2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽（浙江賽區(qū)）復(fù)賽試卷

2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽（浙江賽區(qū)）復(fù)賽試卷一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）1．（5分）若，則的值是A．1 B．0 C． D．22．（5分）定義：定點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值稱為點(diǎn)與之間的距離．現(xiàn)有一矩形（如圖），，，與矩形的邊，，分別切于點(diǎn)，，，則點(diǎn)與的距離為A． B． C． D．3．（5分）某班選舉班干部，全班有50名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號分別為1，2，，50．老師規(guī)定：同意某同學(xué)當(dāng)選的記“1”，不同意（含棄權(quán)）的記“0”．如果令其中，2，，50；，2，，50．則同時(shí)同意第1號和第50號同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)可表示為A． B． C． D．4．（5分）若，則一次函數(shù)的圖象必定經(jīng)過的象限是A．第一、二象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第三、四象限5．（5分）滿足兩條直角邊長均為整數(shù)，且周長恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無窮多個(gè)6．（5分）如圖，以的斜邊為一邊在的同側(cè)作正方形，設(shè)正方形的中心為，連接，如果，，那么的長等于A．12 B．16 C． D．二、填空題（共6小題，每小題6分，滿分36分）7．（6分）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值等于．8．（6分）以立方體的8個(gè)頂點(diǎn)中的任意3個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，正三角形的個(gè)數(shù)為．9．（6分）如圖，中，的平分線交于，若，，，則的長為．10．（6分）設(shè)，，，，為實(shí)數(shù)，且滿足．，則的值是．11．（6分）正六邊形軌道的周長為7.2米，甲、乙兩只機(jī)器鼠分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均按方向沿軌道奔跑，甲的速度為9.2厘米秒，乙的速度為8厘米秒，那么出發(fā)后經(jīng)過秒鐘時(shí)，甲、乙兩只機(jī)器鼠第一次出現(xiàn)在同一條邊上．12．（6分）正整數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字與數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字相同，把的個(gè)位上的數(shù)字移到它的左邊第一位數(shù)字之前就形成一個(gè)新的數(shù)．若是的4倍，是的最小值，則的各位數(shù)字之和等于．三、解答題（共4小題，滿分54分）13．（12分）附加題：已知二次函數(shù)的圖象和軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，且．（1）求該二次函數(shù)的解析表達(dá)式；（2）將一次函數(shù)的圖象作適當(dāng)平移，使它經(jīng)過點(diǎn)，記所得的圖象為，圖象與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求的面積．14．（12分）如圖，、，、分別是和的中點(diǎn)，過的直線依次交、、、于點(diǎn)、、、，求證：．15．（14分）2007個(gè)質(zhì)點(diǎn)均勻分布在半徑為的圓周上，依次記為，，，．小明用紅色按如下規(guī)則去涂這些點(diǎn)：設(shè)某次涂第個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則下次就涂第個(gè)質(zhì)點(diǎn)后面的第個(gè)質(zhì)點(diǎn)．按此規(guī)則，小明能否將所有的質(zhì)點(diǎn)均涂成紅色？若能，請給出一種涂點(diǎn)方案；若不能，請說明理由．16．（16分）從連續(xù)自然數(shù)1，2，3，，2008中任意取個(gè)不同的數(shù)，（1）求證：當(dāng)時(shí)，無論怎樣選取這個(gè)數(shù)，總存在其中的4個(gè)數(shù)的和等于4017．（2）當(dāng)是正整數(shù)）時(shí)，上述結(jié)論成立否？請說明理由．

