1.2.1必要條件與充分條件（第1課時(shí)必要條件與充分條件）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

2.1

必要條件與充分條件第1課時(shí)必要條件與充分條件第一章預(yù)備知識(shí)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系.3.理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.4.掌握充分條件、必要條件的判斷方法.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

必要條件與性質(zhì)定理1.當(dāng)命題表示為“若p,則q”時(shí),p是命題的條件,q是命題的結(jié)論.當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時(shí),就說(shuō)由p推出q,記作p?q.

“若p,則q”為假命題時(shí),得不出q是p的必要條件2.一般地,當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時(shí),稱q是p的必要條件.也就是說(shuō),一旦q不成立,p一定也不成立,即q對(duì)于p的成立是必要的.名師點(diǎn)睛說(shuō)條件是必要的,就是說(shuō)該條件必須要有,是必不可少的.簡(jiǎn)單地說(shuō),就是“有它不一定能成立,但沒(méi)它一定不成立”.思考辨析“若p,則q”與“p?q”一樣嗎?提示

不一樣,只有“若p,則q”為真命題時(shí),才有“p?q”.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)“x=3”是“x2=9”的必要條件.(

)(2)“兩角不相等”是“兩角不是對(duì)頂角”的必要條件.(

)(3)q不是p的必要條件時(shí),“p推不出q”成立.(

)××√2.[人教A版教材例題]下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的q是p的必要條件?(1)若四邊形為平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等;(2)若兩個(gè)三角形相似,則這兩個(gè)三角形的三邊成比例;(3)若四邊形的對(duì)角線互相垂直,則這個(gè)四邊形是菱形;(4)若x=1,則x2=1;(5)若ac=bc,則a=b;(6)若xy為無(wú)理數(shù),則x,y為無(wú)理數(shù).解

(1)這是平行四邊形的一條性質(zhì)定理,p?q,所以,q是p的必要條件.(2)這是三角形相似的一條性質(zhì)定理,p?q,所以,q是p的必要條件.(3)如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直,但它不是菱形,p

q,所以,q不是p的必要條件.(4)顯然,p?q,所以,q是p的必要條件.(5)由于(-1)×0=1×0,但-1≠1,p

q,所以,q不是p的必要條件.(6)由于

為無(wú)理數(shù),但1,不全是無(wú)理數(shù),p

q,所以,q不是p的必要條件.知識(shí)點(diǎn)2

充分條件與判定定理“若p,則q”為假命題時(shí),得不出p是q的充分條件

一般地,當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時(shí),稱p是q的充分條件.綜上,對(duì)于真命題“若p,則q”,即p?q時(shí),稱q是p的必要條件,也稱p是q的充分條件.名師點(diǎn)睛1.說(shuō)條件是充分的,也就是說(shuō)這個(gè)條件足以保證結(jié)論成立.即要使結(jié)論成立,只要有它就可以了.2.可以把充分條件理解為“有之即可,無(wú)之也行”.思考辨析我們知道,當(dāng)“x>1”成立時(shí),能推出“x>0”.那么“x>0”的充分條件是否只能是“x>1”?

提示

不是.使結(jié)論“x>0”成立的條件并不唯一,如“x>1.2”,“3<x≤4”等,有無(wú)數(shù)個(gè).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)q是p的必要條件時(shí),p是q的充分條件.(

)(2)如果p是q的充分條件,則p是唯一的.(

)(3)“x>-1”是“x>1”的充分條件.(

)√××2.[人教A版教材習(xí)題]下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若平面內(nèi)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,則PA=PB;(2)若兩個(gè)三角形的兩邊及一邊所對(duì)的角分別相等,則這兩個(gè)三角形全等;(3)若兩個(gè)三角形相似,則這兩個(gè)三角形的面積比等于周長(zhǎng)比的平方.解

(1)由線段垂直平分線的性質(zhì),p?q,p是q的充分條件.(2)兩邊及一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等,pq,p不是q的充分條件.(3)由相似三角形的性質(zhì),p?q,p是q的充分條件.3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,直線a與b被直線l所截,分別得到了∠1,∠2,∠3和∠4.請(qǐng)根據(jù)這些信息,寫出幾個(gè)“a∥b”的充分條件和必要條件.解

“a∥b”的充分條件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°;“a∥b”的必要條件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°.知識(shí)點(diǎn)3

