高等代數(shù)北大版第三版習(xí)題答案

高等代數(shù)（北大*第三版）答案目錄第一章多項(xiàng)式第二章行列式第三章線性方程組第四章矩陣第五章二次型第六章線性空間第七章線性變換第八章—矩陣第九章歐氏空間第十章雙線性函數(shù)與辛空間注：答案分三部分，該為第一部分，其他請搜索，謝謝！第一章多項(xiàng)式用除，求商與余式：1）；2）。解1）由帶余除法，可得；2）同理可得。2．適合什么條件時(shí)，有1），2）。解1）由假設(shè)，所得余式為0，即，所以當(dāng)時(shí)有。2）類似可得，于是當(dāng)時(shí)，代入（2）可得；而當(dāng)時(shí)，代入（2）可得。綜上所訴，當(dāng)或時(shí)，皆有。3．求除的商與余式：1）；2）。解1）；2）。4．把表示成的方冪和，即表成的形式：1）；2）；3）。解1）由綜合除法，可得；2）由綜合除法，可得；由綜合除法，可得。5．求與的最大公因式：1）；2）；3）。解1）；2）；3）。6．求使。1）；2）；3）。解1）因?yàn)樵儆?，解得，于是?）仿上面方法，可得，且。3）由可得。７．設(shè)與的最大公因式是一個(gè)二次多項(xiàng)式，求的值。解因?yàn)?，，且由題設(shè)知最大公因式是二次多項(xiàng)式，所以余式為0，即，從而可解得或。８．證明：如果，且為與的組合，那么是與的一個(gè)最大公因式。證易見是與的公因式。另設(shè)是與的任一公因式，下證。由于是與的一個(gè)組合，這就是說存在多項(xiàng)式與，使，從而由可得，得證。９．證明：，的首系數(shù)為１）。證因?yàn)榇嬖诙囗?xiàng)式使，所以，上式說明是與的一個(gè)組合。另一方面，由知，同理可得，從而是與的一個(gè)最大公因式，又因?yàn)榈氖醉?xiàng)系數(shù)為１，所以。１０．如果不全為零，證明：。證存在使，又因?yàn)椴蝗珵椋?，所以，由消去律可得，所以?1．證明：如果不全為零，且，那么。證由上題證明類似可得結(jié)論。12．證明：如果，那么。證由假設(shè)，存在及使（1）（2）將（1）（2）兩式相乘，得，所以。13．設(shè)都是多項(xiàng)式，而且。求證：。證由于，反復(fù)應(yīng)用第12題結(jié)論，可得，同理可證，從而可得。14．證明：如果，那么。證由題設(shè)知，所以存在使，從而，即，所以。同理。再由12題結(jié)論，即證。15．求下列多項(xiàng)式的公共根解由輾轉(zhuǎn)相除法，可求得，所以它們的公共根為。16．判別下列多項(xiàng)式有無重因式：1）；2）；解1），所以有的三重因式。2），，所以無重因式。17．求值，使有重根。解易知有三重根時(shí)，。若令，比較兩端系數(shù)，得由（1），（3）得，解得的三個(gè)根為，將的三個(gè)根分別代入（1），得。再將它們代入（2），得的三個(gè)根。當(dāng)時(shí)有3重根；當(dāng)時(shí)，有2重根。18．求多項(xiàng)式有重根的條件。解令，則，顯然當(dāng)時(shí)，只有當(dāng)才有三重根。下設(shè)，且為的重根，那么也為與的根，即由（1）可得，再由（2）有。所以，兩邊平方得，所以。綜上所敘即知，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式有重根。19．如果，求。解令，。由題設(shè)知，1是的根，也是的根，此即，解得。20．證明：不能有重根。證因?yàn)榈膶?dǎo)函數(shù)，所以，于是，從而無重根。21．如果是的一個(gè)k重根，證明是的一個(gè)k+3重根。證因?yàn)椋捎谑堑闹馗?，故是的重根。代入?yàn)算知是的根?，F(xiàn)在設(shè)是的重根，則是的重根，也是的s-2重根。所以。得證。22．證明：是的重根的充分必要條件是，而證必要性：設(shè)是的重根,從而是的重根，是的重根，，是的一重根，并且不是的根。于是而。充分性：由，而，知是的一重根。又由于，知是的二重根，依此類推，可知是的重根。23．舉例說明段語“是的重根，那么是的重根”是不對的。解例如，設(shè)，那么以0為重根，但0不是的根。24．證明：如果，那么。證要證明，就是要證明（這是因?yàn)槲覀兛梢园芽醋鳛橐粋€(gè)變量）。由題設(shè)由，所以，也就是，得證。25．證明：如果，那么。證因?yàn)榈膬蓚€(gè)根為和，其中，所以和也是的根，且，于是，解之得。得證。26．求多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解。解在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，其中，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有其中，皆為實(shí)數(shù)。當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，有27．求下列多項(xiàng)式的有理根：1）；2）；3）。解利用剩余除法試根，可得有一個(gè)有理根2。有兩個(gè)有理根（即有2重有理根）。有五個(gè)有理根（即一個(gè)單有理根3和一個(gè)4重有理根）。28．下列多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否可約？1）；2）；3）；4）為奇素?cái)?shù)；5）為整數(shù)。解1）因?yàn)槎疾皇撬母?，所以在有理?shù)域里不可約。2）利用艾森斯坦判別法，取，則此多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。3）首先證明：命題設(shè)有多項(xiàng)式，令或，得或則與或者同時(shí)可約，或者同時(shí)不可約。事實(shí)上，若可約，即，從而，這就是說也可約，反之亦然。現(xiàn)在我們用它來證明在有理數(shù)域上不可約。令，則多項(xiàng)式變?yōu)槔冒固古袆e法，取，即證上式不可約，因而也不可約。設(shè)，令，則由于是素?cái)?shù)，因而，但，所以由艾森斯坦判別法，即證在有理數(shù)域上不可約，因而也在有理數(shù)域上不可約。已知，令，可得利用艾森斯坦判別法，取，即證在有理數(shù)域上不可約，因而也在有理數(shù)域上不可約。29．