高考數(shù)學一輪復習 第七章 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖訓練 理 新人教A版_第1頁
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【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學一輪復習第七章空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖訓練理新人教A版第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖[備考方向要明了]考什么怎么考1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,能識別上述三視圖所表示的立體模型,會用斜二測法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式.4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上,尺寸、線條等沒有嚴格要求).1.對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的考查,很少單獨命題,多與命題真假判斷相結(jié)合,在考查線面位置關(guān)系時,常以幾何體為載體.2.對三視圖的考查一直是高考的考查重點,且有以下特點:(1)多以選擇題或填空題的形式考查.(2)單獨考查三視圖問題,如年福建T4,湖南T3等.(3)與空間幾何體的體積、表面積的求法相結(jié)合,考查三視圖的還原問題,如年新課標全國T7,安徽T12,廣東T6,天津T10,遼寧T13等.3.直觀圖的畫法作為一種圖技畫法融合于三視圖的還原問題中,高考幾乎不單獨命題.[歸納·知識整合]1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體①棱柱的側(cè)棱都互相平行,上下底面是互相平行且全等的多邊形②棱錐的底面是任意多邊形,側(cè)面是有一個公共頂點的三角形③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到,其上下底面是相互平行且相似的多邊形旋轉(zhuǎn)體①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到②圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到③圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到④球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到[探究]1.有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎?提示:不一定.如圖所示,盡管幾何體滿足了兩個平面平行且其余各面都是平行四邊形,但不能保證每相鄰兩個側(cè)面的公共邊互相平行.2.中心投影與平行投影平行投影的投影線是平行的,而中心投影的投影線相交于一點.在平行投影中投影線垂直于投影面的投影稱為正投影.3.三視圖與直觀圖三視圖空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的,它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖,其畫法規(guī)則是:長對正,高平齊,寬相等直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法規(guī)則來畫,基本步驟是:①畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸,兩軸相交于點O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),已知圖形中平行x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸的線段.已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中長度不變,平行于y軸的線段,長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄诋嫀缀误w的高在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面,在直觀圖中對應(yīng)的z′軸,也垂直于x′O′y′平面,已知圖形中平行于z軸的線段,在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變[探究]2.正方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖一定相同嗎?提示:由于正視圖的方向沒確定,因此正視圖、側(cè)視圖、俯視圖不一定相同.[自測·牛刀小試]1.用任意一個平面截一個幾何體,各個截面都是圓面,則這個幾何體一定是()A.圓柱B.圓錐C.球體D.圓柱,圓錐,球體的組合體解析:選C由球的性質(zhì)可知,用平面截球所得的截面都是圓面.2.(教材習題改編)如圖所示的幾何體是棱柱的有()A.②③⑤ B.③④⑤C.③⑤ D.①③解析:選C根據(jù)棱柱結(jié)構(gòu)特征可知③⑤是棱柱.3.(教材習題改編)已知一個幾何體的三視圖如圖所示,分析此幾何體的組成為()A.上面為棱臺,下面為棱柱B.上面為圓臺,下面為棱柱C.上面為圓臺,下面為圓柱D.上面為棱臺,下面為圓柱解析:選C由三視圖可知,此幾何體由上面的圓臺和下面的圓柱組合而成的.4.關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法正確的是()A.直角三角形的直觀圖仍是直角三角形B.梯形的直觀圖是平行四邊形C.正方形的直觀圖是菱形D.平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形解析:選D由斜二測畫法規(guī)則可知,平行于y軸的線段長度減半,直角坐標系變成了斜坐標系,而平行性沒有改變,因此,只有D正確.5.一個幾何體的正視圖為一個三角形,則這個幾何體可能是下列幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號).①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱解析:只要判斷正視圖是不是三角形就行了,畫出圖形容易知道三棱錐、四棱錐、圓錐一定可以,對于三棱柱,只需要放倒就可以了,所以①②③⑤均符合題目要求.答案:①②③⑤空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[例1]下列結(jié)論中正確的是()A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等,則該棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線[自主解答]A錯誤.如圖,由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不是棱錐.B錯誤.如下圖,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐。C錯誤.若六棱錐的所有棱都相等,則底面多邊形是正六形.但由幾何圖形知,若以正六邊形為底面,側(cè)棱長必然要大于底面邊長.[答案]D———————————————————求解空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法,即嚴格按照空間幾何體的有關(guān)定義判斷.(2)反例法,即通過舉反例來說明一個命題是錯誤的.1.下列命題中,正確的是()A.有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B.側(cè)面都是等腰三角形的棱柱是正棱錐C.側(cè)面都是矩形的四棱柱是長方體D.底面為正多邊形,且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱解析:選D對于A,兩個側(cè)面是矩形并不能保證側(cè)棱與底面垂直,故A錯誤;對于B,側(cè)面都是等腰三角形,不能確保此棱錐頂點在底面在底面的射影在底面正多邊形的中心上,且也不能保證底面是正多邊形,故B錯誤;對于C,側(cè)面是矩形不能保證底面也是矩形,因而C錯誤.空間幾何體的三視圖[例2](1)(·湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是()(2)(·廈門質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體是()A.三棱錐 B.四棱錐C.四棱臺 D.三棱臺[自主解答](1)A圖是兩個圓柱的組合體的俯視圖;B圖是一個四棱柱與一個圓柱的組合體的俯視圖;C圖是一個底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個四棱柱的組合體的俯視圖,采用排除法,故選D.(2)由三視圖可知,該幾何體是四棱錐(如圖所示),且其中一條棱與底面垂直.[答案](1)D(2)B———————————————————由三視圖還原實物圖應(yīng)明確的兩個方面(1)首先要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖,較復雜的幾何體也是由這些簡單幾何體組合而成的.