充要條件1.一般地,如果p?q,且q?p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡(jiǎn)稱p是q的充要條件,記作p?q.2.p是q的充要條件也常常說(shuō)成“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”,或“p與q等價(jià)”.3.當(dāng)p是q的充要條件時(shí),q也是p的充要條件.名師點(diǎn)睛設(shè)集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性質(zhì)p,則x∈A;若x具有性質(zhì)q,則x∈B.結(jié)論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p與q互為充要條件p是q的既不充分也不必要的條件p,q的關(guān)系p?q,且q不能推出pq?p,且p不能推出qp?qp不能推出q,且q不能推出p集合A?BB?AA=BA不包含于B且B不包含于A

命題真假“若p,則q”是真命題,且“若q,則p”是假命題“若p,則q”是假命題,且“若q,則p”是真命題“若p,則q”是真命題,且“若q,則p”是真命題“若p,則q”是假命題,且“若q,則p”是假命題思考辨析1.判斷p是q的什么條件時(shí),有哪些可能情況?

提示

(1)如果p?q,且q不能推出p,則稱p是q的充分不必要條件;(2)如果p不能推出q,且q?p,則稱p是q的必要不充分條件;(3)如果p?q,且q?p,則稱p是q的充要條件;(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,則稱p是q的既不充分也不必要的條件.2.若p是q的充分條件,p是唯一的嗎?q是唯一的嗎?

提示

不一定唯一,凡是能使結(jié)論q成立的條件都是它的充分條件,如“x>2”“x>5”“x>10”等都是x>1的充分條件;凡是能由條件p推出的結(jié)論都是它的必要條件,如“同位角相等”“內(nèi)錯(cuò)角相等”“同旁同角互補(bǔ)”等都是“兩直線平行”的必要條件.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的充分不必要條件.(

)(2)若p是q的充要條件,則條件p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的條件.(

)√√2.已知A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,則“A+C=2B”是“B=60°”的(

)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C3.[人教A版教材習(xí)題]分別寫出“兩個(gè)三角形全等”和“兩個(gè)三角形相似”的幾個(gè)充要條件.解

“兩個(gè)三角形全等”的充要條件如下:①三邊對(duì)應(yīng)相等;②兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等;③兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等;④兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.“兩個(gè)三角形相似”的充要條件如下:①三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(或兩個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等);②三邊對(duì)應(yīng)成比例;③兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一必要條件與充分條件的判斷角度1必要條件的判斷【例1-1】

指出下列哪些命題中q是p的必要條件?(1)p:一個(gè)四邊形是矩形,q:四邊形的對(duì)角線相等;(2)p:A?B,q:A∩B=A;(3)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.解

(1)因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等,即p?q,所以q是p的必要條件.(2)因?yàn)閜?q,所以q是p的必要條件.(3)因?yàn)閜推不出q,所以q不是p的必要條件.規(guī)律方法

必要條件的兩種判斷方法(1)定義法:(2)命題判斷方法:如果命題:“若p,則q”是真命題,則q是p的必要條件;如果命題:“若p,則q”是假命題,則q不是p的必要條件.變式訓(xùn)練1下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的q是p的必要條件?(1)若|x|=|y|,則x=y;(2)若△ABC是直角三角形,則△ABC是等腰三角形;(3)p:三角形是等邊三角形,q:三角形是等腰三角形.

解

(1)若|x|=|y|,則x=y或x=-y,因此p推不出q,所以q不是p的必要條件.(2)直角三角形不一定是等腰三角形,因此p推不出q,所以q不是p的必要條件.(3)等邊三角形一定是等腰三角形,所以p?q,所以q是p的必要條件.角度2充分條件的判斷【例1-2】

下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若a∈Q,則a∈R;(2)在△ABC中,若∠A>∠B,則BC>AC;(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,則a=b=0.解

(1)由于Q?R,所以p?q,所以p是q的充分條件.(2)由三角形中大角對(duì)大邊可知,若∠A>∠B,則BC>AC,因此p?q,所以p是q的充分條件.(3)因?yàn)閍,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p?q,所以p是q的充分條件.規(guī)律方法

充分條件的兩種判斷方法(1)定義法:(2)命題判斷方法:如果命題:“若p,則q”是真命題,則p是q的充分條件;如果命題:“若p,則q”是假命題,則p不是q的充分條件.變式訓(xùn)練2下列命題中,p是q的充分條件的是

.(填序號(hào))

①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;②p:a是自然數(shù),q:a是正整數(shù);③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0無(wú)實(shí)根.

