山東專升高數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)材料

山東省普通高等教育專升本

高等數(shù)學(xué)考試要求

總要求：考生應(yīng)了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、

向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會、掌

握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思

維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證

明，準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析并解決簡單的實(shí)際問題。

一、函數(shù)、極限和連續(xù)

(一)函數(shù)

(1)理解函數(shù)的概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，分段函數(shù)。

(2)理解和掌握函數(shù)的簡單性質(zhì)：單調(diào)性，奇偶性，有界性，周期性。

(3)了解反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖象。

(4)掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。

(5)理解和掌握基本初等函數(shù)：基函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。

(6)了解初等函數(shù)的概念。

(二)極限

(1)理解數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列極限的定義，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函

數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

(2)了解數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性，有界性，四則運(yùn)算定理，夾逼定理，單調(diào)有界數(shù)列，極限存在

定理，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

(3)理解函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義，左、右極限及其與極限的關(guān)系，x趨于無窮

(Xf8,Xf+8,X--8)時(shí)函數(shù)的極限。

(4)掌握函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運(yùn)算定理。

(5)理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關(guān)系，無窮小

量與無窮大量的性質(zhì)，兩個(gè)無窮小量階的比較。

(6)熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

(三)連續(xù)

(1)理解函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要

條件，函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類。

(2)掌握函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，

會求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。

(3)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理(包括零點(diǎn)定理),

會運(yùn)用介值定理推證一些簡單命題。

(4)理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

(一)導(dǎo)數(shù)與微分

(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

(2)會求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

(3)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。

(4)掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求分段函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)。

(5)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

(6)理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。

(~)中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。

(2)熟練掌握洛必達(dá)法則求“0/0”、"8/8”、“0?8”、“8-8”、“法”、“0。,,和“8。”型未定

式的極限方法。

(3)掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明

簡單的不等式。

(4)理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大(小)值的方法，并且會解簡單的應(yīng)用問題。

(5)會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點(diǎn)。

(6)會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

(-)不定積分

(1)理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。

(2)熟練掌握不定積分的基本公式。

(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)。

(4)熟練掌握不定積分的分部積分法。

(-)定積分

(1)理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。

(2)掌握定積分的基本性質(zhì)。

(3)理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

(4)掌握牛頓一萊布尼茨公式。

(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

(6)理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

(7)掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積。

四、向量代數(shù)與空間解析幾何

(-)向量代數(shù)

(1)理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。

(2)掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積與向量積的計(jì)算方法。

(3)掌握二向量平行、垂直的條件。

(二)平面與直線

(1)會求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。

(2)會求點(diǎn)至1J平面的品巨離。

(3)了解有線的一般式方程，會求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會判定兩直線平行、垂直。

(4)會判定直線與平面間的關(guān)系(垂直、平行、直線在平面上)。

五、多元函數(shù)微積分

(~)多元函數(shù)微分學(xué)

(1)了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極值與連續(xù)概念(對計(jì)算不作要求)。

會求二元函數(shù)的定義域。

(2)理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。

(3)掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。

(4)掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

(5)會求二元函數(shù)的全微分。

(6)掌握由方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數(shù)z=z(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

(7)會求二元函數(shù)的無條件極值。

(二)二重積分

(1)理解二重積分的概念、性質(zhì)及其幾何意義。

(2)掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。

六、無窮級數(shù)

(-)數(shù)項(xiàng)級數(shù)

(1)理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質(zhì)。

(2)掌握正項(xiàng)級數(shù)的比值數(shù)別法。會用正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法。

(3)掌握幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)的斂散性。

(4)了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。

(~)幕級數(shù)

(1)了解幕級數(shù)的概念，收斂半徑，收斂區(qū)間。

(2)了解塞級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分)。

(3)掌握求累級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間(不要求討論端點(diǎn))的方法。

七、常微分方程

(一)一階微分方程

(1)理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

(2)掌握可分離變量方程的解法。

(3)掌握一階線性方程的解法。

(-)二階線性微分方程

(1)了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

(2)掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

第二部分學(xué)習(xí)內(nèi)容

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

1.1本章知識要點(diǎn)

(-)函數(shù)

1.函數(shù)的概念

(1)定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對于每個(gè)數(shù)xe。，變量y按照一定法

