直線與直線平行教學(xué)課件

8.5.1直線與直線平行

因畫島圃園國(教師獨具內(nèi)容)

課程標準：1.借助長方體理解并掌握基本事實4.2.理解并掌握等角定理.3.

結(jié)合圖形，綜合運用基本事實4和等角定理解決空間線線平行的相關(guān)問題.

教學(xué)重點：基本事實4及等角定理.

教學(xué)難點：運用基本事實4或等角定理解題.

核心素養(yǎng)：通過學(xué)習和運用基本事實4和等角定理的過程，提升數(shù)學(xué)抽象素

養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

1新知卜

1.求證兩條直線平行，目前有兩種途徑：一是應(yīng)用基本事實4,即找到第三

條直線，證明這兩條直線都與之平行，這是一種常用方法，要充分利用好平面幾

何知識；二是證明在同一平面內(nèi)，這兩條直線無公共點.

2.等角定理是立體幾何的基本定理之一.對于空間中兩個不相同的角，如果

它們的兩組對應(yīng)邊分別平行，則這兩個角相等或互補.當角的兩組對應(yīng)邊同時同

向或同時反向時，兩角相等；當兩組對應(yīng)邊一組同向一組反向時，兩角互補.

1±1評價自測I

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)對于空間的三條直線a,b,c,如果a〃6,a與c不平行，那么6與c不

平行.()

(2)如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等.()

(3)兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行.()

(4)對于空間直線a,b,c,d,如果a〃力，b//c,c//d,那么a〃d()

2.做一做

(1)已知43〃溝，BC//QR,若N/8C=30°,則/尸金等于()

A.30°B.30°或150°

C.150°D.以上結(jié)論都不對

(2)如圖，在三棱錐〃一/歐中，G,，分別為用，尸。的中點，業(yè)川分別為4

PAB,△為。的重心，且△力比'為等腰直角三角形，N46C=90°.求證：GH//MN.

核心素養(yǎng),形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一基本事實4的應(yīng)用

例1如圖所示，E,尸分別是長方體46d4AG〃的棱44GC的中點.求

證：四邊形3曲是平行四邊形.

［跟蹤訓(xùn)練1］如圖，已知反月分別是正方體力頌一44G〃的棱44，CQ

的中點，求證：四邊形砌以是菱形.

題型二等角定理的應(yīng)用

例2如圖，三棱柱中，憶N,尸分別為44,BB\,CG的中點.求

證：/MC、N=/APB.

H

[跟蹤訓(xùn)練2]在正方體/8N—48K〃中，P,Q,M,N分別為/〃，AB,

CD，3c的中點，求證：A.P//CN,A.Q//CM,且N/^gN股能

隨堂水平達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知角a的兩邊和角￡的兩邊分別平行，且。=80°,則￡=（）

A.80°B.100°

C.80°或100°D.不能確定

2.已知空間四邊形/靦，E,〃分別是48,4?的中點，F(xiàn),G分別是6KCD

上的點，且%=u=鼻.則四邊形）砌的形狀是（）

CZ/CZzo

A.空間四邊形

B.平行四邊形

C.矩形

D.梯形

3.若空間中四條兩兩不同的直線h12,k，1“滿足Ch,h//h,；3±

則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.7,12,

B.1J/k

C.Z與人既不垂直也不平行

D.為與心的位置關(guān)系不確定

4.如圖，在正方體/aZ—4AG〃中，點￡,尸分別在AC1.,且4￡=

2ED,CF=2FA,則）與物的位置關(guān)系是

5.如圖所示，不共面的三條射線以，OB,0C,點4,區(qū)，G分別是如，0B,

,LOA\OB、0&—十

%上的點，且丸.求證：XAA\B\C\SXAABC.

UnUDC/C

課后課時,精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級e,學(xué)考水平合格練

一、選擇題

1.如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，48與切的位置關(guān)系為

()

A.相交B.平行

C.異面D.重合

2.在正方體48切一4￡G〃中，E,尸分別是平面44〃〃、平面CC〃〃的中心,

G,，分別是線段回的中點，則直線如與直線"的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.不確定

3.給出下列命題：

①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；

②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角（或

直角）相等;

③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補.