(2)要明確三視圖的形成原理,并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖.2.已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB=AC,四邊形BCDE為矩形),則該組合體的俯視圖可以是________(把你認為正確的圖的序號都填上).解析:幾何體是四棱錐與四棱柱組成時,得①正確.幾何體由四棱錐與圓柱組成時,得②正確.幾何體由圓錐與圓柱組成時,得③正確.幾何體由圓錐與四棱柱組成時,得④正確.故填①②③④.答案:①②③④空間幾何體的直觀圖[例3]如圖所示,△A′B′C′是△ABC的直觀圖,且△A′B′C′是邊長為a的正三角形,求△ABC的面積.[自主解答]建立如圖所示的坐標系xOy′,△A′B′C′的頂點C′在y′軸上,A′B′邊在x軸上,把y′軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得y軸,在y軸上取點C使OC=2OC′,A、B點即為A′、B′點,長度不變.已知A′B′=A′C′=a,在△OA′C′中,由正弦定理得eq\f(OC′,sin∠OA′C′)=eq\f(A′C′,sin45°),所以O(shè)C′=eq\f(sin120°,sin45°)a=eq\f(\r(6),2)a,所以原三角形ABC的高OC=eq\r(6)a,所以S△ABC=eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a=eq\f(\r(6),2)a2.本例若改為“已知△ABC是邊長為a的正三角形,求其直觀圖△A′B′C′的面積,”應(yīng)如何求?解:由斜二測畫法規(guī)則可知,直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)=eq\f(\r(6),8)a,故其面積S△A′B′C′=eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a=eq\f(\r(6),16)a2.———————————————————平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系:S直觀圖=eq\f(\r(2),4)S原圖形,S原圖形=2eq\r(2)S直觀圖.記住上述關(guān)系,解題時能起到事半功倍的作用.3.如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,則原圖形是()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四邊形解析:選C將直觀圖還原得?OABC,則∵O′D′=eq\r(2)O′C′=2eq\r(2)(cm),OD=2O′D′=4eq\r(2)(cm),C′D′=O′C′=2(cm),∴CD=2(cm),OC=eq\r(CD2+OD2)=eq\r(22+4\r(2)2)=6(cm),OA=O′A′=6(cm)=OC,故原圖形為菱形.1種數(shù)學思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決棱臺、圓臺的有關(guān)問題由棱臺和圓臺的定義可知棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的,所以在解決棱臺和圓臺的相關(guān)問題時,?!斑€臺為錐”,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.1個疑難點——三視圖的還原問題由三視圖還原幾何體是解答三視圖問題的重要手段和方法,在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上,按以下步驟可輕松解決:3個注意事項——畫三視圖應(yīng)注意的三個問題(1)若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,要注意實、虛線的畫法.(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向,觀察同一物體方向不同,所畫的三視圖也不同.(3)觀察簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體組成的,并注意它們的組成方式,特別是它們的交線位置.3個“變”與“不變”——斜二測畫法的要求“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標軸的夾角改變,,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形改變.))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改變,,與x、z軸平行的線段的長度不改變,,相對位置不改變.))易誤警示——三視圖識圖中的易誤辨析[典例](·陜西高考)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐,得到如圖2所示的幾何體,則該幾何體的側(cè)視圖為()[解析]側(cè)視圖中能夠看到線段AD1,應(yīng)為實線,而看不到B1C,應(yīng)畫為虛線.由于AD1與B1[答案]Beq\a\vs4\al([易誤辨析])1.因?qū)θ晥D的原理認識不到位,區(qū)分不清選項A和B,而易誤選A.2.因?qū)θ晥D的畫法要求不明而誤選C或D.在畫三視圖時,分界線和可見輪廓線都用實線畫,被遮住的部分的輪廓線為虛線.3.解答此類問題時,還易出現(xiàn)畫三視圖時對個別視圖表達不準而不能畫出所要求的視圖.在復習時要明確三視圖的含義,掌握“長對正、高平齊、寬相等”的要求.eq\a\vs4\al([變式訓練])若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的直觀圖可以是()解析:選B由正視圖與俯視圖可以將選項A、C排除;根據(jù)側(cè)視圖,可以將D排除,注意正視圖與俯視圖中的實線.一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)1.(·福建高考)一個幾何體的三視圖形狀都相同,大小均相等,那么這個幾何體不可以是()A.球 B.三棱錐C.正方體 D.圓柱解析:選D圓柱的三視圖,分別是矩形,圓,不可能三個視圖都一樣,而球的三視圖可以都是圓,三棱錐的三視圖可以都是三角形,正方體的三視圖可以都是正方形.2.(·西城模擬)有一個幾何體的三視圖如圖所示,這個幾何體應(yīng)是一個()A.棱臺 B.棱錐C.棱柱 D.都不對解析:選A從俯視圖來看,上、下底面都是正方形,但大小不一樣,可以判斷是棱臺.3.一梯形的直觀圖是一個如右圖所示的等腰梯形,且該梯形的面積為eq\r(2),則原梯形的面積為()A.2 B.eq\r(2)C.2eq\r(2) D.4解析:選D直觀圖為等腰梯形,若上底設(shè)為x,高設(shè)為y,則S直觀圖=eq\f(1,2)y(x+2y+x)=eq\r(2),而原梯形為直角梯形,其面積S=eq\f(1,2)·2eq\r(2)y(x+2y+x)=2eq\r(2)×eq\r(2)=4.4.一個長方體去掉一個小長方體,所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示,則該幾何體的俯視圖為()解析:選C由正視圖和側(cè)視圖可知,該長方體挖掉一個小長方體后,相應(yīng)位置在俯視圖中應(yīng)為左下角位置,且可看見輪廓線,故選C.5.一個錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示,下面選項中,不可能是該錐體的俯視圖的是()解析:選C若俯視圖是等邊三角形且為圖中的位置,則正視圖是等腰三角形,且高線是實線,故選C.6.一個幾何體的三視圖如圖所示,其正視圖的面積等于8,俯視圖是一個面積為4eq\r(3)的正三角形,則其側(cè)視圖的面積為()A.4eq\r(3) B.8eq\r(3)C.8eq\r(2) D.4解析:選A由三視圖知該幾何體是正三棱柱,設(shè)其底面邊長為a,高為h,則其正視圖為矩形,矩形的面積S1=ah=8,俯視圖為邊長為a的正三角形,三角形的面積S2=eq\f(\r(3),4)a2=4eq\r(3),則a=4,h=2,而側(cè)視圖為矩形,底邊為eq\f(\r(3),2)a,高為h,故側(cè)視圖的面積為S=eq\f(\r(3),2)ah=4eq\r(3).二、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)7.以下四個命題:①正棱錐的所有側(cè)棱相等;②直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形;③圓柱的母線垂直于底面;④用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中,真命題的序號為________.解析:①③④均正確,對②,直棱柱的側(cè)面都是矩形而不一定全等,②錯誤.答案:①③④8.一個幾何體是由若干個相同的小正方體組成的,其正視圖和側(cè)視圖如圖所示,則這個幾何體最多可由________個這樣的小正方體組成.解析:依題意可知這個幾何體最多可由9+2+2=13個這樣的小正方體組成.答案:139.正四棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長均為eq\r(3),其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形,則正視圖的周長為________.