則“f”總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=/(x),x&D

其中x稱為自變量，y也稱為自變量，D稱為這個(gè)函數(shù)的定義域。

對應(yīng)于函數(shù)的定義域D,因變量y的取值范圍稱為這個(gè)函數(shù)的值域，記作R。

函數(shù)關(guān)系的兩要素-------定義域D及對應(yīng)法則f。

(2)函數(shù)的表示法：表格法、圖形法、解析法(公式法)。

(3)分段函數(shù)：在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)。

2、函數(shù)的幾種特性

(1)單調(diào)性：若對區(qū)間I上任意兩點(diǎn)X，毛,且不<馬，恒有/(3)</(%2)，則稱函數(shù)/(x)在區(qū)間I

上是單調(diào)增加的；恒有/(3)>/(々)，則稱函數(shù)/(外在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的

函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

(2)奇偶性：設(shè)函數(shù)/(幻的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對任一xe。，有/(t)4?任)，則稱/(幻

為偶函數(shù)；若對任一xe。，有/(—x)=—/(x),則稱/(x)為奇函數(shù)。

偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。

兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘

積是偶函數(shù)，偶函數(shù)和奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)(注以上函數(shù)均為非零函數(shù))。

(3)有界性：若存在正數(shù)M,對任一xeX,有|/(幻區(qū)〃，則稱函數(shù)/*)在X上有界；否則，無

界。有界函數(shù)的圖形特點(diǎn)是，函數(shù)y=/(x)的圖形在直線y=—〃和y=〃的之間。

(4)周期性：設(shè)函數(shù)/(幻的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)整數(shù)/,使得對任一有xe。有(x±/)e。，

且/(x+/)=/(x),則稱/(x)為周期函數(shù)，/稱為的周期。如三角函數(shù)中，sinx和cosx是周期為2萬的

周期函數(shù)，tanx和cotx是周期為乃的周期函數(shù)。

3.復(fù)合運(yùn)算與復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=.f("),〃=g(x)，若函數(shù)〃=g(x)的值域全部或部分的包含在函數(shù))=/(〃)的定義域之

內(nèi)，則通過中間變量”，y是x的復(fù)合函數(shù)，記做y=/[g(x)]。

注意：y=/(N)和〃=g(x)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的條件是：函數(shù)〃=g(x)的值域R“必須含在

/(〃)的定義域。/內(nèi)，即&U。,。否則，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

4.初等函數(shù)

(1)基本初等函數(shù)

基函數(shù)：y=(〃eR,〃wO)

指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>O,a#1),

定義域?yàn)?一8,+8),通過點(diǎn)(0,1),值域?yàn)?0,+8),當(dāng)a〉1時(shí)為嚴(yán)格單增函數(shù)；當(dāng)()<。<1時(shí)

為嚴(yán)格單減函數(shù)。

對數(shù)函數(shù)：y=log(a>0,awl),

它是指數(shù)函數(shù)y="的反函數(shù)。它的定義域?yàn)?0,+8),值域?yàn)?-8,+8)。當(dāng)a>1時(shí)為嚴(yán)格單增函

數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)為嚴(yán)格單減函數(shù)。圖形位于y軸的右方，且通過點(diǎn)(-1,0),自然對數(shù)為y=

三角函數(shù)：

正弦函數(shù)y=sinx-oo<x<4-oo,

余弦函數(shù)y=cosx-oo<x<-l-oo,

7t

正切函數(shù)y=tanxxw(+1寺(keZ),

余切函數(shù)y=cotxx牛krc(kcZ),

正割函數(shù)y=secxxw(及+1舌(ZGZ),

余割函數(shù)y=cscx(ZwZ)。

反三角函數(shù)：

反正弦函數(shù)y=arcsixrxe[—1,]

反余弦函數(shù)y=arcc8xG[-1,]yG[0,7i\,

反正切函數(shù)y=artanXG(-oq+q”(-半9,

反余切函數(shù)y=arcotXG(-oq+qye(0,7r)o

累函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

(2)初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)記過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所構(gòu)成的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱

為初等函數(shù)。

分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)。不是初等函數(shù)的函數(shù)統(tǒng)稱為非初等函數(shù)。例如，符號函數(shù)sgnx,取整

