7.4事件的獨(dú)立性課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

§4事件的獨(dú)立性第七章概率北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.在具體情境中,了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.能利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.綜合運(yùn)用互斥事件的概率加法公式及獨(dú)立事件的乘法公式解決一些問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

相互獨(dú)立事件事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響,這樣的兩個(gè)事件叫作相互獨(dú)立事件.名師點(diǎn)睛相互獨(dú)立事件與互斥事件、對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系名稱(chēng)區(qū)別聯(lián)系定義事件個(gè)數(shù)互斥事件在一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生的事件兩個(gè)或兩個(gè)以上①兩事件互斥,但不一定對(duì)立;兩事件對(duì)立,則一定互斥.②兩事件相互獨(dú)立,則不一定互斥(或?qū)α?對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生但必有一個(gè)發(fā)生兩個(gè)獨(dú)立事件一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響兩個(gè)或兩個(gè)以上思考辨析相互獨(dú)立事件是對(duì)立事件嗎?提示

不是.相互獨(dú)立事件是指事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響,是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提;而對(duì)立事件首先應(yīng)是互斥事件,是指不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立.(

)(2)不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立.(

)(3)如果兩個(gè)事件是互斥事件,那么它們一定是相互獨(dú)立事件.(

)√√×2.[人教A版教材例題]一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)球,除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”,事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”,那么事件A與事件B是否相互獨(dú)立?解

因?yàn)闃颖究臻gΩ={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},此時(shí)P(AB)≠P(A)P(B),因此,事件A與事件B不獨(dú)立.知識(shí)點(diǎn)2

相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(AB)=P(A)P(B).思考辨析已知兩人打靶,甲擊中的概率為0.8,乙擊中的概率為0.7,若兩人同時(shí)射擊一目標(biāo),則它們都中靶的概率能否用公式P(AB)=P(A)P(B)求解?提示

因?yàn)榧讚糁泻鸵覔糁惺窍嗷オ?dú)立事件,因此可利用P(AB)=P(A)P(B)求解,得P(AB)=0.8×0.7=0.56.自主診斷1.[人教A版教材例題]甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ),已知甲每輪猜對(duì)的概率為,乙每輪猜對(duì)的概率為

.在每輪活動(dòng)中,甲和乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率.解

設(shè)A1,A2分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè),2個(gè)成語(yǔ)的事件,B1,B2分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè),2個(gè)成語(yǔ)的事件.設(shè)A=“兩輪活動(dòng)‘星隊(duì)’猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”,則A=A1B2∪A2B1,且A1B2與A2B1互斥,A1與B2,A2與B1分別相互獨(dú)立,所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=因此,“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率是2.[人教B版教材例題]已知甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.7,乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.8.(1)若甲、乙各投籃一次,則都命中的概率為多少?(2)若甲投籃兩次,則恰好投中一次的概率為多少?解

(1)記事件A:甲投中,B:乙投中,因?yàn)锳與B相互獨(dú)立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,即都命中的概率為0.56.(2)記事件Ai:甲第i次投中,其中i=1,2,則P(A1)=P(A2)=0.7.恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次沒(méi)投中,也可能是第一次沒(méi)投中且第二次投中,即=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7=0.42.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一事件獨(dú)立性的判斷【例1】

(多選題)下列事件中,A,B是相互獨(dú)立事件的是(

)A.一枚硬幣擲兩次,A表示“第一次為正面”,B表示“第二次為反面”B.袋中有2個(gè)白球、2個(gè)黑球,不放回地摸兩球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”C.擲一枚骰子,A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3或4”D.擲一枚骰子,A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”AC解析

把一枚硬幣擲兩次,對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的,其結(jié)果不受先后次序的影響,故A中A,B事件是相互獨(dú)立事件;B中是不放回地摸球,顯然A事件與B事件不相互獨(dú)立;對(duì)于C,A事件為出現(xiàn)1,3,5點(diǎn),P(A)=,P(B)=,事件AB為出現(xiàn)3點(diǎn),P(AB)=,P(AB)=P(A)P(B),事件A,B相互獨(dú)立;D中兩事件是互斥事件,不是相互獨(dú)立事件.規(guī)律方法

