山西省晉中市太谷區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

太谷區(qū)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期中質(zhì)量檢測試題八年級數(shù)學(xué)（本試卷滿分120分，考試時間120分鐘）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項符合要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1.在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車的發(fā)展方向．下面關(guān)于新能源汽車新勢力品牌的圖標(biāo)中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義，一個圖形繞著某固定點旋轉(zhuǎn)后能夠與原來的圖形重合，則稱這個圖形是中心對稱圖形，這個固定點叫做對稱中心；尋找對稱中心是解題的關(guān)鍵；根據(jù)中心對稱的定義逐項判斷即可．【詳解】A．找不到一點旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，不是中心對稱圖形，故該項符合題意；B．找不到一點旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，不是中心對稱圖形，故該選項符合題意；C．可以找到一點旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，是中心對稱圖形，故選項符合題意；D．找不到一點旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，不是中心對稱圖形，故選不項符合題意；故選：C．2.在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，①，②，③，④，⑤，是不等式的有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】B【解析】【分析】本題考查了不等式的定義，能熟記不等式的定義是解此題的關(guān)鍵，根據(jù)不等式的定義逐個判斷即可．【詳解】不等式有，，，共3個，故選：B．3.已知中，、、所對的邊的長分別是、、，根據(jù)下列條件不能判定為直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了勾股定理的逆定理及三角形內(nèi)角和定理，熟記定理并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理及三角形內(nèi)角和定理依次判斷即可．【詳解】，，，，，為直角三角形，故A選項不符合題意；，，，為不是直角三角形，故B選項符合題意；，設(shè)，，，，，為直角三角形，故C選項不符合題意；，為直角三角形，故D選項不符合題意；故選：B．4.是不等式的一個解，則的值不可能是（）A.2 B.2.5 C.3 D.3.5【答案】A【解析】【分析】本題主要考查解一元一次不等式．根據(jù)是不等式的一個解解答即可．【詳解】解：∵是不等式的一個解，∴，，所以的值不可能是2．故選：A．5.下列說法正確的是（）A.等腰三角形的中線，高線、角平分線重合 B.若多邊形的邊數(shù)增加，則它的外角和和內(nèi)角和都會增加C.等腰三角形兩底角的平分線相等 D.有一個外角是的等腰三角形是等邊三角形【答案】C【解析】【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和和外角和，等邊三角形的判定，掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和和外角和，等邊三角形的判定判斷即可．【詳解】解：等腰三角形底邊上的中線、高線和所對角的角平分線互相重合，A選項錯誤，不符合題意；若多邊形的邊數(shù)增加，則它的外角和是不變，內(nèi)角和會增加，B選項錯誤，不符合題意；等腰三角形兩底角的平分線相等，C選項正確，符合題意；有一個外角是的等腰三角形不一定是等邊三角形，D選項錯誤，不符合題意；故選：C．6.關(guān)于的一元一次不等式組的解集如圖所示，則它的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了數(shù)軸表示不等式的解集，熟練掌握解集確定的法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)實心圓表示有等號，結(jié)合解集確定的口訣，小大大小中間找，確定．【詳解】根據(jù)實心圓表示有等號，結(jié)合解集確定的口訣，小大大小中間找，故表示的解集是，故選：B．7.如圖，已知，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了直角三角形全等的判定定理的應(yīng)用，根據(jù)垂直定義得出，根據(jù)圖形可知是公共直角邊，根據(jù)直角三角形全等的判定得出需要添加的條件是斜邊相等，能熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，在和中，，∴，故選：．8.棗莊購物中心有一款商品，每件進(jìn)價為100元，標(biāo)價為150元，現(xiàn)準(zhǔn)備打折銷售．若要保證利潤率不低于5%，設(shè)打x折銷售，則下列說法正確的是（）A.依題意得 B.依題意得C.該商品最少打7折 D.該商品最多打7折【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得不等關(guān)系：標(biāo)價打折進(jìn)價利潤，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式，解之即可判斷．【詳解】解：設(shè)打x折銷售，依題意得：，解得：，∴該商品最多打7折，故D選項正確，A，B，C錯誤，故選D．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的不等關(guān)系．9.如圖，，若和分別垂直平分和，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查垂直平分線，三角形內(nèi)角和的知識，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，則，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，，則，再根據(jù)，即可．【詳解】∵、是線段、的垂直平分線，∴，，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故選：A．10.如圖，在中，，，是線段上的動點（不含端點、）．若線段長為正整數(shù)，則點的個數(shù)共有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】【分析】首先過A作AE⊥BC，當(dāng)D與E重合時，AD最短，首先利用等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EC，進(jìn)而可得BE的長，利用勾股定理計算出AE長，然后可得AD的取值范圍，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：如圖：過A作AE⊥BC于E，∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，