Xr>0

函數(shù)區(qū)都是非初等函數(shù)。但也有分段函數(shù)卻能用一個(gè)解析式來表示，如函數(shù)<一可以寫成

-xx<0

f(x)=辰,因而它是一個(gè)初等函數(shù)。

(二)極限

1.數(shù)列的極限

定義：對于V￡>o,3^>0,當(dāng)〃〉N時(shí)，恒有卜'一。|<￡成立，則稱數(shù)列｛尤"｝收斂，并且以。為

極限，記作：limx=a(或x-a,(n—>oo))

n->oo

如果數(shù)列沒有極限，則稱數(shù)列是發(fā)散的。

定理1(唯一性)若數(shù)列｛》"｝收斂，則其極限是唯一的。

定理2(有界性)收斂數(shù)列一定有界。［注］逆命題不成立，有界數(shù)列未必收斂。

定理3(保號性)如果limx“=a,且a〉()(或“<()),那么存在正整數(shù)N〉()，當(dāng)”>N時(shí)，都

有>0(或X”<0)。

推論：如果limx“=a,如果數(shù)列｛犬｝從某項(xiàng)起有七20(或x,,W0),那么有(或。40)

M—>00

定理4單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

2.函數(shù)的極限

(1)函數(shù)極限的“￡fX”定義：

對于\/￡〉0,3X>0,當(dāng)k|>X時(shí)，總有|/(幻一4<￡,則稱常數(shù)A為函數(shù)/(X)當(dāng)Xf8

時(shí)的極限,記作:Hm/(x)=Ao

Xfoo

(2)函數(shù)極限的“￡T3”定義：

對于V￡〉()，3^>(),當(dāng)0<般一天|<5時(shí)，總有|/(幻一山<￡,則稱常數(shù)A為函數(shù)/(X)當(dāng)

xf與時(shí)的極限，記作：limf(x)=Ao

*->而

(3)左(右)極限：

對于V￡>(),3^>0,當(dāng)0<7)一(0<x—時(shí)，總有|/(X)—A|<￡,則稱常數(shù)

A為函數(shù)/(x)當(dāng)從x從七左(右)側(cè)趨于不時(shí)的極限，記作

f(xo-O)=lim/(x)=A(/(xo+O)=lim/(x)=A)

X-^XQ-0%T%+0

定理1limf(x)=A的充要條件為f(x-O)=f(x+0)=A

A->.V°oo

定理2(保號性)若lim/(x)=A,A>0(A<0),則存在S>(),當(dāng)—時(shí)，f(x)>0

(/(x)<0)o

定理3若在X。的某一去心鄰域內(nèi)，/(x)>0(/(幻<0)且lim/(x)=A,則A20(AW0).

Xf0

3.無窮大與無窮小

(1)無窮小的定義：若lim/(x)=0,則稱/(x)為(x—>00)時(shí)的無窮小。

oo)

定理11由/(無)=4的充要條件為/(幻=4+。(幻，其中l(wèi)ima(x)=0

?￥->.%x->.rQ

(2)無窮大的定義：對于VM〉0JX>0(3〉0),當(dāng)|x]>X(0<|x—/|<3)時(shí)，總有|/(x)|>M,

則稱/(X)當(dāng)為—>8(X->x0)時(shí)為無窮大，記作lim/(x)=0C

?(IXfTo8)

定理2如果lim/(x)=oo,則lim」一=O；反之，如果/(x)為無窮小，則」一為無窮大。即,

.f。/(x)/(X)

無窮小和無窮大互為倒數(shù)關(guān)系。

(3)無窮小的比較：設(shè)Iima(x)=O,limp(x)=O,則

(1)若lim2W=0,則稱尸(x)是比a(x)高階的無窮小，記為￡(x)=o(a(x))

(2)若limN也=8,則稱￡(x)是比a(x)低階的無窮小?

(3)若limg?=C,(CVO),則稱￡(x)與“(X)是同階無窮小。

(4)若lim叢?=1,則稱以幻與a(x)是等價(jià)無窮小，記為"x)~a(x)。

(5)若lim外3=C,(CHO/>0),則稱"x)是x的k階無窮小。

(4)無窮小的性質(zhì)：

(1)有限個(gè)無窮小的和，差，積是無窮小。

(2)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。

定理3a與夕是等價(jià)無窮小的充要條件：B=a+o(a)

定理4(等價(jià)無窮小代換定理)：若。~。，B~6，且limg-存在，則有Iim2=lim2。

aaa

4.極限運(yùn)算法則：

定理1(極限四則運(yùn)算)設(shè)lim/(x)及l(fā)img(x)存在，則

⑴lim[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)

<2)lim[/(x)-g(x)]=lim/(x)-limg(x)

/a)

(3)lim(g(x)wO)。

g(x)limg(x)