2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽（浙江賽區(qū)）復(fù)賽試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）1．（5分）若，則的值是A．1 B．0 C． D．2【分析】對所給的條件進(jìn)行化簡，可得，把求得的代入所求式子計(jì)算即可得到答案．【解答】解：由，得，，而，，解得，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的應(yīng)用；對已知條件進(jìn)行化簡得到是正確解答本題的關(guān)鍵，計(jì)算最后結(jié)果時(shí)要注意最后余一個(gè)不能抵消，最后結(jié)果為．2．（5分）定義：定點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值稱為點(diǎn)與之間的距離．現(xiàn)有一矩形（如圖），，，與矩形的邊，，分別切于點(diǎn)，，，則點(diǎn)與的距離為A． B． C． D．【分析】連接，，根據(jù)題目定義知道就是點(diǎn)與的距離，由切線的性質(zhì)，可求出，進(jìn)而求出；由勾股定理求出，減去的半徑即得距離．【解答】解：連接，，、，交于點(diǎn)，是矩形，與矩形的邊，，分別切于點(diǎn)，，，，四邊形、四邊形均為正方形，；，，，，點(diǎn)與的距離為．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對切線的性質(zhì)及勾股定理的理解及運(yùn)用．3．（5分）某班選舉班干部，全班有50名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號分別為1，2，，50．老師規(guī)定：同意某同學(xué)當(dāng)選的記“1”，不同意（含棄權(quán)）的記“0”．如果令其中，2，，50；，2，，50．則同時(shí)同意第1號和第50號同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)可表示為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，先寫出同意第1號同學(xué)當(dāng)選的同學(xué)，再寫出同意第50號同學(xué)當(dāng)選的同學(xué)的人數(shù)，結(jié)合題意克制同時(shí)同意第1，50號同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)它們對應(yīng)相乘再相加．【解答】解：第1，2，，50名學(xué)生是否同意第1號同學(xué)當(dāng)選依次由，，，，來確定表示同意，表示不同意或棄權(quán)），第1，2，，50名學(xué)生是否同意第1號同學(xué)當(dāng)選依次由，，，確定，而是否同意1，50號同學(xué)當(dāng)選依次由，，，確定，故同時(shí)同意1，50號同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了推理與論證，關(guān)鍵是讀懂題意，從中獲取有用的信息，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出同意第1號同學(xué)當(dāng)選的同學(xué)和同意第50號同學(xué)當(dāng)選的同學(xué)的人數(shù)．4．（5分）若，則一次函數(shù)的圖象必定經(jīng)過的象限是A．第一、二象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第三、四象限【分析】先根據(jù)等式求出的值，從而得到一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)分析經(jīng)過的象限即可．（注意有兩種情況）．【解答】解：由已知得；；，三式相加得：，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，．一次函數(shù)為或，過第一、二、四象限；過第一、二、三象限；一次函數(shù)的圖象必定經(jīng)過的象限是第一、二象限．故選：．【點(diǎn)評】此題考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，首先根據(jù)比例的基本性質(zhì)求得的值，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果．5．（5分）滿足兩條直角邊長均為整數(shù)，且周長恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無窮多個(gè)【分析】根據(jù)已知條件設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為，，則，，均為正整數(shù)），化簡這個(gè)式子，討論、、的正整數(shù)解即可．【解答】解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為，，則，，均為正整數(shù)），化簡，得，，，均為正整數(shù)．則和一定是整數(shù)，則一定是8的約數(shù)．或．解得或或即有3組解．故選：．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，根據(jù)已知列式子是關(guān)鍵．6．（5分）如圖，以的斜邊為一邊在的同側(cè)作正方形，設(shè)正方形的中心為，連接，如果，，那么的長等于A．12 B．16 C． D．【分析】在上取一點(diǎn)，使，連接，可證得，從而得到，再可證是等腰直角三角形，根據(jù)求出，也就求得．【解答】解：在上取一點(diǎn)使，連接，，，，即：是等腰直角三角形，（勾股定理）．故選：．【點(diǎn)評】本題的關(guān)鍵是通過作輔助線來構(gòu)建全等三角形，然后將已知和所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行計(jì)算．