,

過P點(diǎn)作底邊的垂線，與上下底分別交于E、Fo設(shè)PE長為x,PF長為y。求y與x的函數(shù)表達(dá)式和自變

量x的取值范圍；②如果SAPCD=SAPAB，P點(diǎn)應(yīng)取在什么地方？

6、已知y與3x成正比例，當(dāng)x=8時(shí)，y=-12,求y與x的函數(shù)解析式。

7、已知2y—3與3x+l成正比例，且x=2時(shí)，y=5,（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出它是什么函

數(shù)；（2）若點(diǎn)（a,2）在這個(gè)函數(shù)的圖象上，求a.

8、一個(gè)一次函數(shù)的圖象，與直線y=2x+l的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2,與直線y=-x+2的交點(diǎn)N的縱坐標(biāo)

為1,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式

9、已知直線產(chǎn)kx+b經(jīng)過點(diǎn)（一，0）且與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是一，求該直線的解析式

24

10、設(shè)一個(gè)等腰三角形的周長為45,一腰為x,底為y,

⑴寫出y用x表示函數(shù)關(guān)系式.確定自變量x的取值范圍.

⑵求出當(dāng)x=15時(shí)，y的值，并指出此時(shí)三角形是什么三角形？

11、已知直線y=3x與y=—gx+4,求：⑴這兩條直線的交點(diǎn).⑵這兩條直線與y軸圍成的三角形面積.

12、已知直線yi=2x—6與y2=-ax+6在x軸上交于A,直線y=x與力、y2分別交于C、B。（1）求a；

（2）求三條直線所圍成的△ABC的面積。

13、已知直線x—2y=—k+6和x+3y=4k+l的交點(diǎn)在第四象限內(nèi)。

（1）求k的取值范圍

（2）若k為非負(fù)整數(shù)，△PAO是以O(shè)A為底的等腰三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）點(diǎn)P在直線x—2產(chǎn)

—k+6上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及OP的長。

14、我國很多城市水資源缺乏，為了加強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí)，雉城鎮(zhèn)制定了每月用水4噸以內(nèi)（包括4噸）

和用水4噸以上兩種收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：指每噸水的價(jià)格）,用戶每月應(yīng)交水費(fèi)y（元）是用水量x（噸）

的函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示。

⑴觀察圖象，求出函數(shù)在不同范圍內(nèi)的解析式；

⑵說出自來水公司在這兩個(gè)月用水范圍內(nèi)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；

⑶若一用戶5月份交水費(fèi)12.8元，求他用了多少噸水？

反比例函數(shù)

(1)、反比例函數(shù)的定義：形如y=&(左為常數(shù)，k力0)的形式；x的取值范圍是xWO,y的取值范

X

圍是yWO.

(2)、反比例函數(shù)的性質(zhì)

①反比例函數(shù)y=&的圖像是雙曲線(兩個(gè)分支)

x

②當(dāng)k〉O時(shí)，圖像的兩個(gè)分支分別在第一，三象限內(nèi)；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小

③當(dāng)k〈0時(shí)，圖像的兩個(gè)分支分別在第二，四象限內(nèi)；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

④對(duì)稱性：反比例函數(shù)y=上的圖像是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線y=x或直線y=—x,也是中心

x

對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)

⑤在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)P,Q分別作x、軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍

成的矩形面積為Si,S2,則$=SZ=|k|。設(shè)R是雙曲線上任意一點(diǎn)，過P作x軸的垂線，垂足為A,則

S^AP

注意:因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=&(kWO)中的待定系數(shù)只有一個(gè)k,因此確定反比例函數(shù)的解析式只需x、y一

X

組條件，列出一個(gè)方程，從而求出k值

反比例函數(shù)練習(xí)

1.函數(shù)y=?+2)x"'2-2"9是反比例函數(shù)，則m的值是()

(A)m=4或m=—2(B)m=4(C)m=—2(D)m——\

4

2.如圖4所示，直線尸kx(k>0)與雙曲線y二一交于A(X1,y)B(X2,y)兩點(diǎn)，則2xiy2—7x2yi的

x2

值等于一

圖4圖5圖6

2

3.如圖5所示，在反比例函數(shù)產(chǎn)一（x>0）的圖像上，有點(diǎn)Pi，P2,P3,P4,它們的橫坐標(biāo)依次為1，2,

x

3,4.分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中的構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為Si，S2,S3,

則Si+S2+S3=.