推論：(1)lim[(7(x)]=Clim/(x),

(2)lim[/(x)]n=[lim/(x)r

定理2(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算)設(shè)函數(shù)y=/(g(x))是由函數(shù)”=g(x)與函數(shù)y=/(“)復(fù)合而成，

y=/(g(x))在點(diǎn)天的某去心鄰域有定義，若limg(x)=%，lim/(〃)=A,且存在4>0,當(dāng)

X->XQM->W0

0

^^。(不，品)時(shí)，有g(shù)(x)H/，則

limf(g(x))=limf(u)=A

x->x0W-?W0

5.兩個(gè)重要極限

定理1(夾逼準(zhǔn)則)若數(shù)列{七},{%},{Z,J滿足

(1)從某項(xiàng)起，3N,當(dāng)〃,N時(shí)有%<z〃(〃eN)

(2)limyn-limzn=A,

/I—>00"TOO

則數(shù)列{x,J極限存在，且limx.=A。

定理2單調(diào)有界原理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

兩個(gè)重要極限：

(1)=(2)lim(l+!)*=e或lim(l+a)*

.r->0%XT8尤a->0

(三)連續(xù)

1.定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x“的某鄰域內(nèi)有定義，若lim/(%)=/(%?)或

XfXo

limAy=lim[/(x?+Ax)-f(xa)]=0,則稱函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。連續(xù)。

A.v->0A.v->0

2.間斷點(diǎn)：若函數(shù)/(x)在點(diǎn)兒點(diǎn)不連續(xù)，則稱尤為/(x)的間斷點(diǎn)。

3.第一類間斷點(diǎn)：左、右極限都存在的間斷點(diǎn)；

(1)左、右極限存在且相等，稱為可去間斷點(diǎn)；

(2)左、有極限存在但不相等，稱為跳躍間斷點(diǎn)。

4.第二類間斷點(diǎn)：不是第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)。

常見的第二類間斷點(diǎn)有：無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。

5.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算：

定理1：設(shè)函數(shù)/(x)和g(x)均在％處連續(xù)，則它們的和7+g、差/—g、積由、商工(g?0)均

g

在飛連續(xù)。

定理2：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間I上連續(xù)且單調(diào)遞增(遞減)，則其反函數(shù)x=/T(y)在其對應(yīng)的

區(qū)間也是連續(xù)且且單調(diào)遞增(遞減)。

定理3：(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)y=/(g(x))是由函數(shù)M=g(x)與函數(shù)y=/(“)復(fù)合而成，若

函數(shù)"=g(x)在x0處連續(xù)且g(x())=?0,函數(shù)y=/(?)在uQ處連續(xù)則函數(shù)y=/(g(x))在七處連續(xù)

5.初等函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。

6.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理9(有界、最大值、最小值定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上必有界取得最大值和最小

值。

定理10(介值定理)設(shè)/5)在[a,b]上連續(xù)，且若c是介于/(a)與/S)之間的任

意數(shù)，則至少存在一點(diǎn)3w(a,。)，使得73)=c。

定理H(零點(diǎn)定理)設(shè)/(x)在理b]上連續(xù),K/(aW)<0,則至少存在一點(diǎn)加，使得

/⑻=0。

(四)漸近線

1.漸近線定義：

給定函數(shù)/(X),若

(1)lim/(x)=a,則稱y=。為/(x)的水平漸近線

X—>00

(2)lim/(x)=8,或時(shí)有/(x)=±8,則稱x=占為/(幻的鉛垂?jié)u近線。

XT%

(3)若lim=a(aw0)；進(jìn)一步lim(/(x)-ax)=Z?,則稱直線y=+〃為函數(shù).f(x)

.￥-><?XX->8

的斜漸近線

第二章導(dǎo)數(shù)和微分

2.1本翁知識要點(diǎn)

(-)導(dǎo)數(shù)的定義及概念

1.定義：設(shè)y=/(x)在點(diǎn)與的某鄰域。(玉))內(nèi)有定義，玉)+&e。(工0)，對于函數(shù)增量

Ay=/(^o+Ax)-/(xo)I

如果極限lim包=lim/(/十―)-存在，稱函數(shù)丁=-X)在點(diǎn)可導(dǎo)，并稱極限>=y(x)

ArfOAx&30AX

在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，

記作今1*Ie」/'a。)，或丁(/)。

注：導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式((%)=lim』⑴二"圮:

XT%X-Xo

2.左導(dǎo)數(shù)：￡(%)=lim絲=lim/(/+8)-/(/)

Ax->0-AxAv-?O-Ax

或f!(x0)=lim"*)—/(%)

xfq-x-xG

右導(dǎo)數(shù)：￡(%)=lim包=lim/(/+—)-/Oo)

