2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評三十三等比數(shù)列含解析新人教B版

PAGE核心素養(yǎng)測評三十三等比數(shù)列(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知數(shù)列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a滿意的條件是()A.{a|a≠1} B.{a|a≠0或a≠1}C.{a|a≠0} D.{a|a≠0且a≠1}【解析】選D.由等比數(shù)列定義可知a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1.【變式備選】數(shù)列{an}滿意:an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,則λ的值等于 ()A.1 B.-1 C.QUOTE D.2【解析】選D.由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ(an-QUOTE).由于數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,所以QUOTE=1,得λ=2.2.公元前5世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了聞名的阿基里斯悖論.他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處起先,和阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)競賽起先后,若阿基里斯跑了1000米,此時烏龜便領(lǐng)先他100米;當(dāng)阿基里斯跑完下一個100米時,烏龜仍舊領(lǐng)先他10米;當(dāng)阿基里斯跑完下一個10米時,烏龜仍舊領(lǐng)先他1米……所以阿基里斯恒久追不上烏龜.依據(jù)這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10-2米為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意知,烏龜每次爬行的距離(單位:米)構(gòu)成等比數(shù)列QUOTE,且首項(xiàng)a1=100,公比q=QUOTE,易知a5=10-2,則烏龜爬行的總距離(單位:米)為S5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿意a6-QUOTE+a8=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b2·b8·b11= ()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6+a8=2a7.由a6-QUOTE+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11=b2b7b12=QUOTE=23=8.【變式備選】已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四個根組成以QUOTE為首項(xiàng)的等比數(shù)列,則QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE或QUOTEC.QUOTE D.以上都不對【解析】選B.設(shè)a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四個根,不妨設(shè)a<c<d<b,則a·b=c·d=2,a=QUOTE,故b=4,依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得到:c=1,d=2,則m=a+b=QUOTE,n=c+d=3或m=c+d=3,n=a+b=QUOTE,則QUOTE=QUOTE或QUOTE=QUOTE.4.(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則下列結(jié)論正確的是 ()A.數(shù)列{anan+1}是公比為q2的等比數(shù)列B.數(shù)列{an+an+1}是公比為q的等比數(shù)列C.數(shù)列{an-an+1}是公比為q的等比數(shù)列D.數(shù)列QUOTE是公比為QUOTE的等比數(shù)列【解析】選AD.對于A,由QUOTE=q2(n≥2)知數(shù)列{anQUOTE}是公比為q2的等比數(shù)列;對于B,當(dāng)q=-1時,數(shù)列{an+an+1}的項(xiàng)中有0,不是等比數(shù)列;對于C,若q=1時,數(shù)列{an-an+1}的項(xiàng)中有0,不是等比數(shù)列;對于D,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以數(shù)列QUOTE是公比為QUOTE的等比數(shù)列.5.已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列,它們的公比為q,則q的一個可能值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)三角形的三邊分別為a,aq,aq2,其中q>0.則由三角形三邊不等關(guān)系知:當(dāng)q>1時.a+aq>a·q2,即q2-q-1<0所以QUOTE<q<QUOTE,所以1<q<QUOTE.當(dāng)0<q<1時.a為最大邊.aq+a·q2>a,則q2+q-1>0,所以q>QUOTE或q<-QUOTE,所以QUOTE<q<1.當(dāng)q=1時,滿意題意,綜上知,C滿意題意.【變式備選】在遞增的等比數(shù)列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n項(xiàng)和Sn=42,則n等于 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選A.因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以a3·an-2=a1·an=64.又a1+an=34,所以a1,an是方程x2-34x+64=0的兩根,解得QUOTE或QUOTE又因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以QUOTE由Sn=QUOTE=QUOTE=42,解得q=4.由an=a1qn-1=2×4n-1=32,解得n=3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.在等比數(shù)列{an}中,已知a1=-1,a4=64,則q=________,S4=________.

【解析】因?yàn)閍4=a1·q3,所以q3=-64,q=-4,S4=QUOTE=QUOTE=51.答案:-4517.(2024·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=QUOTE,QUOTE=a6,則S5=________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知a1=QUOTE,QUOTE=a6,所以QUOTE=QUOTEq5,又q≠0,所以q=3,所以S5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【變式備選】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=QUOTE,S6=QUOTE,則a8=________.