20

4.如圖6所示，矩形AOCB的兩邊OC,OA分別位于x軸，y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B5）,D

是AB邊上的一點(diǎn)，將AADO沿直線OD翻折，使A點(diǎn)恰好落在對(duì)角線OB上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在

一反比例函數(shù)的圖像上，那么該函數(shù)的解析式是.

5.函數(shù)尸kx+b（kWO）與尸&（k#0）在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（）

X

6.如圖8所示，正方形OABC,ADEF的頂點(diǎn)A,D,C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B,E在函數(shù)產(chǎn)!

X

（x>0）的圖像上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（）

7V5—1)3+行3-V5

B.

222

,V5-1A/5+1)3-V53+V5

C.(---------,D.

2222

7.氣體的密度p也

隨之改變.p與V在一定范圍內(nèi)滿足p=￡,它的圖象如上右圖所示，則該氣體的質(zhì)量m為（）

A.1.4kgB.5kgC.6.4kgD.7kg

3一

8.如圖所示，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,AD=1,AB=-,BC=2,P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)

2

點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合，可以與點(diǎn)C重合），DEJ_AP于點(diǎn)E,設(shè)AP=x,DE=y.在下列圖像中，能

正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）

A

A—1

9.反比例函數(shù)y=一二與一次函數(shù)y=k（x+1）在同一坐標(biāo)系中的象只可能是（）.

10.如圖5-10,/、6是反比例函數(shù)y=：的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱任意兩點(diǎn)，過/、6作y軸的平行線，

分別交x軸于點(diǎn)GD,設(shè)四邊形/曲的面積為S,貝IJ（）；

A.S=1B.1<S<2C.S=2D.S>2

11.已知：點(diǎn)尸（77,2/7）是第一象限的點(diǎn)，下面四個(gè)命題：

①點(diǎn)尸關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)R的坐標(biāo)是（〃，-2/7）；②點(diǎn)尸到原點(diǎn)。的距離是逐〃；

③直線y=-+2〃不經(jīng)過第三象限④函數(shù)y=‘，當(dāng)〃<0時(shí)，y隨x的增大而減小.

X

其中真命題是（填上所有真命題的序號(hào)）

12.反比例函數(shù)y=&的圖象上有一點(diǎn)P（），〃），已知/+〃=3,且P到原點(diǎn)的距離為舊，則該反比例

X

函數(shù)的表達(dá)式是.

y=—

13函數(shù)y=一履與X（左H°）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.不確定

14.已知反比例函數(shù)y=工和一次函數(shù)y=2x-l,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a,b）,（a+1,b+k）兩點(diǎn).

"2x

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）如圖，已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐

標(biāo)；

（3）利用（2）的結(jié)果，請(qǐng)問：在x軸上是否存在點(diǎn)P,使AAOP為等腰三

角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由.

二次函數(shù)

(1)、二次函數(shù)的定義：形如y=ax?+bx+c(aWO)的函數(shù)稱為二次函數(shù)，其定義域是R。

(2)、二次函數(shù)的解析式：

22

①一般式：y=ax+bx+c(aNO)；對(duì)稱軸為b,頂點(diǎn)坐標(biāo)為'》4ac-by,

a一五,萬號(hào)

2

②頂點(diǎn)式：y=a(<x-h)+k(QWO)；對(duì)稱軸為x二h,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)

2

③零點(diǎn)式(兩根式)：y=a(x—Xi)(x—x2)(aWO),其中，Xi、X2是函數(shù)y=ax+bx+c(aWO)的

零點(diǎn)(或是方程ax?+bx+c=O的兩個(gè)根)。

(3)、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條拋物線.

(4)、二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)：

①開口方向：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開口向下；

②頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-A,4,7—)；

2a%

③對(duì)稱軸方程：x=-■—；

2a

④當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)b時(shí)，y隨尤的增大而減??；當(dāng)b時(shí)，y隨X的增大而增大；當(dāng)b

x<---X>---x=---

2a2a2a

時(shí)，y有最小值4碇62當(dāng).<0時(shí)，當(dāng)b時(shí)，y隨X的增大而增大；當(dāng)匕時(shí),y隨X的增大

X<---X>---

4。2a2a

而減??；當(dāng)

x=---

2a4。

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只

有拋物線與X軸有交點(diǎn)，即〃-4碇20時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式

的這三種形式可以互化.

