2018年中考復(fù)習(xí)專題相似三角形一線三等角

第頁(yè)—線三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長(zhǎng)線時(shí)，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過(guò)認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會(huì)。典型例題【例1】如圖，等邊△ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，∠EDF=60°（1）求證：△BDE∽△CFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BECCADBEF【思路分析】本題屬于典型的三等角型相似，由題意可得∠B=∠C=∠EDF=60°再用外角可證∠BED=∠CDF，可證△BDE與△CFD相似排出相似比便可求得線段BE的長(zhǎng)度解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∠EDF=60°∴∠B=∠C=∠EDF=60°∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED∴∠BED=∠FDCCDEABCDEABF（2）∵△BDE∽△CFD∵BD=1，F(xiàn)C=3，CD=5∴BE=點(diǎn)評(píng)：三等角型的相似三角形中的對(duì)應(yīng)邊中已知三邊可以求第四邊。【例2】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∠EDF=∠B，求證：△BDE∽△DFE【思路分析】比較例1來(lái)說(shuō)區(qū)別僅是點(diǎn)D成為了BC的中點(diǎn)，所以△BDE與△CFD相似的結(jié)論依然成立，用相似后的對(duì)應(yīng)邊成比例，以及BD=CD的條件可證得△BDE和△DFE相似解：∵AB=AC，∠EDF=∠B∴∠B=∠C=∠EDF∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED∴∠BED=∠FDC∴△BDE∽△CFD∴又∵BD=CD∴即∵∠EDF=∠B∴△BDE∽△DFE點(diǎn)評(píng)：三等角型相似中若點(diǎn)D是等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)則僅有一對(duì)相似三角形，若點(diǎn)D是底邊中點(diǎn)則有三對(duì)相似三角形，△BDE與△CFD相似后若得加上BD=CD可證得△CFD與△DFE相似【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使∠APM=∠B；（1）求證：△ABP∽△PCM；（2）設(shè)BP=x，CM=y．求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．（3）當(dāng)△APM為等腰三角形時(shí)，求PB的長(zhǎng)．AABPCM【思路分析】第（1）（2）小題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。對(duì)△APM進(jìn)行等腰三角形的分類討論時(shí)，可將條件轉(zhuǎn)化成與△ABP∽△PCM相關(guān)的結(jié)論ABCPM解：（1）∵AB=AC，∠APM=∠B∴∠APM=∠ABCPM∵∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP∴∠BAP=∠MPC∴△ABP∽△PCM（2）∵BP=x，CM=y，CP=8-xABCABCPM（3）當(dāng)AP=PM時(shí)∵∴PC=AB=5∴BP=3當(dāng)AP=AM時(shí)∵∠APM=∠B=∠C∴∠PAM=∠BAC即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合∴P不與點(diǎn)B、C重合∴舍去當(dāng)MP=AM時(shí)∴∠MAP=∠MPA∴△MAP∽△ABC∴即∴BP=點(diǎn)評(píng)：等腰三角形分類討論需要靈活應(yīng)用，可采用的方法添底邊上的高，將等腰的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，三等角型相似這類問(wèn)題中可將等腰的條件轉(zhuǎn)化至△ABP和△PCM中簡(jiǎn)化運(yùn)算。【例4】（1）在中，，，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.①若點(diǎn)在線段上（如圖10），且，求線段的長(zhǎng)；②若，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）正方形的邊長(zhǎng)為（如圖12），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，寫出線段的長(zhǎng)（不需要計(jì)算過(guò)程，請(qǐng)直接寫出結(jié)果）.AABCD圖12AABCPQAABC備用圖【思路分析】本例與前幾例的區(qū)別在于與等腰三角形底角相等的角的頂點(diǎn)不僅在線段上還可以運(yùn)動(dòng)至線段的延長(zhǎng)線上，這類變式問(wèn)題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來(lái)的兩個(gè)三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r(shí)，依然沿用剛才的方法便可破解此類問(wèn)題。解：（1）∵，，又∵，∴.ABC備用圖PQABC備用圖PQ（2）若點(diǎn)在線段上，由（1）知.又∵，，∴，即.故所求的函數(shù)關(guān)系式為，.若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖11.又∵，∴，即.（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上，，或.當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，.當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，.點(diǎn)評(píng)：此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，通過(guò)哪兩個(gè)三角形相似求解，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，還是找原來(lái)的兩個(gè)三角形，多數(shù)情況下這兩個(gè)三角形還是相似的，還是可以沿用原來(lái)的方法求解。強(qiáng)化訓(xùn)練：如圖，在△ABC中，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)如果，，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明△ADE是什么三角形，并說(shuō)明理由．AABCDE已知：如圖，在△ABC中，，，點(diǎn)D在邊AB上，，點(diǎn)E在邊BC上．又點(diǎn)F在邊AC上，且．(1)求證：△FCE∽△EBD；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有可能使．如果有可能，那么求出BD的長(zhǎng)．如果不可能請(qǐng)說(shuō)明理由．