其中正確的命題有（）

A.0個B.1個

C.2個D.3個

4.如圖所示，在空間四邊形4?修中，點色，分別是邊力8,4?的中點，點

F,G分別是邊比；切上的點，且||=2=|，則下列說法正確的是（）

CD36

A.EF與陽平行

B.EF與GH異面

C.如與6,的交點〃可能在直線4C上，也可能不在直線4C上

D.EF與陽的交點"一定在直線AC1.

5.（多選）如圖，在四面體力一8繆中，物，MP,Q,￡分別是/反BC,CD,

AD,4。的中點，則下列說法中正確的是（）

A.M,N,P,0四點共面

B./QME=4CBD

C.△始Q

D.四邊形協(xié)附為梯形

二、填空題

6.在三棱錐尸一中，PBLBC,E,D,尸分別是46,PA,NC的中點，則N

DEF=.

7.已知a,b,c是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法：

①若a//b,b//c,則a//c；

②若a與6相交，力與c相交，則a與c相交；

③若aU平面a,8U平面￡,則a,8一定是異面直線；

④若a,b與c成等角，則a//b.

其中正確的是—（填序號）.

8.尸是△48C所在平面外一點，D,?分別是△川反△出的重心，AC=a,

則龐的長為.

三、解答題

9.如圖，在正方體力交9—483〃中，M掰分別是棱49和4〃的中點.

求證：（1）四邊形85M"為平行四邊形；

（2）ZBMC=/BMC.

10.如圖，在正方體46切一48G〃中，點￡,F,G分別是48,BB、,8。的中

點.求證：XEFGs

1.（多選）在四棱錐力一直加中，底面四邊形式場為梯形，BC〃DE.設(shè)CD,

BE,AE,的中點分別為弘N,P,Q,則（）

c

1

A.PQ=~MN

B.PQ//MN

C.M,N,P,。四點共面

D.四邊形,斜倒是梯形

2.已知反F,G,〃分別為空間四邊形48口的棱BC,CD,物的中點，

若對角線應(yīng)=2,AC=4,則加+的的值是()

A.5B.10

C.12D.不能確定

3.如圖，正方體力靦一45C”中，亂兒〃分別為棱CC能的中點,

有以下四個結(jié)論：

①直線AM與CG是相交直線；

②直線4"與凡〃'是平行直線；

③直線BN與，監(jiān)是異面直線；

④/DAH=4CBN.

其中正確的結(jié)論為—(注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上).

4.如圖，空間四邊形/頗中，E,F,G,〃分別為力8,BC,CD,物的中點.

⑴求證：四邊形如'而是平行四邊形；

(2)如果被，求證：四邊形班第是菱形；

(3)若AC±BD,請問四邊形EFGH是什么圖形？

5.如圖，已知在棱長為a的正方體48＜小-436；〃中，弘N分別是棱⑦，AD

的中點.

求證：（1）四邊形MNA、C是梯形;

（2）N〃MQN〃4G.

8.5.1直線與直線平行

國留醫(yī)闌園畫（教師獨具內(nèi)容）

課程標準：1.借助長方體理解并掌握基本事實4.2.理解并掌握等角定理.3.

結(jié)合圖形，綜合運用基本事實4和等角定理解決空間線線平行的相關(guān)問題.

教學(xué)重點：基本事實4及等角定理.

教學(xué)難點：運用基本事實4或等角定理解題.

核心素養(yǎng)：通過學(xué)習和運用基本事實4和等角定理的過程，提升數(shù)學(xué)抽象素

養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

'新知I

1.求證兩條直線平行，目前有兩種途徑：一是應(yīng)用基本事實4,即找到第三

條直線，證明這兩條直線都與之平行，這是一種常用方法，要充分利用好平面幾

何知識；二是證明在同一平面內(nèi)，這兩條直線無公共點.

2.等角定理是立體幾何的基本定理之一.對于空間中兩個不相同的角，如果

它們的兩組對應(yīng)邊分別平行，則這兩個角相等或互補.當角的兩組對應(yīng)邊同時同

向或同時反向時，兩角相等；當兩組對應(yīng)邊一組同向一組反向時，兩角互補.