二、填空題（共6小題，每小題6分，滿分36分）7．（6分）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值等于．【分析】先分類討論的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為2．故答案為：2【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和絕對值的定義，難度不大，關(guān)鍵是分類討論的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解．8．（6分）以立方體的8個(gè)頂點(diǎn)中的任意3個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，正三角形的個(gè)數(shù)為8．【分析】根據(jù)立方體的性質(zhì)和正三角形的定義可知，以正方形的8個(gè)頂點(diǎn)中的任意3個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，正三角形的各邊為正方體各面的對角線，依次數(shù)出即可．【解答】解：如圖所示：正三角形的各邊必為立方體各面的對角線，有，，，，，，，共8個(gè)正三角形．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題結(jié)合正方體考查了正三角形的判定，注意按順序依次數(shù)出正三角形的個(gè)數(shù)，做到不重復(fù)不遺漏．9．（6分）如圖，中，的平分線交于，若，，，則的長為．【分析】過作，交的延長線于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．易證是等腰三角形，根據(jù)三角函數(shù)即可求得底邊，再根據(jù)，證得，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．【解答】解：過作，交的延長線于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．，，而，，，．在直角中，，．，設(shè)，則．而，．解得：．．【點(diǎn)評】本題求線段的長的問題可以轉(zhuǎn)化為三角形相似的問題解決，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．10．（6分）設(shè)，，，，為實(shí)數(shù)，且滿足．，則的值是或1．【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式求解．【解答】解：則則，則．由得則，【點(diǎn)評】主要考查了學(xué)生的分析、總結(jié)、歸納能力，規(guī)律型的習(xí)題一般是從所給的數(shù)據(jù)和運(yùn)算方法進(jìn)行分析，從特殊值的規(guī)律上總結(jié)出一般性的規(guī)律．11．（6分）正六邊形軌道的周長為7.2米，甲、乙兩只機(jī)器鼠分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均按方向沿軌道奔跑，甲的速度為9.2厘米秒，乙的速度為8厘米秒，那么出發(fā)后經(jīng)過秒鐘時(shí)，甲、乙兩只機(jī)器鼠第一次出現(xiàn)在同一條邊上．【分析】由題意可得當(dāng)時(shí)，甲走，到邊，距點(diǎn)為，乙走，到邊，距點(diǎn)為，則當(dāng)甲到時(shí)，即再走時(shí)，即可求得答案．【解答】解：正六邊形軌道的周長為，每邊，甲乙相距，甲的速度為，乙的速度為，相對速度為，當(dāng)時(shí)，甲走，到邊，距點(diǎn)為，乙走，到邊，距點(diǎn)為，則當(dāng)甲到時(shí)，即再走時(shí)，即共走秒時(shí)，甲、乙兩只機(jī)器鼠第一次出現(xiàn)在同一條邊上．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律性問題應(yīng)用，利用甲乙行走路程得出位置是解題關(guān)鍵．12．（6分）正整數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字與數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字相同，把的個(gè)位上的數(shù)字移到它的左邊第一位數(shù)字之前就形成一個(gè)新的數(shù)．若是的4倍，是的最小值，則的各位數(shù)字之和等于36．【分析】先求出的個(gè)位數(shù)字，再設(shè)，可得出的表達(dá)式，再把即可用表示出，再把時(shí)求出的最小值，得出所表示的數(shù)，進(jìn)而可求出答案．【解答】解：的個(gè)位數(shù)字是7，可設(shè)，其中是位正整數(shù)，．由條件，得，即，當(dāng)時(shí)，取得最小值17948．，它的各位數(shù)字之和為36．故答案為：36．【點(diǎn)評】本題考查的是尾數(shù)的特征及整數(shù)的十進(jìn)制表示法，由的個(gè)位數(shù)字是7設(shè)出，得出與之間的關(guān)系式是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題（共4小題，滿分54分）13．