2024年秋季國家開放大學《工程數學本》形考任務(1-5)試題與答案解析

#2020年秋季國家開放大學《工程數學本》形考任務（1-5）試題與答案解析（紅色標注為正確答案）工程數學作業(yè)（第一次）（滿分100分）第2章矩陣（一）單項選擇題（每小題2分，共20分）1.設 ，則(D)．A.4 B.－4 C.6 D.－6.若 ，貝U （A）A. B.－1 C. D.1.乘積矩陣 中元素 （C）.A.1 B.7 C.10 D.8.設 均為階可逆矩陣，則下列運算關系正確的是（B）.A. B.C. D..設 均為階方陣， 且 ，則下列等式正確的是(D)．A. B.C. D..下列結論正確的是（A）.若是正交矩陣，則也是正交矩陣若 均為 階對稱矩陣，則 也是對稱矩陣若 均為 階非零矩陣，則 也是非零矩陣若 均為 階非零矩陣，則.矩陣 的伴隨矩陣為（C）.A. B.C. D.

8?方陣A.9設8?方陣A.9設A.C.10.設A.C.B. C. D.均為階可逆矩陣，則 （D）．B.D.均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是（D）.B.D.（二）填空題（每小題2分，共20分）.. 是關于的一個一次多項式，則該多項式一次項的系數是2.若為矩陣，為矩陣，切乘積有意義，則為5X有意義，則為5X4矩陣.5設 ，則.設 均為3階矩陣，且.設 均為3階矩陣，且，則 -72 .，貝I -3TOC\o"1-5"\h\z.若 為正交矩陣，則 —0.矩陣 的秩為2 .X0-o.設 是兩個可逆矩陣，則 L0 A~l--.（三）解答題（每小題8分，共48分）1.設 ，求⑴ ：⑵ ：⑶⑷） ；（5） ；（6）解:⑴=⑶24+3。=2(4"+5￡=，求3.已知，求滿足方程中的4.寫出4階行列式中元素的代數余子式，并求其值．06=-(12-12)=0,35.用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣:TOC\o"1-5"\h\z2 29 91_￡9 ~92￡

?512 3 423121I1-I10-2-600014-1-550001 4 -1-5J■..I200-124 14-9100022-6-26170100-17 5 20-IB0100-17 5 20--13T,0010-1 0 2 -10010-1 0 2-10001 4 -1-5 30001 4 -1-5300000010001000I10Q01000100-1100110-1010111-10011D00-11000-11000-tI6.求矩陣的秩．（四）證明題（每小題4分，共12分）7.對任意方陣，試證 是對稱矩陣.證：:（X+ay=乂『十（/T=4+月=a+二a是對稱降8.若是階方陣，且，試證或.證：?.?IM=同, ⑷/[=L Id=L或:慟二1-19.若是正交矩陣，試證也是正交矩陣.證工因為/是正交陣,故d/=L因而乂可逆EJT=/所以有（，）[，=（J-1yH=（"y=『=『即，國是.正無陣。工程數學作業(yè)（第二次）（滿分100分）第3章線性方程組（一）單項選擇題（每小題2分，共16分）L用消元法得《3+X=0的解3—x=23X1x2X3」為（C）.,+3,+3x23—x3=6(B).A.[1,0,—2]'C.[—11,2,—2]'x+2x12.線性方程組<x1

B.[—7,2,—2]'D.[—11,—2,—2]'=2A.有無窮多解3.向量組A.34.設向量組為a1a.a1，a2B.—3x+3x=42 3b.有唯一解c.無解B.2「1D.只有零解,a2的秩為(A)C.4a,a,ac.a,a,aD.51D.則（B）是極大無關組..A與A分別代表一個線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，貝（（D）.A.秩(A)=秩(A)C.A.秩(A)=秩(A)C.秩(A)>秩(A)D.秩(A)=秩(A)-1.若某個線性方程組相應的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A）.A.可能無解 B.有唯一解C.有無窮多解D.無解.以下結論正確的是（D）.A.方程個數小于未知量個數的線性方程組一定有解B,方程個數等于未知量個數的線性方程組一定有唯一解C.方程個數大于未知量個數的線性方程組一定有無窮多解D.齊次線性方程組一定有解8.若向量組a1,a28.若向量組a1,a2,…，a線性相關則向量組內（A）可被該向量組內其余向量線性表出.A.至少有一個向量C.至多有一個向量B.D.沒有一個向量任何一個向量（二）填空題（每小題2分共16分）Ix+x=01當九二時，齊次線性方程組上xIx+x=01當九二時，齊次線性方程組上x1+x2=0有非零解.2.向量組a=10,0,0],a=L,1,1]線性1相關.向量組11,2,3],11,2,0]，,11,0,01,10,0,01的秩是3.設齊次線性方程組a1x1+a2x2+a3x3=0的系數行列式I程組有無窮多 解，且系數列向量a,a,a是線性相關1 2 3.向量組a=I1,0],a=[0,1],a=[0,0]的極大線性無關組是1 2 3r.向量組a,a，…,a的秩與矩陣故,a,…,a」的秩相同1212=0，則這個方—的.?,（X2』.設線性方程組AX=0中有5個未知量，且秩（A）=3，則其基礎解系中線性無關的解向量有2個..設線性方程組AX=b有解，X是它的一個特解，且AX=0的基礎解系為X,X則AX=b的通解為（三）解答題（第1小題9分，其余每小題11分）1.設有線性方程組方程組有唯一解?或有無窮多解?Z（方程組有唯一解?或有無窮多解?Z（1—A.）入為何值時，當工王[旦義w-2時.式（團=演才=3方程組有唯一解肖工工】時.用出=無（力=1.方程組有無窮多解.判斷向量P能否由向量組叱，a2,a3線性表出，若能，寫出一種表出方式?其中