用初等對稱多項(xiàng)式表求出下列對稱多項(xiàng)式：1）；2）；3）；4）；5)；6)。解1）對稱多項(xiàng)式的首項(xiàng)為，其方冪為，即，又因?yàn)椋栽?。2）同理可得原式=，由此可知多項(xiàng)式時(shí)六次對稱多項(xiàng)式，且首項(xiàng)為，所以的方冪之積為指數(shù)組對應(yīng)的方冪乘積420411330321222原式=(1)只要令,則原式左邊。另一方面，有，代入（1）式，得。再令，得。令，得（2）令得（3）由（2），（3）解得。因此原式。4）原式=指數(shù)組對應(yīng)的方冪乘積220021101111設(shè)原式令得。再令得。因此原式。原式=，由于，，所以原式。原式，其中，，，所以原式。30．用初等對稱多項(xiàng)式表出下列n元對稱多項(xiàng)式：1）；2）；3）；4）；（表示所有由經(jīng)過對換得到的項(xiàng)的和。）解1）因?yàn)槎囗?xiàng)式的首項(xiàng)為，所以指數(shù)組對應(yīng)的方冪乘積4000…03100…02200…02110…01111..0設(shè)原式，令得。得。得。得。所以原式。2）同理可得原式。3）原式。原式。31．設(shè)是方程的三個(gè)根，計(jì)算解因?yàn)?，由根和系?shù)的關(guān)系，可得，再將對稱多項(xiàng)式化為初等多項(xiàng)式并計(jì)算，可得。32．證明：三次方程的三個(gè)根成等差數(shù)列的充分必要條件為。證設(shè)原方程的三個(gè)根為，則它們成等差數(shù)列的充分必要條件為。將上式左端表為初等對稱多項(xiàng)式，得，故三根成等差數(shù)列的充分必要條件為。二、補(bǔ)充題及參考解答設(shè)，且，證明：證設(shè),則由已知，得。其次，設(shè)是與的任一公因式，只需證明即可。因?yàn)?所以又因?yàn)?從而。故也是與的最大公因式。證明：只要的次數(shù)都大于零，就可以適當(dāng)選擇適合等式的與，使證存在多項(xiàng)式，，使,從而（1）若的次數(shù)滿足,則事實(shí)上，采用反證法。若,則（1）式左邊的第一項(xiàng)次數(shù)小于,而第二項(xiàng)的次數(shù)大于或等于,這樣（1）式左端的次數(shù)，但（1）式右端的次數(shù)為零，矛盾。所以,此時(shí)，即為所求。2)若,則用除，可得,其中,注意到是不可能的，事實(shí)上，若，則,代入（1）式得,矛盾。再將代入（1）式，可得,令,再利用本題1）的證明結(jié)果，即證。證明：如果與互素，那么與也互素。證由假設(shè)，存在和使,于是，即證。證明：如果的最大公因式存在，那么的最大公因式也存在，且當(dāng)全不為零時(shí)有,再利用上式證明，存在使.證因?yàn)榈淖畲蠊蚴酱嬖?，設(shè)其為，則,于是與的最大公因式也存在，不妨設(shè)為,則,若設(shè)是的任一公因式，則,這樣為與的一個(gè)公因式，又可得，即證.下面用歸納法證明本題第二部分。當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，假設(shè)命題對也成立，即存在，使,成立。再證命題對也成立。事實(shí)上，存在和，使，令，，即證。多項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式的一個(gè)最小公因式，如果1）；2）的任一公倍式都是的倍式。我們以表示首項(xiàng)系數(shù)是1的那個(gè)最小公倍式，證明：如果的首項(xiàng)系數(shù)都是1，那么。證令，則，，于是。即，，設(shè)是與的任一公倍式，下面證明。由倍式的定義，有，即，消去得，于是。由于，因而或者，所以，。即證。證明：設(shè)是次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，如果對于任何多項(xiàng)式，由，可以推出或者，那么是不可約多項(xiàng)式。證采用反證法。設(shè)可約，則有，那么由假設(shè)可得或，這是不可能的，因?yàn)楹竺鎯蓚€(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)低于的次數(shù)。于是得證。證明：次數(shù)且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式是一個(gè)不可約多項(xiàng)式的方冪的充分必要條件為：對任意的多項(xiàng)式必有，或者對某一正整數(shù)。證必要性：設(shè)（其中是不可約多項(xiàng)式），則對任意多項(xiàng)式，有1）；或2）。對于1）有。對于2）有，此即。再讓，即必要性得證。充分性：設(shè)不是某一個(gè)多項(xiàng)式的方冪，則，其中是正整數(shù)。若，則由題設(shè)知與滿足或（為某一正整數(shù)）。但這是不可能的，即證。證明：次數(shù)且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式是某一不可約多項(xiàng)式的方冪的充分必要條件是：對任意的多項(xiàng)式，由，可以推出，或者對某一正整數(shù)。證必要性：設(shè)，則對多項(xiàng)式，有1），于是；2）為某一正整數(shù)）。必要性成立。充分性：對任意多項(xiàng)式，有或，若，那么，但。再由充分性假設(shè)，可得為某一正整數(shù)。于是由第7題的充分條件，即證。證明：不能有不為零的重?cái)?shù)大于2的根。證設(shè)，則，又因?yàn)榈姆橇愀际嵌囗?xiàng)式的根，而的個(gè)根都是單根，因而沒有不為零且重?cái)?shù)大于2的根。證明：如果，那么的根只能是零或單位根。證設(shè)是的任一個(gè)根，由知，也是的根，即，所以也是的根。以此類推下去，則都是的根。若是次多項(xiàng)式，則最多只可能有個(gè)相異的根，于是存在使，，因此的根或者為0，或者為單位根。11．如果，證明有重根，其中。證設(shè)是的個(gè)不同的根，且它們的重?cái)?shù)分別為，由于是次多項(xiàng)式，因而，其次，由，所以分別為的重根，但，所以，從而。這就是說，只可能有一個(gè)根，且重?cái)?shù)為。故有重根。設(shè)是個(gè)不同的數(shù)，而證明：1）；2）任意多項(xiàng)式用除所得的余式為證1）令，則，但，所以。