+°-o+Ax-0+AX

或/'(%)=lim/3一/氫)

*f&-x-x0

3.定理1：函數(shù)y=/(x)在玉)點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是飛點(diǎn)左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。

4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=/(x)在/點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)/'(/)，表示曲線y=/(x)上點(diǎn)(%,/(%))處切線

的斜率。

曲線y=/(x)上點(diǎn)(/,/(公))處

切線方程為：y-f(x0)^f'(x0)(x-xQ),

法線方程為：y-y^--^-(x-xQ)

/Uo)

5.定理2：若函數(shù)y=/(x)在后點(diǎn)可導(dǎo)，則必在題點(diǎn)連續(xù)。

注：(1)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)；

(2)如果函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，則在該點(diǎn)一定不可導(dǎo)：

(3)可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，而連續(xù)則是可導(dǎo)的必要條件。

(-)求導(dǎo)公式與法則

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

常量函數(shù)：C'=Q

幕函數(shù)：(￡7=辦”

指數(shù)函數(shù)：(優(yōu))'=a1na,(")'="

對數(shù)函數(shù)：(log^x)f=一--,((Inx)r=—

x\nax

三角函數(shù)：(sinx)'=cosx,(cosx/=-sinx,

(tanX)-sec-x,(cotx/=-csc2x,

(secx)'-secxtanx,，(cscx)r=-cscxcotx

反三角函數(shù)：(1

arcsinx)'=/1,(arccosr)'=-

Vl-x2r7

(arctan尤)'=----，(arccotx)'=-------

\+x71+x7

2.函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則：設(shè)M=M(X),U=V(X)均在點(diǎn)X處可導(dǎo),則

[M(X)±v(x)]=u'(x)±v(x);

[w(x)?v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);

r“(x)U(X)V(X)-H(X)V(X)

1=-------T-------，(心)豐0)?

V(x)V2(%)

3.反函數(shù)求導(dǎo)法則：

設(shè)函數(shù)x=/(y)在區(qū)間4內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且/''(y)。。，則它的反函數(shù)y=/(x)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo),

且

r尸(幻］，=^—或包=3

L」f(y)dxdx

dy

4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：

如果函數(shù)M=e(〃)在x點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)y=/(“)在相應(yīng)的u點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/(e(x))在x

點(diǎn)可導(dǎo)，且

以色曲或包=八〃).3

drdi/drdr

5.隱函數(shù)求導(dǎo)：

二元函數(shù)方程F(x,y)=0,確定隱函數(shù)y=y(x),求導(dǎo)數(shù)位。

dx

方法：方程兩端對x求導(dǎo)，使y為x的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得到關(guān)于y，的方程，解出即

可。

6.由參數(shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo)：

y=(p(t)

設(shè)參數(shù)方程均可導(dǎo)，且y=eQ)嚴(yán)格單調(diào)，“⑺#0,則有：

y=〃⑺

dy,ddy

曳-二e或包二-巫.dy山dx

dr(p\t)dxdx，dr2dx

dtdt

7.對數(shù)求導(dǎo)法則：

對數(shù)求導(dǎo)法主要用于幕指函數(shù)、多因子乘塞型函數(shù)求導(dǎo)。

幕指函數(shù)y="(x)F⑴的導(dǎo)數(shù)：

兩邊取對數(shù)：lny=°(x)ln/(x),

兩端關(guān)于x求導(dǎo)Ly'="(X)?Inu(x)+叭玲?.所以,

y/(x)

y'=+=―⑶“'(x)ln/(x)+以二”,

/Wf(x)

(三)高階導(dǎo)數(shù)

定義：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x的鄰域內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)/'(x)存在，如果極限lim/'。+泡一/兔存在,

^->oAx

稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x二階可導(dǎo)，并稱極限值為y=/(x)在點(diǎn)x的二階導(dǎo)數(shù)，記作：夕，/"*)或y"。

dx

類似的，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù)。

二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。

(四)微分

1.定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x0的某鄰域。(與)內(nèi)有定義，-x0+AxeU(x0),如果函數(shù)增量

可表示為：Aj=A-Ax+o(Ar),且A只與x0有關(guān)，與心無關(guān)，。(8)是比Ax高階的無窮小，則稱函

數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x()的微分。記作：力=或的'(x)=A-Ax

2.定理：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x可微的充分必要條件是函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且小=/意)公