解析:由題意知,正視圖就是如圖所示的截面PEF,其中E、F分別是AD、BC的中點,連接AO,易得AO=eq\r(2),而PA=eq\r(3),于是解得PO=1,所以PE=eq\r(2),故其正視圖的周長為2+2eq\r(2).答案:2+2eq\r(2)三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分)10.用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐,截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺的母線長.解:抓住軸截面,利用相似比,由底面積之比為1∶16,設(shè)半徑分別為r、4r.設(shè)圓臺的母線長為l,截得圓臺的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq\f(3,3+l)=eq\f(r,4r),解得l=9.所以,圓臺的母線長為9cm.11.已知:圖①是截去一個角的長方體,試按圖示的方向畫出其三視圖;圖②是某幾何體的三視圖,試說明該幾何體的構(gòu)成.解:圖①幾何體的三視圖為:圖②所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體.12.如圖所示的三幅圖中,圖(1)所示的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖,它的正視圖和側(cè)視圖如圖(2)(3)所示(單位:cm).(1)在正視圖下面,按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;(2)按照給出的數(shù)據(jù),求該多面體的體積.解:(1)如圖.(2)所求多面體的體積V=V長方體-V正三棱錐=4×4×6-eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2=eq\f(284,3)(cm3).1.給出下列命題:①在正方體上任意選擇4個不共面的頂點,它們可能是正四面體的4個頂點;②底面是等邊三角形,側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐;③若有兩個側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱.其中正確命題的序號是________.解析:①正確,正四面體是每個面都是等邊三角形的四面體,如正方體ABCD-A1B1C1D1中的四面體A-CB1D1;②錯誤,舉反例如圖所示,底面△ABC為等邊三角形,可令AB=VB=VC=BC=AC,則△VBC為等邊三角形,△VAB和△VCA均為等腰三角形,但不能判定其為正三棱錐;③錯誤,必須是相鄰的兩個側(cè)面.答案:①2.(·江西高考)將長方體截去一個四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖為()解析:選D被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為長方體的面對角線,它們在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面(長方形)的兩條邊重合,另一條為體對角線,它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對角線重合,對照各圖,只有選項D符合.3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PC與底面垂直.若該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形,則該四棱錐中最長的棱的長度為()A.1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.2解析:選C在四棱錐P-ABCD中,連接AC,由正視圖和側(cè)視圖可得PC=BC=CD=1,故AC=eq\r(2),最長的棱為PA=eq\r(PC2+AC2)=eq\r(3).4.(·北京高考)某四面體的三視圖如圖所示,該四面體四個面的面積中最大的是()A.8 B.6eq\r(2)C.10 D.8eq\r(2)解析:選C由三視圖可知,該幾何體的四個面都是直角三角形,面積分別為6,6eq\r(2),8,10,所以面積最大的是10.eq\a\vs4\al(第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積)[備考方向要明了]考什么怎么考了解球體、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式).1.多以選擇題或填空題的形式考查,有時也以解答題形式考查.2.常以三視圖為載體考查幾何體的表面積或體積,如年安徽T12,廣東T6,浙江T11等.也可以給出幾何體的棱、面滿足的條件來計算表面積或體積,如年江蘇T7,山東T13.解答題(其中的一問)一般給出相關(guān)條件來判斷幾何體形狀特征(特別是幾何體的高)并計算體積或表面積,如年湖南T18(2),湖北T19(2)等.[歸納·知識整合]1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺側(cè)=π(r+r′)l2.空間幾何體的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=eq\f(1,3)(S上+S下+eq\r(S上S下))h球S=4πR2V=eq\f(4,3)πR3[探究]1.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么聯(lián)系?提示:2.如何求不規(guī)則幾何體的體積?提示:常用方法:分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法.通過計算轉(zhuǎn)化得到基本幾何體的體積來實現(xiàn).[自測·牛刀小試]1.棱長為2的正四面體的表面積是()A.eq\r(3) B.4C.4eq\r(3) D.16解析:選C正四面體的各面為全等的正三角形,故其表面積S=4×eq\f(\r(3),4)×22=4eq\r(3).2.(·上海高考)一個高為2的圓柱,底面周長為2π,該圓柱的表面積為________.解析:由已知條件得圓柱的底面半徑為1,所以S表=S側(cè)+2S底=cl+2πr2=2π×2+2π=6π.答案:6π3.(教材習題改編)一個球的半徑擴大為原來的3倍,則表面積擴大為原來的______倍;體積擴大為原來的______倍.解析:設(shè)原球的半徑為1,則半徑擴大后半徑為3,則S1=4π,S2=4π×32=36π,即eq\f(S2,S1)=9,所以表面積擴大為原來的9倍.由V1=eq\f(4,3)π,V2=eq\f(4,3)π×33=12π,即eq\f(V2,V1)=27,所以體積擴大為原來的27倍.答案:9274.(·遼寧高考)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為________.解析:由三視圖可知該組合體的上方是一個高為1,底面直徑為2的圓柱,下方是一個長、寬、高分別為4、3、1的長方體,如圖所示,它的體積V=1×π+4×3×1=12+π.答案:12+π5.(教材習題改編)如圖,用半徑為2的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒,那么這個圓錐筒的容積是________.解析:由于半圓的圓弧長等于圓錐底面圓的周長,若設(shè)圓錐底面圓半徑為r,則得2π=2πr,解得r=1,又圓錐的母線長為2,所以高為eq\r(3),所以這個圓錐筒的容積為eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)=eq\f(\r(3),3)π.答案:eq\f(\r(3),3)π幾何體的表面積[例1](·北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是()A.28+6eq\r(5) B.30+6eq\r(5)C.56+12eq\r(5) D.60+12eq\r(5)[自主解答]該三棱錐的直觀圖如圖所示.據(jù)俯視圖知,頂點P在底面上的投影D在棱AB上,且∠ABC=90°,據(jù)正視圖知,AD=2,BD=3,PD=4,據(jù)側(cè)視圖知,BC=4.綜上所述,BC⊥平面PAB,PB=eq\r(PD2+BD2)=5,PC=eq\r(BC2+PB2)=eq\r(16+25)=eq\r(41),AC=eq\r(AB2+BC2)=eq\r(41),PA=eq\r(PD2+AD2)=2eq\r(5).∵PC=AC=eq\r(41),∴△PAC的邊AP上的高為h=eq\r(PC2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AP,2)))2)=6.∴S△PAB=eq\f(1,2)AB·PD=10,S△ABC=eq\f(1,2)AB·BC=10,S△PBC=eq\f(1,2)PB·BC=10,S△APC=eq\f(1,2)AP·h=6eq\r(5).故三棱錐的表面積為S△PAB+S△ABC+S△PBC+S△APC=30+6eq\r(5).[答案]B———————————————————由三視圖求幾何體表面積的方法步驟eq\x(\a\al(根據(jù)三視圖,畫出直觀圖))→eq\x(\a\al(確定幾何體,的結(jié)構(gòu)特征))→eq\x(\a\al(利用有關(guān),公式計算))1.