即證得。2）對于任意的多項(xiàng)式，用除得，當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。當(dāng)時(shí)，若令，則，于是，即證得。設(shè)與同上題，且是任意個(gè)數(shù)，顯然適合條件。這稱為拉格朗日(Lagrange)插值公式。利用上面的公式：一個(gè)次數(shù)的多項(xiàng)式，它適合條件：2）一個(gè)二次多項(xiàng)式，它在處與函數(shù)有相同的值；3）一個(gè)次數(shù)盡可能低的多項(xiàng)式，使解1）設(shè)，且，將它們代入（即），可得。已知，，設(shè)，與上題類似，可得。同理，設(shè)，可得。14．設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，試證：如果與都是奇數(shù)，那么不能有整數(shù)根。證設(shè)是的一個(gè)整數(shù)根，則，由綜合法知商式也為整系數(shù)多項(xiàng)式，于是又因?yàn)榕c中必有一個(gè)為偶數(shù)，從而與中至少有一個(gè)為偶數(shù)，與題設(shè)矛盾。故無整數(shù)根。15．設(shè)是方程的根，證明：的對稱多項(xiàng)式可以表成與的多項(xiàng)式。證設(shè)是關(guān)于的任意一個(gè)對稱多項(xiàng)式，由對稱多項(xiàng)式的基本定理，有(1)其中是的初等對稱多項(xiàng)式。由于（2）其中為的初等對稱多項(xiàng)式，但是（3）將（3）代入（2）可知，是的一個(gè)多項(xiàng)式，不妨記為（4）再將（4）代入（1）式右端，即證可表為的多項(xiàng)式。16．設(shè)，令。證明其中的次數(shù)或。由上式證明牛頓(Newton)公式：（對）（對）證1）由假設(shè)，，其中是一個(gè)次數(shù)的多項(xiàng)式。故2）由于，，因此得等式當(dāng)時(shí)，比較上式兩端含的系數(shù)，首先由于不含有的項(xiàng)，所以等式左端含的系數(shù)為，而右端含的項(xiàng)只有一項(xiàng)，它的系數(shù)為，所以，注意到，即證得。當(dāng)時(shí)，等式右端所有項(xiàng)的次數(shù)都大于，所以含的系數(shù)為0，而左端含的項(xiàng)的系數(shù)為，因此。得證。17．根據(jù)牛頓公式，用初等對稱多項(xiàng)式表示。解1）當(dāng)時(shí)，由上題可得，而，所以。同理可得，，，。2）當(dāng)時(shí)，同1）所給，且。3)當(dāng)時(shí)，同1）所給，同2）所給，且。4）當(dāng)時(shí)，同1）所給，同3）所給，且。5）當(dāng)時(shí)，同1）所給，同4）所給，且。18．證明：如果對于某一個(gè)6次方程有，那么。證這時(shí)，并注意，且，所以，于是，，即。而，故。19．求一個(gè)次方程使。解設(shè)此方程為，由題設(shè)及牛頓公式，可得，故所求方程為或。20．求一個(gè)次方程使。解設(shè)此方程為，由題設(shè)及牛頓公式可得，即，所以，，，，故所求方程為。第二章行列式1.求以下9級排列的逆序數(shù),從而決定它們的奇偶性134782695;217986354;987654321;解:1)所求排列的逆序數(shù)為:，所以此排列為偶排列。2)所求排列的逆序數(shù)為:，所以此排列為偶排列。3)所求排列的逆序數(shù)為:，所以此排列為偶排列。2.選擇與使1)1274569成偶排列；2)1254897成奇排列。解:1)當(dāng)時(shí),所求排列的逆序數(shù)為:，故當(dāng)時(shí)的排列為偶排列.。2)當(dāng)時(shí),所求排列的逆序數(shù)為:，故當(dāng)時(shí)的排列為奇排列。3.寫出把排列12345變成排列25341的那些對換。解:12345。4.決定排列的逆序數(shù),并討論它的奇偶性。解:因?yàn)?與其它數(shù)構(gòu)成個(gè)逆序,2與其它數(shù)構(gòu)成個(gè)逆序,……構(gòu)成1個(gè)逆序,所以排列的逆序數(shù)為5.如果排列的逆序數(shù)為,排列的逆序數(shù)是多少?解:因?yàn)楸却蟮臄?shù)有個(gè),所以在與這兩個(gè)排列中,由與比它的各數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和為.因而,由構(gòu)成的逆序總數(shù)恰為。而排列的逆序數(shù)為,故排列的逆序數(shù)為。6.在6階行列式中,,這兩項(xiàng)應(yīng)帶有什么符號?解:在6階行列式中,項(xiàng)前面的符號為。同理項(xiàng)前面的符號為。所以這兩項(xiàng)都帶有正號。7．寫出4階行列式中所有帶有負(fù)號并且因子的項(xiàng)。解：所求的各項(xiàng)應(yīng)是，，。8．按定義計(jì)算行列式：1）2）3）。解：1）所給行列式的展開式中只含有一個(gè)非零項(xiàng)，它前面的符號應(yīng)為，所以原行列式=。2）所給行列式的展開式中只含有一個(gè)非零項(xiàng)，它前面的符號應(yīng)為，所以原行列式=！。3）所給行列式的展開式中只含有一個(gè)非零項(xiàng)，它前面的符號應(yīng)為，所以原行列式=！。9．由行列式定義證明：解：行列式展開的一般項(xiàng)可表示為，列標(biāo)只可以在1，2，3，4，5中取不同的值，故三個(gè)下標(biāo)中至少有一個(gè)要取3，4，5列中之一數(shù)，從而任何一個(gè)展開式中至少要包含一個(gè)0元素，故所給行列式展開式中每一項(xiàng)的乘積必為0，因此原行列式值為0。10．由行列式定義計(jì)算中與的系數(shù)，并說明理由。解：含有的展開項(xiàng)只能是，所以的系數(shù)為2；同理，含有的展開項(xiàng)只能是，所以的系數(shù)為-1。11.由，證明：奇偶排列各半。證：由題設(shè)，所給行列式的展開式中的每一項(xiàng)的絕對值等于1。而行列式的值為0，這說明帶正號與帶負(fù)號的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)相等.