一8-23-5一37一5-6,a=,a=,a=7112033-103-21p.計算下列向量組的秩，并且（1）判斷該向量組是否線性相關；（2）求出該向量組的一個極大無關組。這里A—[iif),用⑷工式｛⑷..方程期.尤解/. /?不詼巾向量的這里A—[iif),用⑷工式｛⑷..方程期.尤解/. /?不詼巾向量的42，碼線性去出13-11-1-7-392,a=8,a=0,a=623439-33413-36ai.求齊次線性方程組x一3x+x-2x=0TOC\o"1-5"\h\z12 3 4一5x+x-2x+3x=0\o"CurrentDocument"12 3 4一x-11x+2x-5x=01 2 3 43x+5x +4x=012 4的一個基礎解系.二一14的一個基礎解系.二一14_2~-77F+4->!01-1-10414-3100001Q_2-[-0A01_}Iq。142(J01Q001口0(}0005．求下列線性方程組的全部解．x一3x-2x一x=612343x一8x+x+5x=01234一2x+x-4x+x=-121234一x+4x一x-3x=21234（四）證明題（本題4分）8.試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充分必要條件是：相應的齊次線性方程組只有零解．證明:設AX=B為含n個未知量的線性方程組該力程組有解,即RA=R（A）=n從而AX=B行唯一解當且僅當R（4）=n相應齊次線性方程AX=0只有零解的充分必要條件是RCA）=MAX=B有唯一解的充必要條件是:相應的齊次線性方程組AX=0只有零解工程數學作業(yè)（第三次）（滿分100分）第4章隨機事件與概率

