圖形與變換的復(fù)習(xí)方法與策略

圖形與變換的復(fù)習(xí)方法與策略寶坻三中王和近幾年天津中考，一些題型靈活、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)意的圖形與變換試題涌現(xiàn)出來，其中一類以平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、相似、圖形與坐標(biāo)、視圖與投影等圖形變換為解題思路的題目更是成為壓軸大戲的主角。不過這些傳說中的主角，并沒有大家想象的那么神秘，只是我們需要找出這些題目的切入點(diǎn)。搞好中考復(fù)習(xí)，把圖形與變換的知識點(diǎn)全面、細(xì)致、透徹讓學(xué)生掌握并消化、吸收，中考時(shí)解決這類問題也就不成問題了。在圖形與變換中較易試題和大部分中等試題都考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，所以在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視基本概念、基本圖形、基本思想方法的教學(xué)和基本運(yùn)算及運(yùn)用等能力的培養(yǎng)。抓好雙基就要回歸課本，多以課本的例題，習(xí)題為素材深入淺出，舉一反三地加以推敲，延伸和適當(dāng)變形，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，以期達(dá)到新課標(biāo)的要求。同時(shí)我們還必須特別關(guān)愛對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，通過學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，使學(xué)生達(dá)到學(xué)習(xí)的基本要求。讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。在第一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)配備適當(dāng)?shù)木毩?xí)，習(xí)題難度要加以控制。主要掌握圖形與變換的定理定義和知識點(diǎn)，為以后打好基礎(chǔ)提高能力做準(zhǔn)備。在第二輪復(fù)習(xí)中，針對熱點(diǎn)，抓住弱點(diǎn)，開展專項(xiàng)訓(xùn)練。近年中考涌現(xiàn)了大批形式活躍有益，啟迪智慧的好題目，我們在復(fù)習(xí)中應(yīng)加以借鑒。在第三輪中全面練習(xí)，備課組老師集體創(chuàng)新新題和改編真題來提升學(xué)生對知識的深入理解。對于圖形與變換復(fù)習(xí)，我們主要從以下幾個(gè)方面去做：一、注重雙基抓好知識點(diǎn)；二、針對熱點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練；三、模擬訓(xùn)練提升解決問題的能力。一、注重雙基抓好知識點(diǎn)教師就應(yīng)為學(xué)生梳理知識點(diǎn)，圖形與變換包括平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、相似、圖形與坐標(biāo)、今年總復(fù)習(xí)又把視圖與投影包括進(jìn)來，使圖形與變換知識更加豐富。初三復(fù)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，在較短的時(shí)間內(nèi)，如何提高復(fù)習(xí)的效率和質(zhì)量，是每位初三學(xué)生所關(guān)心的首要問題。1．重視課本，系統(tǒng)復(fù)習(xí)。初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)包括基礎(chǔ)知識和基本技能兩方面。現(xiàn)在中考命題仍然以基礎(chǔ)知識題為主，有些基礎(chǔ)題是課本上的原題或原題改編的題，后面的大題雖是“高于教材”，但原型一般還是教材中的例題式習(xí)題，如中考25題2008年扇形的旋轉(zhuǎn)、2009年三角形翻折、2010年平移、2011年旋轉(zhuǎn)和軸對稱是教材中例題或“課題學(xué)習(xí)”中的題目的引申、變形或組合，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)以課本為主。我們的做法是：引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)課本中的探究和典型例題，再結(jié)合與此知識點(diǎn)對應(yīng)的中考真題及模擬題進(jìn)行對比講解，使學(xué)生鞏固基礎(chǔ)的同時(shí)，也得到了知識的拓廣與延伸。如七年級下冊數(shù)學(xué)課本p31頁拓廣探索第七題（造橋選址問題），有A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）分析：本題是一個(gè)對平移知識的綜合運(yùn)用問題。我們學(xué)習(xí)過“兩點(diǎn)之間線段最短”，平移形成平行四邊形“平行且相等”，本題也利用這些知識，不過本題還有一個(gè)條件，即修建的橋必須是與河岸垂直的。此時(shí)我們就應(yīng)該想到，利用平移的知識，先將在橋上要走的路程放在開始走，然后就可以利用“兩點(diǎn)之間線段最短”了。造橋選址問題是書上的一道題目，通過此題，引導(dǎo)同學(xué)們“你們學(xué)了哪些知識呢？想知道造橋選址問題中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)道理嗎?”