浙江省衢州市2025年全國高三模擬考試（五）數(shù)學試題含解析

浙江省衢州市2025年全國高三模擬考試（五）數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．52．設向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．3．已知函數(shù)滿足當時，，且當時，；當時，且).若函數(shù)的圖象上關于原點對稱的點恰好有3對，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．關于函數(shù)有下述四個結論：（）①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④5．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a5＝16，a3a4＝﹣32，則S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣856．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內一點，且，則（）A． B． C． D．7．羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生，，和名女生，，中各隨機選出兩名，把選出的人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊參加比賽的概率為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若方程恰有三個不相等的實根，則的取值范圍為（）A． B．C． D．9．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．10．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列的前項和為，且，，則()A． B． C． D．12．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的概率為_______．14．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍有___________.15．命題“”的否定是______．16．若直線與直線交于點，則長度的最大值為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某精密儀器生產車間每天生產個零件，質檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查．根據多年的生產數(shù)據和經驗，這些零件的長度服從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨立．若零件的長度滿足，則認為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學期望；（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當天生產零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則．18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為．（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）設點，直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，求的值．19．（12分）已知點，直線與拋物線交于不同兩點、，直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、，連接，點關于直線的對稱點為點，連接、．（1）證明：；（2）若的面積，求的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的值域為A，且，求a的取值范圍.21．（12分）已知橢圓：（），四點，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點，求的正切的最大值.22．（10分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據復數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復數(shù)的代數(shù)運算，復數(shù)相等的充要條件，復數(shù)的模2．B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】，當時取等號，所以本題答案為B.本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準確計算是關鍵，是基礎題.3．C【解析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件，解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關于原點對稱的圖象，如圖所示，當時，對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點；當時，要使函數(shù)關于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，則，解得.故選：C.本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題，考查學生數(shù)形結合的思想、轉化與化歸的思想，是一道中檔題.4．C【解析】

根據函數(shù)的奇偶性、單調性、最值和零點對四個結論逐一分析，由此得出正確結論的編號.【詳解】的定義域為.由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調遞增函數(shù)，所以②錯誤.當時，，且存在，使.所以當時，；由于為偶函數(shù)，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當時，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個零點.由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述，正確的結論序號為①④.故選：C本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調性、最值和零點，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.5．D【解析】

由等比數(shù)列的性質求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通過解該方程求得它們的值，求首項和公比，根據等比數(shù)列的前n項和公式解答即可.【詳解】設等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，則，則，故選：D.本題主要考查等比數(shù)列的前n項和，根據等比數(shù)列建立條件關系求出公比是解決本題的關鍵，屬于基礎題.6．D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.7．B【解析】

根據組合知識，計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為，然后計算和分在一組的數(shù)目為，最后簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B本題考查排列組合的綜合應用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細心計算，考驗分析能力，屬中檔題.8．B【解析】

由題意可將方程轉化為，令，，進而將方程轉化為，即或，再利用的單調性與最值即可得到結論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根，即，①.因為，①式兩邊同除以，得.所以方程有三個不等的正實根.記，，則上述方程轉化為.即，所以或.因為，當時，，所以在，上單調遞增，且時，.當時，，在上單調遞減，且時，.所以當時，取最大值，當，有一根.所以恰有兩個不相等的實根，所以.故選：B.本題考查了函數(shù)與方程的關系，考查函數(shù)的單調性與最值，轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題.9．B【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運用了數(shù)形結合的方法，屬于基礎題.10．C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．11．C【解析】

根據已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，求得其通項公式，由此求得.【詳解】由于，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項為，第二項為，所以公比為.所以，所以.故選：C本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項公式，屬于基礎題.12．A【解析】

設等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求出隨機抽取a,b的所有事件數(shù)，再求出滿足的事件數(shù)，根據古典概型公式求出結果.【詳解】解：從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的事件數(shù)為9個，即為，，，其中滿足的有，，，共有8個，故的概率為.本題考查了古典概型的計算，解題的關鍵是準確列舉出所有事件數(shù).14．或【解析】

函數(shù)的零點方程的根，求出方程的兩根為，，從而可得或，即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點方程在區(qū)間的根，所以，解得：，，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，所以或，即或.本題考查函數(shù)的零點與方程根的關系，在求含絕對值方程時，要注意對絕對值內數(shù)的正負進行討論.15．，【解析】

根據特稱命題的否定為全稱命題得到結果即可.【詳解】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題，則該命題的否定是：，故答案為：，．本題考查全稱命題與特稱命題的否定關系，屬于基礎題．16．【解析】

根據題意可知,直線與直線分別過定點,且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點在以為直徑的圓上,結合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過定點,直線可化為,所以其過定點,且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點在以為直徑的圓上,作圖如下:結合圖形可知,線段的最大值為,因為為線段的中點,所以由中點坐標公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關系;考查數(shù)形結合思想和運算求解能力;根據圓的定義得到交點在以為直徑的圓上是求解本題的關鍵;屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）需要，見解析【解析】

（1）由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補集的思想求得,再根據公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】（1）,由于滿足二項分布,故.（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查,成本為,由于,當充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.本題考查正態(tài)分布的應用,考查二項分布的期望,考查補集思想的應用,考查分析能力與數(shù)據處理能力.18．（1），（2）【解析】

(1)利用極坐標與直角坐標的互化公式即可把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標方程;(2)由于在直線上,寫出直線的標準參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】（1）直線的普通方程為，即，根據極坐標與直角坐標之間的相互轉化，，，而，則，即，故直線l的普通方程為，曲線C的直角坐標方程（2）點在直線l上，且直線的傾斜角為，可設直線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），代入到曲線C的方程得，，，由參數(shù)的幾何意義知．熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關鍵,難度一般.19．（1）見解析；（2）．【解析】

（1）設點、，求出直線、的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出點、的坐標，利用直線、的斜率相等證明出；（2）設點到直線、的距離分別為、，求出，利用相似得出，可得出的邊上的高，并利用弦長公式計算出，即可得出關于的表達式，結合不等式可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設點、，則，直線的方程為：，由，消去并整理得，由韋達定理可知，，，代入直線的方程，得，解得，同理，可得，，，,代入得，因此，；（2）設點到直線、的距離分別為、，則，由（1）知，，，，，，同理，得，，由，整理得，由韋達定理得，，，得，設點到直線的高為，則，，，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.本題考查直線與直線平行的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理、弦長公式、直線的斜率等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是難題．20．（1）或（2）【解析】

（1）分類討論去絕對值即可；（2）根據條件分a＜﹣3和a≥﹣3兩種情況，由[﹣2，1]?A建立關于a的不等式，然后求出a的取值范圍.【詳解】（1）當a＝﹣1時，f（x）＝|x+1|.∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴當x≤﹣1時，原不等式可化為﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；當時，原不等式可化為x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此時不等式無解；當時，原不等式可化為x+1≤2x，∴x≥1，綜上，原不等式的解集為{x|x≤﹣1或x≥1}.（2）當a＜﹣3時，，∴函數(shù)g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.∵[﹣2，1]?A，∴，∴a≤﹣5；當a≥﹣3時，，∴函數(shù)g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.∵[﹣2，1]?A，∴，∴a≥﹣1，綜上，a的取值范圍為（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.本題考查了絕對值不等式的解法和利用集合間的關于求參數(shù)的取值范圍，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于中檔題.21．（1）；（2）【解析】

（1）分析可得必在橢圓上，不在橢圓上，代入即得解；（2）設直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為，可得.則，，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）因為關于軸對稱，所以必在橢圓上，∴不在橢圓上∴，，即.（2）設橢圓上的點（），設直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為又∴