■溫評價自測I

1.判一判（正確的打"J"，錯誤的打“X”）

（1）對于空間的三條直線a，b,c,如果a與c不平行，那么6與c不

平行.（）

（2）如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等.（）

(3)兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行.()

(4)對于空間直線a,b,c,d,如果a〃6,b//c,c//d,那么a〃d.()

答案⑴V(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)已知力8〃河，BC//QR,若N4BC=30°,則/尸水等于()

A.30°B.30°或150°

C.150°D.以上結(jié)論都不對

(2)如圖，在三棱錐產(chǎn)一4?。中，G,H分別為PB,"1的中點，MN分別為△

PAB,△*。的重心，且△力灰為等腰直角三角形，N/8C=90°.求證：GH//MN.

答案(DB

(2)證明：如圖，取力的中點0,連接60,CQ,則弘N分別在6。，上.

因為MN分別為△為8,△必。的重心,

QMQN1

所以礦而=5,則加/比

又G,H分別為PB,尸。的中點,

所以GH〃BC,所以GH//MN.

核心素養(yǎng).形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一基本事實4的應(yīng)用

例1如圖所示，E,尸分別是長方體力靦一4AG〃的棱44GC的中點.求

證：四邊形是平行四邊形.

［證明］設(shè)0是如的中點，連接園，QG,如圖.

是的中點，0是㈤的中點，

EQ糠A\D\.

又在矩形4BCB中，A中缺BC,

:.EQ糠BC.

...四邊形面G5為平行四邊形，.?.8￡^GQ.

又。，尸分別是〃幾GC的中點，

四邊形G/圻為平行四邊形.

:CQ懶DF.:.RE糠DF.

四邊形6瓦圻為平行四邊形.

|金版點睛

證明空間中兩條直線平行的方法

(1)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)、平行

線分線段成比例定理等)來證明.

(2)利用基本事實4即找到一條直線c,使得a〃c,同時6〃c,由基本事實4

得到allb.

［跟蹤訓(xùn)練1］如圖，已知反夕分別是正方體力靦-45G〃的棱44,CQ

的中點，求證：四邊形砌以是菱形.

證明如圖所示，在正方體48口一48?〃中，取棱85的中點C,連接CG

EG.

因為反G分別為棱44,85的中點，所以反湫4a.

又A、B版皿所以￡6^G〃，

從而四邊形仇麓〃為平行四邊形，所以〃￡^GG.

因為凡。分別為棱CC，陽的中點，所以C/嚓從而四邊形8陽夕為平

行四邊形，所以班'^GG,

又D\E^C、G,所以以即,

從而四邊形砌以為平行四邊形.

不妨設(shè)正方體ABCHBC以的棱長為a,易知BE=BF=^a,

故平行四邊形所必是菱形.

題型二等角定理的應(yīng)用

例2如圖，三棱柱/8C—45G中，軌MP分別為44,BBX,CG的中點.求

證：/MC、N=NAPB.

［證明］因為從尸分別是曲，陽的中點，所以曲僦GR所以四邊形8陽”

為平行四邊形，所以GV〃理同理可證G物〃仍又/欣W與乙4處方向相同，所

以4MC、N=/APB.

金版點睛

運用等角定理判定兩個角是相等還是互補的途徑有兩種：一是判定兩個角的

方向是否相同；二是判定這兩個角是否都為銳角或都為鈍角，若都為銳角或都為

鈍角則相等，反之則互補.

[跟蹤訓(xùn)練2]在正方體被辦一4AG〃中，P,Q,M,N分別為力〃，AB,

AG的中點，求證：A.P//CN,AXQ//CM,宜/PA、Q=NMCN.

證明如圖，取45的中點《，連接用T,6僅易知四邊形助仍。為平行四邊形,

：.CM//BK.

又K,0分別為4A，48的中點,

.?.44〃80且A、K=BQ,

四邊形4胸為平行四邊形.

：.A,Q//BK,由基本事實4有40〃

同理可證4尸〃由于與N,必V對應(yīng)邊分別平行，且方向相反.

"PA\Q=/MCN.

隨堂水平達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知角a的兩邊和角￡的兩邊分別平行，且。=80°,則￡=()

A.80°B.100°

C.80°或100°D.不能確定

答案c

解析由等角定理可知，a=￡或a+￡=180°,，￡=100°或￡=80°.