注：(1)函數(shù)可微一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可微；

(2)如果函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，則在該點(diǎn)一定不可微；

(3)可微是連續(xù)的充分條件，而連續(xù)則是可微的必要條件。

3.微分的四則運(yùn)算：

(1)d(u±v)=du+dv；(2)d(uv)=udv+vdu；

⑶,、七/“卜、udv-vdu

第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3.1本章知識要點(diǎn)

(-)中值定理

1.羅爾中值定理

如果函數(shù)/(x)在區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(。力)內(nèi)可導(dǎo)，且/(。)=/3)，那么至少存在一點(diǎn)

e^{a,b),使得了'(￡)=0。

2.拉格朗日中值定理

如果函數(shù)/(x)在區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間①,與內(nèi)可導(dǎo)，且./?(?)=./?(/?),那么至少存在一點(diǎn)

￡e(a,b),使得f(b)~/(a)=f'(e)(b-a)或=/'(￡).

b-a

推論I若/(x)在(。/)內(nèi)可微，且f(x)=0,則/(x)為常數(shù)。

推論2若/(x)與g(x)在(a,切內(nèi)可微，且f(x)=g(x),則在(a,加內(nèi)有/(x)=g(x)+C,其中

C為常數(shù)。

3.了解柯西中值定理。

(-)洛必達(dá)法則

1.定理(,型)設(shè)函數(shù)/(x)及/(x)滿足：①當(dāng)xfa時(shí)，函數(shù)/(九)及尸(x)都趨于零：②在點(diǎn)a

的某去心領(lǐng)域內(nèi)，/'*)及尸(x)都存在且產(chǎn)(x)w0③lim/3存在(或?yàn)闊o窮大)；則

?iF(x)

XfaF(x)XT"F"(x)

00

2.定理(一型)設(shè)設(shè)函數(shù)/(x)及尸(x)滿足：①當(dāng)工—。時(shí)，函數(shù)“X)及尸(x)都趨于無窮；②

00

在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，/'(X)及尸(x)都存在且尸(x)HO;③lim"?存在(或?yàn)闊o窮大)；則

3F(x)

limzw=limz^)

fF(x)XT"F'(x)

注：以上兩個(gè)定理在Xf8時(shí)仍適用。

(三)函數(shù)的性態(tài)

1函數(shù)單調(diào)性的判別法

設(shè)函數(shù)y=/(x)在上伍，們連續(xù)，在(。/)內(nèi)可導(dǎo),若(。6)在內(nèi)f(x)>0(f(x)<0),則函數(shù)

y=/(x)在上出力］單調(diào)增加(減少)。

定理1(極值的必要條件)設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處可導(dǎo)，且在受處取得極值，則/(%)=0。

注：(1)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；

(2)導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)一定不是極值點(diǎn)；

(3)極值點(diǎn)處未必導(dǎo)數(shù)存在。

定理2(極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)/(x)在廝的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，去心鄰域可導(dǎo)，如果在該領(lǐng)

域內(nèi)：

①當(dāng)無</時(shí)，/U)<0；當(dāng)》>拓時(shí)，f'(x)>0,則/(尤)在/在處取得極小值。

②當(dāng)時(shí)，/(x)>0；當(dāng)x>x()時(shí)，/'(x)<0,則/0)在/在處取得極大值。

③當(dāng)X<X°或X>X°時(shí)，/(X)不改變符號，則/(X)在不處不取得極值。

定理3(極值的第二充分條件)設(shè)函數(shù)/(X)在天的某一領(lǐng)域內(nèi)二價(jià)可導(dǎo)，且/(不)=0,而

/(不)。0,則

①當(dāng)/(不)>0時(shí)，/(x)在％處取得極小值。

②當(dāng)/(%)<0時(shí)，/(幻在七處取得極大值。

注：若/"(/)=0,則可能存在極值，也可能不存在極值。

2.函數(shù)最值的求法

設(shè)/(x)在［a,b］上連續(xù)，瓦2%是/(%)的駐點(diǎn)或使/(X)不存在的點(diǎn)，則

/(x,),/S)中最大(小)者為/(x)在［a,b］上的最大(小)值。

3.凹凸性的判定方法

定理設(shè)/(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，

①若在(a,b)內(nèi)/(小)>0,則曲線y=f(x)在［a,b］上是凹的.

②若在(a,b)內(nèi)f"(x)<0,則曲線y=f(x)在［a,b］上是凸的.