根據(jù)行列式的定義，其展開式中的每一項(xiàng)的符號是由該乘積中各因子下標(biāo)排列的逆序數(shù)所決定的，即當(dāng)該乘積中各因子的第一個(gè)下標(biāo)排成自然順序，且第二個(gè)下標(biāo)所成排列為偶排列時(shí)，該項(xiàng)前面所帶的符號為正，否則為負(fù)號，所以，由帶正號的項(xiàng)與帶負(fù)號的項(xiàng)數(shù)相等即說明奇偶排列各半。12．設(shè)，其中是互不相同的數(shù)。由行列式定義，說明是一個(gè)次多項(xiàng)式；由行列式性質(zhì)，求的根。解：1）因?yàn)樗o行列式的展開式中只有第一行含有，所以若行列式的第一行展開時(shí)，含有的對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)恰為乘一個(gè)范德蒙行列式于是，由為互不相同的的數(shù)即知含有的對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不為0，因而為一個(gè)次的多項(xiàng)式。若用分代替時(shí)，則由行列式的性質(zhì)知所給行列式的值為0，即.故至少有個(gè)根.又因?yàn)槭且粋€(gè)次的多項(xiàng)式，所以必是的全部根。13．計(jì)算下面的行列式：1）2）3）4）5）6）解：1）原式==。2）原式==。3）原式=。4）原式==20。原式=原式==0。14.證明。證明：由行列式的性質(zhì)，有左邊=2=2=2右邊。15．算出下列行列式的全部代數(shù)余子式：1）2）解：1），，，，，，，，。2），，。16．計(jì)算下面的行列式：1）2）3）4）解：1）原式==。2）原式==-=-。原式==-=3。原式===-=-。17．計(jì)算下列階行列式：1）2）3）4）5）解：1）按第一列展開，原式=。2）從第2列起各列減去第1列原式=當(dāng)時(shí)，原式=0；當(dāng)時(shí)，原式=；當(dāng)時(shí)，原式=。3）原式=。4）原式==！。各列加到第1列得到原式==。18.證明：1）。2）。3）。4）。5）。證明：4）分別將第行乘以-加到第1行，得左邊===右邊。4）從最后一行起，分別將每一行都乘以后加到其前一行，得左邊==右邊。4）將所給行列式記為，按第1列展開得，即，此式對一切都成立.故遞推得，在中的地位是一樣的，故同理可得，所以，從而=右邊。4）對2階行列式，有，此時(shí)結(jié)論成立。假設(shè)對階數(shù)小于的行列式結(jié)論皆成立，則對階行列式按最后一行展開，得，因?yàn)?，代入可得故對一切結(jié)論成立，即證。4）左邊====右邊。19．用克拉默法則解下列方程：1）2）3）4）解：1）。所以方程組有唯一解：。2）。所以方程組有唯一解：。3）。所以方程組有唯一解：。4）.所以方程組有唯一解：。20．設(shè)是數(shù)域中互不相同的數(shù)，是數(shù)域中任一組給定的數(shù)，用克拉默法則證明：有唯一的數(shù)域上的多項(xiàng)式使。證明：由得這是一個(gè)關(guān)于的線性方程組，且它的系數(shù)行列式為一個(gè)范得蒙行列式.由已知該行列式不為0，故線性方程組只有唯一解，即所求多項(xiàng)式是唯一的。21．設(shè)水銀密度與溫度的關(guān)系為，由實(shí)驗(yàn)測定得以下數(shù)據(jù)：10203013.6013.5713.5513.52求，40時(shí)的水銀密度（準(zhǔn)確到兩位數(shù)）。解：將的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入關(guān)系式，得，且因?yàn)橄禂?shù)行列式由克拉默法則可求得，故所求關(guān)系式為，再將分別代入上式，其水銀密度分別為。第三章線性方程組用消元法解下列線性方程組：解1）對方程組得增廣矩陣作行初等變換，有因?yàn)?，所以方程組有無窮多解，其同解方程組為，解得其中為任意常數(shù)。2）對方程組德增廣矩陣作行初等變換，有因?yàn)?，所以原方程無解。3）對方程組德增廣矩陣作行初等變換，有，因?yàn)椋苑匠探M有惟一解，且其解為。4）對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有，即原方程組德同解方程組為，由此可解得，其中是任意常數(shù)。5）對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有因?yàn)?，所以原方程組無解。6）對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有，即原方程組的同解方程組為，解之得，其中是任意常數(shù)。2.把向量表成的線性組合.。解1）設(shè)有線性關(guān)系代入所給向量，可得線性方程組，解之，得，因此。2）同理可得。3.證明：如果向量組線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則向量可由線性表出.證由題設(shè)，可以找到不全為零的數(shù)使，顯然.事實(shí)上，若，而不全為零，使成立，這與線性無關(guān)的假設(shè)矛盾，即證.故，即向量可由線性表出。4.，證明：如果，那么線性無關(guān)。證設(shè)有線性關(guān)系，代入分量，可得方程組，由于，故齊次線性方程組只有零解，從而線性無關(guān)。5.設(shè)是互不相同的數(shù)，.證明：是線性無關(guān)的。證設(shè)有線性關(guān)系，則，1）當(dāng)時(shí)，方程組中的未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同，且系數(shù)行列式為一個(gè)范德蒙行列式，即，所以方程組有惟一的零解，這就是說線性無關(guān)。2）當(dāng)時(shí)，令則由上面1)的證明可知是線性無關(guān)的。而是延長的向量，所以也線性無關(guān)。6.設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)。證設(shè)由線性關(guān)系，則。再由題設(shè)知線性無關(guān)，所以，解得，所以線性無關(guān)。7.已知的秩為，證明：中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個(gè)極大線性無關(guān)組.