2.已知空間四邊形力交9,E,，分別是49的中點，F(xiàn),G分別是"，CD

上的點，且除普=*則四邊形母切的形狀是（）

CDCU6

A.空間四邊形

B.平行四邊形

C.矩形

D.梯形

答案D

12

解析在△/劭中可得露〃劭，EH=~BD,在ACBD中可得FG〃BD,FG=-BD,

4O

所以外人；平行且不相等，所以四邊形必ZW是梯形.

3.若空間中四條兩兩不同的直線7,,12,13,7.o滿足Z_LA，k，731

人則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.7,17,,

B.1J/1,

C.Z與/，既不垂直也不平行

D.乙與乙的位置關(guān)系不確定

答案D

解析在如圖所示的長方體中，不妨設(shè)A為直線44,區(qū)為直線CC,則直線

L，乙可以是BC,此時也可以是4?,CD,此時，〃/；也可以是48,

BC,此時）與乙異面,故選D.

c,

4.如圖，在正方體力aZ—中，點￡,尸分別在4〃4。上，且4￡=

2ED,CF=2FA,則如與8〃的位置關(guān)系是.

答案平行

解析連接〃￡并延長，與交于點亂則△切吐△〃/￡,因為4￡=2&7,

所以M為助的中點.連接跖并延長，交助于點N,同理可得，”為助的中點.所

肱

1竺r1

又,MEMF.

-即=-/z

初2r2所以歷=9所以EF〃BD\.

5.如圖所示，不共面的三條射線力，OB,0C,點4,B\,G分別是如，0B,

0A\OB、0C\

%上的點，且?求證：

0A~0B~~OC

證明在△物6中，

因為粵=黑，所以

(J/1VD

同理可證4c〃1C,B.CJ/BC.

所以/。45=/。尻/A\BC=/ABC.

所以況：

課后課時,精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級€學(xué)考水平合格練

一、選擇題

1.如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，46與切的位置關(guān)系為

()

A.相交B.平行

C.異面D.重合

答案B

解析將展開圖還原為正方體，如圖所示.故選B.

c

2.在正方體/式》—484〃中，E,6分別是平面44〃。、平面CG〃〃的中心,

G,〃分別是線段比'的中點，則直線）與直線做的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.不確定

答案C

解析連接CD{,AC,則反尸分別為/〃，勿的中點.由三角形的中位

線定理，知EF〃AC,GH//AC,所以跖〃以故選C.

3.給出下列命題:

①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；

②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角（或

直角）相等;

③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補.

其中正確的命題有（）

A.0個B.1個

C.2個D.3個

答案B

解析對于①，這兩個角也可能互補，故①錯誤；②顯然正確；對于③，如

圖所示，BCLPB,ACLPA,的兩條邊分別垂直于/在？的兩條邊，但這兩個

角不一定相等，也不一定互補，故③錯誤.所以正確的命題有1個.

4.如圖所示，在空間四邊形力靦中，點反〃分別是邊力8,力〃的中點，點

F,G分別是邊以7,切上的點，且與=3=,，則下列說法正確的是（）

A.EF與陽平行

B.EF與GH異面

C.跖與陽的交點〃可能在直線4c上，也可能不在直線力。上

D.）與陽的交點"一定在直線4。上

答案D

解析連接融距因為凡G分別是邊比；切上的點，且/=2=|,所以

CDC/76

2

GF//BD,&GF=~BD.因為點E,〃分別是邊AB,4?的中點，所以EH〃BD,&EH

=加,所以刖/GF,&EH^GF,所以跖與切相交，設(shè)其交點為亂則四平面

力比MG平面4az又平面平面力冷偌所以物在直線M上.故選D.

