高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 第8講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例配套限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 理 蘇教版

第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例分層訓(xùn)練A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．若渡輪以15km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛，水流速度為4km/h，則渡輪實(shí)際航行的速度為(精確到0.1km/h)________．答案13.5km/h2．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.解析如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案10eq\r(3)3．某人向正東方向走xkm后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好eq\r(3)km，那么x的值為________．解析如圖，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，由余弦定理得(eq\r(3))2＝32＋x2－2×3x×cos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x1＝eq\r(3)，x2＝2eq\r(3)，經(jīng)檢測均合題意．答案eq\r(3)或2eq\r(3)4.如圖所示，為了測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，則AB的長為________．解析在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝eq\f(asin105°,sin45°)＝eq\f(\r(3)＋1,2)a.②在△ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)椤螦CB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點(diǎn)之間的距離為AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°)＝eq\f(\r(2),2)a.答案eq\f(\r(2),2)a5．(·新課標(biāo)全國卷)在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD＝eq\f(1,2)CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面積為3－eq\r(3)，則∠BAC＝________.解析由A作垂線AH⊥BC于H.因?yàn)镾△ADC＝eq\f(1,2)DA·DC·sin60°＝eq\f(1,2)×2×DC·eq\f(\r(3),2)＝3－eq\r(3)，所以DC＝2(eq\r(3)－1)，又因?yàn)锳H⊥BC，∠ADH＝60°，所以DH＝ADcos60°＝1，∴HC＝2(eq\r(3)－1)－DH＝2eq\r(3)－3.又BD＝eq\f(1,2)CD，∴BD＝eq\r(3)－1，∴BH＝BD＋DH＝eq\r(3).又AH＝AD·sin60°＝eq\r(3)，所以在Rt△ABH中AH＝BH，∴∠BAH＝45°.又在Rt△AHC中tan∠HAC＝eq\f(HC,AH)＝eq\f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq\r(3)，所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，故所求角為60°.答案60°6.如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10(米)，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(米)．在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(米)．答案10eq\r(6)二、解答題(每小題15分，共30分)7．(·常州七校聯(lián)考)如圖，在半徑為eq\r(3)、圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)N、M在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y，(1)按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：①設(shè)PN＝x，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)∠POB＝θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；(2)請你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值．解(1)①∵ON＝eq\r(OP2－PN2)＝eq\r(3－x2)，OM＝eq\f(\r(3),3)x，∴MN＝eq\r(3－x2)－eq\f(\r(3),3)x，∴y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3－x2)－\f(\r(3),3)x))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).②∵PN＝eq\r(3)sinθ，ON＝eq\r(3)cosθ，OM＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)sinθ＝sinθ，∴MN＝ON－OM＝eq\r(3)cosθ－sinθ，∴y＝eq\r(3)sinθ(eq\r(3)cosθ－sinθ)，即y＝3sinθcosθ－eq\r(3)sin2θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).(2)選擇y＝3sinθcosθ－eq\r(3)sin2θ＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,6)))－eq\f(\r(3),2)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴2θ＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴ymax＝eq\f(\r(3),2).8．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．解(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300).故當(dāng)t＝eq\f(1,3)時(shí)，Smin＝10eq\r(3)(海里)，此時(shí)v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)(海里/時(shí))．即，小艇以30eq\r(3)海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。?2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)，∵0＜v≤30，∴900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)≤900，即eq\f(2,t2)－eq\f(3,t)≤0，解得t≥eq\f(2,3).又t＝eq\f(2,3)時(shí)，v＝30海里/時(shí)．故v＝30海里/時(shí)時(shí)，t取得最小值，且最小值等于eq\f(2,3).此時(shí)，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇．分層訓(xùn)練B級創(chuàng)新能力提升1．據(jù)新華社報(bào)道，強(qiáng)臺風(fēng)“珍珠”在廣東饒平登陸．臺風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹被大風(fēng)折斷．某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是________米．解析如圖所示，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，∴AO＝eq\f(20\r(6),3)(米)．答案eq\f(20\r(6),3)2．(·南京29中月考)如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km)________．解析AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)(m)，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))(m)．∴航線離山頂h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈11.4(km)．∴山高為18－11.4＝6.6(km)．答案6.6km3．(·南通調(diào)研)已知等腰三角形腰上的中線長為eq\r(3)，則該三角形的面積的最大值是________．解析如圖，設(shè)AB＝AC＝2x，則在△ABD中，由余弦定理，得3＝x2＋4x2－4x2cosA，所以cosA＝eq\f(5x2－3,4x2).所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(－9x4＋30x2－9),4x2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)(2x)2sinA＝eq\f(1,2)eq\r(－9x4＋30x2－9).故當(dāng)x2＝eq\f(5,3)時(shí)，(S△ABC)max＝eq\f(1,2)eq\r(－9·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2＋30·\f(5,3)－9)＝eq\f(1,2)eq\r(16)＝2.答案24．(·無錫市期末考試)已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，則△ABC面積的最大值為________．解析法一如圖，設(shè)△ABC的外接圓為圓O，其直徑2R＝eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(4,sin45°)＝4eq\r(2).取AC的中點(diǎn)M，則OM＝Rcos45°＝2，則AC＝4.過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，要使△ABC的面積最大，當(dāng)且僅當(dāng)BH最大．而BH≤BO＋OM，所以BH≤R＋eq\f(\r(2),2)R＝2eq\r(2)＋2，所以(S△ABC)max＝eq\f(1,2)AC·BHmax＝eq\f(1,2)×4×(2＋2eq\r(2))＝4＋4eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)BA＝BC時(shí)取等號．法二如圖，同上易知，△ABC的外接圓的直徑2R＝4eq\r(2).S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝2R2sinAsinBsinC＝8eq\r(2)sinAsinC＝4eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos135°－2C＋\f(\r(2),2))).當(dāng)A＝C＝67.5°時(shí)，(S△ABC)max＝4＋4eq\r(2).答案4＋4eq\r(2)5.如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救．甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，接到信號后乙船朝北偏東θ方向沿直線前往B處救援，問θ的正弦值為多少？解如題圖，在△ABC中，AB＝20海里，AC＝10海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝202＋102－2×20×10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝700.∴BC＝10eq\r(7)海里．由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，∴sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(20,10\r(7))·sin120°＝eq\f(\r(21),7).∴sinθ＝sin(30°＋∠ACB)＝sin30°cos∠ACB＋cos30°·sin∠ACB＝eq\f(5\r(7),14).∴乙船應(yīng)沿北偏東sinθ＝eq\f(5\r(7),14)的方向沿直線前往B處救援．6．(·南京二模)某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個(gè)對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA、AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補(bǔ)，且AB＝BC.(1)設(shè)AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；(2)求四邊形ABCD面積的最大值．解(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA.同理，在△CBD中，BD2＝CB