1.兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷(1)定義法:由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.(2)充要條件法:事件A,B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).2.兩個(gè)事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別(1)兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生;兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.(2)一般地,兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立,因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生,而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提.變式訓(xùn)練1甲、乙兩名射擊手同時(shí)向一目標(biāo)射擊,設(shè)事件A:“甲擊中目標(biāo)”,事件B:“乙擊中目標(biāo)”,則事件A與事件B(

)A.相互獨(dú)立但不互斥B.互斥但不相互獨(dú)立C.相互獨(dú)立且互斥D.既不相互獨(dú)立也不互斥A解析

對(duì)同一目標(biāo)射擊,甲、乙兩射擊手是否擊中目標(biāo)是互不影響的,所以事件A與B相互獨(dú)立;對(duì)同一目標(biāo)射擊,甲、乙兩射擊手可能同時(shí)擊中目標(biāo),也就是說(shuō)事件A與B可能同時(shí)發(fā)生,所以事件A與B不是互斥事件.探究點(diǎn)二相互獨(dú)立事件的概率問(wèn)題角度1相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【例2】

根據(jù)資料統(tǒng)計(jì),某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為0.6,購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)與購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)相互獨(dú)立.(1)求一位車(chē)主同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)的概率;(2)求一位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率.解

記A表示事件“購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”,B表示事件“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)”,則由題意得A與B,A與

都是相互獨(dú)立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)記C表示事件“同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)”,則C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.規(guī)律方法

求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件是相互獨(dú)立的;(2)再確定各事件會(huì)同時(shí)發(fā)生;(3)先求每個(gè)事件發(fā)生的概率,再求兩個(gè)概率之積.變式訓(xùn)練2在奧運(yùn)知識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)賽中,甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)奧運(yùn)知識(shí)的問(wèn)題,已知甲答對(duì)這道題的概率是,甲、乙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是,乙、丙兩人都回答正確的概率是

.設(shè)每人回答問(wèn)題正確與否是相互獨(dú)立的.(1)求乙答對(duì)這道題的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答對(duì)這道題的概率.解

(1)記甲、乙、丙3人獨(dú)自答對(duì)這道題分別為事件A,B,C,設(shè)乙答對(duì)這道題的概率P(B)=x,由于每人回答問(wèn)題正確與否是相互獨(dú)立的,因此A,B,C是相互獨(dú)立事件.角度2相互獨(dú)立事件的綜合問(wèn)題【例3】

小王某天乘火車(chē)從重慶到上海去辦事,若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車(chē)之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求:(1)這三列火車(chē)恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率;(2)這三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率.規(guī)律方法

與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率問(wèn)題求解策略明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的意義.變式訓(xùn)練3[2024河北承德期末]已知A,B兩種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率分別為(1)若甲購(gòu)買(mǎi)了A,B兩種獎(jiǎng)券各一張,求恰有一張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率;(2)若甲購(gòu)買(mǎi)的A,B兩種獎(jiǎng)券數(shù)量相同,為了保證甲中獎(jiǎng)的概率大于,求甲至少要購(gòu)買(mǎi)的獎(jiǎng)券數(shù)量.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)相互獨(dú)立事件的概念及判斷;(2)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法.3.常見(jiàn)誤區(qū):容易混淆互斥事件與相互獨(dú)立事件.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.(多選題)分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)事件A是“第一枚為正面”,事件B是“第二枚為正面”,事件C是“兩枚結(jié)果相同”,則下列事件具有相互獨(dú)立性的是(

)A.A與B

B.A與C C.B與C

D.都不具有獨(dú)立性ABC解析

利用古典概型概率公式計(jì)算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以驗(yàn)證P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義,事件A與B相互獨(dú)立,事件B與C相互獨(dú)立,事件A與C相互獨(dú)立.123452.甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊,如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8,則其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率為(

)A.0.64 B.0.32 C.0.56 D.0.48B123453.某班級(jí)舉辦投籃比賽,每人投籃兩次.若小明每次投籃命中的概率都是0.6,則他至少投中一次的概率為(

)A.0.24 B.0.36

C.0.6

D.0.84D解析

由題意知,小明每次投籃不中的概率是1-0.6=0.4,兩次投籃都不中的概率是0.42=0