證設(shè)是中任意個(gè)線性無關(guān)向量組，如果能夠證明任意一個(gè)向量都可由線性表出就可以了。事實(shí)上，向量組是線性相關(guān)的，否則原向量組的秩大于，矛盾.這說明可由線性表出，再由的任意性，即證。8.設(shè)的秩為，是中的個(gè)向量，使得中每個(gè)向量都可被它們線性表出，證明：是的一個(gè)極大線性無關(guān)組。證由題設(shè)知與等價(jià)，所以的秩與的秩相等，且等于.又因?yàn)榫€性無關(guān)，故而是的一個(gè)極大線性無關(guān)組。9.證明：一個(gè)向量組的任何一個(gè)線性無關(guān)組都可以擴(kuò)充成一線性無關(guān)組。證將所給向量組用（Ⅰ）表示，它的一個(gè)線性無關(guān)向量組用（Ⅱ）表示。若向量組（Ⅰ）中每一個(gè)向量都可由向量組（Ⅱ）線性表出，那么向量組（Ⅱ）就是向量組（Ⅰ）的極大線性無關(guān)組.否則，向量組（Ⅰ）至少有一個(gè)向量不能由向量組（Ⅱ）線性表出，此時(shí)將添加到向量組（Ⅱ）中去，得到向量組（Ⅲ），且向量組（Ⅲ）是線性無關(guān)的。進(jìn)而，再檢查向量組（Ⅰ）中向量是否皆可由向量組（Ⅲ）線性表出.若還不能，再把不能由向量組（Ⅲ）線性表出的向量添加到向量組（Ⅲ）中去，得到向量組（Ⅳ）。繼續(xù)這樣下去，因?yàn)橄蛄拷M（Ⅰ）的秩有限，所以只需經(jīng)過有限步后，即可得到向量組（Ⅰ）的一個(gè)極大線性無關(guān)組。10.設(shè)向量組為，，，，。證明：線性無關(guān)。把擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組。證1）由于的對應(yīng)分量不成比例，因而線性無關(guān)。2）因?yàn)椋矣?，可解得，所以線性無關(guān)。再令，代入已知向量后，由于相應(yīng)的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，因而該齊次線性方程組存在非零解，即線性相關(guān)，所以可由線性表出。這意味著就是原向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。注此題也可將排成的矩陣，再通過列初等變換化為行階梯形或行最簡形，然后得到相應(yīng)結(jié)論。11.用消元法求下列向量組的極大線性無關(guān)組與秩：，解1）設(shè)對矩陣作行初等變換，可得，所以的秩為3，且即為所求極大線性無關(guān)組。同理可得為所求極大線性無關(guān)組，且向量組的秩為3。12.證明：如果向量組（Ⅰ）可以由向量組（Ⅱ）線性表出，那么（Ⅰ）的秩不超過（Ⅱ）的秩。證由題設(shè)，向量組（Ⅰ）的極大線性無關(guān)組也可由向量組（Ⅱ）的極大線性無關(guān)組線性表出，即證向量組（Ⅰ）的秩不超過向量組（Ⅱ）的秩。13.設(shè)是一組維向量，已知單位向量可被它們線性表出，證明：線性無關(guān)。證設(shè)的秩為，而的秩為。由題設(shè)及上題結(jié)果知，從而，故線性無關(guān)。14.設(shè)是一組維向量，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是任一維向量都可被它們線性表出。證必要性.設(shè)線性無關(guān)，但是個(gè)維向量必線性相關(guān)，于是對任意維向量，它必可由線性表出。充分性任意維向量可由線性表出，特別單位向量可由線性表出，于是由上題結(jié)果，即證線性無關(guān)。15.證明：方程組對任何都有解的充分必要條件是系數(shù)行列式。證充分性.由克拉默來姆法則即證。下證必要性.記，則原方程組可表示為，由題設(shè)知，任意向量都可由線性表出，因此由上題結(jié)果可知線性無關(guān)。進(jìn)而，下述線性關(guān)系，僅有惟一零解，故必須有，即證。16.已知與有相同的秩，證明：與等價(jià)。證由于與有相同的秩，因此它們的極大線性無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)必定相等.這樣的極大線性無關(guān)組也必為的極大線性無關(guān)組，從而它們有相同的極大線性無關(guān)組。另一方面，因?yàn)樗鼈兎謩e與極大線性無關(guān)組等價(jià)，所以它們一定等價(jià)。17.設(shè)，證明：與具有相同的秩。證只要證明兩向量組等價(jià)即可.由題設(shè)，知可由線性表出。現(xiàn)在把這些等式統(tǒng)統(tǒng)加起來，可得，于是，即證也可由線性表出，從而向量組與等價(jià)。18.計(jì)算下列矩陣的秩：1）2）3）4）5）。解1）秩為4；2）秩為3；3）秩為2；4）秩為3；5）秩為5。19.討論取什么值時(shí)，下列方程有解，并求解。1）2）3）解1）因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時(shí)，原方程組與方程同解，故原方程組有無窮多解，且其解為，其中為任意常數(shù)。當(dāng)時(shí)，原方程組無解。當(dāng)且時(shí)，原方程組有惟一解。且。2）因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時(shí)，原方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩分別為2與3，所以無解。當(dāng)時(shí)，的秩為2，的秩為3，故原方程組也無解。當(dāng)，且時(shí)，方程組有唯一解。因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時(shí)，即且時(shí)，方程組有惟一解，且為，當(dāng)時(shí)1o若，這時(shí)系數(shù)矩陣的秩為2，而它的增廣矩陣的秩為3，故原方程組無解。2o若，這時(shí)增廣矩陣所以當(dāng)時(shí)，的秩為3，的秩為，原方程組無解。而當(dāng)時(shí)，原方程組有無窮多個(gè)解，且其解為，其中為任意常數(shù)。20.求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并用它表出全部解：1）2）3）4）解1）對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有因?yàn)?