(·馬鞍山模擬)如圖是一個幾何體的三視圖,則它的表面積為()A.4π B.eq\f(15π,4)C.5π D.eq\f(17π,4)解析:選D由三視圖可知該幾何體是半徑為1的球被挖出了eq\f(1,8)部分得到的幾何體,故表面積為eq\f(7,8)·4π·12+3·eq\f(1,4)·π·12=eq\f(17,4)π.幾何體的體積[例2](1)(·湖北高考)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.eq\f(8π,3) B.3πC.eq\f(10π,3) D.6π(2)(·安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是________.[自主解答](1)由三視圖可知,該組合體上端為一圓柱的一半,下端為圓柱.其體積V=π×12×2+eq\f(1,2)×π×12×2=3π.(2)據(jù)三視圖可知,該幾何體是一個直四棱柱,其底面是直角梯形(兩底邊長分別為2、5,直腰長為4,即梯形的高為4),高為4.∴該幾何體的體積為V=eq\f(2+5,2)×4×4=56.[答案](1)B(2)56———————————————————由三視圖求解幾何體體積的解題策略以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成,并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,然后在直觀圖中求解.2.(·新課標全國卷)如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.6 B.9C.12 D.18解析:選B由三視圖可知該幾何體為底面是斜邊為6的等腰直角三角形高為3的三棱錐,其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×3×3=9.3.某幾何體的三視圖如圖所示,則它的體積是()A.8-eq\f(2π,3) B.8-eq\f(π,3)C.8-2π D.eq\f(2π,3)解析:選A圓錐的底面半徑為1,高為2,該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積,即V=23-eq\f(1,3)×π×12×2=8-eq\f(2,3)π.與球有關(guān)的切、接問題[例3](·新課標全國卷)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)[自主解答]△ABC的外接圓的半徑r=eq\f(\r(3),3),點O到平面ABC的距離d=eq\r(R2-r2)=eq\f(\r(6),3).SC為球O的直徑,故點S到平面ABC的距離為2d=eq\f(2\r(6),3),故棱錐的體積為V=eq\f(1,3)S△ABC×2d=eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(6),3)=eq\f(\r(2),6).[答案]A———————————————————與球有關(guān)的切、接問題的解題策略解決球與其他幾何體的切、接問題,關(guān)鍵在于仔細觀察、分析,弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系),達到空間問題平面化的目的.4.已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長都為3eq\r(2),則這個四棱錐的外接球的表面積為()A.12π B.36πC.72π D.108π解析:選B依題意得,該正四棱錐的底面對角線的長為3eq\r(2)×eq\r(2)=6,高為eq\r(3\r(2)2-\f(1,2)×62)=3,因此底面中心到各頂點的距離均等于3,所以該四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心,其外接球的半徑為3,所以其外接球的表面積等于4π×32=36π.3個步驟——求解與三視圖有關(guān)的幾何體的表面積、體積的解題步驟3種方法——求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法:直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算.(2)等積法:根據(jù)體積計算公式,通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易,或是求出一些體積比等.(3)割補法:把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當?shù)姆指罨蜓a形,轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體.1種數(shù)學思想——求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積中的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時,一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行,即將側(cè)面展開化為平面圖形,“化曲為直”來解決,因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.創(chuàng)新交匯——空間幾何體中體積的最值問題1.求空間幾何體的體積一直是高考考查的重點,幾乎每年都考查,既可以與三視圖結(jié)合考查,又可以單獨考查.而求空間幾何體體積的最值問題,又常與函數(shù)、導數(shù)、不等式等知識交匯考查.2.求解空間幾何體最值問題,可分為二步:第一步引入變量,建立關(guān)于體積的表達式;第二步以導數(shù)或基本不等式為工具求最值.[典例](·湖北高考(節(jié)選))如圖1,∠ACB=45°,BC=3,過動點A作AD⊥BC,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿AD將△ABD折起,使∠BDC=90°(如圖2所示).當BD的長為多少時,三棱錐A-BCD的體積最大?[解]如圖1所示的△ABC中,設(shè)BD=x(0<x<3),則CD=3-x.由AD⊥BC,∠ACB=45°知△ADC為等腰直角三角形,所以AD=CD=3-x.由折起前AD⊥BC知,折起后(如圖2),AD⊥DC,AD⊥DC,且BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC,∠BDC=90°,所以S△BCD=eq\f(1,2)BD·CD=eq\f(1,2)x(3-x).于是VA-BCD=eq\f(1,3)AD·S△BCD=eq\f(1,3)(3-x)·eq\f(1,2)x(3-x).法一:VA-BCD=eq\f(1,6)(x3-6x2+9x).令f(x)=eq\f(1,6)(x3-6x2+9x).由f′(x)=eq\f(1,2)(x-1)(x-3)=0,且0<x<3,解得x=1.當x∈(0,1)時,f′(x)>0;當x∈(1,3)時,f′(x)<0,所以當x=1時,f(x)取得最大值,即BD=1時,三棱錐A-BCD的體積最大.法二:VA-BCD=eq\f(1,12)·2x(3-x)(3-x)≤eq\f(1,12)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x+3-x+3-x,3)))3=eq\f(2,3),當且僅當2x=3-x,即x=1時,取“=”.故當BD=1時,三棱錐A-BCD的體積最大.eq\a\vs4\al([名師點評])解答此題的關(guān)鍵是恰當引入變量x,即令BD=x,結(jié)合位置關(guān)系列出體積的表達式,將求體積的最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.eq\a\vs4\al([變式訓練])如圖,動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上.過點P作垂直于平面BB1D1D的直線,與正方體表面相交于M,N.設(shè)BP=x,MN=y(tǒng),則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()解析:選B顯然,只有當P移動到中心O時,MN有唯一的最大值,淘汏選項A、C;P點移動時,取AA1的中點E,CC1的中點Q,平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D,且M、N兩點在菱形D1EBQ的邊界上運動,故x與y的關(guān)系應(yīng)該是線性的,淘汰選項D,選B.一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)1.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側(cè)面積為84π,則圓臺較小底面的半徑為()A.7 B.6C.5 D.3解析:選A設(shè)圓臺較小底面半徑為r,則另一底面半徑為3r.由S=π(r+3r)·3=84π,解得r=7.2.(·長春模擬)一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是一個直徑為1的圓,那么這個幾何體的全面積為()A.eq\f(3,2)π B.2πC.3π D.4π解析:選A依題意知,該幾何體是一個底面半徑為eq\f(1,2)、高為1的圓柱,則其全面積為2π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2+2π×eq\f(1,2)×1=eq\f(3,2)π.3.