探究與反思作法：（1）測量出橋的寬度；（2）將點(diǎn)A沿與橋平行的方向，向下平移橋的寬度個(gè)單位到A1；（3）連接A1、B交橋的一側(cè)于N；（4）過N作河岸的垂線，交河的另一側(cè)于M；（5）連接AM、MN、NB，則此時(shí)從A到B的路徑AMNB最短。說明：在本題中，橋必須與河岸垂直是一個(gè)需要突破的問題，我們將橋先平移到AA1，然后再作出A1、B之間的最短路徑，這樣問題就得以轉(zhuǎn)化。本例充分應(yīng)用了平移知識，解決了生活中的常見問題，是一個(gè)利用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題的很成功的事例。在復(fù)習(xí)中讓學(xué)生分組畫出設(shè)計(jì)圖形，找出相關(guān)定理。又如八年級上冊數(shù)學(xué)課本P32，探究一個(gè)小木條L垂直平分另一個(gè)小木棒AB，得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理；和P34例題做出線段AB的垂直平分線，書上給出了結(jié)論：對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應(yīng)點(diǎn)，做出對應(yīng)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸。書上的例題就是讓學(xué)生掌握軸對稱圖形的特點(diǎn)，繪畫出已知圖形的軸對稱圖形，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)。與此相聯(lián)系的中考題——天津2009年25題就考查了這部分內(nèi)容。LLMNABABL天津（2009）已知一個(gè)直角三角形紙片，其中。如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)。（Ⅰ）若折疊后使點(diǎn)與點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）若折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)為，設(shè)，，試寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并確定的取值范圍；（Ⅲ）若折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)為，且使，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．xyBOxyBOAxyBOADC圖①xyBOB′DC圖②xyBOB′DC圖③xyBOAxyBOA天津2010年中考25題“周長最短”母題就是上述例題的綜合題，講完上題后馬上投影打出這道中考題?！締栴}】在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)．（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；yyyBOyyyBODCAxEGFyBODCAxE第第（25）題BODCAxEBODCAx【命題意圖】它著重考查平移、軸對稱性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)、圖形中線段和極值問題。本題涉及平移性質(zhì)、軸對稱的概念、三角形三邊關(guān)系、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形全等與相似等初中數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容，滲透幾何變換與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將推理論證與計(jì)算緊密結(jié)合起來，凸現(xiàn)了幾何基本圖形在學(xué)習(xí)中的重要性．讓學(xué)生在原有的知識上解決新的問題?？梢?，現(xiàn)在中考命題仍然以課本基礎(chǔ)知識題為主，它們來源于課本，有些基礎(chǔ)題是課本上的原題或改造。如九年級上冊57頁的探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和下面的例題的作圖是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。還有P59頁復(fù)習(xí)鞏固第一題的作圖都要帶領(lǐng)學(xué)生分析研究透徹。（2011年天津25題的母題就涵蓋了這兩頁的知識內(nèi)容）因此，我們應(yīng)精心準(zhǔn)備這方面的練習(xí)，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題延伸與拓寬的來龍去脈，提升學(xué)生對知識的把握與探究能力。2．夯實(shí)基礎(chǔ)，學(xué)會思考圖形與變換包括平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、相似、圖形與坐標(biāo)。如學(xué)生已把定理定義掌握熟練，這樣才能在應(yīng)用基礎(chǔ)知識時(shí)做到熟練、正確、迅速。復(fù)習(xí)教學(xué)中，我是這樣做的：（1）訓(xùn)練學(xué)生熟記定理定義，理解定理的推導(dǎo)過程。在復(fù)習(xí)中加強(qiáng)記憶非常重要，老師在講題時(shí)要適時(shí)的提問定理定義，要求學(xué)生做到準(zhǔn)確無誤。（2）訓(xùn)練學(xué)生認(rèn)真閱讀題干，讀全，讀懂，讀透，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)訓(xùn)練中有意識的積累。例題：如圖所示，半圓AB平移到半圓CD的位置時(shí)所掃過的面積為．