，所以原方程組的基礎(chǔ)解中含有3個(gè)線性無關(guān)的解向量，且原方程組的同解方程組為，于是只要令即得，同理，令即得，即得，則為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。2）對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有因?yàn)?，所以原方程組的基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)線性無關(guān)的解向量，且原方程組的同解方程組為，若令，得，，得，則為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。3）對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有又因?yàn)樗?，方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)線性無關(guān)的解向量，且原方程組的同解方程組為。于是令，可得，則即為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有又應(yīng)為所以，方程組的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)線性無關(guān)大解向量，且原方程組的同解方程組為，得，，得，則為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。21.用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表出第1題1）、4）、6）題中線性方程組的全部解，其中解1）對原方程組的增廣矩陣作初等行變換，可得，所以方程組有無窮多解，且其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)線性無關(guān)的解向量，又因?yàn)樵匠探M的同解方程組為，若令，代入原方程組的導(dǎo)出組，可解得，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，且原方程組的一個(gè)特解為，故園方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。4）對原齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等變換，可得，所以方程組有無窮多解，且其基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)線性無關(guān)的解向量，又因?yàn)樵匠探M的同解方程組為，若令，得，再令，得，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，，故原方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。6）對原方程組的增廣矩陣作初等變換，可得，所以方程組有無窮多個(gè)解，且其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)線性無關(guān)的解向量，又因?yàn)樵匠探M的同解方程組為，若令，代入原方程組的導(dǎo)出組，可解得，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，且原方程組的一個(gè)特解為，故原方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。22.取什么值時(shí)，線性方程組有解？在有解的情形，求一般解。解對方程組的增廣矩陣行作初等變換：。于是，只有且時(shí)，增廣矩陣的秩與系數(shù)的秩都為2，此時(shí)原方程組有解；當(dāng)且時(shí)，原方程組都無解。當(dāng)，時(shí)，原方程組與方程組，同解，且其一般解為，其中為任意常數(shù)。23.設(shè)證明：此方程組有解的充分必要條件為，在有解的情形，求出它的一般解。證對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有此時(shí)的秩為4，的秩為4的充分必要條件是，因此，原方程組有解的充分必要條件是。其次，當(dāng)時(shí)，原方程組與方程組與，同解，所以它的一般解為，其中為任意常數(shù)。24.證明：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)向量組也是基礎(chǔ)解系。證由于兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)是相等的，不妨設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且與它等價(jià)，則可由線性表出，從而也是原齊次線性方程組的解。又由題設(shè)知線性無關(guān)，且可由線性表出，從而齊次線性方程組的任一個(gè)解也都可以由線性表出，即證也是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。25.設(shè)齊次方程組，的系數(shù)矩陣的秩為，證明：方程組的任意個(gè)線性無關(guān)的解都是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證由于方程組的系數(shù)矩陣的秩為，所以它的基礎(chǔ)解系所含線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為。設(shè)是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，是方程組的任意個(gè)線性無關(guān)的解向量，則向量組，的秩仍為，且是它的一個(gè)極大線性無關(guān)組，同理也是它的一個(gè)極大線性無關(guān)組，所以與等價(jià)，再由上題即證。26.證明：如果是一線性方程組的解，那么，（其中）也是一個(gè)解。證設(shè)線性方程組為由題設(shè)，是該方程組的個(gè)解，現(xiàn)將代入方程組，得，所以仍是方程組的一個(gè)解，即證。