(·廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為()A.72π B.48πC.30π D.24π解析:選C此幾何體由半個球體與一個圓錐組成,其體積V=eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33+eq\f(1,3)π×32×eq\r(52-32)=30π.4.(·廣州模擬)設(shè)一個球的表面積為S1,它的內(nèi)接正方體的表面積為S2,則eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π) B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)解析:選D設(shè)球的半徑為R,其內(nèi)接正方體的棱長為a,則易知R2=eq\f(3,4)a2,即a=eq\f(2\r(3),3)R,則eq\f(S1,S2)=eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))2)=eq\f(π,2).5.一個空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.48 B.32+8eq\r(17)C.48+8eq\r(17) D.80解析:選C由三視圖可知幾何體是一個放倒的直棱柱(最大的側(cè)面貼在地面上),直觀圖如圖,底面是等腰梯形,其上底長為2,下底長為4,高為4,∴兩底面積和為2×eq\f(1,2)×(2+4)×4=24,四個側(cè)面的面積為4×(4+2+2eq\r(17))=24+8eq\r(17),∴幾何體的表面積為48+8eq\r(17).6.已知正方形ABCD的邊長為2eq\r(2),將△ABC沿對角線AC折起,使平面ABC⊥平面ACD,得到如圖所示的三棱錐B-ACD.若O為AC邊的中點,M,N分別為線段DC,BO上的動點(不包括端點),且BN=CM.設(shè)BN=x,則三棱錐N-AMC的體積y=f(x)的函數(shù)圖象大致是()解析:選B由平面ABC⊥平面ACD,且O為AC的中點可知,BO⊥平面ACD,易知BO=2,故三棱錐N-AMC的高為ON=2-x,S△AMC=eq\f(1,2)MC·AD=eq\r(2)x,故三棱錐N-AMC的體積為y=f(x)=eq\f(1,3)·(2-x)·eq\r(2)x=eq\f(1,3)(-eq\r(2)x2+2eq\r(2)x)(0<x<2),函數(shù)f(x)的圖象為開口向下的拋物線的一部分.二、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)7.(·安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是________.解析:由三視圖可知此幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱,其表面積S=(4+2+5+5)×4+2×eq\f(1,2)×(2+5)×4=92.答案:928.(·江蘇高考)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,則四棱錐A-BB1D1D的體積為________cm3解析:由題意,四邊形ABCD為正方形,連接AC,交BD于O,則AC⊥BD.由面面垂直的性質(zhì)定理,可證AO⊥平面BB1D1D.四棱錐底面BB1D1D的面積為3eq\r(2)×2=6eq\r(2),從而VA-BB1D1D=eq\f(1,3)×OA×S長方形BB1D1D=6.答案:69.一個棱錐的三視圖如圖,則該棱錐的外接球的表面積為________.解析:該棱錐的直觀圖如圖,取CD的中點E,BD的中點F,由三視圖知,AE⊥平面BCD,AF=5,AE=eq\r(52-32)=4,∠CBD=90°.設(shè)O為該棱錐外接球的球心,半徑為R,由題知BO2=BE2+EO2,即R2=(3eq\r(2))2+(R-4)2,解得R=eq\f(17,4),故球的表面積為S=4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)))2=eq\f(289π,4).答案:eq\f(289π,4)三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分)10.(·杭州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2eq\r(2),AD=2,求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.解:由已知得:CE=2,DE=2,CB=5,S表面=S圓臺側(cè)+S圓臺下底+S圓錐側(cè)=π(2+5)×5+π×25+π×2×2eq\r(2)=(60+4eq\r(2))π,V=V圓臺-V圓錐=eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π·22+π·52+\r(22·52π2)))×4-eq\f(1,3)π×22×2=eq\f(148,3)π.11.(·鄭州模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個長為eq\r(3),寬為1的矩形,俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的表面積S.解:(1)由三視圖可知,該幾何體是一個平行六面體(如圖),其底面是邊長為1的正方形,高為eq\r(3).所以V=1×1×eq\r(3)=eq\r(3).(2)由三視圖可知,該平行六面體中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,側(cè)面ABB1A1,CDD1C所以S=2×(1×1+1×eq\r(3)+1×2)=6+2eq\r(3).12.如圖1所示,在邊長為12的正方形ADD1A1中,點B、C在線段AD上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1分別交A1D1、AD1于點B1、P,作CC1∥AA1分別交A1D1、AD1于點C1、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得DD1與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C(1)求證:AB⊥平面BCC1B1;(2)求多面體A1B1C1-APQ解:(1)由題知,在圖2中,AB=3,BC=4,CA=5,∴AB2+BC2=CA2,∴AB⊥BC.又∵AB⊥BB1,BC∩BB1=B,∴AB⊥平面BCC1B1.(2)由題易知三棱柱ABC-A1B1C1的體積為eq\f(1,2)×3×4×12=72.∵在圖1中,△ABP和△ACQ都是等腰直角三角形,∴AB=BP=3,AC=CQ=7,∴VA-CQPB=eq\f(1,3)×S四邊形CQPB×AB=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(3+7)×4×3=20.∴多面體A1B1C1-APQ的體積V=VABC-A1B1C1-VA-1.如圖是一個幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖,且正視圖、側(cè)視圖都是矩形,則該幾何體的體積是()A.24 B.12C.8 D.4解析:選B依題意知,該幾何體是從一個長方體中挖去一個三棱柱后剩下的部分,因此其體積等于2×3×4-eq\f(1,2)×2×3×4=12.2.某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的表面積是()A.32 B.16+16eq\r(2)C.48 D.16+32eq\r(2)解析:選B該空間幾何體是底面邊長為4、高為2的正四棱錐,這個四棱錐的斜高為2eq\r(2),故其表面積是4×4+4×eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)=16+16eq\r(2).3.如圖所示,已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成,則該多面體的體積是________.解析:由題知該多面體為正四棱錐,底面邊長為1,側(cè)棱長為1,斜高為eq\f(\r(3),2),連接頂點和底面中心即為高,可求得高為eq\f(\r(2),2),所以體積V=eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(2),2)=eq\f(\r(2),6).答案:eq\f(\r(2),6)4.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2cm,高為5cm,則一質(zhì)點自點A出發(fā),沿著正三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點A1解析:根據(jù)題意,利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱,然后將其展開為如圖所示的實線部分,則可知所求最短路線的長為eq\r(52+122)=13(cm).答案:13eq\a\vs4\al(第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系)[備考方向要明了]考什么怎么考1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解四個公理和等角定理,并能以此作為推理的依據(jù).3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.1.