(5)、二次函數(shù)圖象的平移

①保持拋物線y=的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到(〃，k)處，具體平移方法如下:

向上(%>0)【或向下(AVO)】平移四個(gè)單位--------

--------------------------------------------------------Ay=ax2+k

向右(人>0)【或左(K0)】

向右色>0)［或左(九V0)】

向右(比>0)【或左s〈o)】平移陽個(gè)單位

平移網(wǎng)個(gè)單位平移網(wǎng)個(gè)單位

向上依>0)【或下伏〈0)】

平移因個(gè)單位

V

y=a(x-h)^■Ay=a(x-h)^+k

向上(心>0)【或下(左〈0)】平移因個(gè)單位

②平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“無值正右移，負(fù)左移；左值正上移，負(fù)下移”.

概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.一定要記??！

(6)、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

①二次項(xiàng)系數(shù)a；二次函數(shù)y=+6/+C中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然awO.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；

⑵當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大.

總結(jié)起來，。決定了拋物線開口的大小和方向，。的正負(fù)決定開口方向，時(shí)的大小決定開口的大小.

②一次項(xiàng)系數(shù)6；在二次項(xiàng)系數(shù)。確定的前提下，。決定了拋物線的對(duì)稱軸.

h

⑴在a>0的前提下，當(dāng)6>0時(shí)，-2<0,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；

2a

當(dāng)。=0時(shí)，一2=0,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；

2a

h

當(dāng)。<0時(shí)，-2>0,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).

2a

⑵在a<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

h

當(dāng)匕>0時(shí)，-一>0,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；

2a

當(dāng)/,=()時(shí)，一2=0,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；

2a

h

當(dāng)6<0時(shí)，-一<0,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè).

2a

總結(jié)起來，在。確定的前提下，6決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.

③常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；

⑵當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；

⑶當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).

總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

總之，只要6,c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.

④二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根

據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：

(1).已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

(2).已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值，一般選用頂點(diǎn)式；

(3).已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

(4).已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.

(7)、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱，當(dāng)成結(jié)論重點(diǎn)記憶。

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

①.關(guān)于x軸對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c

y=a(x-h)2+k關(guān)于x軸對(duì)稱后，得至!J的解析式是y=-a(x-/?)2—G;

②.關(guān)于y軸對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是〉-bx+c；

y-a(x-h)2+k關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=a(x+/z)2+k；

③.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；

y=+k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是〉=-。(尤+-k；

④.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱

h2

y=ax2+bx+c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c---；

2a

y=a(^x-h)2+k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-a(尤-獷+人.

⑤.關(guān)于點(diǎn)(m,")對(duì)稱

y-a(x-h)2+k關(guān)于點(diǎn)(",")對(duì)稱后,得至！J的解析式是y=-a(x+/7-2〃z)"+2n-k

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此時(shí)永遠(yuǎn)不變.求

拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原

拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，

然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.

(8)、二次函數(shù)與一元二次方程：

①.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況)：

■—元二次方程ar2+6x+c=0是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)函數(shù)值y=0時(shí)的特殊情況.

圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

(1).當(dāng)A=從-4ac>0時(shí)，圖象與尤軸交于兩點(diǎn)4(為，0),8(%,0)(占W%),其中的尤］,馬是一

“2-4ac

兀二次方程a尤2+bx+c=0(a*0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距圖AB="-xj=

(中考?？?，重點(diǎn)記憶)

(2).當(dāng)A=0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

(3).當(dāng)△<()時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

r當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y>0；

2,當(dāng)。<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y<0.

②.拋物線y=flx2+"+c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)；

③.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式;

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a,b,c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a,b,c的

符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

(4)二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與無軸

的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ad+bx+cSwO)本身就是所含字母x的二次函

數(shù)；下面以a>0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

A>0拋物線與X軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根

兩個(gè)交點(diǎn)可零、可負(fù)

A=0拋物線與X軸只二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

有一個(gè)交點(diǎn)

A<0拋物線與X軸無二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.