27.多項(xiàng)式與在取什么值時(shí)有公共根？解因?yàn)榕c的結(jié)式為，故當(dāng)時(shí)，有，從而與有公共根。此外，由還可求得的3個(gè)根，它們皆可使與有公共根。28.解下列聯(lián)立方程：解1）由結(jié)式，可解得下1，1，2，-1四個(gè)根。當(dāng)時(shí)，代入原方程組，可得，解此方程組，可得。當(dāng)時(shí)，代入原方程組，得，解之得。當(dāng)時(shí)，代入原方程組，可得，解之得。故原方程組有四組公共解為2）同理可得，所以解得，，，，代入原方程組，可得四組公共解為。3）由，可解得原方程組的組公共解為第四章矩陣1.設(shè)1），2），計(jì)算，。解1），2），其中，，，，，，2.計(jì)算，，解。。采用數(shù)學(xué)歸納法，可證。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立。當(dāng)時(shí)，歸納假設(shè)結(jié)論成立，即于是當(dāng)時(shí)，有，即證成立。4）采用數(shù)學(xué)歸納法，可證，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立。當(dāng)時(shí)，歸納假設(shè)結(jié)論成立，即，于是當(dāng)時(shí)，有，其中，同理可得，，，因而有。5），。6）。7）注意到，這意味著，若令，則.下面對分兩種情形討論①為偶數(shù)，即，于是，②為奇數(shù)，即，于是，故。8）采用數(shù)學(xué)歸納法，可證，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立，現(xiàn)在歸納假設(shè)，于是，，即證結(jié)論成立。3.設(shè)，是一個(gè)矩陣，定義。1），；2），，試求。解1）。2）。4.如果，矩陣就稱為與可交換，設(shè)1）2）3）求所有與可交換的矩陣。解1）若記，并設(shè)與可交換，即，于是，所以，故任意，從而所有與可交換的矩陣為，其中為任意常數(shù)。2）同理，記并設(shè)與可交換，即于是，所以，比較對應(yīng)的元，可得，，，，，，于是所有與可交換的矩陣為，其中為任意常數(shù)。3）設(shè)與可交換，即，于是，故得,,。所以所有與可交換的矩陣為，其中為任意常數(shù)。5.設(shè)其中（當(dāng)時(shí)）（），證明：與可交換的矩陣只能是對角矩陣。證設(shè)與可交換，于是由，有，即（當(dāng)時(shí)）.有因?yàn)?，所以。于是，與可交換的矩陣只能是對角矩陣。6.設(shè)，其中（當(dāng)時(shí)）（），是階單位矩陣，證明：與可交換的矩陣只能是準(zhǔn)對角矩陣，其中是階矩陣（）。證設(shè)與可交換（其中是階矩陣），則由，可得當(dāng)時(shí)，由及，因而必有。于是，與可交換的矩陣只能是準(zhǔn)對角矩陣，其中是階矩陣（）。7.用表示行列的元素（即元）為1，而其余元素全為零的矩陣，而．證明：1）如果，那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；2）如果，那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且；3）如果與所有的階矩陣可交換，那么一定是數(shù)量矩陣，即。證1）因?yàn)?，所以，。即?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。2）因?yàn)榱行兴援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)且。3）與任何矩陣相乘可交換，必與相乘可交換，于是由得（），因此是數(shù)量矩陣。8.如果，證明：。證，。9.如果，證明：當(dāng)且僅當(dāng)。證充分性.若，因?yàn)椋?。必要?若，則，即，即證。10.矩陣稱為對稱的，如果.證明：如果是實(shí)對稱矩陣，且，那么。證設(shè)，則。由有，因而必有，即證。11.設(shè)都是對稱矩陣，證明：也對稱當(dāng)且僅當(dāng)可交換。證當(dāng)時(shí)，有，所以是對稱矩陣。反之，當(dāng)時(shí)，有。12.矩陣稱為反對稱的，如果，證明：任一矩陣都可表為一對稱矩陣與一反對稱矩陣之和。證設(shè)是任一矩陣，因?yàn)?，且是對稱矩陣，是反對稱矩陣，所以結(jié)論成立。13.設(shè).證明：證由題設(shè)知。14.設(shè)是矩陣，證明：存在一個(gè)非零矩陣使的充分必要條件是。證充分性.若，則齊次方程組有非零解，只要取即可。必要性.設(shè)，使，這里是的列向量。不失一般性，設(shè)，則由，得。因此，，即有非零解，從而。15.設(shè)是矩陣，如果對任一維向量都有，那么。證證法1由題設(shè)知，維向量空間中的所有向量都是齊次線性方程組的解，故方程組的基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無關(guān)的解向量，所以，即證。16設(shè)為一矩陣，為矩陣，且.證明：如果，那么；如果，那么。證1）若，設(shè)，，因，不失一般性，可設(shè)。由，得因?yàn)樵擙R次方程組的系數(shù)行列式不等于零，故它只有惟一零解，即，因而。若，則，由1）知，因此。17.證明：。證設(shè)，，則。若與分別是與的列向量組的極大線性無關(guān)組，則有于是，即的列向量組可由線性表出，故。18.設(shè)為矩陣，證明：如果，那么。證設(shè)的列向量組為，則，故有。即方程組有組解。若，則可由個(gè)線性無關(guān)的解向量線性表出，于是。因此。19.證明：如果，那么。證。即證。20.求，設(shè)，解1）。2）對作行初等變換，有，所以。3）對作行初等變換，可得，所以。4）對作行初等變換，可得，所以。5）對作行初等變換，有，所以。6）對作行初等變換，有，所以。7）因?yàn)?，所以?）對作行初等變換，有。9）因?yàn)榍?，所以?0）因?yàn)?，所以?1.設(shè)，已知存在，求。解設(shè)，則。因此，左乘，得，，又由于，，左乘得，，故。22.設(shè)，其中，求。解記，其中則。而，故。23.求矩陣，設(shè)，，，。解1）。2）。3）。4）。24.