【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由S6≠2S3得q≠1,則S3=QUOTE=QUOTE,S6=QUOTE=QUOTE,解得q=2,a1=QUOTE,則a8=a1q7=QUOTE×27=32.答案:328.若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+…+lna20=________. 【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列,且a10a11+a9a12=2e5,所以a10a11+a9a12=2a所以a10a11=e5所以lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11=ln(e5)10=lne50=50.答案:50三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列QUOTE中,a1=1,a5=4a3. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求QUOTE的通項(xiàng)公式.(2)記Sn為QUOTE的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m.【解析】(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則Sn=QUOTE.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解.若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m綜上,m=6.10.(2024·鄭州模擬)已知等比數(shù)列{an}的公比q>0,其前n項(xiàng)和為Sn,且S5=62,a4,a5的等差中項(xiàng)為3a3. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=QUOTE,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)因?yàn)閍4+a5=6a3,所以a1q3+a1q4=6a1q2,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以S5=QUOTE=31a1=62,a1=2,所以an=2·2n-1=2n.(2)因?yàn)閎n=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以Tn=b1+b2+…+bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE.(15分鐘35分)1.(5分)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗.羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主子要求賠償5斗粟.羊主子說:“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主子說:“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”準(zhǔn)備按此比率償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主子各應(yīng)償還粟a升,b升,c升,1斗為10升,則下列推斷正確的是A.a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且a=QUOTEB.a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且c=QUOTEC.a,b,c成公比為QUOTE的等比數(shù)列,且a=QUOTED.a,b,c成公比為QUOTE的等比數(shù)列,且c=QUOTE【解析】選D.由題意可得,a,b,c成公比為QUOTE的等比數(shù)列,b=QUOTEa,c=QUOTEb,三者之和為50升,故4c+2c+c=50,解得c=QUOTE.【變式備選】已知等比數(shù)列{an}的公比q=2,前100項(xiàng)和為S100=90,則其偶數(shù)項(xiàng)a2+a4+…+a100為 ()A.15 B.30 C.45 D.60【解析】選D.S100=a1+a2+…+a100=90,設(shè)S=a1+a3+…+a99,則2S=a2+a4+…+a100,所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+…+a100=2S=60.2.(5分)在等比數(shù)列{an}中,a2,a16是方程x2-6x+2=0的根,則QUOTE= ()A.-QUOTE B.-QUOTEC.QUOTE D.-QUOTE或QUOTE【解析】選D.由題意可得a2a16=2,又由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2a16=QUOTE=2,所以a9=±QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=a9=±QUOTE.【變式備選】在等比數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,則QUOTE= ()A.2QUOTE B.2 C.1 D.-2【解析】選A.由題知,a3+a15=6>0,a3a15=8>0,則a3>0,a15>0,由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a17=a3a15=8=QUOTE?a9=±2QUOTE.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a9=a3q6>0,故a9=2QUOTE,故QUOTE=QUOTE=2QUOTE.3.(5分)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2020=QUOTE,則QUOTE+QUOTE的最小值為________,此時q=________.

【解析】設(shè)公比為q(q>0),因?yàn)閍2020=QUOTE,所以a2019=QUOTE=QUOTE,a2021=a2020q=QUOTEq,則有QUOTE+QUOTE=QUOTEq+QUOTE=QUOTEq+QUOTE≥2QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)q2=2,即q=QUOTE時取等號,故所求最小值為4.答案:4QUOTE【變式備選】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和,若{Sn}是等差數(shù)列,則q為________.

【解析】若q=1,則Sn=na1,所以{Sn}是等差數(shù)列;若q≠1,則當(dāng){Sn}是等差數(shù)列時,肯定有2S2=S1+S3,所以2·QUOTE=a1+QUOTE,即q3-2q2+q=0,故q(q-1)2=0,所以q=0或q=1,而q≠0,q≠1,所以此時不成立.綜上可知,q=1.答案:14.(10分)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若a1=1,a2a4(1)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)因?yàn)閍1=1,a2·a4=16,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,a2·a4=QUOTE=16且an>0,所以a3=4,所以q2=QUOTE=4,所以q=2或q=-2(舍去),所以an=2n-1,因?yàn)閎n=log2an=log22n-1=n-1,所以bn=n-1.(2)由(1)得an·bn=(n-1)·2n-1,Sn=0·20+1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1①2Sn=0·21+1·22+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n②①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-1-(n-1)·2n=QUOTE-(n-1)·2n=2n(2-n)-2所以Sn=(n-2)·2n+2.5.(10分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=QUOTE(n∈N*). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)若數(shù)列{an+t}是等比數(shù)列,求t的值.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)當(dāng)n=1時,由a1=QUOTE=QUOTE得a1=1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7.依題意得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,當(dāng)t=1時,an+1=2(an-1+1),n≥2,即{an+1}為等比數(shù)列成立,故實(shí)數(shù)t的值為1.(2)由(1)知當(dāng)n≥2時,an+1=2(an-1+1),又因?yàn)閍1+1=2,所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1.1.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要