直線、平面位置關(guān)系是歷年高考考查的重點內(nèi)容之一,既有客觀題,又有主觀題.其中客觀題主要是空間線、面位置關(guān)系的判定.如年重慶T9,陜西T5等.主觀題中往往作為其中一問來考查,如年陜西T18,安徽T18(1)等.2.公理和定理一般不單獨考查,而是作為解題過程中的推理依據(jù).[歸納·知識整合]1.四個公理公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).作用:可用來證明點、直線在平面內(nèi).公理2:過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.作用:①可用來確定一個平面;②證明點線共面.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.作用:①可用來確定兩個平面的交線;②判斷或證明多點共線;③判斷或證明多線共點.公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù).[探究]1.平面幾何中成立的有關(guān)結(jié)論在空間立體幾何中是否一定成立?提示:不一定.例如,“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線垂直”在平面幾何中成立,但在立體幾何中就不成立.而公理4的傳遞性在平面幾何和立體幾何中均成立.2.直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線:不同在任何一個平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a,b′∥b,把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②范圍:eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))).(3)定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.[探究]2.不相交的兩條直線是異面直線嗎?提示:不一定,不相交的兩條直線可能平行,也可能異面.3.不在同一平面內(nèi)的直線是異面直線嗎?提示:不一定,不在同一平面內(nèi)的直線可能異面,也可能平行.3.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α=A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α無數(shù)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β=l無數(shù)個[自測·牛刀小試]1.(教材習題改編)下列命題:①經(jīng)過三點確定一個平面;②梯形可以確定一個平面;③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;④如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.其中正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3解析:選C對于①,未強調(diào)三點不共線,故①錯誤;②正確;對于③,三條直線兩兩相交,如空間直角坐標系,能確定三個平面,故③正確;對于④,未強調(diào)三點共線,則兩平面也可能相交,故④錯誤.2.(教材習題改編)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行C.相交 D.以上都有可能解析:選D由直線、平面的位置關(guān)系分析可知兩條直線相交、平行或異面都有可能.3.如果a?α,b?α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列關(guān)系成立的是()A.l?α B.l?αC.l∩α=A D.l∩α=B解析:選A∵a?α,l∩a=A,∴A∈α,A∈l,同理B∈α,B∈l,∴l(xiāng)?α.4.若三個平面兩兩相交,且三條交線互相平行,則這三個平面把空間分成________個部分.解析:三個平面α,β,γ兩兩相交,交線分別是a,b,c,且a∥b∥c,則α,β,γ把空間分成7部分.答案:75.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF解析:連接B1D1,易證B1D1∥EF,從而∠D1B1C即為異面直線B1C與EF所成的角,連接D1C,則△B1D1C為正三角形,故∠D答案:60°平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用[例1]以下四個命題:①不共面的四點中,其中任意三點不共線;②若點A、B、C、D共面,點A、B、C、E共面,則點A、B、C、D、E共面;③若直線a、b共面,直線a、c共面,則直線b、c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.其中正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3[自主解答]①正確,可以用反證法證明;②不正確,從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C,但是若A、B、C共線.則結(jié)論不正確;③不正確,共面不具有傳遞性;④不正確,空間四邊形的四條邊不在一個平面內(nèi).[答案]B———————————————————由所給元素確定平面的方法判斷由所給元素(點或直線)確定平面時,關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件,如不具備,則一定不能確定一個平面.1.下列如圖所示是正方體和正四面體,P、Q、R、S分別是所在棱的中點,則四個點共面的圖形是________.解析:①中可證四邊形PQRS為梯形;②中,如圖所示取A1A與BC的中點為M、N,可證明PMQNRS為平面圖形,且PMQNRS為正六邊形.③中可證四邊形PQRS為平行四邊形;④中,可證Q點所在棱與面PRS平行,因此,P、Q、R、S答案:①②③[例2]如圖,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=eq\f(1,2)AD,BE∥AF且BE=eq\f(1,2)AF,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點.(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C,D,F(xiàn),E四點是否共面?為什么?[自主解答](1)證明:由已知FG=GA,F(xiàn)H=HD,可得GH綊eq\f(1,2)AD.又∵BC綊eq\f(1,2)AD,∴GH綊BC,∴四邊形BCHG為平行四邊形.(2)∵BE綊eq\f(1,2)AF,G為FA中點知,BE綊FG,∴四邊形BEFG為平行四邊形,∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF與CH共面.又D∈FH,∴C、D、F、E四共點面.本例條件不變,如何證明“FE、AB、DC共點”?證明:如圖,取AD中點為M,連接GM,EG,CM.由條件知,EG綊AB,CM綊AB,所以EG綊CM,所以四邊形EGMC為平行四邊形,所以EC∥GM.又GM綊eq\f(1,2)FD,∴EC綊eq\f(1,2)FD,故E、C、D、F四點共面.延長FE、DC,設(shè)相交于點N,因為EF?平面ABEF,所以N∈平面ABEF,同理可證,N∈平面ABCD,又因為平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以N∈AB.即FE、AB、DC三線共點.———————————————————證明共面問題的常用方法(1)納入平面法:先確定一個平面,再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi).(2)輔助平面法:先證明有關(guān)的點、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α、β重合.2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB和AA1(1)E、C、D1、F四點共面;(2)CE、D1F、DA證明:(1)連接EF,CD1,A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點,∴EF∥BA1.又A1B∥D1C∴EF∥CD1,∴E、C、D1、F四點共面.(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE與D1F必相交,設(shè)交點為P則由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA空間兩條直線的位置關(guān)系[例3]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列判斷錯誤的是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行[自主解答]由于MN與平面DCC1D1相交于N點,D1C1?平面DCC1D1,且C1D1與MN沒有公共點,所以MN與C1D1是異面直線.