(一)單項選擇題(每小題2分，共16分)A,B為兩個事件，則(B)成立.A.(A+B)—B=A B.(A+B)—BuAC.(A—B)+B=A D.(A—B)+BuA2.如果(C)成立，則事件A與B互為對立事件.ABAB=0C.AB=0且AB=UAB=UD.A與B互為對立事件3.袋中有3.袋中有5個黑球，3個白球一次隨機地摸出4個球，其中恰有3個白球的概率為(A).5A.——C5A.——C4835B.(8)38c.C^)35888D.4.10張獎券中含有3張中獎的獎券，每人購買1張，則前3個購買者中恰有1人中獎的概率為(D).A.C3x0.72x0.3b,0.3C,0.72x0.3d.3x0.72x0.3105.同時擲3枚均勻硬幣，恰好有2枚正面向上的概率為(D).A.0.5 B.0.256.A.0.5 B.0.256.已知P(B)>0,AA=0,12A.P(AIB)>0i1C.P(AA|B)中0127.對于事件A,B，命題(D)0.125則(B)成立.B.P[(A+1D.0.375A2)|B]=P(AjB)+P(A2|B)P(AAIB)=112是正確的．A.如果A,B互不相容，則A,B互不相容B.如果AuB，則AuBC.如果A,B對立，則A,B對立D.如果A,B相容，則A,B相容8.某隨機試驗每次試驗的成功率為p(0<p<1)，則在3次重復試驗中至少失敗1次的概率為(B).A.(1—p)3 B.1—p3C.3(1-p) D.(1-p)3+p(1-p)2+p2(1-p)(二)填空題(每小題2分，共18分)1從數字1,2,3,4,5中任取3個，組成沒有重復數字的三位數，則這個三位數是偶數的概率為2..從n個數字中有返回地任取r個數(r<n，且n個數字互不相同)，則取到的r個數字中有重復數字的概率為..有甲、乙、丙三個人，每個人都等可能地被分配到四個房間中的任一間內，則三個人TOC\o"1-5"\h\z分配在同一間房間的概率為1/16，三個人分配在不同房間的概率為3/8 .\o"CurrentDocument".已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，則當事件A,B互不相容時，P(A+B)= 0.8 ,P(AB)= 0.3 .A,B為兩個事件，且BuA,則P(A+B)= P(A)..已知P(AB)=P(AB),P(A)=p,則P(B)= 1-P ..若事件A,B相互獨立，且P(A)=p,P(B)=q，則P(A+B)= da叫..若A,B互不相容，且P(A)>0，則P(BA)=0,若A,B相互獨立，且P(A)>0,則P(BA)=P(B)..已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，則當事件A,B相互獨立時，P(A+B)=—0.65 ,P(AB)= 0.3.(三)解答題(第1、2、3小題各6分，其余題目各8分，共66分)設A,B為兩個事件，試用文字表示下列各個事件的含義：⑴A+B； ⑵AB； ⑶A-B；⑷A一AB； ⑸AB； ⑹AB+AB.解：⑴AB表示事件A與事件B至少有一個發(fā)生；⑵AB表示事件A與事件B同時發(fā)生；⑶AB表示事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生；⑷AAB=AB表示事件A發(fā)生同時事件B不發(fā)生；⑸AB=AB表示事件A不發(fā)生同時事件B也不發(fā)生；⑹ABABABAB表示事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，但兩事件不同時發(fā)生.設A,B,C為三個事件，試用A,B,C的運算分別表示下列事件：⑴A,B,C中至少有一個發(fā)生；⑵A,B,C中只有一個發(fā)生；⑶A,B,C中至多有一個發(fā)生；⑷A,B,C中至少有兩個發(fā)生；⑸A,B,C中不多于兩個發(fā)生；⑹A,B,C中只有C發(fā)生.⑴ABC中至少有一個發(fā)生；ABC⑵ABC中只有一個發(fā)生；ABCABCABC⑶ABC中至多有一個發(fā)生；ABBCCAU；⑷ABC中至少有兩個發(fā)生；ABBCACU⑸ABC中不多于兩個發(fā)生；ABC⑹ABC中只有C發(fā)生.ABC袋中有3個紅球，2個白球，現從中隨機抽取2個球，求下列事件的概率：⑴2球恰好同色；⑵2球中至少有1紅球．0.40.90.4一批產品共50件，其中46件合格品，4件次品，從中任取3件，其中有次品的概率是多少？次品不超過2件的概率是多少？解：有次品的概率［匚’弓為 「強汕產m次品不超過2件的概率;重為-C設有100個圓柱圓柱形零件，其中95個長度合格，92個直徑合格，87個長度直徑都合格，現從中任取一件該產品，求：⑴該產品是合格品的概率；⑵若已知該產品直徑合格，求該產品是合格品的概率；⑶若已知該產品長度合格，求該產品是合格品的概率.解！⑴該產品是合格品的概率為0.875⑵已知該產品直徑合格，則該產品是合格品的概率為強7'92⑶已知該產品長度合格，則該產品是合格品的概率為“廠95加工某種零件需要兩道工序，第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品則此零件為次品；如果第一道工序出正品，則由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出來的零件是正品的概率．解：加工出來的零件是正品的概率為0.970.980.9506市場供應的熱水瓶中，甲廠產品占50%,乙廠產品占30%,丙廠產品占20%,甲、乙、丙廠產品的合格率分別為90%,85%,80%,求買到一個熱水瓶是合格品的概率．解：買到一個熱水瓶是合格品的概率為0.90.50.850.30.80.20.865=一批產品中有20%的次品，進行重復抽樣檢查，共抽得5件樣品，分別計算這5件樣品中恰有3件次品和至多有3件次品的概率.=3)=C^ :解：X-杵樣品中恰有3件狀品的概率{x為 02 0.8=0.0512尸土三 PX=尸 0^00672.5件樣品中至多有M件次品的概率為(3)1 { 4}-{