∴當(dāng)AE⊥BC，EB=EC=4，

∴AE=，

∵D是線段BC上的動點(不含端點B，C).若線段AD的長為正整數(shù)，

∴3?AD<5，

∴AD=3或AD=4，

當(dāng)AD=4時，在靠近點B和點C端各一個，

故符合條件的點D有3點.

故選B.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的計算.二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”的逆命題為_______________．【答案】同旁內(nèi)角互補，兩直線平行【解析】【分析】根據(jù)題意寫出逆命題即可，每一個命題都有逆命題，只要將原命題的題設(shè)改成結(jié)論，并將結(jié)論改成題設(shè)，便可得到原命題的逆命題．【詳解】解：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”的逆命題為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行【點睛】本題考查了寫出原命題的逆命題，掌握逆命題中的題設(shè)與結(jié)論與原命題互換是解題的關(guān)鍵．12如果，那么______（填“>”或“<”或“=”）．【答案】【解析】【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式兩邊同時乘上或除以一個正數(shù)，不等式符號不變，不等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)，不等式的符號不變；若不等式兩邊同時乘上或除以一個負(fù)數(shù)，不等式符號改變，據(jù)此即可作答．【詳解】解：∵，，∴，則，即，故答案為：．13.若點在平面直角坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)，則x的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點在第二象限得出不等式組，再求出不等式組的解集即可．【詳解】∵點在第二象限，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組和點的坐標(biāo)，能得出關(guān)于x的不等式組是解此題的關(guān)鍵．也考查了直角坐標(biāo)系各個象限坐標(biāo)特點．14.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則其頂角度數(shù)為_____°．【答案】42或138【解析】【分析】分兩種情況：等腰三角形的頂角是鈍角或者等腰三角形的頂角是銳角，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時，腰上的高在外部．根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°+48°＝138°；②如圖1，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時，腰上的高在其內(nèi)部，故頂角是90°﹣48°＝42°．故答案為：42或138．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，注意此類題的兩種情況．同時考查了：直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．15.如圖，等腰中，于點，點在邊上，點在的延長線上，若，則的長為______．【答案】【解析】【分析】過點作于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，．根據(jù)“四邊形內(nèi)角和等于”可求得，再證明，則可得，則，從而證得是等邊三角形，得．再求得，在中，求出、的長．最后在中根據(jù)勾股定理即可求出的長，也就可知的長．【詳解】解：如圖，過點作于，于，中，，，平分，即平分，∴，且．，又四邊形中，．在與中，∴∴∴，即，∵是等邊三角形，．作于，則，，，．，，，．中，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．正確的作出輔助線并且證明出是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16.（1）解不等式：．（2）解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．【答案】（1）；（2），整數(shù)解為：【解析】【分析】本題考查了解不等式以及解不等式組、正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先去分母，再去括號，移項合并同類項，系數(shù)化1，即可作答．（2）分別算出每個不等式的解集，再取它們的公共部分解集，并結(jié)合整數(shù)解的概念，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：（1）去分母，得：去括號，得：移項、合并同類項，得：兩邊都除以5，得：．（2）解不等式，得．解不等式，得．原不等式組的解集為，．整數(shù)解為：．17.已知：中，．（1）請你用尺規(guī)作的平分線交于點．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）3【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖以及角平分線的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的作圖法進(jìn)行作圖，即可作答．（2）先根據(jù)勾股定理算出，結(jié)合角平分線的性質(zhì)，得出，根據(jù)代入數(shù)值，進(jìn)行運算，即可作答．