又因為C1D1∥A1B1,且A1B1與MN沒有公共點,所以A1B1與MN[答案]D———————————————————異面直線的判定方法(1)定義法:依據(jù)定義判斷(較為困難);(2)定理法:過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用).(3)反證法:先假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩直線平行或相交,由假設(shè)的條件出發(fā),經(jīng)過嚴密的推理,導出矛盾,從而否定假設(shè),肯定兩條直線異面.3.已知空間四邊形ABCD中,E、H分別是邊AB、AD的中點,F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點.(1)求證:BC與AD是異面直線;(2)求證:EG與FH相交.證明:(1)假設(shè)BC與AD共面,不妨設(shè)它們所共平面為α,則B、C、A、D∈α.所以四邊形ABCD為平面圖形,這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾.所以BC與AD是異面直線.(2)如圖,連接AC,BD,則EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG;同理EH∥FG,則EFGH為平行四邊形.又EG、FH是?EFGH的對角線,所以EG與HF相交.異面直線所成的角[例4](·銀川模擬)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求A1C1與B1(2)若E、F分別為AB、AD的中點,求A1C1與EF[自主解答](1)如圖,連接AC、AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AA1C1C為平行四邊形,所以AC∥A1C1,從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.由AB1=AC=B即A1C1與B1(2)如圖,連接BD,由AA1∥CC1,且AA1=CC1可知A1ACC1是平行四邊形,所以AC∥A1C1即AC與EF所成的角就是A1C1與EF因為EF是△ABD的中位線,所以EF∥BD.又因為AC⊥BD,所以EF⊥AC,即所求角為90°.———————————————————求異面直線所成角的步驟平移法求異面直線所成角的一般步驟為:4.已知三棱錐A-BCD中,AB=CD,且直線AB與CD成60°角,點M、N分別是BC、AD的中點,求直線AB和MN所成的角.解:如圖,設(shè)E為AC的中點,連接EM、EN.∵EM綊eq\f(1,2)AB,∴∠EMN即為異面直線AB與MN所成的角(或補角).在△MEN中,ME綊eq\f(1,2)AB,EN綊eq\f(1,2)CD.∴∠MEN為異面直線AB與CD所成的角(或補角),且△MEN為等腰三角形.當∠MEN=60°時,∠EMN=60°,即異面直線AB和MN所成的角為60°.當∠MEN=120°時,∠EMN=30°,即異面直線AB和MN所成的角為30°.∴直線AB和MN所成的角為60°或30°.1個疑難點——對異面直線概念的理解(1)“不同在任何一個平面內(nèi)”指這兩條直線不能確定任何一個平面,因此異面直線既不平行,也不相交.(2)不能把異面直線誤解為:分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線.(3)異面直線的公垂線有且僅有一條.2種方法——求異面直線所成角的方法(1)平移法:即選點平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面角問題,這是求異面直線所成角的常用方法.(2)補形法:即采用補形法作出平面角.3個“共”問題——“共面”、“共線”和“共點”問題(1)證明共面問題一般有兩種途徑:①首先由條件中的部分線(或點)確定一個平面,再證其他線(或點)在此平面內(nèi);②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證明這兩個平面重合.(2)證明共線問題一般有兩種途徑:①先由兩點確定一條直線,再證其他點都在這條直線上;②直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明共點問題常用方法:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.易誤警示——求解線線角中忽視隱含條件而致錯[典例](·臨沂模擬)過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線l,使l與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,這樣的直線lA.1條 B.2條C.3條 D.4條[解析]如圖,連接體對角線AC1,顯然AC1與棱AB、AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都為eq\r(2).聯(lián)想正方體的其他體對角線,如連接BD1,則BD1與棱BC、BA、BB1所成的角都相等,∵BB1∥AA1,BC∥AD,∴體對角線BD1與棱AB、AD、AA1所成的角都相等,同理,體對角線A1C、DB1也與棱AB、AD、AA1所成的角都相等,過A點分別作BD1、A1C、DB1的平行線都滿足題意,故這樣的直線[答案]Deq\a\vs4\al([易誤辨析])1.易忽視異面直線所成的角,且沒有充分認識正方體中的平行關(guān)系而錯選A.2.求解空間直線所成的角時,還常犯以下錯誤:(1)缺乏空間想象力,感覺無從下手;(2)忽視異面直線所成角的范圍.eq\a\vs4\al([變式訓練])如圖所示,點A是平面BCD外一點,AD=BC=2,E、F分別是AB,CD的中點,且EF=eq\r(2),則異面直線AD和BC所成的角為________.解析:如圖,設(shè)G是AC的中點,連接EG,F(xiàn)G.因為E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點,故EG∥BC且EG=eq\f(1,2)BC=1,F(xiàn)G∥AD,且FG=eq\f(1,2)AD=1.即∠EGF為所求,又EF=eq\r(2),由勾股定理逆定理可得∠EGF=90°.答案:90°一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)1.給出下列四個命題:①沒有公共點的兩條直線平行;②互相垂直的兩條直線是相交直線;③既不平行也不相交的直線是異面直線;④不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.其中正確命題的個數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4解析:選B對于①,沒有公共點的兩條直線平行或異面,故①錯;對于②,異面直線垂直但不相交,故②錯;③④正確.2.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面又與CC1A.3 B.4C.5 D.6解析:選C由條件,與AB和CC1都相交的棱有BC;與AB相交且與CC1平行的棱有AA1,BB1;與AB平行且與CC1相交的棱有CD,C1D1,故符合的條件的棱共有5條.3.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)的所有直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)的直線與l都相交解析:選B如圖,設(shè)l∩α=A,α內(nèi)直線若經(jīng)過A點,則與直線l相交;若不經(jīng)過點A,則與直線l異面.4.(·福州模擬)如圖在底面為正方形,側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析:選D連接BC1,易證BC1∥AD1,則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角.連接A1C1,設(shè)AB=1,則AA1=2,A1C1=eq\r(2),A1B=BC1=eq\r(5),故cos∠A1BC1=eq\f(5+5-2,2×\r(5)×\r(5))=eq\f(4,5).5.(·聊城模擬)對于任意的直線l與平面α,在平面α內(nèi)必有直線m,使m與l()A.平行 B.相交C.垂直 D.互為異面直線解析:選C不論l∥α,l?α還是l與α相交,α內(nèi)都有直線m,使得m⊥l.6.(·重慶高考)設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,eq\r(2)和a,且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面,則a的取值范圍是()A.(0,eq\r(2)) B.(0,eq\r(3))C.(1,eq\r(2)) D.(1,eq\r(3))解析:選A如圖所示,AB=eq\r(2),CD=a,設(shè)點E為AB的中點,則ED⊥AB,EC⊥AB,則ED=eq\r(AD2-AE2)=eq\f(\r(2),2),同理EC=eq\f(\r(2),2).由構(gòu)成三角形的條件知0<a<ED+EC=eq\r(2),所以0<a<eq\r(2).二、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)7.一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:①AB⊥EF;②AB與CM所成的角為60°;③EF與MN是異面直線;④MN∥CD.