AABCDEFCPEABD如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個(gè)大小與∠B相等的角的頂點(diǎn)放在P點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、ACCPEABD（1）求證△BPD∽△CEP（2）是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由。如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，PE⊥AB與E，PF⊥BC交AC與F，設(shè)PC=x，記PE=，PF=（1）分別求、關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（2）△PEF能為直角三角形嗎?若能，求出CP的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。CCPEABF如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，PE⊥AB與E，PF⊥BC交AC與F，設(shè)PC=x，△PEF的面積為y（1）寫出圖中的相似三角形不必證明；CPEABFCPEABF（3）若△PEF為等腰三角形，求PC的長(zhǎng)。已知在等腰三角形中，，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).（1）求證：∽；（2）設(shè).①用含的代數(shù)式表示；②求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長(zhǎng)．（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫出AP的長(zhǎng)（不必寫出解題過(guò)程）．CCDABP已知：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，，，AM∥DC，E、F分別是線段AD、AM上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與A、D不重合）且，設(shè)（1）求證：；（2）求與的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；（3）若點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)時(shí)，為等腰三角形，求的值；AAEFDBMC已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．（1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；（2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)．EDEDCBA（備用圖）EDCBAP（第25題圖）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=BC=4，AD=2．點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作∠EMF=∠B，射線ME交邊AB于點(diǎn)E，射線MF交邊CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF．（1）指出圖中所有與△BEM相似的三角形，并加以證明；（2）設(shè)BE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；AABCDMEF答案：解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE（2）∵△ABD∽△DCE∴（3）∵，是的中點(diǎn)∴AD⊥BC∴∠DAE+∠ADE=90°∵∴△ADE是直角三角形解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠BED+∠DEF=∠C+∠EFC=90°又∵∴∠BED=∠EFC∴△FCE∽△EBD（2）∵BD=x，BE=，∵△FCE∽△EBD∴若∴∴∴∴BD不存在解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠CCPEABDH∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP∴∠EPC=∠CPEABDHCPEABDH（2）∵∠DPECPEABDH若∠PDE=90°，在Rt△ABH和Rt△PDE中∴cos∠ABH=cos∠DPE=∴∵PC=4∴若∠PED=90°在Rt△ABH和Rt△PDE中∴cos∠ABH=cos∠PED=∴∵PC=4∴（舍去）CPECPEABFH解：（1）、（2）∵∠FPE=∠B90°若∠PFE=90°，在Rt△ABH和Rt△PFE中∴cos∠ABH=cos∠FPE=∴∴∴CPEABFH若∠PEF=90°，在RtCPEABFH∴cos∠ABH=cos∠FPE=解：（1）△PEB∽△EPCCPEABFGHM（2）∵PCCPEABFGHM即（3）當(dāng)PE=PF時(shí)，△EPC≌△PEB，PC=BE=x，∴當(dāng)PE=EF時(shí)，，cos∠EPH=cosB，∴當(dāng)FE=PF時(shí)，，cos∠FPM=cosB，∴綜上所述，PC的長(zhǎng)分別為、、解：（1）∵,∴∵又,∴∽（2）①∵∽，∴∵是的中點(diǎn)，，∴，又∵∴當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，∴②過(guò)點(diǎn)作DG∥AB,交于點(diǎn)∴當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，∴，∴∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∴，∴∴解：（1）①證明：∵∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴∠ABP＝∠DPC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠A＝∠D．∴△ABP∽△DPC．②解：設(shè)AP＝x，則DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得，即解得x1＝1，x2＝4，則AP的長(zhǎng)為1或4．（2）①解：類似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴CDABPQE即CDABPQE②AP＝2或AP＝3－．證明：（1）過(guò)點(diǎn)M作交于G∵AD//BC，AB//MG∴AG=BM=6∵AD=12∴AG=GD∴≌∴AM=DM(2)∵∴∴∴定義域?yàn)椋?3)∵∴EM≠FM∴若為等腰三角形，則EF=EM或EF=FM①當(dāng)EF=EM時(shí),12-=10∴=2②當(dāng)EF=FM時(shí)∵∴AE=EM∴∴證明：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠CBE=2,BP=2,CP=4,CD=4，∴，∴△BEP∽△CPD(2)①又∠EPF=∠C=∠B，∴∴△BEP∽△CPF，∴∴②當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)∠FDM=∠C=∠B，，∴△BEP∽△DMF又，∴，Δ＜0，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，不存在點(diǎn)P使當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)