交點(diǎn)

二次函數(shù)練習(xí)

.填空

3

1.二次函數(shù)=2(x--)2+1圖象的對(duì)稱軸是

2.函數(shù)丫=6二2x.的自變量的取值范圍是。

VX+1

3.若一次函數(shù)y=(m-3)x+m+1的圖象過一、二、四象限，則的取值范圍是

4.已知關(guān)于的二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)(1,-1),且圖象過點(diǎn)(0,-3),則這個(gè)二次函數(shù)解析式

為=

5.若y與六成反比例，位于第四象限的一點(diǎn)P(a,b)在這個(gè)函數(shù)圖象上，且a,b是方程(-x-12=0的

兩根，則這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式o

6.已知點(diǎn)P(1,a)在反比例函數(shù)y="(kWO)的圖象上，其中a=m2+2m+3(m為實(shí)數(shù))，則這個(gè)函數(shù)圖

象在第象限。

7.x,y滿足等式x=至±2，把y寫成x的函數(shù)，其中自變量x的取值范圍是.

8.二次函數(shù)y=ax*+bx+c+(aWO)的圖象如圖，則點(diǎn)P(2a-3,b+2)

在坐標(biāo)系中位于第象限

9.二次函數(shù)丫=(x-1)2+(x-3)2,當(dāng)*=時(shí)，達(dá)到最小值

10.拋物線y=x，-x-6nl與x軸交于(xi,0)和(x2,0)兩點(diǎn)，已知xiXz=xi+xz+49,要使拋物線

經(jīng)過原點(diǎn)，應(yīng)將它向右平移個(gè)單位。

二.選擇題

11.拋物線y=x?+6x+8與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)(

(A)(0,8)(B)(0,—8)(C)(0,(D)(-2,0)(-4,0)

12.拋物線y：

(A)(1,3)(B)(1,-3)(C)(-1,-3)(D)(-1,3)

13.如圖，如果函數(shù)丫=1?+13的圖象在第一、二、三象限，那么函數(shù)丫=1?^?-1的圖象大致是()

14.函數(shù)y=^---的自變量x的取值范圍是(

x+1

(A)x<2(B)x<2(C)x>-21(D)xW2且x~l

15.把拋物線y=3x，先向上平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是()

(A)=3(x+3)2-2(B)=3(x+2)2+2(C)=3(x-3)2-2(D)=3(x-3)2+2

16.已知拋物線=x2+2mx+m-7與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)兩旁，則關(guān)于x的方程Lxa(m+1)x+m2+5=0

的根的情況是()

(A)有兩個(gè)正根(B)有兩個(gè)負(fù)數(shù)根(C)有一正根和一個(gè)負(fù)根(D)無實(shí)根

17.函數(shù)y=-x的圖象與圖象y=x+l的交點(diǎn)在()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限1

18.如果以y軸為對(duì)稱軸的拋物線y=ax?+bx+c的圖象，如圖，/卜\

則代數(shù)式b+c-a與0的關(guān)系()―F\

(A)b+c-a=O(B)b+c-a>0(C)b+c-a<0(D)不能確定

3

19.已知：二直線尸—x+6和尸x-2,它們與y軸所圍成的三角形的面積為()

(A)6(B)10(C)20(D)12

20.某學(xué)生從家里去學(xué)校，開始時(shí)勻速跑步前進(jìn)，跑累了后，再勻速步行余下的路程。下圖所示圖中，橫

軸表示該生從家里出發(fā)的時(shí)間t,縱軸表示離學(xué)校的路程s,則路程s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大

三.解答題

21.已知拋物線y=ax、bx+c(aH0)與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是T和3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-巳；

2

(1)確定拋物線的解析式；

(2)用配方法確定拋物線的開口方向，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

22、如圖拋物線與直線)=左(％-4)都經(jīng)過坐標(biāo)軸的正半軸上人，B兩點(diǎn)，該拋物線的對(duì)稱軸x=—1,與

x軸交于點(diǎn)C,且NABC=90°求:

(1)直線AB的解析式；

(2)拋物線的解析式。

23、某商場(chǎng)銷售一批名脾襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為