③

解析

①∵(x-2)(x-3)=0,∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分條件.②0是自然數(shù),但是0不是正整數(shù),∴p推不出q,∴p不是q的充分條件.③∵m<-2,∴1+4m<0,∴方程x2-x-m=0無(wú)實(shí)根,∴p是q的充分條件.角度3充要條件的判斷【例1—3】

指出p是q的什么條件(充分不必要條件,必要不充分條件,充要條件,既不充分也不必要條件).(1)p:數(shù)a能被6整除,q:數(shù)a能被3整除;(2)p:x>1,q:x2>1;(3)p:△ABC有兩個(gè)角相等,q:△ABC是正三角形;(4)p:|ab|=ab,q:ab>0.解

(1)∵p?q,q不能推出p,∴p是q的充分不必要條件.(2)∵p?q,q不能推出p,∴p是q的充分不必要條件.(3)∵p不能推出q,q?p,∴p是q的必要不充分條件.(4)∵當(dāng)ab=0時(shí),|ab|=ab,∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,即p不能推出q.又當(dāng)ab>0時(shí),有|ab|=ab,即q?p.∴p是q的必要不充分條件.規(guī)律方法

判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法(1)定義法:直接判斷命題“若p,則q”以及“若q,則p”的真假.(2)集合法:即利用集合之間的包含關(guān)系判斷.(3)傳遞法:充分條件和必要條件具有傳遞性,例如由p1?p2?…?pn,可得p1?pn;充要條件也有傳遞性.變式訓(xùn)練3指出下列各組命題中,p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”).(1)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;(2)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;(3)a是自然數(shù);q:a是正數(shù).解

(1)∵-1≤x≤5?x≥-1且x≤5,∴p是q的充要條件.(2)由q:(x+2)2≠y2,得x+2≠y,且x+2≠-y,故q?p,又當(dāng)x+2=-y≠y時(shí),(x+2)2=y2,故p不能推出q,故p是q的必要不充分條件.(3)0是自然數(shù),但0不是正數(shù),故p不能推出q;又

是正數(shù),但

不是自然數(shù),故q不能推出p,故p是q的既不充分也不必要條件.探究點(diǎn)二必要條件、充分條件、充要條件的探求與應(yīng)用【例2】

(1)不等式1->0成立的充分不必要條件是(

)A.x>1 B.x>-1C.x<-1或0<x<1 D.-1<x<0或x>0A解析由1->0可得

<1,解得x>1或x<0,結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可得其成立的充分不必要條件是x>1.(2)已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

因?yàn)閜是q的必要不充分條件,所以{x|1-m≤x≤1+m}?{x|-2≤x≤10},又m>0,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤3}.(3)已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根的充要條件.規(guī)律方法

1.探究一個(gè)命題成立的充分不必要條件以及必要不充分條件時(shí),往往可以先找到其成立的充要條件,然后通過(guò)對(duì)充要條件的范圍放大或縮小,得到相應(yīng)的充分不必要條件或必要不充分條件.2.充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧(1)應(yīng)用:可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解,特別是求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題.(2)方法:先等價(jià)轉(zhuǎn)化,再利用充分條件、必要條件、充要條件與集合間的關(guān)系,建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練4(1)1<2x+2<8的一個(gè)必要不充分條件是(

)B★(2)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要條件是(

)A.m>

B.m<C.m<1 D.m>1A解析

∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,∴Δ=1-4m<0,解得m>又∵m>時(shí),Δ=1-4m<0,∴“m>”是“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要條件.★(3)已知條件p:x2+x-6=0,條件q:mx+1=0,且p是q的必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值集合是

.

解析

令A(yù)={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|mx+1=0},∵p是q的必要條件,∴B?A.∴B=?,或{-3},{2}.若B=?,則m=0;本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)必要條件、充分條件的概念;(2)必要性、充分性的判斷;(3)必要條件與性質(zhì)定理、充分條件與判定定理的關(guān)系;(4)充要條件的概念、判斷和證明;(5)必要條件、充分條件的應(yīng)用.2.方法歸納:反例法,等價(jià)轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū):必要條件、充分條件不唯一;求參數(shù)范圍能否取到端點(diǎn)值;不能正確理解“倒裝”的命題;充要條件中的條件和結(jié)論辨別不清.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.若p是q的充分不必要條件,則q是p的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要