證明：1）如果可逆對稱（反對稱），那么也對稱（反對稱）；2）不存在奇數(shù)階的可逆反對稱矩陣。證1)若，則。2）由，知，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，故不可逆。25.矩陣稱為上（下）三角矩陣，如果當(dāng)時(shí)有。證明：1）兩個(gè)上（下）三角形矩陣的乘積仍是上（下）三角矩陣；2）可逆的上（下）三角矩陣的逆仍是上（下）三角矩陣。證1）設(shè)，，假定，其中，當(dāng)時(shí)，顯然中各項(xiàng)均有因子為零，故，所以是上三角矩陣。對于是下三角陣情形同法可證。2）令，設(shè)是的逆，即，比較和的第一列元素，有，因?yàn)椋?，因而得。同理可得：?dāng)時(shí)，因而是上三角陣。是下三角陣的情形同理可證。26.證明：，其中是矩陣。證因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)有。當(dāng)時(shí)ⅰ),有，于是。ⅱ），由于，于是有非零解，故，于是，所以此時(shí)也有，，即證。27.證明：如果是矩陣，那么證當(dāng)時(shí)，故，所以。當(dāng)時(shí)，至少有一個(gè)階子式不為0，所以。另一方面，由，有。于是，所以，.故。當(dāng)時(shí)，的一切階子式全為0，所以，因而，即證。第五章二次型1．用非退化線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并利用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果。1）；2）；3）；4）；5）；6）；7）。解1）已知，先作非退化線性替換（1）則，再作非退化線性替換（2）則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，最后將（2）代入（1），可得非退化線性替換為（3）于是相應(yīng)的替換矩陣為，且有。2）已知，由配方法可得，于是可令，則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，相應(yīng)的替換矩陣為，且有。（3）已知，由配方法可得，于是可令，則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，相應(yīng)的替換矩陣為，且有。（4）已知，先作非退化線性替換，則，再作非退化線性替換，則，再令，則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，相應(yīng)的替換矩陣為，且有。（5）已知，先作非退化線性替換，則，再作非退化線性替換，即，則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，相應(yīng)的替換矩陣為，且有。（6）已知，由配方法可得，于是可令，則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，故替換矩陣為，且有。（7）已知，由配方法可得，于是可令，則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，相應(yīng)的替換矩陣為，且有。（Ⅱ）把上述二次型進(jìn)一步化為規(guī)范形，分實(shí)系數(shù)、復(fù)系數(shù)兩種情形；并寫出所作的非退化線性替換。解1）已求得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替換，可得二次型的規(guī)范形為。在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換，可得二次型的規(guī)范形為。2）已求得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，故該非退化線性替換已將原二次型化為實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形和復(fù)數(shù)域上的規(guī)范形。3）已求得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，在實(shí)數(shù)域上，上面所作非退化線性替換已將二次型化為規(guī)范形，即。在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換?？傻枚涡偷囊?guī)范形為。已求得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替換，可得二次型的規(guī)范形為。（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換，可得二次型的規(guī)范形為。（5）已求得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為，在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替換，可得二次型的規(guī)范形為。在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換，可得二次型的規(guī)范形為。6）已求得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為。（1）在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線性替換，可得二次型的規(guī)范形為。（2）在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換，可得二次型的規(guī)范形為。7）已求得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，且非退化線性替換為。（1）在實(shí)數(shù)域上，上面所作非退化線性替換已將二次型化為規(guī)范形，即。在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線性替換，可得二次型的規(guī)范形為。2．證明：秩等于的對稱矩陣可以表成個(gè)秩等于1的對稱矩陣之和。證由題設(shè)知且，于是存在可逆矩陣使，且為對角陣，又因?yàn)榫鶠榭赡婢仃?，所以有，其中于是。?/p>