5.（多選）如圖，在四面體力一久》中，軌MP,Q,￡分別是4?,BC,CD,

AD,4。的中點，則下列說法中正確的是（）

MQ

%:I)

B

A.M,N,P,0四點共面

B.乙QME=4CBD

C.XBC"XMEQ

D.四邊形.，粉河為梯形

答案ABC

解析由中位線定理，易知MQ//BD,ME//BC,QE//CD,NP〃BD.為于A,有

MQ//NP,所以亂N,P,0四點共面，故A說法正確；對于B,根據(jù)等角定理，得

/QME=/CBD,故B說法正確；對于C,由等角定理，知NQ3NC切，/MEQ=

乙BCD,所以△aM△，監(jiān)Q,故C說法正確.由三角形的中位線定理，知,網(wǎng)觸;勿,

NP^BD,所以MQ^NP,所以四邊形網(wǎng)制為平行四邊形，故D說法不正確.選

ABC.

二、填空題

6.在三棱錐夕一48c中，PBLBC,E,D,尸分別是48,PA,力。的中點，則/

DEF=.

答案90°

解析由題意可知施〃如，EF//BC,所以/廢產(chǎn)=/%。=90°.

7.已知a,b,c是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法：

①若a//b,b//c,則a//c；

②若a與6相交，8與c相交，則a與c相交；

③若au平面a,Z?u平面B,則a,，一定是異面直線；

④若a,b與c成等角，則a//b.

其中正確的是―（填序號）.

答案①

解析由基本事實4知①正確；當a與，相交，8與c相交時，a與c可能相

交、平行，也可能異面，故②不正確；當au平面a,6U平面6時，a與人可

能平行、相交或異面，故③不正確；當a,8與c成等角時，a與6可能相交、平

行，也可能異面，故④不正確.故正確說法的序號為①.

8.〃是△46。所在平面外一點，D,￡分別是△乃⑸△如。的重心，AC=a,

則龍的長為—.

答案!.3

O

解析如圖，???〃，E分別為APAB,△皈的重心，連接外，PE,并延長分

別交46,BC于M,N點,則弘/V分別為相，切的中點，

31

:.DE%MN,MN崛AC,

O乙

/.DE^~AC,DE=^a.

三、解答題

9.如圖，在正方體力頗一43G〃中，M/分別是棱A9和4〃的中點.

求證：（1）四邊形為平行四邊形；

（2）ZBMC=/BMC、.

證明（1）在正方形/㈤4中，弘幽分別為/〃，4。的中點，.?工圈^力憶

四邊形41幽4是平行四邊形，.?.44MM

又AM觸BB:

二四邊形防助"為平行四邊形.

⑵由⑴知四邊形的明〃為平行四邊形，

同理可得四邊形CGM，"為平行四邊形，

:.CM〃CM.

由平面幾何知識可知，

N8必和N5掰G都是銳角.

，ABMC=ABM.

10.如圖，在正方體46切一4AG〃中，點6,F,G分別是46,做，6。的中

點.求證：4EFGS△（；".

證明如圖，連接6c

因為點G,尸分別為8G班的中點，所以尸

又因為ABCD-A.BM為正方體，

所以5^仍AB缺AB,

由基本事實4知，C9AB，

所以四邊形45繆為平行四邊形，

所以4〃觸8c

又因為3%跖，由基本事實4知，A.D//FG.

同理可證：A.CJ/EG,DCJ/EF.

又因為N/HG與NR況/ADG與/GFE,N〃CM與/閩7的兩邊分別對應(yīng)平

行且均為銳角，

所以N的C=Nb%/A\DC、=NGFE,NDCA=4FEG.

所以△必

B如》學(xué)考水平等級練

1.（多選）在四棱錐/一式施中，底面四邊形式施為梯形，BC〃DE.設(shè).CD,

BE,AE,力〃的中點分別為弘N,P,Q,則（）

1

A.PQ=W

B.PQ//MN

C.M,N,P,0四點共面

D.四邊形，例也是梯形

答案BCD

解析由題意知PQ=^DE,

aDE中MN,所以的娜故不正確；又留〃

乙4乙A

DE,DE//MN,所以氣〃,娜又P/MN,所以B,C,D正確.

2.已知￡,F,G,〃分別為空間四邊形力靦的棱48,BC,CD,物的中點，

若對角線劭=2,AC=4,則加+肺的值是（）

A.5B.10

C.12D.不能確定

答案B

解析如圖所示，由三角形中位線的性質(zhì)，可得FG^BD,再根

據(jù)基本事實4可得四邊形甌以為平行四邊形，所以/HEF+/EHG=n,又因為E,

F,G