（3）訓(xùn)練學(xué)生認(rèn)真閱讀圖形，把圖形語言翻譯成幾何語言。平時(shí)老師應(yīng)加強(qiáng)圖中所含定理的訓(xùn)練。訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)題干和圖形追蹤定理定義的能力，從而進(jìn)一步得到解題思路。如圖3用等腰直角三角板畫，并將三角板沿方向平移到如圖所示的虛線處后繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則三角板的斜邊與射線的夾角為______度。（4）訓(xùn)練學(xué)生快速正確地畫出理論草圖。如學(xué)生聽課不留心，老師應(yīng)很快把圖形畫完，講清楚是根據(jù)定理和定義畫的。尤其是平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的圖形。如2009年天津市中考數(shù)學(xué)試卷25題，三問都要自行畫草圖，所以平時(shí)學(xué)生就要打好用定義畫圖的基礎(chǔ)。（5）訓(xùn)練學(xué)生在考試中有科學(xué)的心理活動(dòng)?？荚嚂r(shí)要清楚不同檔次的題要不同對待，例如簡單但計(jì)算復(fù)雜的題就要暗示自己放慢節(jié)奏一定要做對。從這五方面入手，讓學(xué)生學(xué)會思考問題，提高答題技能并自覺形成數(shù)學(xué)思想方法。3．重視基礎(chǔ)知識的理解和方法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識就是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等。掌握基礎(chǔ)知識之間的聯(lián)系，要做到理清知識結(jié)構(gòu)，形成整體知識，并能綜合運(yùn)用。例如：中考涉及圖形與變換包括平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、相似、圖形與坐標(biāo)與其它章節(jié)知識的鏈接等等。（圖5）（1）旋轉(zhuǎn)與全等鏈接（圖5）如圖5，直角梯形中，，，，，，將腰以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)，則的面積是．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形及軸對稱的性質(zhì)；全等判定；梯形的性質(zhì)；勾股定理等。分析：主要利用旋轉(zhuǎn)和三角形全等求解，本題要求學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)理論知識。OyxB（2）OyxB如圖，把拋物線與直線圍成的圖形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再沿軸向右平移1個(gè)單位得到圖形則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)是B．點(diǎn)的坐標(biāo)是C．四邊形是矩形D．若連接則梯形的面積是3考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；圖形與坐標(biāo)；二次函數(shù)的對稱性；等腰三角形及軸對稱的性質(zhì)。分析：本題要求學(xué)生能抽象出等腰三角形，進(jìn)一步利用等腰三角形旋轉(zhuǎn)和平移解題。此題對提煉圖形語言能力提出了較高要求。（3）軸對稱與正方形鏈接如圖，正方形OABC的邊長為6，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)D(2，0)在OA上，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PD的最小值為（

）A．2

B．

C．4

D．6考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)；兩點(diǎn)之間線段最短；勾股定理等。分析：根據(jù)正方形的對稱性，連接CP，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到CD與OB的交點(diǎn)處時(shí)PA+PD最小，即求CD的長。

二、針對熱點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練中考熱點(diǎn)問題也離不開圖形與變換要考察的知識點(diǎn)。給學(xué)生舉出近幾年其它城市的相關(guān)中考題，在老師的帶領(lǐng)下讓學(xué)生研究此類問題考察了哪些知識。例1．已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動(dòng)時(shí)為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50米，半圓的直徑為4米，則圓心O所經(jīng)過的路線長是OOOOOl2．已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點(diǎn)．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．BBMBCNCNMCNM圖1圖2BBMBCNCNMCNM圖1圖2圖3AAADDD2012年將繼續(xù)考查圖形的軸對稱、圖形的平移，旋轉(zhuǎn)并按要求畫出軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形是考查的重點(diǎn)。