【小問1詳解】解：如圖，射線為所求．【小問2詳解】解：過點作于點，在中，，由勾股定理得．平分且，．，即，解得．18.如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，與正比例函數(shù)的圖象交于點，且點的縱坐標(biāo)為．（1）求點的橫坐標(biāo)及的面積；（2）結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集．【答案】（1）橫坐標(biāo)為，面積為（2）【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、由兩直線交點求不等式的解集，利用數(shù)形結(jié)合思想求解是解答的關(guān)鍵．（1）首先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式為，然后將代入即可求出點的橫坐標(biāo)為，然后利用三角形面積公式求解即可；（2）根據(jù)圖象求解即可．【小問1詳解】將，代入得，解得∴一次函數(shù)解析式為∴當(dāng)時，解得∴點的橫坐標(biāo)為∴的面積；【小問2詳解】∵點的橫坐標(biāo)為∴由圖象可得，當(dāng)時，．19.如圖，在平面坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為．（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度）（1）先將向下平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度得到，請畫出；（2）與關(guān)于原點對稱，請畫出．（3）在（2）的條件下，四邊形的面積為______．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）10【解析】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—平移和中心對稱，坐標(biāo)與圖形：（1）先根據(jù)“上加下減，左減右加”的平移規(guī)律求出A、B、C對應(yīng)點的坐標(biāo)，然后描出，最后順次連接即可；（2）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出A、B、C對應(yīng)點的坐標(biāo)，然后描出，最后順次連接即可；（3）利用割補法求解即可．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問3詳解】解：，故答案為：10．20.請把下面的證明過程補充完整如圖，在中，是角平分線，是高，、相交于點，求證：．證明：平分（已知），（①），（已知），（②），是的高（已知），（三角形高的定義），（③），（直角三角形的兩個銳角互余），（④），（⑤），（⑥），（⑦）．【答案】①角平分線的定義；②直角三角形的兩銳角互余；③；④等角的余角相等；⑤對頂角相等；⑥等量代換；⑦等角對等邊【解析】【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)、對頂角相等、等角對等邊解答即可．【詳解】證明：平分（已知），（角平分線的定義），（已知），（直角三角形的兩銳角互余），是的高（已知），（三角形高的定義），（直角三角形的兩銳角互余），（等角的余角相等），（對頂角相等），（等量代換），∴（等角對等邊）．故答案為：角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；；等角的余角相等；對頂角相等；等量代換；等角對等邊．21.如圖，在中，，動點、同時從、兩點出發(fā)，分別在、邊上勻速移動，它們的速度分別為，當(dāng)點到達(dá)點時，、兩點同時停止運動，設(shè)點的運動時間為．（1）當(dāng)為何值時，為等邊三角形？（2）當(dāng)為何值時，為直角三角形？【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)題意，得，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，列式作答即可．（2）因為為直角三角形，所以分類討論，即當(dāng)時，或當(dāng)時，，進(jìn)行列式求解，即可作答．【小問1詳解】解：，．,∵動點、同時從、兩點出發(fā)，分別在、邊上勻速移動，它們的速度分別為；當(dāng)時，為等邊三角形．即．即當(dāng)時，為等邊三角形;【小問2詳解】解：若為直角三角形，①當(dāng)時，，即．②當(dāng)時，，即即當(dāng)或時，為直角三角形．22.研學(xué)是一種走出校門開展研究性學(xué)習(xí)和旅行體驗相結(jié)合的校外實踐活動．某學(xué)校擬向公交公司租借、兩種客車共12輛，用于接送八年級師生去社會實踐基地參加研學(xué)活動．其中，若每位老師帶隊20名學(xué)生，則還剩35名學(xué)生沒老師帶：若每位老師帶隊22名學(xué)生，就有一位老師少帶5名學(xué)生．（1）參加此次研學(xué)活動的老師和學(xué)生各有多少人？（2）若要求型車的數(shù)量不少于型車的2倍，型車的租金為600元/輛，型車的租金為450元/輛，那么租借型車多少輛時，可使支付的租車費用最低？并求出最低費用．【答案】（1）參加此次研學(xué)活動的老師有20人，學(xué)生435人（2）租借型車4輛時，支付的租車費用最低，最低費用為6600元【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動的老師有人，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）設(shè)租型車輛，根據(jù)各數(shù)量之間