加工某種零件需要三道工序，假設第一、第二、第三道工序的次品率分別是2%,3%,5%,并假設各道工序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率.1解：加工出來的零件的次.品率/1工程數學作業(yè)(第四次)(滿分100分)第5章隨機變量及其數字特征(一)單項選擇題(每小題2分，共14分).設隨機變量X~B(n,P)，且E(X)=4.8,D(X)=0.96,則參數n與p分別是().A.6,0.8 B.8,0.6 C.12,0.4D.14,0.2A,「"xf(x)dx B.Jbxf(x)dx-^ aC.Jbf(x)dx D.p°f(x)dxa -83.在下列函數中可以作為分布密度函數的是().[ n 3nA,「"xf(x)dx B.Jbxf(x)dx-^ aC.Jbf(x)dx D.p°f(x)dxa -83.在下列函數中可以作為分布密度函數的是().[ n 3nsinx,--<x<——A.f(x)={ 2 2 B,f(x)=-0, 其它[nsinx,0<x<—2|。， 其它sinx,0<x<一 [sinx,0<x<nC.f(x)=J 2 D,f(x)=J)0,其它 10， ?4.設連續(xù)型隨機變量X的密度函數為f(x),分布函數為F(x)則P(a<X<b)=().A.F(a)-F(b) B.JbF(x)dx它則對任意的區(qū)間(a,b),aC.f(a)—f(b) D」bf(x)dxa5.設X為隨機變量，則D(2X—3)=().A.2D(X)+3 B.2D(X)C.2D(X)-3 D.4D(X).設X為隨機變量，E(X)=N,D(X)=o2，當()時，有E(Y)=0,D(Y)=1.Y=oXY=oX+NC.Y-x-NY-oX-NX-ND.Y o2).(A)ao2+b(C)ao2.設X是隨機變量，D(X)-o2，設Y-aX).(A)ao2+b(C)ao2(B)a2o2(D)a2o2+b(二)填空題(每小題2分，共14分).已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數F(x),且密度函數f(x)連續(xù)，則f(x)-..設隨機變量X~U(0,1)，則X的分布函數F(x)-..若X~B(20,0.3),則E(X)-..若X~N⑴,o2)，則P(|X-N|<3o)-..若二維隨機變量(X,Y)的相關系數P-0，則稱X,Y .X,YE[(X-E(X))(Y-E(Y))]稱為二維隨機變量(X,Y)的..設連續(xù)型隨機變量X的密度函數是f(x),則P(a<X<b)-.(三)解答題(每小題8分,共72分).某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止.已知他每發(fā)命中的概率是P，求所需設計次數X的概率分布..設隨機變量X的概率分布為-0 1 2 3 4 5 6一0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03試求P(X<4),P(2<X<5),P(X豐3).3.設隨機變跳具有概率密度f(x)-2x,0<f(x)-0,其它試求P(X<1),P(1<X<2).4已知隨機變量X的概率分布為P(X-k)-10(k-2,4,6,…，18,20)求E(X),D(X).[2x,0<x<15.設X~f(x)-〈廿、，求E(X),D(X).10, 其它

.已知100個產品中有5個次品，現從中任取1個，有放回地取3次，求在所取的3個產品中恰有2個次品的概率．.某籃球運動員一次投籃投中籃框的概率為0.8,該運動員投籃4次，求⑴投中籃框不少于3次的概率；⑵至少投中籃框1次的概率..設X~N（20,0.22）,計算⑴尸（0.2<X<1.8）；⑵P（X>0）..設X,X，…，X是獨立同分布的隨機變量，已如（X）=日，D（X）=o2,設12 n 1 1X=11X,求E（X）,D（X）.nii=1工程數學作業(yè)（第五次）（滿分100分）第6章統計推斷（一）單項選擇題（每小題2分,共6分）TOC\o"1-5"\h\z.設x,x，…,x是來自正態(tài)總體N⑴，o2）（日，o2均未知）的樣本，則（）是統12 n計量．x2A.x B.x+日 C.q D.日x11 O2 12.設x,x,x是來自正態(tài)總體N⑴,O2）（日,O2均未知）的樣本，則統計量（）不123是N的無偏估計.Amax{x,x,x} B—（x+x）1 2 3 2 1 22x-x123.2x-x123.對正態(tài)總體方差的檢驗用的是（D）.x-x1-x23（A）U檢驗法(B)T檢驗法（C）X2檢驗法 （D）F檢驗法（二）填空題（每小題2分,共14分）.統計量就是 是一組獨立同分布的隨機變量的函數..參數估計的兩種方法是點估計和區(qū)間估計.常用的參數點估計有最大似然估計法和最小二乘估計法兩種方法..比較估計量好壞的兩個重要標準是 相合估計 ，一致估計..設x,x，…,x是來自正態(tài)總體N（日,O2）（O2已知）的樣本值，按給定的顯著性12 n水平a檢驗H:N=N；H:日。日，需選取統計量 ^0 0