（12分）附加題：已知二次函數(shù)的圖象和軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，且．（1）求該二次函數(shù)的解析表達(dá)式；（2）將一次函數(shù)的圖象作適當(dāng)平移，使它經(jīng)過點(diǎn)，記所得的圖象為，圖象與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求的面積．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，可得出△，然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，聯(lián)立△和即可求出拋物線的解析式．（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出平移后的直線的解析式，然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出平移后圖象的解析式，然后聯(lián)立直線和拋物線即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．由于的面積無法直接求出，可轉(zhuǎn)換成其他規(guī)則圖形面積的和差來求解．過作軸的垂線，可通過來求出的面積．【解答】解：（1）由得，．與軸的交點(diǎn)，，由條件，得，即．所以．解得．所求二次函數(shù)的解析式為．（2）設(shè)圖象的函數(shù)解析式為，因圖象過點(diǎn)，所以，即平移后所得一次函數(shù)的解析式為．令，解得，．將它們分別代入，得，．所以圖象與的另一個(gè)交點(diǎn)為．如圖，過作軸于，則．【點(diǎn)評】命題立意：考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．點(diǎn)評：（1）函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．（2）不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．14．（12分）如圖，、，、分別是和的中點(diǎn)，過的直線依次交、、、于點(diǎn)、、、，求證：．【分析】根據(jù)已知的平行線，可以通過延長已知線段構(gòu)造平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到比例線段，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出等量關(guān)系．【解答】證明：延長、，設(shè)交點(diǎn)為，則四邊形為平行四邊形，是的中點(diǎn)，的延長線必過點(diǎn)，且．，．，．．又，．，．．．即．【點(diǎn)評】綜合運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理．15．（14分）2007個(gè)質(zhì)點(diǎn)均勻分布在半徑為的圓周上，依次記為，，，．小明用紅色按如下規(guī)則去涂這些點(diǎn)：設(shè)某次涂第個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則下次就涂第個(gè)質(zhì)點(diǎn)后面的第個(gè)質(zhì)點(diǎn)．按此規(guī)則，小明能否將所有的質(zhì)點(diǎn)均涂成紅色？若能，請給出一種涂點(diǎn)方案；若不能，請說明理由．【分析】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)“某次涂到第個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則下次就涂第個(gè)質(zhì)點(diǎn)后面的第個(gè)質(zhì)點(diǎn)”的規(guī)則，從而得到，然后找出這些點(diǎn)中的關(guān)鍵點(diǎn)，從而使問題迎刃而解．【解答】解：不能．理由：設(shè)繼點(diǎn)涂成紅色后被涂到的點(diǎn)是第號，則，若，則，即除點(diǎn)涂成紅色外，其余均沒有涂到．若，則，且，即，表明點(diǎn)永遠(yuǎn)涂不到紅色．不論是否等于2007，都不能將所有質(zhì)點(diǎn)均涂成紅色．【點(diǎn)評】本題主要考查了推理與論證，關(guān)鍵是讀懂題意，從中獲取有用的信息．16．（16分）從連續(xù)自然數(shù)1，2，3，，2008中任意取個(gè)不同的數(shù)，（1）求證：當(dāng)時(shí)，無論怎樣選取這個(gè)數(shù)，總存在其中的4個(gè)數(shù)的和等于4017．（2）當(dāng)是正整數(shù)）時(shí)，上述結(jié)論成立否？請說明理由．【分析】（1）利用抽屜原理，首先，將1，2，3，，2008分成1004對，每對數(shù)的和為2009，可得至少有一個(gè)數(shù)是1001的數(shù)對，至多為1001對，即可得至少有3對數(shù)，其次將這2008個(gè)數(shù)中的2006個(gè)數(shù)（除1004、2008外）分成1003對，每對數(shù)的和為2008，可得2006個(gè)數(shù)中除去取出的數(shù)以外最多有1001個(gè)數(shù)，這1003對數(shù)中，至少有2對數(shù)是，，，中的4個(gè)數(shù)，在三對數(shù)，，，，，，，，互不相等）中至少存在1對數(shù)中的兩個(gè)數(shù)與