4.拐點(diǎn)的判定方法

設(shè)函數(shù)y=/(x)在玉)的某一領(lǐng)域內(nèi)二階可導(dǎo)，且_f(x0)=。(或不存在)，若在該領(lǐng)域內(nèi)：

①尸(幻在X。點(diǎn)的左右兩側(cè)異號,則(X。/(%))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).

②/(X)在七點(diǎn)的左右兩側(cè)異號,則(％/(%))不是曲線)=/(x)的拐點(diǎn).

注：(1)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定取得拐點(diǎn)；

(2)二階導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)一定不能取得拐點(diǎn)；

(3)拐點(diǎn)處未必二階導(dǎo)數(shù)存在。

第四章不定積分

4.1本章知識要點(diǎn)

(~)原函數(shù)與不定積分的概念

1.原函數(shù)：如果在區(qū)間I上，/(x)=/(x)或"(x)=f(x)av,則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)

函數(shù)。

2.原函數(shù)存在定理：區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

3.不定積分：f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)的全體，稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，即若F(x)是f(x)

在區(qū)間上的任一原函數(shù)，則]7(X)0C=F(X)+C

4.不定積分的性質(zhì)

(1)積分與微分互為逆運(yùn)算：

%[f{x}dx\=/(x),或f(x)dx]=f(x)dx,

jF'(x)dx=F(x)+C,或JdF(x)=尸(x)+C。

(2)線性性質(zhì)^(cif(x)+bg(x))dx=a^f(x)dx+b^g(x)dx

(二)求不定積分的基本方法

1、基本積分表

2、第一換元法(湊微分法)

設(shè)f(u)具有原函數(shù)，且〃=e(x)可導(dǎo)，貝!]3'(x)公dJ/OOdu]或)

一般：Jg(乂世=J/[e(x)M(e(x))=F[(p(x)]+c

3、第二換元法(變量代換法)

設(shè)x=￥Q)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且沙?)。0,函數(shù)/(〃?))〃?)具有原函數(shù),

則有：:J"匕⑺]〃⑺M

一般：Jf(x)dx=J/(“?))“⑴df=F(t)+c=F[y/~'(x)]+c

4、分部積分法：judv=MV-jvdu

第五章定積分及其應(yīng)用

5.1本章知識要點(diǎn)

(-)定積分概念與性質(zhì)

I.定積分jf{x}dx=lim/(<5；)Ax,

注：(1)定積分的積分'值只與被積函數(shù)、積分區(qū)間有關(guān)。與積分變量的符號無關(guān)，即:

(*bfb

ff(x)dx=ff(t)dt=ff(u)du

JaJaJa

rb(*a「a

(2)規(guī)定：Jf^x)dx=-J/f(u)duJf(x)d井(

2.可積的條件：

定理1函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)一定可積

定理2有界函數(shù)且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)一定可積。

或函數(shù)在區(qū)間上存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)一定可積。

定理3函數(shù)可積在區(qū)間上一定有界。

注：(1)函數(shù)在區(qū)間有界不一定可積。(2)函數(shù)在區(qū)間上無界一定不可積。

3.定積分的幾何意義

(1)若/(x)N0,Jj(x)公的幾何意義是位于x軸上方的曲邊梯形的面積；

rb

(2)若/(x)<0,[/(幻心:是位于X軸下方的曲邊梯形面積的相反值；

Ja

一般，公表示曲邊梯形面積的代數(shù)和，位于X軸上方取正，下方取負(fù)。

4.定積分的總質(zhì)

ebfbfib

(1)線性性質(zhì)：[[nif(x)±ng(x)]dx=m\f{x)dx±n\g{x}dx

JaJt?

pbpcrb

(2)可加性：對于任意a,c都有1f(x)dx=[f(x)dx+\f(x)dx

JaJaJc

(3)jdx=b-a

(4)不等式性質(zhì)：若在［a,b］±,恒有/(x)Wg(x),則，/(%)公W/g(x)公

JaJa

(5)保號性：若在［a,b］上，恒有/(x)〈O(/(x)NO)則公40(20)

(6)絕對值性質(zhì)：J：/(x)小公

(7)定積分的估值定理若在［a,b］上/(x)的最大值和最小值分別M,m,則

m(h—a)<f(x)dx<M(h-a)

Ja

(8)定積分的中值定理設(shè)/(外在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則存在Se［a,勿使

￡rbf(x)dx=f(6\b-a)

(二)定積分的*算

1.微積分基本定理

(1)變上限的積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理：

定理1.如果函數(shù)/(幻在區(qū)間［a,以連續(xù)，則積分上限函數(shù)e(x)=J；/??)辦在［a,句可導(dǎo)，

并且“(x)=(［/?)〃)'=/(x)。

進(jìn)一步有公式：=/(e(x))“(x)-/(o(x))“(x)

定理2：如果函數(shù)/(%)在區(qū)間連續(xù)，則函數(shù)(p(x)=J：f⑺力

就是/(x)在區(qū)間［a,3的一個(gè)原函數(shù)。

(2)牛頓―萊布尼茨公式：

定理3：如果函數(shù)F。)是連續(xù)函數(shù)/(x)在區(qū)間用的原函數(shù)，則jf(x)dx-F(b)-F(a)?