圖形的軸對稱，圖形的平移，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，聯(lián)系四邊形性質(zhì)和相似、三角函數(shù)、勾股定理的綜合應(yīng)用是考試的難點(diǎn)。2011年天津市中考數(shù)學(xué)試卷第2題考察中心對稱3分，第5題考察軸對稱（翻折）3分，第7題考察三視圖3分，第18題考察平移作圖3分，第25題為綜合題考察旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似10分。直接考察的就22分。其它利用相似的還不算。熱點(diǎn)問題的解決就是深挖定理的過程，復(fù)習(xí)中應(yīng)適時(shí)地加強(qiáng)訓(xùn)練。解決中考相似熱點(diǎn)問題需要在思維上切入到位，準(zhǔn)確。切入點(diǎn)一：構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形在解決問題的過程中，有時(shí)添加輔助線是必不可少的。對于天津中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學(xué)生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個(gè)原則：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形。如圖，平等四邊行ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，連接CE交BD與F。BCEADF（1）當(dāng)E是BCEADF（2）當(dāng)DE=AD時(shí)，=；當(dāng)DE=AD時(shí)，=；（3）當(dāng)DE=AD時(shí)，求出的值。此題就是構(gòu)造平行，形成A或X型相似，利用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)一步解決上述問題。切入點(diǎn)二：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論在圖形運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個(gè)角或某兩個(gè)三角形所對應(yīng)的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變。如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B，C點(diǎn)重合)，∠ADE＝45°．(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長．此題緊扣不變量∠ADE＝45°，問題迎刃而解。切入點(diǎn)三：在題目中尋找多解的信息，圖形在運(yùn)動(dòng)變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個(gè)令考生頭痛的問題，其實(shí)多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實(shí)際上就是反復(fù)認(rèn)真的審題。如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)已知點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(0，6)，(8，0)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)求直線AB的解析式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABO相似?在題目中滿足條件的情形不止一種，尋找多解的信息，圖形在運(yùn)動(dòng)變化，相似的對應(yīng)就不只一種，如果學(xué)生思考到這里，多解自然就被發(fā)現(xiàn)。總之，問題的切入點(diǎn)很多，考試時(shí)也不是一定要找到那么多，往往只需找到一兩個(gè)就行了，關(guān)鍵是找到以后一定要敢于去做。有些同學(xué)往往想想覺得不行就放棄了，其實(shí)絕大多數(shù)的題目只要想到上述切入點(diǎn)，認(rèn)真做下去，問題基本都可以得到解決。我們教師應(yīng)在練習(xí)時(shí)多滲透給學(xué)生，讓他們在練習(xí)中逐步消化吸收，增長其本領(lǐng)。三、模擬訓(xùn)練提升解決問題的能力模擬訓(xùn)練綜合運(yùn)用知識，提高自身各種能力1．初中數(shù)學(xué)基本能力有運(yùn)算能力、思維能力、空間想像能力以及體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生產(chǎn)、生活相關(guān)學(xué)科相聯(lián)系的能力等等。提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解題的能力，要求同學(xué)們必須做到能把各個(gè)章節(jié)中的知識聯(lián)系起來，并能綜合運(yùn)用，做到觸類旁通，查漏補(bǔ)缺，做好知識歸納、解題方法的歸納?？v觀中考中圖形與變換能力的考查，大致可分成兩個(gè)階段：一是考查讀圖、作圖能力、空間想像能力、邏輯思維能力及解決知識鏈接能力；二是強(qiáng)調(diào)閱讀能力、創(chuàng)新探索能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。平時(shí)做題時(shí)應(yīng)做到：（1）深刻理解知識本質(zhì)，平時(shí)加強(qiáng)自己審題能力的鍛煉，才能做到變更命題的表達(dá)形式后不慌不忙，得心應(yīng)手。（2）尋求不同的解題途徑與變通思維方式，注重自己思維的廣闊性。對于同一題目，尋找