以上四個命題中,正確命題的序號是________.解析:將展開圖還原為正方體,如圖所示,則AB⊥EF,故①正確;AB∥CM,故②錯誤;EF與MN顯然異面,故③正確;MN與CD異面,故④錯誤.答案:①③8.(·大綱全國卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為BB1、CC1的中點,那么異面直線AE與D1解析:如圖,連接DF,因為DF與AE平行,所以∠DFD1即為異面直線AE與D1F所成角的平面角,設(shè)正方體的棱長為2,則FD1=FD=eq\r(5),由余弦定理得cos∠DFD1=eq\f(\r(5)2+\r(5)2-22,2×\r(5)2)=eq\f(3,5).答案:eq\f(3,5)9.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1解析:如圖:延長CA到D,使得AD=AC,連接A1D,BD,則四形邊形ADA1C1∴∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角,又三角形A1DB為等邊三角形,∴∠DA1B=60°.答案:60°三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分)10.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為CC1,AA1的中點,畫出平面BED1F與平面ABCD解:如圖所示.PB即為平面BED1F與平面ABCD11.如圖所示,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中點.(1)求證AE與PB是異面直線;(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值.解:(1)證明:假設(shè)AE與PB共面,設(shè)平面為α,∵A∈α,B∈α,E∈α,∴平面α即為平面ABE,∴P∈平面ABE,這與P?平面ABE矛盾,所以AE與PB是異面直線.(2)取BC的中點F,連接EF、AF,則EF∥PB,所以∠AEF或其補角就是異面直線AE和PB所成角,∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,∴AF=eq\r(3),AE=eq\r(2),EF=eq\r(2);cos∠AEF=eq\f(2+2-3,2×\r(2)×\r(2))=eq\f(1,4),所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為eq\f(1,4).12.(·上海高考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點.已知AB=2,AD=2eq\r(2),PA=2.求:(1)三角形PCD的面積;(2)異面直線BC與AE所成的角的大?。猓?1)因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,從而CD⊥PD.因為PD=eq\r(22+2\r(2)2)=2eq\r(3),CD=2,所以三角形PCD的面積為eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)=2eq\r(3).(2)取PB的中點F,連接EF、AF,則EF∥BC,從而∠AEF(或其補角)是異面直線BC與AE所成的角.在△AEF中,由EF=eq\r(2)、AF=eq\r(2)、AE=2知△AEF是等腰直角三角形,所以∠AEF=eq\f(π,4).因此,異面直線BC與AE所成的角的大小是eq\f(π,4).1.平面α、β的公共點多于兩個,則①α、β垂直②α、β至少有三個公共點③α、β至少有一條公共直線④α、β至多有一條公共直線以上四個判斷中不成立的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3解析:選C由條件知,平面α與β重合或相交,重合時,公共直線多于一條,故④錯誤;相交時不一定垂直,故①錯誤.2.如圖,在四面體ABCD中,截面PQMN是正方形,則在下列命題中,錯誤的為()A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.異面直線PM與BD所成的角為45°解析:選C依題意得MN∥PQ,MN∥平面ABC,又MN?平面ACD,且平面ACD∩平面ABC=AC,因此有MN∥AC,AC∥平面MNPQ.同理,BD∥PN.又截面MNPQ是正方形,因此有AC⊥BD,直線PM與BD所成的角是45°.3.對于四面體ABCD,下列命題①相對棱AB與CD所在直線異面;②由頂點A作四面體的高,其垂足是△BCD三條高線的交點;③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高,則這兩條高所在的直線異面;④分別作三組相對棱中點的連線,所得的三條線段相交于一點.其中正確的是________(填序號).解析:對于①,由四面體的概念可知,AB與CD所在的直線為異面直線,故①正確;對于②,由頂點A作四面體的高,當四面體ABCD的對棱互相垂直時,其垂足是△BCD的三條高線的交點,故②錯誤;對于③,當DA=DB,CA=CB時,這兩條高線共面,故③錯誤;對于④,設(shè)AB、BC、CD、DA的中點依次為E、F、M、N,易證四邊形EFMN為平行四邊形,所以EM與FN相交于一點,易證另一組對棱也過它們的交點,故④正確.答案:①④4.已知長方體ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,BC=3,AA′=5,求異面直線D′B和AC所成角的余弦值.解:法一:(平移法):如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,連接BD交AC于點E,取DD′的中點F,連接EF,AF,則EF綊eq\f(1,2)D′B,∴∠FEA是D′B和AC所成的角,∵AE=eq\f(\r(42+32),2)=eq\f(5,2),EF=eq\f(\r(25+25),2)=eq\f(5\r(2),2),AF=eq\r(32+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)=eq\f(\r(61),2),∴在△FEA中,cos∠FEA=eq\f(EF2+AE2-AF2,2EF·AE)=eq\f(7\r(2),50).法二:(補形法):如圖,在長方體的一旁補一個全等的長方體,則BE綊AC∴∠D′BE(或其補角)是D′B和AC所成的角,∵D′B=5eq\r(2),BE=5,D′E=eq\r(89),∴在△D′BE中,cos∠D′BE=-eq\f(7\r(2),50),∴D′B與AC所成角的余弦值為eq\f(7\r(2),50).eq\a\vs4\al(第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì))[備考方向要明了]考什么怎么考1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)及平面與平面平行的判定與性質(zhì)是高考的熱點之一,考查線線、線面以及面面平行的轉(zhuǎn)化,考查學生的空間想象能力及邏輯推理能力.2.從考查題型看,既有客觀題又有主觀題.客觀題一般圍繞線面平行的判定和性質(zhì)定理的辨析設(shè)計試題;主觀題主要是圍繞線、面平行的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用設(shè)計試題,一般設(shè)計為解答題中的一問,如年浙江T20(1),江蘇T16(2),福建T18(2)等.[歸納·知識整合]1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與這個平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a,a?α,l?α,∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α,l?β,α∩β=b,∴l(xiāng)∥b[探究]1.如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行嗎?提示:不一定.只有當此直線在平面外時才有線面平行.2.如果一條直線和一個平面平行,那么這條直線和這個平面的任意一條直線都平行嗎?提示:不可以,對于任意一條直線而言,存在異面的情況.2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β,b∥β,a∩b=P,a?α,b?α,∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,∴a∥b[探究]3.如果一個平面有無數(shù)條直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行嗎?提示:不一定.可能平行,也可能相交.4.如果兩個平面平行,則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面有什么位置關(guān)系?答案:平行.[自測·牛刀小試]1.下列命題中,正確的是()A.若a∥b,b?α,則a∥αB.若a∥α,b?α,則a∥bC.若a∥α,b∥α,則a∥bD.若a∥b,b∥α,a?α,則a∥α解析:選D由直線與平面平行的判定定理知,三個條件缺一不可,只有選項D正確.2.一條直線l上有相異三個點A、

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