2.定積分的計(jì)算方法

(1)換元法

定理：設(shè)函數(shù)/(%)在區(qū)間［a,b］連續(xù)，函數(shù)％=0⑺滿足⑴在區(qū)間&間上可導(dǎo)，且夕'⑺

連續(xù)；(2)a=(p(a),b=(p9),當(dāng)，￡(a,0時(shí)，x￡(〃,〃)，則

f(x)dx=1

JaJa

(2)分部積分法fudv=wv|/?-Cvdu

JaI"Ja

3.反常積分

(1)無窮限的反常積分：

/(X)在區(qū)間［a,”)連續(xù)J：/(X)公=lim\"f(x)dx,若極限存在則收斂，否則發(fā)散。

(2)無界函數(shù)的反常積分

函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,。)連續(xù)，在b處無界J：f(xMx=lim￡/(x)〃，若極限存在

則收斂，否則發(fā)散。

4.定積分的應(yīng)用

(1)平面圖形的面積

(a)曲線y=/(x),y=g(x)及直線x=a,x=b(a<b)且/(x)Ng(x)所圍圖形的面積：

A=jjf(x)-g(x)］dx

(b)x=(p(y),x=0(y)及直線〉=c,y-d(c<J),且夕(丁)2。()，)

所圍圖形的面積：A=J：［e(y)—0(y)］辦

(2)旋轉(zhuǎn)體的體積

(a)由曲線y=/(x),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)

體的體積：匕=41/2(幻公

(b)由曲線x=e(y),直線丁=。,丁=4(。<。)及丫軸所圍曲邊梯形繞丫軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體

的體積：匕=可(P2(y)dy

第六章空間解析幾何與向量代數(shù)

6.1本章知識要點(diǎn)

(一)向量及其線性運(yùn)算

1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量，例如位移、速度等，記做

2、向量的線性運(yùn)算

(1)向量的加減法：三角法則和平行四邊形法則以及加減法的交換律和結(jié)合律、數(shù)乘運(yùn)算。

(2)空間直角坐標(biāo)系及向量表示法。

(3)向量的線性運(yùn)算：

設(shè)。=玉，+yj+z/,b=x2i+y2j+z2k,4,〃為常數(shù)，則

A.a±pb=(石±fix^i+(/ly±4%)/+(義4±fizjk

3、向量的模、單位向量，方向角"____________

⑴模：。向量的長度稱為模，記為同。設(shè)4=*+0+2%，則同=.2+y2+Z?

(2)單位向量：e=g且同=1

(3)非零向量。與三條坐標(biāo)軸的夾角稱為向量〃的方向角，記做。其中cosa,cos/?,cosy

rVZ

稱為向量〃的方向余弦，且cosa=「，cos/?=7^7,cos/=7-7o

同Pl同

注：cos2a4-cos2(3+cos2/=1

(二)數(shù)量積和向量積

1、數(shù)量積

⑴定義：設(shè)。=取+x/+z/,h=x2i+y2j+z2k,它們的夾角為。，則稱同例cos。為

。力的數(shù)量積，記作。?人=同網(wǎng)cos。，進(jìn)一步有a?Z?=%/+y%+2仔2。

(2)運(yùn)算規(guī)律：

(a)交換律a-b=b-

(b)分配律(a+O)?c=a?b+Z??c

(c)結(jié)合律(丸7?Z?)=X(ab

(3)投影(a1=|a|cos，

n?h

(4)應(yīng)用：(D會求兩個(gè)向量的夾角；cos^=^

同網(wǎng)

(2)會求向量在另外一個(gè)向量上的投影(a%=|a|cose=/g

H

(3)兩個(gè)向量平行的充要條件：=0

2、向量積

(1)定義：設(shè)a=^i+y"+z/,b=x2i+y2j+z2k,它們的夾角為。，則稱c為的